第十二章 远期和期货的定价
衍生金融工具的定价（Pricing）指的是确定衍生证券的理论价格，它既是市场参与者进行投机、套期保值和套利的依据，也是银行对场外交易的衍生金融工具提供报价的依据。从第十二章至第十三章，我们将分别介绍远期、期货和期权这三种基本衍生金融工具的定价方法。更复杂的衍生金融工具的定价可以据此推导出来。
第一节 远期价格和期货价格的关系一、基本的假设和符号
（一）基本的假设为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的：
1、没有交易费用和税收。
2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。
3、远期合约没有违约风险。
4、允许现货卖空行为。
5、当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。
6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。
（二）符号本章将要用到的符号主要有：
T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。
t：现在的时间,单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T－t代表远期和期货合约中以年为单位表示的剩下的时间。
S：标的资产在时间t时的价格。
ST：标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。
K：远期合约中的交割价格。
f：远期合约多头在t时刻的价值。
F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。
r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本章中，如无特别说明，利率均为连续复利。
二、远期价格和期货价格的关系根据罗斯等美国著名经济学家证明(，当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。
但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高则取决于标的资产价格与利率的相关性。
当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，而他可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率的变动而受到上述影响。因此在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。
远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。
此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。
在现实生活中，由于远期和期货价格与利率的相关性很低，以致期货和远期价格的差别可以忽略不计。在估计外汇期货和远期之间的合理差价时，康奈尔和莱因格纳②发现盯市所带来的收益太小了,以至于远期和期货价格几乎没有区别。因此在大多数情况下，我们仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。在以下的分析中，对远期合约的定价同样适用于期货合约。
第二节 无收益资产远期合约的定价无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券。
一、无套利定价法本章所用的定价方法为无套利定价法。其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。
例如，为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合：
组合A：一份远期合约③多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；
组合B：一单位标的资产。
在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K
在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。由此我们可以断定，这两种组合在t时刻的价值相等。即：
f+ Ke-r（T－t）=S
f=S－Ke-r（T－t） （12.1）
公式（12.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单、位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债组成。
本书所附光盘中有计算远期合约价值的软件。
二、现货-远期平价定理由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令（12.1）式中f=0，则
F=Ser（T－t）
（12.2 ）
这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem），或称现货期货平价定理(Spot-Futures Parity Theorem)。式（12.2）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。
本书所附光盘中有计算现货-远期平价的软件。
为了证明公式（12.2），我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。
假设F>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Se r（T－t），这就实现了F－Ser（T－t） 的无风险利润。
若F<Se r（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利润。
利用公式（12.1），我们可计算现有无收益证券远期合约的价值。
例12.1
设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为$960，6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为$940。则根据公式（12.1），我们可以算出该远期合约多头的价值为：
f=940-960e-0.5(0.06=$8.48
利用公式（12.2），我们可以算出无收益证券的远期合约中合理的交割价格。
例12.2
假设一年期的贴现债券价格为$960，3个月期无风险年利率为5%，则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为：
F=960e0.05(0.25=$972
三、远期价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为T到T*时刻的无风险远期利率。对于无收益资产而言，从公式（12.2）可知,
F=Ser（T－t）
两式相除消掉S后,
根据公式（5.7）,我们可以得到不同期限远期价格之间的关系：
(12.3)
读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期价格之间的关系。
第三节 支付已知现金收益资产远期合约的定价
一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已知现金红利的股票。黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可看成是负收益。我们令已知现金收益的现值为I，对黄、白银来说，I为负值。
为了给支付已知现金收益资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的现金;
组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日,本金为I 的负债。
从上节可知，组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。在组合B中，由于标的证券的收益刚好可以用来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即：
f+ Ke-r（T－t）=S-I
f=S-I- Ke-r（T－t） （12.4）
公式（12.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和I+Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。
例12.3
假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到$60的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。
根据已知条件，我们可以先算出该债券已知现金收益的现值：
I=60e-0.09(0.5+60e-0.10(1=111.65元
根据公式（12.4），我们可算出该远期合约多头的价值为：
f=990-111.65-1001e-0.1(1=-$27.39元
相应地，该合约空头的价值为27.39元。
根据F的定义，我们可从公式（12.4）中求得：
F=(S-I)er（T－t） （12.5）
这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。公式（12.5）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现货差额的终值。
例12.4
假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7%。则一年期黄金远期价格为：
F=(450-I)e0.07(1
其中,I=-2e-0.07(1=-1.865，故：
F=(450+1.865)(e0.07=484.6美元/盎司
我们同样可以用反证法来证明公式（12.5）。
首先假设F>(S-I)e r（T－t），即交割价格高于远期理论价格。这样，套利者就可以借入现金S，买入标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需要还本付息Ser（T－t），同时他将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier（T－t）的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)e r（T－t）。
其次再假设F<(S-I)er（T－t），即交割价格低于远期理论价格。这时，套利者可以借入标的资产卖掉，得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser（T－t），同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier（T－t）同时归还原所有者④。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润(S-T)er（T－t）-F。
从以上分析可以看出，当公式（12.5）不成立时，市场就会出现套利机会，套利者的套利行为将促成公式（12.5）成立。
二、中长期国债期货的定价中长期国债属附息票债券，属支付已知现金收益的证券，因此公式（12.4）和（12.5）适用于中长期国债期货的定价。只是由于其报价和交割制度的特殊性，使这些公式的运用较为复杂而已。
以下我们以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题，其结论也适用于中期国债期货。
（一）长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系长期国债期货的报价与现货一样，以美元和32分之一美元报出，所报价格是100美元面值债券的价格，由于合约规模为面值10万美元，因此90—25的报价意味着面值10万美元的报价是90，781.25美元。
应该注意的是，报价与购买者所支付的现金价格（Cash Price）是不同的。现金价格⑤与报价的关系为：
现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息 （12.6）
例如，假设现在是1999年11月5日，2016年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为94—28（即94.875）。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天，因此累计利息等于：
该国债的现金价格为：
94.875美元+2.674美元=97.549美元
（二）交割券与标准券的转换因子芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于15年且在15年内不可赎回的任何国债用于交割。由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为8%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子（Conversion Factor ）。转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天⑥的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因子由交易所计算并公布。
算出转换因子后，我们就可算出空方交割100美元面值的债券应收到的现金：
空方收到的现金=期货报价⑦(交割债券的转换因子+交割债券的累计利息 （12.7）
例12.5
某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为90—00，求空方用该债券交割应收到的现金。
首先，我们应计算转换因子。根据有关规则，假定该债券距到期日还有18年3个月。这样我们可以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上，此时债券的价值为：
由于转换因子等于该债券的现值减累计利息。因此我们还要把163.73美元贴现到现在的价值。由于3个月的利率等于，即1.9804%，因此该债券现在的价值为163.73/1.019804=160.55美元。
由于3个月累计利息等于3.5美元，因此转换因子为：
转换因子=160.55-3.5=157.05美元然后，我们可根据公式（12.7）算出空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为：
1000([（1.5705(90.00）+3.5]=144，845美元
（三）确定交割最合算的债券由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差别的，而空方可选择用于交割的国债多达30种左右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。
交割最合算债券就是购买交割券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。
交割差距=债券报价+累计利息—[（期货报价(转换因子）+累计利息]
=债券报价—（期货报价(转换因子） （12.8）
例 12.6
假设可供空头选择用于交割的三种国债的报价和转换因子如表12.1所示,而期货报价为93—16,即93.50美元。请确定交割最合算的债券。
表12.1 可供交割国债报价及其转换因子
国 债
报 价
转 换 因 子
1
144.50
1.5186
2
120.00
1.2614
3
99.80
1.0380
根据以上数据，我们可以求出各种国债的交割差距为：
国债1,144.50-(93.50(1.5186)=2.5109
国债2,120.00-(93.50(1.2614)=2.0591
国债3,99.80-(93.50(1.0380)=2.7470
由此可见，交割最合算的国债是国债2。
（四）国债期货价格的确定由于国债期货的空方拥有交割时间选择权和交割券种选择权，因此要精确地计算国债期货的理论价格也是较困难的。但是，如果我们假定交割最合算的国债和交割日期是已知的，那么我们可以通过以下四个步骤来确定国债期货价格：
1．根据交割最合算的国债的报价，运用式（12.6）算出该交割券的现金价格。
2．运用公式（12.5），根据交割券的现金价格算出交割券期货⑧理论上的现金价格。
3．运用公式（12.6）根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。
4．将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金价格⑨。
例 12.7
假定我们已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债，其现货报价为118美元，该国债期货的交割日为270天后。该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%（连续复利）。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。
首先，我们可以运用公式（12.6）求出交割券的现金价格为：
其次，我们要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。由于期货有效期内只有一次付息，是在122天（0.3342年）后支付7美元的利息，因此利息的现值为：
7e-0.3342(0.1=6.770美元再次，由于该期货合约的有效期还有270天（即0.7397年）我们可以运用公式（12.5）算出交割券期货理论上的现金价格为：
（120.308-7.770）(e0.7397(0.1=121.178美元再其次，我们要算出交割券期货的理论报价。由于交割时，交割券还有148天（即270-122天）的累计利息，而该次付息期总天数为183天（即305天-122天）运用公式（12.6），我们可求出交割券期货的理论报价为：
最后，我们可以求出标准券的期货报价：
第四节 支付已知收益率资产远期合约的定价
一、支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法支付已知收益率的资产是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。外汇是这类资产的典型代表，其收益率就是该外汇发行国的无风险利率。股价指数也可近似地看作是支付已知收益率的资产。因为虽然各种股票的红利率是可变的，但作为反映市场整体水平的股价指数，其红利率是较易预测的。远期利率协议和远期外汇综合协议也可看作是支付已知收益率资产的远期合约。
为了给出支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；
组合B：e-q（T－t）单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。
从第二节的分析可知，组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。组合B拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻T，正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也应相等，即：
（12.9）
公式（129）表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于e-q(T-t)单位证券的现值与交割价现值之差。或者说，一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由e-q（T－t）单位标的资产和Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。
根据远期价格的定义，我们可根据公式（12.9）算出支付已知收益率资产的远期价格：
（12.10）
这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。公式（12.10）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。
例12.8
假设S&P500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），连续复利的无风险利率为10%，3个月期S&P500指数期货的市价为1080点，求该期货的合约价值和期货的理论价格。
根据公式（12.9），我们可得：
由于S&P500指数合约规模为指数乘以500，因此一份该合约价值为-65.75(500=-32877美元。
根据公式（12.10），我们可求出S&P500指数期货的理论价格：
二、外汇远期和期货的定价外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用rf表示。
我们用S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，即S、K均为用直接标价法表示的外汇的汇率。根据公式（12.9），我们可以得出外汇远期合约的价值：
（12.11）
根据公式（12.10），我们可得到外汇远期和期货价格的确定公式：
（12.12）
这就是国际金融领域著名的利率平价关系。它表明，若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率；若外汇的利率小于本国的利率，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。
三、远期利率协议的定价由于远期利率协议是空方承诺在未来的某个时刻（T时刻）将一定数额的名义本金（A）按约定的合同利率（rK）在一定的期限（T*-T）贷给多方的远期协议，本金A在借贷期间会产生固定的收益率r,因此其属于支付已知收益率资产的远期合约。远期利率协议（FRA）的定价可以用更直截了当的方式。远期利率协议多方（即借入名义本金的一方）的现金流为：
T时刻：A
T*时刻：
这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值。为此，我们要先将T*时刻的现金流用T*-T期限的远期利率贴现到T时刻，再贴现到现在时刻t，即：
（12.13）
这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格（在这里为rK）。
因此理论上的远期利率（rF）应等于：
（12.14）
从第5章我们知道
代入公式（12.14）得：
（12.15）
例12.9
假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11%，本金为100万美元的2年(3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的合同利率等于多少?
根据公式（12.14）和公式（12.15），该合约理论上的合同利率为：
根据公式（12.13），该合约价值为：
四、远期外汇综合协议的定价根据第5章定义，远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（t时刻）约定买方在结算日（T时刻）按照合同中规定的结算日直接远期汇率（K）用第二货币向卖方买入一定名义金额（A）的原货币，然后在到期日（T*时刻）再按合同中规定的到期日直接远期汇率（K*）把一定名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方的协议。在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原货币的汇率。为论述方便，我们把原货币简称为外币，把第二货币简称为本币。
根据该协议，多头的现金流为：
T时刻：A单位外币减AK本币
T*时刻：AK*本币减A单位外币这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值（f）。为此，我们要先将本币和外币分别按相应期限的本币和外币无风险利率贴现成现值，再将外币现金流现值按t时刻的汇率（S）折成本币。我们令rf代表在T时刻到期的外币即期利率，r*f代表在T*时刻到期的外币即期利率，则：
（12.16）
由于远期汇率就是合约价值为零的协议价格（这里为K和K*），因此T时刻交割的理论远期汇率（F）和T*时刻交割的理论远期汇率（F*）分别为：
（12.17）
（12.18）
其结论与公式（12.12）是一致的。将公式（12.17）和（12.18）代入公式（12.16）得：
（12.19）
有的远期外汇综合协议直接用远期差价规定买卖原货币时所用的汇率，我们用W*表示T时刻到T*时刻的远期差价。根据第5章关于远期差价的定义，我们有W*=F*-F。将公式（12.17）和（12.18）代入，我们可以得到：
（12.20）
其中，和分别表示T时间到T*时刻本币和外币的远期利率。我们用W表示t时刻到T时刻的远期差价，我们可以得到：
W=F-S
（12.21）
例12.10 假设美国2年期即期年利率（连续复利，下同）为8%，3年期即期年利率为8.5%，日本2年期即期利率为6%，3年期即期利率为6.5%，日元对美元的即期汇率为0.0083美元/日元。本金1亿日元的2年(3年远期外汇综合协议的2年合同远期汇率为0.0089美元/日元，3年合同远期汇率为0.0092美元/日元，请问该合约的多头价值、理论上的远期汇率和远期差价等于多少？
根据公式（12.17），2年期理论远期汇率（F）为：
美元/日元根据公式（12.18），3年期理论远期汇率（F*）为：
美元/日元根据公式（12.20），2年(3年理论远期差价（W*）为：
美元/日元根据公式（12.21），2年期理论远期差价（W）为：
根据公式（12.19），该远期外汇综合协议多头价值（f）为：
第五节 期货价格与现货价格的关系
期货价格和现货价格之间相互关系可从两个角度去考察。一是期货价格和现在的现货价格的关系；一是期货价格与预期的未来现货价格的关系。
一、期货价格和现在的现货价格的关系从前几节的定价分析中我们看到，决定期货价格的最重要因素是现货价格。现货价格对期货价格的升跌起着重要的制约关系，正是这种制约关系决定了期货是不能炒作的。但是，如果现货市场不够大，从而使现货价格形不成对期货价格的有效制约的话期货市场就迟早会因恶性炒作而出问题。中国国债期货实验失败的重要原因之一就是没有足够庞大的国债现货市场来制约国债期货的炒作。
那么期货价格和现货价格到底存在什么关系呢？
期货价格和现货价格的关系可以用基差（Basis）来描述。所谓基差，是指现货价格与期货价格之差，即：
基差=现货价格—期货价格 （12.22）
基差可能为正值也可能为负值。但在期货合约到期日，基差应为零。这种现象称为期货价格收敛于标的资产的现货价格，如图5.2所示。
根据前几节的定价公式，当标的证券没有收益，或者已知现金收益较小、或者已知收益率小于无风险利率时，期货价格应高于现货价格如图5.2（a）所示；当标的证券的已知现金收益较大，或者已知收益率大于无风险利率时，期货价格应小于现货价格，如图5.2（b）所示。
但在期货价格收敛于现货市场的过程中，并不是一帆风顺的，也就是说，基差会随着期货价格和现货价格变动幅度的差距而变化。当现货价格的增长大于期货价格的增长时，基差也随之增加，称为基差增大。当期货价格的增长大于现货价格增长时，称为基差减少。
期货价格收敛于标的资产现货价格是由套利行为决定的。假定交割期间期货价格高于标的资产的现货价格，套利者就可以通过买入标的资产、卖出期货合约并进行交割来获利，从而促使现货价格上升，期货价格下跌。相反，如果交割期间现货价格高于期货价格，那么打算买入标的资产的人就会发现，买入期货合约等待空头交割比直接买入现货更合算，从而促使期货价格上升。
二、期货价格与预期的未来现货价格的关系我们以无收益资产为例来说明期货价格与预期的未来现货价格之间的关系。根据预期收益率的概念，我们有：
E（ST）=Sey(T-t) (12.23)
其中，E（ST）表示现在市场上预期的该资产在T时刻的市价，y表示该资产的连续复利预期收益率，t为现在时刻。
而
F=Ser(T-t) (12.24)
比较公式（12.23）和（12.24）可知，y和r的大小就决定了F和E（ST）孰大孰小。而y值的大小取决于标的资产的系统性风险。根据资本资产定价原理，若标的资产的系统性风险为0，则y=r，；若标的资产的系统性风险大于零，则y>r，；若标的资产的系统性风险小于零，则y<r，。在现实生活中，大多数标的资产的系统性风险都大于零，因此在大多数情况下，F都小于E（ST）。
对于有收益资产我们也可以得出同样的结论。
第六节 小结
1．当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，具有相同交割日的远期价格和期货价格应相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格应高于远期价格；当标的资产价格与利率呈负相关时，期货价格应低于远期价格。但在大多数情况下，我们均假定远期价格与期货价格相等。
2．无收益资产远期合约的价值为：
远期价格为：
对于美国100美元面值的国库券期货来说，
3．支付已知现金收益资产的远期合约价值为：
远期价格为：
4．由于长期国债期货报价与现金价格的不同，以及空头所拥有的时间选择权和交割债种选择权，长期国债期货价格的确定较为复杂。
5．支付已知收益率证券的远期合约价值为：
远期价格为：
当我们用外汇发行国的无风险利率代替q时，就可得到国际金融领域著名的利率平价关系：
6．远期利率协议多头的价值为：
为使远期利率协议价值为零，合同利率应等于：
7．远期外汇综合协议多头的价值为：
为使远期外汇综合协议价值为零，合约中规定的远期汇率和远期差价应等于：
8．随着交割月份的逼近，期货价格收敛于标的资产的现货价格。
9．对于系统性风险大于零的资产而言，期货价格应小于预期未来的现货价格。
本章重要概念
远期价格 期货价格 套利定价法 现金价格 转换因子 交割券 价格最合算债券 基差
习题：
1．假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。
2．假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息收益率为每年3%，求该指数4个月期的期货价格。
3．某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：(该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？(3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？
4．假设目前白银价格为每盎司80元，储存成本为每盎司每年2元，每3个月初预付一次，所有期限的无风险连续复利率均为5%，求9个月后交割的白银期货的价格。
5,有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期，这样它就希望与银行签订一种在一段时期中都可交割的远期合同。公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现金流。如果把你自己放在银行经理的位置上，你会如何对客户想要的这个产品进行定价?
6．有些学者认为，远期汇率是对未来汇率的无偏预测。请问在什么情况下这种观点是正确的？
7．一家银行为其客户提供了两种贷款选择，一是按年利率11%（一年计一次复利）贷出现金，一是按年利率2%（一年计一次复利）货出黄金。黄金贷款用黄金计算，并需用黄金归还本息。假设市场无风险连续复利年利率为9.25%。储存成本为每年0.5%（连续复利）。请问哪种贷款利率较低？
8．瑞士和美国两个月连续复利率分别为2%和7%，瑞士法郎的现货汇率为0.6500美元，2个月期的瑞士法郎期货价格为0.6600美元，请问有无套利机会？
9．一个存款帐户按连续复利年利率计算为12%，但实际上是每个季度支付利息的，请问10万元存款每个季度能得到多少利息？
10．股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数？请解释原因。
习题答案：
期货价格=20e0.1(0.25=20.51元。
指数期货价格=10000e(0.1-0.05)(3/12=10125.78点。
（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e-0.06(2/12+e-0.06(5/12=1.96元。
远期价格=(30-1.96)e0.06(0.5=28.89元。
若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价格为0。
（2）3个月后的2个月派发的1元股息的现值= e-0.06(2/12=0.99元。
远期价格=（35-0.99）e0.06(3/12=34.52元。
此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e-0.06(3/12=-5.55元。
9个月储藏成本的现值=0.5+0.5e-0.05(3/12+0.5e-0.05(6/12=1.48元。
白银远期价格=(80-1.48)e0.05(9/12=81.52元。
银行在定价时可假定客户会选择对银行最不利的交割日期。我们可以很容易证明，如果外币利率高于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最早的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最迟的交割日期。相反，如果外币利率低于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最迟的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最早的交割日期。只要在合约有效期中，外币利率和本币利率的高低次序不变，上述分析就没问题，银行可按这个原则定价。
但是当外币利率和本币利率较为接近时，两者的高低次序就有可能发生变化。因此，客户选择交割日期的权力就有特别的价值。银行应考虑这个价值。
如果合约签订后，客户不会选择最有利的交割日期，则银行可以另赚一笔。
只有当外币的系统性风险等于0时，上述说法才能成立。
将上述贷款利率转换成连续复利年利率，则正常贷款为10.44%,黄金贷款为1.98％。
假设银行按S元/盎司买了1盎司黄金，按1.98％的黄金利率贷给客户1年，同时卖出e0.0198盎司1年远期黄金，根据黄金的储存成本和市场的无风险利率，我们可以算出黄金的1年远期价格为Se0.0975元/盎司。也就是说银行1年后可以收到Se0.0198+0.0975=Se0.1173元现金。可见黄金贷款的连续复利收益率为11.73%。显然黄金贷款利率高于正常贷款。
瑞士法郎期货的理论价格为：
0.65e0.1667×(0.07-0.02)=0.06554
可见，实际的期货价格太高了。投资者可以通过借美元，买瑞士法郎，再卖瑞士法郎期货来套利。
与12％连续复利年利率等价的3个月计一次复利的年利率为：
4×（e0.03-1）=12.18%
因此，每个月应得的利息为：
10万×0.1218/4＝3045.5元。
由于股价指数的系统性风险为正，因此股价指数期货价格总是低于预期未来的指数值。
衍生金融工具的定价（Pricing）指的是确定衍生证券的理论价格，它既是市场参与者进行投机、套期保值和套利的依据，也是银行对场外交易的衍生金融工具提供报价的依据。从第十二章至第十三章，我们将分别介绍远期、期货和期权这三种基本衍生金融工具的定价方法。更复杂的衍生金融工具的定价可以据此推导出来。
第一节 远期价格和期货价格的关系一、基本的假设和符号
（一）基本的假设为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的：
1、没有交易费用和税收。
2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。
3、远期合约没有违约风险。
4、允许现货卖空行为。
5、当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。
6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。
（二）符号本章将要用到的符号主要有：
T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。
t：现在的时间,单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T－t代表远期和期货合约中以年为单位表示的剩下的时间。
S：标的资产在时间t时的价格。
ST：标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。
K：远期合约中的交割价格。
f：远期合约多头在t时刻的价值。
F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。
r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本章中，如无特别说明，利率均为连续复利。
二、远期价格和期货价格的关系根据罗斯等美国著名经济学家证明(，当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。
但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高则取决于标的资产价格与利率的相关性。
当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，而他可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率的变动而受到上述影响。因此在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。
远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。
此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。
在现实生活中，由于远期和期货价格与利率的相关性很低，以致期货和远期价格的差别可以忽略不计。在估计外汇期货和远期之间的合理差价时，康奈尔和莱因格纳②发现盯市所带来的收益太小了,以至于远期和期货价格几乎没有区别。因此在大多数情况下，我们仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。在以下的分析中，对远期合约的定价同样适用于期货合约。
第二节 无收益资产远期合约的定价无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券。
一、无套利定价法本章所用的定价方法为无套利定价法。其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。
例如，为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合：
组合A：一份远期合约③多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；
组合B：一单位标的资产。
在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K
在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。由此我们可以断定，这两种组合在t时刻的价值相等。即：
f+ Ke-r（T－t）=S
f=S－Ke-r（T－t） （12.1）
公式（12.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单、位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债组成。
本书所附光盘中有计算远期合约价值的软件。
二、现货-远期平价定理由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令（12.1）式中f=0，则
F=Ser（T－t）
（12.2 ）
这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem），或称现货期货平价定理(Spot-Futures Parity Theorem)。式（12.2）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。
本书所附光盘中有计算现货-远期平价的软件。
为了证明公式（12.2），我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。
假设F>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Se r（T－t），这就实现了F－Ser（T－t） 的无风险利润。
若F<Se r（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利润。
利用公式（12.1），我们可计算现有无收益证券远期合约的价值。
例12.1
设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为$960，6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为$940。则根据公式（12.1），我们可以算出该远期合约多头的价值为：
f=940-960e-0.5(0.06=$8.48
利用公式（12.2），我们可以算出无收益证券的远期合约中合理的交割价格。
例12.2
假设一年期的贴现债券价格为$960，3个月期无风险年利率为5%，则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为：
F=960e0.05(0.25=$972
三、远期价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为T到T*时刻的无风险远期利率。对于无收益资产而言，从公式（12.2）可知,
F=Ser（T－t）
两式相除消掉S后,
根据公式（5.7）,我们可以得到不同期限远期价格之间的关系：
(12.3)
读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期价格之间的关系。
第三节 支付已知现金收益资产远期合约的定价
一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已知现金红利的股票。黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可看成是负收益。我们令已知现金收益的现值为I，对黄、白银来说，I为负值。
为了给支付已知现金收益资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的现金;
组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日,本金为I 的负债。
从上节可知，组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。在组合B中，由于标的证券的收益刚好可以用来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即：
f+ Ke-r（T－t）=S-I
f=S-I- Ke-r（T－t） （12.4）
公式（12.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和I+Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。
例12.3
假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到$60的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。
根据已知条件，我们可以先算出该债券已知现金收益的现值：
I=60e-0.09(0.5+60e-0.10(1=111.65元
根据公式（12.4），我们可算出该远期合约多头的价值为：
f=990-111.65-1001e-0.1(1=-$27.39元
相应地，该合约空头的价值为27.39元。
根据F的定义，我们可从公式（12.4）中求得：
F=(S-I)er（T－t） （12.5）
这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。公式（12.5）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现货差额的终值。
例12.4
假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7%。则一年期黄金远期价格为：
F=(450-I)e0.07(1
其中,I=-2e-0.07(1=-1.865，故：
F=(450+1.865)(e0.07=484.6美元/盎司
我们同样可以用反证法来证明公式（12.5）。
首先假设F>(S-I)e r（T－t），即交割价格高于远期理论价格。这样，套利者就可以借入现金S，买入标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需要还本付息Ser（T－t），同时他将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier（T－t）的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)e r（T－t）。
其次再假设F<(S-I)er（T－t），即交割价格低于远期理论价格。这时，套利者可以借入标的资产卖掉，得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser（T－t），同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier（T－t）同时归还原所有者④。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润(S-T)er（T－t）-F。
从以上分析可以看出，当公式（12.5）不成立时，市场就会出现套利机会，套利者的套利行为将促成公式（12.5）成立。
二、中长期国债期货的定价中长期国债属附息票债券，属支付已知现金收益的证券，因此公式（12.4）和（12.5）适用于中长期国债期货的定价。只是由于其报价和交割制度的特殊性，使这些公式的运用较为复杂而已。
以下我们以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题，其结论也适用于中期国债期货。
（一）长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系长期国债期货的报价与现货一样，以美元和32分之一美元报出，所报价格是100美元面值债券的价格，由于合约规模为面值10万美元，因此90—25的报价意味着面值10万美元的报价是90，781.25美元。
应该注意的是，报价与购买者所支付的现金价格（Cash Price）是不同的。现金价格⑤与报价的关系为：
现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息 （12.6）
例如，假设现在是1999年11月5日，2016年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为94—28（即94.875）。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天，因此累计利息等于：
该国债的现金价格为：
94.875美元+2.674美元=97.549美元
（二）交割券与标准券的转换因子芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于15年且在15年内不可赎回的任何国债用于交割。由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为8%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子（Conversion Factor ）。转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天⑥的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因子由交易所计算并公布。
算出转换因子后，我们就可算出空方交割100美元面值的债券应收到的现金：
空方收到的现金=期货报价⑦(交割债券的转换因子+交割债券的累计利息 （12.7）
例12.5
某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为90—00，求空方用该债券交割应收到的现金。
首先，我们应计算转换因子。根据有关规则，假定该债券距到期日还有18年3个月。这样我们可以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上，此时债券的价值为：
由于转换因子等于该债券的现值减累计利息。因此我们还要把163.73美元贴现到现在的价值。由于3个月的利率等于，即1.9804%，因此该债券现在的价值为163.73/1.019804=160.55美元。
由于3个月累计利息等于3.5美元，因此转换因子为：
转换因子=160.55-3.5=157.05美元然后，我们可根据公式（12.7）算出空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为：
1000([（1.5705(90.00）+3.5]=144，845美元
（三）确定交割最合算的债券由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差别的，而空方可选择用于交割的国债多达30种左右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。
交割最合算债券就是购买交割券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。
交割差距=债券报价+累计利息—[（期货报价(转换因子）+累计利息]
=债券报价—（期货报价(转换因子） （12.8）
例 12.6
假设可供空头选择用于交割的三种国债的报价和转换因子如表12.1所示,而期货报价为93—16,即93.50美元。请确定交割最合算的债券。
表12.1 可供交割国债报价及其转换因子
国 债
报 价
转 换 因 子
1
144.50
1.5186
2
120.00
1.2614
3
99.80
1.0380
根据以上数据，我们可以求出各种国债的交割差距为：
国债1,144.50-(93.50(1.5186)=2.5109
国债2,120.00-(93.50(1.2614)=2.0591
国债3,99.80-(93.50(1.0380)=2.7470
由此可见，交割最合算的国债是国债2。
（四）国债期货价格的确定由于国债期货的空方拥有交割时间选择权和交割券种选择权，因此要精确地计算国债期货的理论价格也是较困难的。但是，如果我们假定交割最合算的国债和交割日期是已知的，那么我们可以通过以下四个步骤来确定国债期货价格：
1．根据交割最合算的国债的报价，运用式（12.6）算出该交割券的现金价格。
2．运用公式（12.5），根据交割券的现金价格算出交割券期货⑧理论上的现金价格。
3．运用公式（12.6）根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。
4．将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金价格⑨。
例 12.7
假定我们已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债，其现货报价为118美元，该国债期货的交割日为270天后。该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%（连续复利）。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。
首先，我们可以运用公式（12.6）求出交割券的现金价格为：
其次，我们要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。由于期货有效期内只有一次付息，是在122天（0.3342年）后支付7美元的利息，因此利息的现值为：
7e-0.3342(0.1=6.770美元再次，由于该期货合约的有效期还有270天（即0.7397年）我们可以运用公式（12.5）算出交割券期货理论上的现金价格为：
（120.308-7.770）(e0.7397(0.1=121.178美元再其次，我们要算出交割券期货的理论报价。由于交割时，交割券还有148天（即270-122天）的累计利息，而该次付息期总天数为183天（即305天-122天）运用公式（12.6），我们可求出交割券期货的理论报价为：
最后，我们可以求出标准券的期货报价：
第四节 支付已知收益率资产远期合约的定价
一、支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法支付已知收益率的资产是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。外汇是这类资产的典型代表，其收益率就是该外汇发行国的无风险利率。股价指数也可近似地看作是支付已知收益率的资产。因为虽然各种股票的红利率是可变的，但作为反映市场整体水平的股价指数，其红利率是较易预测的。远期利率协议和远期外汇综合协议也可看作是支付已知收益率资产的远期合约。
为了给出支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；
组合B：e-q（T－t）单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。
从第二节的分析可知，组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。组合B拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻T，正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也应相等，即：
（12.9）
公式（129）表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于e-q(T-t)单位证券的现值与交割价现值之差。或者说，一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由e-q（T－t）单位标的资产和Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。
根据远期价格的定义，我们可根据公式（12.9）算出支付已知收益率资产的远期价格：
（12.10）
这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。公式（12.10）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。
例12.8
假设S&P500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），连续复利的无风险利率为10%，3个月期S&P500指数期货的市价为1080点，求该期货的合约价值和期货的理论价格。
根据公式（12.9），我们可得：
由于S&P500指数合约规模为指数乘以500，因此一份该合约价值为-65.75(500=-32877美元。
根据公式（12.10），我们可求出S&P500指数期货的理论价格：
二、外汇远期和期货的定价外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用rf表示。
我们用S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，即S、K均为用直接标价法表示的外汇的汇率。根据公式（12.9），我们可以得出外汇远期合约的价值：
（12.11）
根据公式（12.10），我们可得到外汇远期和期货价格的确定公式：
（12.12）
这就是国际金融领域著名的利率平价关系。它表明，若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率；若外汇的利率小于本国的利率，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。
三、远期利率协议的定价由于远期利率协议是空方承诺在未来的某个时刻（T时刻）将一定数额的名义本金（A）按约定的合同利率（rK）在一定的期限（T*-T）贷给多方的远期协议，本金A在借贷期间会产生固定的收益率r,因此其属于支付已知收益率资产的远期合约。远期利率协议（FRA）的定价可以用更直截了当的方式。远期利率协议多方（即借入名义本金的一方）的现金流为：
T时刻：A
T*时刻：
这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值。为此，我们要先将T*时刻的现金流用T*-T期限的远期利率贴现到T时刻，再贴现到现在时刻t，即：
（12.13）
这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格（在这里为rK）。
因此理论上的远期利率（rF）应等于：
（12.14）
从第5章我们知道
代入公式（12.14）得：
（12.15）
例12.9
假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11%，本金为100万美元的2年(3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的合同利率等于多少?
根据公式（12.14）和公式（12.15），该合约理论上的合同利率为：
根据公式（12.13），该合约价值为：
四、远期外汇综合协议的定价根据第5章定义，远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（t时刻）约定买方在结算日（T时刻）按照合同中规定的结算日直接远期汇率（K）用第二货币向卖方买入一定名义金额（A）的原货币，然后在到期日（T*时刻）再按合同中规定的到期日直接远期汇率（K*）把一定名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方的协议。在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原货币的汇率。为论述方便，我们把原货币简称为外币，把第二货币简称为本币。
根据该协议，多头的现金流为：
T时刻：A单位外币减AK本币
T*时刻：AK*本币减A单位外币这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值（f）。为此，我们要先将本币和外币分别按相应期限的本币和外币无风险利率贴现成现值，再将外币现金流现值按t时刻的汇率（S）折成本币。我们令rf代表在T时刻到期的外币即期利率，r*f代表在T*时刻到期的外币即期利率，则：
（12.16）
由于远期汇率就是合约价值为零的协议价格（这里为K和K*），因此T时刻交割的理论远期汇率（F）和T*时刻交割的理论远期汇率（F*）分别为：
（12.17）
（12.18）
其结论与公式（12.12）是一致的。将公式（12.17）和（12.18）代入公式（12.16）得：
（12.19）
有的远期外汇综合协议直接用远期差价规定买卖原货币时所用的汇率，我们用W*表示T时刻到T*时刻的远期差价。根据第5章关于远期差价的定义，我们有W*=F*-F。将公式（12.17）和（12.18）代入，我们可以得到：
（12.20）
其中，和分别表示T时间到T*时刻本币和外币的远期利率。我们用W表示t时刻到T时刻的远期差价，我们可以得到：
W=F-S
（12.21）
例12.10 假设美国2年期即期年利率（连续复利，下同）为8%，3年期即期年利率为8.5%，日本2年期即期利率为6%，3年期即期利率为6.5%，日元对美元的即期汇率为0.0083美元/日元。本金1亿日元的2年(3年远期外汇综合协议的2年合同远期汇率为0.0089美元/日元，3年合同远期汇率为0.0092美元/日元，请问该合约的多头价值、理论上的远期汇率和远期差价等于多少？
根据公式（12.17），2年期理论远期汇率（F）为：
美元/日元根据公式（12.18），3年期理论远期汇率（F*）为：
美元/日元根据公式（12.20），2年(3年理论远期差价（W*）为：
美元/日元根据公式（12.21），2年期理论远期差价（W）为：
根据公式（12.19），该远期外汇综合协议多头价值（f）为：
第五节 期货价格与现货价格的关系
期货价格和现货价格之间相互关系可从两个角度去考察。一是期货价格和现在的现货价格的关系；一是期货价格与预期的未来现货价格的关系。
一、期货价格和现在的现货价格的关系从前几节的定价分析中我们看到，决定期货价格的最重要因素是现货价格。现货价格对期货价格的升跌起着重要的制约关系，正是这种制约关系决定了期货是不能炒作的。但是，如果现货市场不够大，从而使现货价格形不成对期货价格的有效制约的话期货市场就迟早会因恶性炒作而出问题。中国国债期货实验失败的重要原因之一就是没有足够庞大的国债现货市场来制约国债期货的炒作。
那么期货价格和现货价格到底存在什么关系呢？
期货价格和现货价格的关系可以用基差（Basis）来描述。所谓基差，是指现货价格与期货价格之差，即：
基差=现货价格—期货价格 （12.22）
基差可能为正值也可能为负值。但在期货合约到期日，基差应为零。这种现象称为期货价格收敛于标的资产的现货价格，如图5.2所示。
根据前几节的定价公式，当标的证券没有收益，或者已知现金收益较小、或者已知收益率小于无风险利率时，期货价格应高于现货价格如图5.2（a）所示；当标的证券的已知现金收益较大，或者已知收益率大于无风险利率时，期货价格应小于现货价格，如图5.2（b）所示。
但在期货价格收敛于现货市场的过程中，并不是一帆风顺的，也就是说，基差会随着期货价格和现货价格变动幅度的差距而变化。当现货价格的增长大于期货价格的增长时，基差也随之增加，称为基差增大。当期货价格的增长大于现货价格增长时，称为基差减少。
期货价格收敛于标的资产现货价格是由套利行为决定的。假定交割期间期货价格高于标的资产的现货价格，套利者就可以通过买入标的资产、卖出期货合约并进行交割来获利，从而促使现货价格上升，期货价格下跌。相反，如果交割期间现货价格高于期货价格，那么打算买入标的资产的人就会发现，买入期货合约等待空头交割比直接买入现货更合算，从而促使期货价格上升。
二、期货价格与预期的未来现货价格的关系我们以无收益资产为例来说明期货价格与预期的未来现货价格之间的关系。根据预期收益率的概念，我们有：
E（ST）=Sey(T-t) (12.23)
其中，E（ST）表示现在市场上预期的该资产在T时刻的市价，y表示该资产的连续复利预期收益率，t为现在时刻。
而
F=Ser(T-t) (12.24)
比较公式（12.23）和（12.24）可知，y和r的大小就决定了F和E（ST）孰大孰小。而y值的大小取决于标的资产的系统性风险。根据资本资产定价原理，若标的资产的系统性风险为0，则y=r，；若标的资产的系统性风险大于零，则y>r，；若标的资产的系统性风险小于零，则y<r，。在现实生活中，大多数标的资产的系统性风险都大于零，因此在大多数情况下，F都小于E（ST）。
对于有收益资产我们也可以得出同样的结论。
第六节 小结
1．当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，具有相同交割日的远期价格和期货价格应相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格应高于远期价格；当标的资产价格与利率呈负相关时，期货价格应低于远期价格。但在大多数情况下，我们均假定远期价格与期货价格相等。
2．无收益资产远期合约的价值为：
远期价格为：
对于美国100美元面值的国库券期货来说，
3．支付已知现金收益资产的远期合约价值为：
远期价格为：
4．由于长期国债期货报价与现金价格的不同，以及空头所拥有的时间选择权和交割债种选择权，长期国债期货价格的确定较为复杂。
5．支付已知收益率证券的远期合约价值为：
远期价格为：
当我们用外汇发行国的无风险利率代替q时，就可得到国际金融领域著名的利率平价关系：
6．远期利率协议多头的价值为：
为使远期利率协议价值为零，合同利率应等于：
7．远期外汇综合协议多头的价值为：
为使远期外汇综合协议价值为零，合约中规定的远期汇率和远期差价应等于：
8．随着交割月份的逼近，期货价格收敛于标的资产的现货价格。
9．对于系统性风险大于零的资产而言，期货价格应小于预期未来的现货价格。
本章重要概念
远期价格 期货价格 套利定价法 现金价格 转换因子 交割券 价格最合算债券 基差
习题：
1．假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。
2．假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息收益率为每年3%，求该指数4个月期的期货价格。
3．某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：(该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？(3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？
4．假设目前白银价格为每盎司80元，储存成本为每盎司每年2元，每3个月初预付一次，所有期限的无风险连续复利率均为5%，求9个月后交割的白银期货的价格。
5,有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期，这样它就希望与银行签订一种在一段时期中都可交割的远期合同。公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现金流。如果把你自己放在银行经理的位置上，你会如何对客户想要的这个产品进行定价?
6．有些学者认为，远期汇率是对未来汇率的无偏预测。请问在什么情况下这种观点是正确的？
7．一家银行为其客户提供了两种贷款选择，一是按年利率11%（一年计一次复利）贷出现金，一是按年利率2%（一年计一次复利）货出黄金。黄金贷款用黄金计算，并需用黄金归还本息。假设市场无风险连续复利年利率为9.25%。储存成本为每年0.5%（连续复利）。请问哪种贷款利率较低？
8．瑞士和美国两个月连续复利率分别为2%和7%，瑞士法郎的现货汇率为0.6500美元，2个月期的瑞士法郎期货价格为0.6600美元，请问有无套利机会？
9．一个存款帐户按连续复利年利率计算为12%，但实际上是每个季度支付利息的，请问10万元存款每个季度能得到多少利息？
10．股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数？请解释原因。
习题答案：
期货价格=20e0.1(0.25=20.51元。
指数期货价格=10000e(0.1-0.05)(3/12=10125.78点。
（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e-0.06(2/12+e-0.06(5/12=1.96元。
远期价格=(30-1.96)e0.06(0.5=28.89元。
若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价格为0。
（2）3个月后的2个月派发的1元股息的现值= e-0.06(2/12=0.99元。
远期价格=（35-0.99）e0.06(3/12=34.52元。
此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e-0.06(3/12=-5.55元。
9个月储藏成本的现值=0.5+0.5e-0.05(3/12+0.5e-0.05(6/12=1.48元。
白银远期价格=(80-1.48)e0.05(9/12=81.52元。
银行在定价时可假定客户会选择对银行最不利的交割日期。我们可以很容易证明，如果外币利率高于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最早的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最迟的交割日期。相反，如果外币利率低于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最迟的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最早的交割日期。只要在合约有效期中，外币利率和本币利率的高低次序不变，上述分析就没问题，银行可按这个原则定价。
但是当外币利率和本币利率较为接近时，两者的高低次序就有可能发生变化。因此，客户选择交割日期的权力就有特别的价值。银行应考虑这个价值。
如果合约签订后，客户不会选择最有利的交割日期，则银行可以另赚一笔。
只有当外币的系统性风险等于0时，上述说法才能成立。
将上述贷款利率转换成连续复利年利率，则正常贷款为10.44%,黄金贷款为1.98％。
假设银行按S元/盎司买了1盎司黄金，按1.98％的黄金利率贷给客户1年，同时卖出e0.0198盎司1年远期黄金，根据黄金的储存成本和市场的无风险利率，我们可以算出黄金的1年远期价格为Se0.0975元/盎司。也就是说银行1年后可以收到Se0.0198+0.0975=Se0.1173元现金。可见黄金贷款的连续复利收益率为11.73%。显然黄金贷款利率高于正常贷款。
瑞士法郎期货的理论价格为：
0.65e0.1667×(0.07-0.02)=0.06554
可见，实际的期货价格太高了。投资者可以通过借美元，买瑞士法郎，再卖瑞士法郎期货来套利。
与12％连续复利年利率等价的3个月计一次复利的年利率为：
4×（e0.03-1）=12.18%
因此，每个月应得的利息为：
10万×0.1218/4＝3045.5元。
由于股价指数的系统性风险为正，因此股价指数期货价格总是低于预期未来的指数值。
