第十五章 套期保值行为
套期保值（Hedging）是所有衍生金融工具产生的最主要动因之一，也是金融工程学的主要运用领域之一。
第一节 套期保值的基本原理
一、套期保值的定义和原理套期保值是指已面临价格风险的主体利用一种或几种套期保值工具试图抵消其所冒风险的行为。
应该注意的是，套期保值能抵消的风险只限于广义的价格风险，包括利率风险、汇率风险和证券价格风险。而对信用风险，套期保值是无能为力的。
从第12和13章的讨论可知，衍生证券的价格跟标的资产价格之间存在着密切的联系。由此我们可以进一步推论：同一标的资产的各种衍生证券价格之间也保持着密切的关系①。一般来说，若标的资产价格与衍生证券价格正相关，我们就可利用相反的头寸（如多头对空头，或空头对多头）来进行套期保值；若标的资产价格与衍生证券价格呈负相关，我们就可利用相同的头寸（如多头对多头，空头对空头）来进行套期保值。
为了论述方便，我们把运用衍生证券多头进行的套期保值称为多头套期保值，把运用衍生证券空头进行的套期保值称为空头套期保值。
二、套期保值的目标在第8章，我们曾把风险定义为一个变量的均方差，它等于各种可能的实际值偏离（包括上偏下偏）期望值幅度的绝对值的加权平均数。可见，风险具有两面性：它既有有利的部分，也有不利的部分。若站在事前的角度看，若变量的分布遵循正态分布的话，则有利部分与不利部分在量上是相等的。
根据主体的态度，套期保值目标可分为双向套期保值和单向套期保值。双向套期保值就是尽量消除所有价格风险，包括风险的有利部分和不利部分。单向套期保值就是只消除风险的不利部分，而保留风险的有利部分。
为了实现双向套期保值目标，避险主体可运用远期、期货、互换等衍生证券。为了实现单向套期保值目标，避险主体则可利用期权及跟期权相关的衍生证券。
双向套期保值在把风险的不利部分转嫁出去的同时，也把有利部分转嫁出去。但由于避险者可以几乎不付任何代价就可取得远期、期货和互换的多头或空头，因此双向套期保值的成本较低。单向套期保值只把风险的不利部分转嫁出去，而把有利部分留给自己。但由于取得看涨期权和看跌期权的多头均需支付期权费，因此单向套期保值的成本较高。
选择哪种套期保值目标取决于避险主体的风险厌恶程度。对于一个极度厌恶 风险的人来说，风险有利部分带给他的正效用远远小于等量的风险不利部分带给他的负效用，因此往往倾向于选择双向套期保值。而对于一个厌恶 风险程度较轻的人来说，风险有利部分带给他的正效用只略小于等量的风险不利部分带给他的负效用，因此往往倾向于选择单向套期保值。
选择哪种套期保值策略还取决于避险主体对未来价格走向的预期，如果避险主体预期价格上升（或下降）的概率大大高于下降（或上升）的概率，则他倾向于选择期权进行单向套期保值。而如果避险主体预期价格上升与下降的的概率相当，则他倾向于选择双向套期保值。
三、套期保值的效率很多人把套期保值的效率与套期保值的盈亏相混淆。实际上，两者是完全不同的概念。
套期保值的盈亏指的是实施与未实施套期保值两种情况下实际结果的差异。若实施套期保值的结果优于未实施套期保值的结果，则称套期保值是盈利的；反之则是亏损的。
而套期保值的效率指的是套期保值的目标与套期保值的实际结果之间的差异。若实际结果与目标相等，则称套期保值效率为100%；若实际结果比目标更有利，则套期保值效率大于100%；若实际结果比目标较不利，则套期保值效率小于100%。
为了进一步说明两个概念的区别，我们举一个简单的例子。
例 15.1
一家德国汽车制造商接到美国进口商价值100万美元的订单，三个月后装船，装船后一个月付款。出于稳健经营的考虑，该制造商决定卖出4个月远期美元进行避险,假设4个月远期美元汇率为1美元=1.6000德国马克，则该制造商在4个月后收到德国马克预期值（即套期保值目标）为160万德国马克。
假设4个月后美元的即期汇率为1美元=1.5000德国马克，那么套期保值的实际结果仍为160万德国马克，而在没有套期保值情况下，该制造商只能得到150万德国马克，在这种情况下，套期保值将产生10万德国马克的“盈利”。
假设4个月后美元的即期汇率为1美元=1.7000德国马克，那么套期保值的实际结果还是160万德国马克，而未套期保值情况下，该制造商将得到170万德国马克。在这种情况下，套期保值将产生10万德国马克的“亏损”。
在上述两种情况下，套期保值的实际结果与目标都是一样的（即160万德国马克），因此套期保值效率等于100%，称为完全套期保值。
第二节 基于远期的套期保值
一、基于远期利率协议的套期保值
（一）多头套期保值所谓远期利率协议的多头套期保值，就是通过签订远期利率协议，并使自己处于多头地位（简称买入远期利率协议）以避免未来利率上升给自己造成损失。其结果是将未来的利率水平固定在某一水平上。它适用于打算在未来筹资的公司、以及打算在未来某一时间出售现已持有的未到期长期债券的持有者。
例15.2
某公司计划在3个月之后借入一笔为期6个月的1000万美元的浮动利率债务。根据该 公司的信用状况，该公司能以6个月期的LIBOR利率水平借入资金，目前6个月期的LIBOR利率水平为 6%，但该公司担心3个月后LIBOR将上升。为此，它可以买入一份名义本金为1000万美元的3(9远期利率协议。假设现在银行挂出的3(9以LIBOR为参照利率的远期利率协议的报价为6.25%，那么该借款者就可以把借款利率锁定在6.25%的水平上。
为了证明这一点，我们假定3个月后6个月期LIBOR升至7%。则该公司在实际借款时只能以7%的利率借款，结果一笔1000万美元、为期6个月的借款将使该公司在9个月后多支付37500美元的利息。但同时，由于该公司已经买入远期利率协议，银行在3个月后的结算日支付一笔结算金给该公司。根据式（5.1）①，该结算金为：
美元该公司在3个月后得到这36,231.88美元的结算金后，可按当时的即期利率7%贷出6个月①。9个月后，该公司将收回37,500美元的本息，刚好抵消掉多支付的37,500美元的利息，从而使公司实际借款利率固定在6.25%的水平上。
相反，若3个月后6个月期LIBOR降至5.5%，则该公司在实际借款时将少支付37,500美元的利息，但它需在3个月后支付银行一笔数额为36,231.88美元的结算金，该结算金在9个月后的终值为37,500美元，因此其实际借款利率仍为6.25%
（二）空头套期保值远期利率协议的空头套期保值刚好相反，它是通过卖出远期利率协议来避免利率下降的风险，适用于打算在未来投资的投资者。
例15.3
假设某公司财务部经理预计公司1个月后将收到1000万美元的款项，且在4个月之内暂时不用这些款项，因此可用于短期投资。他担心1个月后利率下跌使投资回报率降低，就可以卖出一份本金为1000万美元的1(4远期利率协议。假定当时银行对1(4远期利率协议的报价为8%，他就可将1个月之后3个月期的投资回报率锁定在8%。
二、基于直接远期外汇合约的套期保值
（一）多头套期保值多头套期保值就是通过买入直接远期外汇合约来避免汇率上升的风险，它适用于未来某日期将支出外汇的机构和个人，如进口、出国旅游、到其偿还外债，计划进行外汇投资等。
例15.4
某年6月15日，一家美国进口商与一家英国进口商签订了一份价值100万英镑的进口合同，合同约定9月15日付款，当时英镑的即期汇率为1英镑=1.5600美元，3个月远期英镑汇率为1英镑=1.5800美元。为了避免英镑汇率上升的风险，美国进口商买进3个月期远期英镑。这样，在9月15日付款时，他就把英镑汇率固定在1英镑=1.5800美元左右。
（二）空头套期保值空头套期保值就是通过卖出直接远期外汇合约来避免外汇汇率下降的风险，它适用于未来某日期将收到外汇的机构和个人，如出口、提供劳务、现有的对外投资、到期收回贷款等。
例15.5
日本某机构对美国国库券的投资将于12月20日到期，到期将收回1000万美元。当时（同年6月20）美元即期汇率为1美元=120日元，12月20日到期的远期汇率为1美元=118日元。该机构担心到时美元贬值，就卖出12月20日到期的1000万美元远期，从而把汇率固定在1美元=118日元上。
（三）交叉套期保值当两种货币之间（如日元和加元之间）没有合适的远期合约时，套期保值者可利用第三种货币（如美元）来进行交叉套期保值。如一家加拿大公司要对一笔3个月后收到的日元款项进行保值，它可买进日元远期（即用美元买日元），同时卖出加元远期（即用加元买美元），来进行交叉套期保值。
三、基于远期外汇综合协议的套期保值远期外汇综合协议实际上就是远期的远期外汇合约，因此运用远期外汇综合协议进行套期保值时，保值的对象不是未来某一时点的即期汇率，而是未来某一时点一定期限的远期汇率。例如，3个月 (6个月远期外汇综合协议保值的对象是3个月后6个月期的远期汇率。
运用远期外汇综合协议进行套期保值也可分为多头、空头和交叉套期保值，其原理与前面的相同，故不再重复，在此仅举一例加以说明。
例15.6
美国一家外贸公司与银行签订了一份贷款协议，协议规定1个月后银行贷款1000万英镑给该公司，贷款期限为6个月。为了避免英镑汇率波动给公司造成损失，该公司可卖出1个月期的远期英镑，同时买进1个月(7个月远期英镑进行套期保值。
第三节 基于期货的套期保值
在上一节的例子中，套期保值效果都很好。在实际运用中，套期保值的效果将由于如下三个原因而受到影响：(需要避险的资产与避险工具的标的资产不完全一致； (套期保值者可能并不能确切地知道未来拟出售或购买资产的时间；(需要避险的期限与避险工具的期限不一致。
在这些情况下，我们就必须考虑基差风险、合约的选择、套期保值比率、久期等问题。
实际上，远期和期货的套期保值原理是相同的，因此以下的分析也适用于远期。
一、基差风险在第12章讨论远期和期货价格时，我们曾把基差简单地定义为现货价格与期货价格之差。在考虑套期保值的情况下，基差的准确定义（或者说广义）为：
基差=拟套期保值资产的现货价格一所使用合约的期货价格如果拟套期保值的资产与期货的标的资产一致，则根据图5.2，在期货合约到期日基差应为零，而在到期日之前基差可能为正值或负值。如果拟套期保值的资产与期货的标的资产不一致，则不能保证期货到期日基差等于零。
当套期保值期限已到，而基差不为零时，套期保值就存在基差风险。
为进一步说明套期保值的基差风险，我们令t1表示进行套期保值的时刻，t2表示套期保值期限结束时刻，S1表示t1时刻拟保值资产的现货价格，S*1表示t1时刻期货标的资产的现货价格，F1表示t1时刻期货价格，S2、S2*和F2分别表示t2时刻拟保值资产的现货价格、标的资产的现货价格及其期货价格，b1、b2分别表示t1和t2时刻的基差。根据基差的定义，我们有：
对于空头套期保值来说，套期保值者在t1时刻知道将于t2时刻出售资产，于是在t1时刻持有期货空头，并于t2时刻平仓，同时出售资产。因此该套期保值者出售资产获得的有效价格（Se）为：
（15.1）
式（15.1）中的和代表了基差的两个组成部分。第一部分就是我们在第12章中讨论的狭义的基差，而第二部分表示两项资产不一致而产生的基差。
由于F1已知，而b2未知，因此，套期保值后出售资产获得的有效价格存在基差风险。若b2>b1，则对空头套期保值者较有利；若b2<b1，则对空头套期保值者不利。
同样，对于多头套期保值者来说，他在t1时刻持有期货多头，并于t2时刻平仓，同时买入资产。他通过套期保值购买资产所支付的有效价格跟（15.1）式是一样的。这说明，若b2<b1，对多头套期保值者有利。
可见，在有些情况下，通过期货套期保值并不能完全消除价格风险，因为通过套期保值后收取或支付的有效价格中均含有基差风险。但相对原有的价格风险而言，基差风险小多了。
二、合约的选择为了降低基差风险，我们要选择合适的期货合约，它包括两个方面：(选择合适的标的资产，(选择合约的交割月份。
选择标的资产的标准是标的资产价格与保值资产价格的相关性。相关性越好，基差风险就越小。因此选择标的资产时，最好选择保值资产本身，若保值资产没有期货合约，则选择与保值资产价格相关性最好的资产的期货合约。
在选择合约的交割月份时，要考虑是否打算实物交割。对于大多数金融期货而言，实物交割的成本并不高，在这种情况下，通常应尽量选择与套期保值到期日相一致的交割月份，因为这时将等于零，从而使基差风险最小。
但是，如果实物交割很不方便的话，那他就应选择随后交割月份的期货合约。这是因为交割月份的期货价格常常很不稳定，因此在交割月份平仓常常要冒较大的基差风险。
若套期保值者不能确切地知道套期保值的到期日，他也应选择稍后交割月份的期货合约。
例15.7
1月20日，美国某公司预计将在8月初得到1亿日元。IMM日元期货的交割月为3月份、6月份、9月份和12月份，每一合约规模为1250万日元。为避免日元贬值，该公司在1月20日卖出8份9月份日元期货，期货价格为1日元=0.8300美分。
8月初，公司收到1亿日元时，就平仓其期货空头。假定此时日元现货和期货价格分别为1日元=0.7800美分和0.7850美分，即平仓时基差为－0.0050美分，则该公司在8月份卖出日元收到的有效价格等于此时的现货价格加上期货的盈利，也等于期初的期货价格加上最后的基差：
美分/日元公司收到的美元总额为82.5万美元。
三、套期比率的确定套期比率是指期货合约的头寸规模与套期保值资产规模之间的比率。当套期保值资产价格与标的资产的期货价格相关系数等于1时，为了使套期保值后的风险最小，套期比率应等于1。而当相关系数不等于1时，套期比率就不应等于1。
为了推导出套期比率（h）与相关系数（）之间的关系，我们令和代表套期保值期内保值资产现货价格S的变化和期货价格F的变化，代表的标准差，代表的标准差，代表套期保值组合的标准差。
对于空头套期保值组合来说，在套期保值期内组合价值的变化为：
对于多头套期保值组合业说，为：
在以上两种情况下，套期保值组合价格变化的方差都等于：
（15.2）
最佳的套期比率必须使最小化。为此对h的一阶偏导数必须等于零，而二阶偏导数必须大于零。
从式（15.2）可得：
令，我们就可得出最佳套期比率：
（15.3）
式（15.3）表明，最佳的套期比率等于和之间的相关系数乘以的标准差与的标准差的比率。
当我们用股价指数期货为股票组合套期保值时，最佳的套期比率为：
（15.4）
其中，为该股票组合与股价指数的系数。这是因为根据式（12.10），
其中，SI代表股价指数，为已知数，因此股票组合与股价指数的系数可近似地用股票组合与股价指数期货的系数来代替。这样，根据系数的定义，我们有：
其中，代表股票组合与股价指数期货的协方差。根据的定义，，我们有：
例15.8
某公司打算运用6个月期的S&P500股价指数期货为其价值500万美元的股票组合套期保值，该组合的值为1.8，当时的期货价格为400。由于一份该期货合约的价值为400(500=20万美元，因此该公司应卖出的期货合约的数量为：
份
四、滚动的套期保值由于期货合约的有效期通常不超过1年，而套期保值的期限有时又长于1年，在这种情况下，就必须采取滚动的套期保值策略，即建立一个期货头寸，待这个期货合约到期前将其平仓，再建立另一个到期日较晚的期货头寸直至套期保值期限届满。如果我们通过几次平仓才实现最终的套期保值目的，则我们将面临几个基差风险。
例15.9
1999年11月，美国某公司借入2年期、到期本息为1000万英镑的债务，为避免英镑升值的风险，该公司决定用英镑期货滚动保值。由于IMM每份英镑期货合约的价值为62,500英镑，因此该公司买进160份2000年9月到期的英镑期货，假定此时英镑期货价格为1英镑=1.6500美元。到2000年8月，该公司卖出160份2000年9月到期的英镑期货，同时买进160份2001年6月到期的英镑期货。假定此时平仓价和买进价分别为1.6550美元和1.6570美元。到2001年5月，该公司平仓6月期货，并买进160份2001年12月到期的英镑期货。假定当时平仓价和买进价分别为1.6600美元和1.6630美元。到2001年11月，该公司卖掉160份12月到期的英镑期货，同时在现货市场上买入1000万英镑用于还本付息。假定此时平仓价和现货价分别为1.6650美元和1.6655美元。
在本例中，该公司买进英镑的有效价格为：
1.6655+(1.6500-1.6550)+(1.6570-1.6600)+(1.6630-1.6650)=1.6555美元五、久期与套期保值从第十章关于久期的讨论中，我们知道，当市场利率变动时，债券价格的变动幅度取决于该债券的久期，而利率期货价格的变动幅度也取决于利率期货标的债券的久期，因此我们就可根据保值债券与标的债券的久期来计算套期比率。
令S和DS分别表示需进行套期保值资产的价格和久期，F表示利率期货的价格，DF表示期货合约标的债券的久期。根据久期的定义，当收益率曲线只发生平行移动，且收益率（y）是连续复利率时，
通过合理的近似，我们还可得到：
因此，为了对冲收益率变动对保值债券价值的影响，所需要的期货合约数（N）为：
（15.5）
这就是基于久期的套期比率。
例15.10
1999年11月20日，某基金管理者持有2000万美元的美国政府债券，他担心市场利率在未来6个月内将剧烈波动，因此他希望通过卖空2000年6月到期的长期国债期货合约，该合约目前市价为94—06，即94.1875美元，该合约规模为10万美元面值的长期国债，因此每份合约价值94,187.50美元。假设在未来6个月内，需保值的债券的平均久期为8.00，年又假定长期国债期货合约的交割最合算的债券是30年期年息票利率为13%的国债。未来6个月该债券平均久期为10.3年。请问他应卖空多少份长期国债期货？
根据式（15.5），他应卖空的期货合约数为：
份
应该注意的是，基于久期的套期保值是不完美的，存在着较多的局限性，它没有考虑债券价格与收益率关系曲线的凸度问题，而且它是建立在收益率曲线平移的假定上，因此在实际运用时要多加注意。
第四节 基于期权的套期保值
当我们运用衍生证券为标的资产或其它衍生证券进行套期保值时，一种较常用的方法就是分别算出保值工具与保值目标两者的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感性，然后建立适当数量的衍生证券头寸，组成套期保值组合，使组合中的保值工具与保值目标的价格变动能相互抵合。我们将在本节以期权为例来说明这种套期保值技术，这种保值技术称为动态套期保值。
一、Delta与套期保值衍生证券的Delta用于衡量衍生证券价格对标的资产价格变动的敏感度，它等于衍生证券价格变化与标的资产价格变化的比率。换句说说，衍生证券的Delta值等于衍生证券价格对标的资产价格的偏导数，它是衍生证券价格与标的资产价格关系曲线的斜率。
（一）Delta值的计算及特征令f表示衍生证券的价格，S表示标的资产的价格，表示衍生证券的Delta，则：
（15.6）
从第12章关于远期合约价值的计算公式可知,股票的远期合约的恒等于1。这意味着我们可用一股股票的远期合约空头（或多头）为一股股票多头（或空头）保值，且在合约有效期内，无需再调整合约数量。
根据布莱克——斯科尔斯无收益资产期权定价公式[即式（13.43）和式（13.44）]，我们可以算出无收益资产看涨期权的Delta值为：
无收益资产欧式看跌期权的Delta值为：
其中d1的定义与（13.43）相同。
根据累积标准正态分布函数的性质可知，，因此无收益资产看涨期权的总是大于0但小于1，而无收益资产欧式看跌期权的总是大于－1小于0。
从d1定义可知，期权的值取决于S、r、和T－t，根据期权价格曲线的形状（如图13.2和图13.3所示），我们可知无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值与标的资产价格的关系如图15.1（a）和（b）所示。
Delta Delta
1.0 0 S
0 S
-1.0
图15.1 无收益资产看涨期权和看跌期权的值与标的资产价格的关系
从N（d1）函数的特征还可得出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权在实值、平价和虚值三种状况下的值与到期期限之间的关系如图15.2(a)和(b)所示。
此外，无风险利率水平越高，无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值也越高，如图15.3（a）和（b）所示。
然而，标的资产价格 波动率（）对期权值的影响较难确定，它取决于无风险利率水平S与X的差距、期权有效期等因素。但可以肯定的是，对于较深度虚值 的看涨期权和较深度实值的看跌期权来说，是的递增函数，其图形与图15.3（a）和（b）相似。
对于支付已知红利率q（连续复利）的股价指数的欧式看涨期权来说，其值为：
对于支付已知红利率q股价指数的欧式看跌期权来说，其值为：
对于欧式外汇看涨期权而言，
对于欧式外汇看跌期权而言，
对于欧式期货看涨期权而言，
对于欧式期货看跌期权而言，
根据第5章的期货定价公式，我们也可算出各种期货合约的值：
无收益资产和支付已知现金收益资产的期货合约的值为：
支付已知收益率（q）资产期货合约的值为：
对于标的资产本身来说，其值等于1。
（二）证券组合的Delta值与Delta中性状态当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种衍生证券时，该证券组合的值就等于组合中各种衍生证券值的总和：
（15.7）
其中，wi表示第i种证券（或衍生证券）的数量，i表示第i种证券或衍生证券的值。
由于标的资产和衍生证券可取多头或空头，因此其值可正可负，这样，若组合内标的资产和衍生证券数量配合适当的说，整个组合的值就可能等于0。我们称值为0的证券组合处于Delta中性状态。
当证券组合处于中性状态时，组合的价值在一个短时间内就不受标的资产价格的影响，从而实现了瞬时套期保值，因此我们将使证券组合的值 等于0的套期保值法称为中性保值法。
例15.10
美国某公司持有100万英镑的现货头寸，假设当时英镑兑美元汇率为1英镑=1.6200美元，英国的无风险连续复利年利率为13%，美国为10%，英镑汇率的波动率每年15%。为防止英镑贬值，该公司打算用6个月期协议价格为1.6000美元的英镑欧式看跌期权进行保值，请问请该公司应买入多少该期权？
英镑欧式看跌期权的值为：
而英镑现货的值为+1，故100万英镑现货头寸的值为+100万。为了抵消现货头寸的值，该公司应买入的看跌期权数量等于：
万即，该公司要买入218.34万英镑的欧式看跌期权。
应该注意的是，投资者的保值组合维持在Delta中性状态只能维持一个相当短暂的时间。随着S、T－t、r和的变化，值也在不断变化，因此需要定期调整保值头寸以便使保值组合重新处于中性状态，这种调整称为再均衡（Rebalancing），而这些步骤调整需要较高的手续费，因此套期保值者应在成本与可容忍的风险之间进行权衡。
二、Theta与套期保值衍生证券的Theta（）用于衡量衍生证券价格对时间变化的敏感度，它等于衍生证券价格对时间t的偏导数：
（15.8）
对于无收益资产的欧式和美式看涨期权而言,
根据累积标准正态分布函数的特性，
因此，
对于无收益资产的欧式看跌期权而言，
对于支付已知收益率q的股价指数看涨期权而言，
对于支付已知收益率q的股价指数看跌期权而言，
将q换作，上述最后两个式就是外汇看涨期权和欧式外汇看跌期权Theta的公式。将q换作r，S换作F，可得期货看涨期权和欧式期权看跌期权的Theta公式。
当越来越临近到期日时，期权的时间价值越来越小，因此期权的Theta几乎总是负的①。
期权的Theta值同时受S、（T-t）、r和的影响。无收益资产看涨期权的的值与标的资产价格的关系曲线如图15.4所示。当S很小时，近似为0，当S在X附近时，很小。当S升高时，当S升高时，趋近于。
无收益资产看涨期权的值与（T－t）的关系跟（S－X）有很大关系（如图15.5所示）。
Theta值与套期保值没有直接的关系，但它与Delta及下文的Gamma值有较大关系。
三、Gamma与套期保值
（一）Gamma的计算及特征衍生证券的Gamma（）用于衡量该证券的Delta值对标的资产价格变化的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价格的二阶偏导数，也等于衍生证券的Delta对标的资产价格的一阶偏导数。
（15.9）
根据布莱克——斯科尔斯无收益资产期权定价公式，我们可以算出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值为：
无收益资产看涨期权的值总为正值，但它会随着S、（T－t）、r和的变化而变化。图15.6和15.7分别表示了它与S及（T－t）的关系。
从图15.6可以看出，当S在X附近时，值最大，即值对于S最敏感。从图15.7可以看出，对于平价期权来说，期权有效期很短时，Gamma值将非常大，即值对S非常敏感。
对于支付已知连续收益率q的 股价指数欧式看涨期权而言，
用替代上式的q，我们就可得到欧式外汇期权的Gamma计算公式，用r替换q，用F替换S，我们就可得欧式期货期权的Gamma计算公式。
对于标的资产及远期和期货合约来说，Gamma值均为0。
（二）证券组合的Gamma值与Gamma中性状态当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种衍生证券时，该证券组合的值就等于组合内各种衍生证券值的总和：
（15.10）
其中，wi表示第i种证券（或衍生证券）的数量，表示第i种证券（或衍生证券）的值。
由于标的资产远期和期货的值均为零，因此证券组合的值实际上等于该组合内各种期权的数量与其值乘积的总和。由于期权多头的值总是正的，而期权空头的值总是负的，因此若期权多头和空头数量配合适当的说，该组合的值就等于零。我们称值为零的证券组合处于Gamma中性状态。
证券组合的值可用于衡量中性保值法的保值误差。这是因为期权的值仅仅衡量标的资产价格S微小变动时期权价格的变动量，而期权价格与标的资产价格的关系曲线是一条曲线，因此当S变动量较大时，用估计出的期权价格的变动量与期权价格的实际变动量就会有偏差（如图15.8所示）。
从图15.8可以看出，当标的资产价格人S上涨到S1时，Delta中性保值法假设期权价格从c增加到c1，而实际上是从c增加到，c1和之间的误差就是Delta中性保值的误差。这种误差的大小取决于期权价格与标的资产价格之间关系曲线的曲度。值越大，该曲度就越大，中性保值误差就越大。
为了消除中性保值的误差，我们应使保值组合的中性化。为此应不断地根据原保值组合的值，买进或卖出适当数量标的资产的期权，以保持新组合中性，同时调整标的资产或期货合约的头寸，以保证新组合中性。
由于证券组合的值会随时间变化而变化，因此随时间流逝，我们要不断调整期权头寸和标的资产或期货头寸，才能保持保值组合处于中性和中性状态。
例15.11
假设某个中性的保值组合的值等于－5,000，该组合中标的资产的某个看涨期权多头的和值分别等于0.80和2.0。为使保值组合中性，并保持中性，该组合应购买多少份该期权，同时卖出多少份标的资产？
该组合应购入的看涨期权数量等于：
份由于购入2500份看涨期权后，新组合的值将由0增加到2,500(0.80=2,000。因此，为保持中性，应出售2,000份标的资产。
（三）Delta，Theta和Gamma 之间的关系在第13章，我们曾讨论过无收益资产的衍生证券价格f必须满足布莱克——斯科尔斯微分方程（式13.40），即：
根据我们在本节的定义，
因此有：
（15.11）
该公式对无收益资产的单个衍生证券和多个衍生证券组合都适用。
对于处于中性状态的组合来说，
这意味着，对于中性组合来说，若为负值并且绝对值很大时，将会为正值并且也很大。
对于处于中性和中性状态的组合来说，
=rf
这意味着，中性和中性组合的价值将随时间以无风险连续复利率的速度增长。
四、Vega与套期保值衍生证券的Vega（）用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价格波动率（）的偏导数，即：
（15.12）
证券组合的值等于该组合中各证券的数量与各证券的值乘积的总和。证券组合的值越大,说明其价值对波动率的变化越敏感.
标的资产远期和期货合约的Vega值等于零。
对于无收益资产看涨期权和欧式看跌期权而言，
对于支付已知连续收益率q的资产的欧式看涨期权和看跌期权而言，
如果用替换上式的q，上式就是欧式外汇期权的值计算公式；如果用r替换q，用F替换S，上式就是欧式期货期权的值计算公式。
应该注意的是，上述值都是根据布莱克——斯科尔斯期权定价公式（13.43）和（13.44）算出的，而这两个公式都假定为常数。因此上述这些公式都隐含着这样的前提：波动率为常数情况下的期权价格与波动率是变量情况下的期权价格是相等的。显然，这仅仅是一个近似的假定。
从上述公式可以看出，值总是正的，但其大小取决于S、（T－t）、r和。其中值与S的关系与的关系很相似（如图15.9所示）。
由于证券组合的值只取决于期权的值。因此我们可以通过持有某种期权的多头或空头来改变证券组合的值。只要期权的头寸适量，新组合的值就可以等于零，我们称此时证券组合处于中性状态。
遗憾的是，当我们调整期权头寸使证券组合处于中性状态时，新期权头寸会同时改变证券组合的值，因此，若套期保值者要使证券组合同时达到中性和中性，至少要使用同一标的资产的两种期权。
我们令和p分别代表原证券组合的值和值，1和2分别代表期权1和期权2的值， 1和2分别代表期权1和期权2的值，w1和 w2分别代表为使新组合处于中性和中性需要的期权1和2的数量，则w1和w2可用下述联立方程求得：
（15.13）
（15.14）
例15.12
假设某个处于Delta中性状态的证券组合的值为6,000，值为9,000，而期权1的值为0.8，值为2.2，值为0.9，期权2的值为1.0，值为1.6，值为0.6，求应持有多少期权头寸才能使该组合处于和中性状态？
根据式（15.13）、（15.14）我们有：
求解这个方程组得：w1( －6522，w2 (－653。因此，我们因加入6522份第一种期权的空头和653份第二种期权的空头才能使该组合处于和中性状态。
加上这两种期权头寸后，新组合的值为―6522(0.9―653(0.6=―6261.6。因此仍需买入6262份标的资产才能使该组合处于中性状态。
五、RHO与套期保值衍生证券的RHO用于衡量衍生证券价格对利率变化的敏感度，它等于衍生证券价格对利率的偏导数：
（15.15）
对于无收益资产看涨期权而言，
对于无收益资产欧式看跌期权而言，
我们只要按第13章的方法对d2的定义作适当调整，则上述公式也适用于支付连续收益率的股价指数和期货的欧式看涨期权和看跌期权。
对于外汇期权，由于存在两种利率：r和，因此就有两种rho值，即对应国内利率的rho值和对应国外利率的rho值，对应国内利率的rho的计算公式如前所述，对应国外利率的欧式外汇看涨期权的rho的计算公式为：
对应国外利率的欧式外汇看跌期权的rho值为：
期货价格的rho值为：
标的资产的rho值为0。因此我们可以通过改变期权或期货头寸来使证券组合处于rho中性状态。
六、交易费用与套期保值从前述的讨论可以看出，为了保持证券组合处于、、中性状态，必须不断调整组合。然而频繁的调整需要大量的交费费用。因此在实际运用中，套期保值者更倾向于使用、、、、和rho等参数来评估其证券组合的风险，然后根据他们对S、r、未来运动情况的估计，考虑是否有必要对证券组合进行调整。如果风险是可接受的，或对自己有利，则不调整，若风险对自己不利且是不可接受的，则进行相应调整。
第五节 基于互换的套期保值
互换可以用于规避利率和汇率风险，我们可从资产和负债两方面来考察互换的套期保值功能。
一、负债方的套期保值
（一）将固定利率负债转换成浮动利率负债若公司的资产为浮动利率，而负债为固定利率，或者公司认为未来利率将下降而其负债为固定利率，则该公司可以通过利率互换将固定利率负债转换成浮动利率负债。
（二）将浮动利率负债转换成固定利率负债若公司的资产为固定利率，而负债为浮动利率，或者公司认为利率将上升，而其负债为浮动利率，则该公司可以通过利率互换将浮动利率负债转换成固定利率负债。
（三）将外币的固定利率负债转换成本币的固定利率负债若公司的资产均为本币，而负债有一部分为外币，或者公司认为外币将升值，而其负债有一部分为外币，则该公司可以通过货币互换将外币负债转换成本币负债。
（四）将外币的浮动利率负债转换成本币的固定利率负债若公司的资产为本币，且收益为固定利率，而负债为外币浮动利率负债，或者公司认为外币将升值，而本币利率将上升，则该公司可通过交叉货币利率互换把外币的浮动利率负债转换成本币的固定利率负债。
（五）将外币的固定利率负债转换成本币的浮动利率负债若公司的资产为本币，且收益为浮动利率，而负债为外币固定利率负债，或者公司认为外币将升值，而本币利率将下降，则该公司可通过交叉货币利率互换把外币的固定利率负债转换成本币的浮动利率负债。
二、资产方的套期保值由于资产和负债是相对的概念，对一方来说是资产，对另一方来说则是负债。因此我们可以用与负债方套期保值同样的方法进行资产方的套期保值。由于原理相同，故不重复。
简短小结
1．套期保值是指已经面临价格风险的主体利用一种或几种套期保值工具试图抵消其所冒风险的行为。套期保值所能消除的风险仅限于利率风险、汇率风险和证券价格风险。
2．套期保值目标可分为双向套期保值和单向套期保值。前者可使用远期、期货、互换等衍生证券，后者可使用期权来实现。选择哪种套期保值目标取决于避险主体的风险厌恶程度和对未来价格走向的预期。
3．套期保值的效率指的是套期保值目标与实际结果之间的差距，它与套期保值的盈亏是不同的概念。
4．基于衍生证券的套期保值都有多头和空头套期保值之分，前者指运用多头，后者指运用空头进行套期保值。
5．当避险标的与避险工具不一致，或者避险期限与避险工具的期限不一致，或者避险者并不能确切知道避险期限时，避险者就得考虑基差风险、合约的选择、套期保值比率、久期等问题。
6．当某些情况下，通过远期和期货套期保值并不会完全消除价格风险，仍存在基差风险，但相对价格风险而言，基差风险小多了。
7．为了降低基差风险，在套期保值时要注意选择合适的标的资产和合适的交割月份。所选择的标的资产要与避险标的具有高度的相关性，交割月份则要与避险期限一致或略长。
8．最佳的套期比率（h）等于：
其中，表示需保值资产价格与避险工具期货价格之间的相关系数，表示需保值资产价格变动的标准差，表示期货价格变动的标准差。
9．基于久期的套期保值有一定局限性，它没有考虑凸性问题，而且是建立在收益率曲线平移的假定上。
10．动态套期保值就是分别算出保值工具与保值标的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感度，这些敏感度分别用、、、和rho表示，然后通过建立适当的保值工具的头寸，使保值组合处于、、和rho中性状态。
11．、、和rho中性状态只能维持一个相当短暂的时间。随着S、T－t、r和的变化，避险者需要定期调整保值头寸以便使保值组合重新处于中性状态。
12．由于频繁地进行动态套期保值需要较高的手续费，因此套期保值者应在成本与可容忍的风险之间进行权衡。
13．通过互换可以实现浮动利率与固定利率资产和负债的调整以及本币与外币资产和负债的调换。
习题：
1．美国某公司拥有一个系数为1.2、价值为1000万美元的投资组合，当时标准普尔500指数为900点，每份合约的规模为指数乘以250。请问该公司应如何应用标准普尔500指数期货在今后6个月中为投资组合提供完全的套期保值？
2．美国某公司打算用芝加哥商品交易所的期货合约为其德国马克头寸套期保值。假设美元和德国马克各种期限的利率均相等且不变并分别用r和rf表示，该公司保值时间为，期货合约到期时间为，请证明其最优保值比率为
3．假设现在是1月30日，你正管理一个价值600万美元的债券组合，该组合的平均久期为8.2年。美国芝加哥交易所9月份长期国债期货价格为108—15，期货到期时交割最合算债券的久期为7.6年。请问你应如何规避今后7个月利率变动的风险。
4．某银行发现其资产负债不匹配，其存款为浮动利率，贷款为固定利率，请问应如何应用互换来抵消这种风险？
5．假设你管理一个价值6000万美元的投资组合，其系数等于2.0，市场无风险利率为5%，标准普尔500指数为900，该指数和该组合每年的股息收益率都是3%，请问为了使该组合价值在1年内不低于5,400万美元，应购买什么期权对它套期保值？
6．某种不支付股息股票价格的年波动率为25%，市场无风险利率为10%，请计算该股票6个月期处于平价状态的欧式看涨期权的Delta值。
7．某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权，假设现在日元的汇率为1日元=0.80美分，期权的协议价格为0.81美分，美国和日本的无风险利率分别为8%和5%，日元的年波动率为15%，请计算该期权的Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho值。
8．某金融机构拥有如下柜台交易的英镑期权组合：
种类 头寸 期权的Delta 期权的Gamma 期权的Vega
看涨 ―1000 0.50 2.2 1.8
看涨 ―500 0.80 0.6 0.2
看跌 ―2000 ―0.40 1.3 0.7
看涨 ―500 0.70 1.8 1.4
现有一种可交易期权,其Delta值为0.6，Gamma值为1.5，Vega值为0.8，请问：(为使该组合处于Gamma和Delta中性状态，需要多少该可交易期权和英镑头寸？(为使该组合处于Vega和Delta中性状态，需要多少该可交易期权和英镑头寸？
9．在上题中，假设有第二种可交易期权，其Delta值为0.1，Gamma值为0.5，Vega值为0.6，请问应如何使该组合处于Delta、Gamma和Vega中性状态？
习题答案：
该公司应卖空的合约份数为：
1.2×10，000，000/(900×250)＝44.4(44份在时刻，期货价格和现货价格的关系为:
假设保值比率为h,则通过保值可以卖出的价格为：
如果，则卖出的价格恒等于hF0,这时保值组合的方差为0。也就证明了是最优保值比率。
每份期货合约的价值为108.46875×1，000＝108，468.75美元。应该卖空的合约份数为：
该银行可以与其他金融机构签订一份它支付固定利率、接受浮动利率的利率互换协议。
当该投资组合的价值降到5400万美元时，你的资本损失为10％。考虑到你在1年中得到了3％的现金红利，你的实际损失为7％。令E（RP）表示投资组合的预期收益率，E(RI)表示指数的预期收益率，根据资本资产定价模型有：
E(RP）-rf=β[E(RI)- rf]
因此当E(RP）＝－7％时，E(RI)＝[E(RP)-rf]/ β+ rf=-1%。由于指数1年的红利收益率等于3％，因此指数本身的预期变动率为－4%。因此，当组合的价值降到5400万美元时，指数的预期值为0.96×900＝864。因此应购买协议价格等于864、期限1年的欧式看跌期权来保值。所需的欧式看跌期权的数量为：
2×60，000，000/(900×100)＝1333份
其中每份期权的规模为100美元乘以指数点。
在本题中，S=X,r=0.1,σ=0.25,T-t=0.5,因此，
N(d1)=0.64。
该期权的Delta值为0.64。
在本题中，S=0.80,X=0.81,r=0.08,rf=0.05,T-t=0.5833
一份看涨期权的Delta值为：
由于
因此，一份看涨期权的Gamma值为：
一份看涨期权的Vega值为：
一份看涨期权的Theta值为：
一份看涨期权的Rho值为：
该组合的Delta值为：
-1000×0.50-500×0.80-2000×（-0.40）-500×0.70=-450
该组合的Gamma值为：
-1000×2.2-500×0.6-2000×1.3-500×1.8=-6000
该组合的Vega值为：
-1000×1.8-500×0.2-2000×0.7-500×1.4=-4000
（1）买进4000份该可交易期权就可得到Gamma中性组合，因为4000份该期权多头的Gamma值为4000×1.5=6000。买进期权后，整个组合的Delta值变为：
4000×0.6-450=1950。
为了使新组合同时处于Gamma和Delta中性，还得卖出1950英镑。
（2）买进5000份该可交易期权就可得到Vega中性组合，因为5000份该期权多头的Vega值为5000×0.8=4000。买进期权后，整个组合的Delta值变为：
5000×0.6-450=2550。
为了使新组合同时处于Gamma和Delta中性，还得卖出2550英镑。
令w1为第1种可交易期权的头寸，w2为第2种可交易期权的头寸，为了使该组合处于Gamma和Vega中性状态，w1和w2必须同时满足如下条件：
6000=1.5w1+0.5w2
4000=0.8w1+0.6w2
解得：w1=3200,w2=2400。此时整个组合的Delta值为：
-450+3200×0.6+2400×0.1=1710
因此，只要买进3200份第1种期权，2400份第2种期权，同时卖出1710英镑就可以使新组合同时处于Delta、Gamma和Vega中性状态。
