随机信号分析教师：那景芳引 言随机信号分析 是一门研究随机变化过程的特点与规律性的学科。
本课程主要介绍随机信号分析和处理的基本概念、基本理论和基本方法。
应用领域：雷达、通信、自动控制、随机振动、地震信号处理、图像处理、气象预报、生物电子等本课程基础：,概率论,,,信号与系统,
后续课程：,通信系统原理,及从事统计信号处理研究第一章 概率与随机变量
1.1 随机事件及其概率
1.1.1 随机现象现象：
第一类：确定的、可以预测的第二类：随机的、不可预测的第一类现象称之为 必然现象 或 确定性现象,这类现象在一定的条件下进行多次重复试验，必然产生同一结果。
第二类现象称之为 随机现象,是指在相同条件下进行多次重复试验，
有多种可能的结果，但在试验前不能准确预言它的结果。
在相同条件下，对同一随机现象进行大量的重复试验，就会呈现出确定的规律性－－统计规律性。
概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的数学学科。
1.1.2 随机试验为了掌握随机现象的统计规律，
就必须对随机现象进行大量观测或试验。
例 1：抛硬币试验 E1：抛一枚硬币，
观察其正面 H，反面 T出现的情况。
例 2：掷骰子试验 E2：掷一颗骰子，
观察出现的点数。
例 3：产品抽样测试试验 E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
这些试验均具有以下三个特点：
（ 1）试验可以在相同条件下重复进行
（ 2）试验有多种可能结果，并且事先明确知道该试验的所有可能的结果
（ 3）每次试验出现哪个结果，是不能准确预言的将具有以上三个特点的试验称为随机试验,简称 试验,常用 E来表示。
1.1.3 随机事件在随机试验的结果中，可能发生也可能不发生，但在大量重复试验中，
却具有某种规律性的事件，叫做 随机事件,简称为 事件 。
随机试验的每一种可能出现的结果都是一个随机事件，它们是该试验的最简单的随机事件。通常称这种简单的、不可再分割的随机事件为 基本事件 。
在试验 E中必然会发生的事件叫做 必然事件 。
不可能发生的事件就叫做 不可能事件 。
必然事件和不可能事件没有不确定性，它们是一种特殊的随机事件。
1.1.4 样本空间随机试验 E的所有基本事件所组成的集合叫 E的 样本空间,记为 S。
S中的元素就是试验 E的基本事件，
这里基本事件也称为 样本点 。
由于随机事件是基本事件，或由基本事件所组成的，故引入样本空间 S后，
试验 E的事件是样本空间 S的子集。
1.1.5 事件之间的关系与运算在一个随机试验中，可以观测到很多事件，它们各有特点，而且彼此之间又有一定的联系。
1）子事件若事件 A发生必然导致事件 B发生，则称事件 A是事件 B的子事件，
或称事件 A含于事件 B中（或 B包含
A），记为
ABBA
2）两事件相等若事件 A含于事件 B，事件 B也含于事件 A，即则称事件 A与事件 B相等，记为
ABBA
BA?
3）和事件事件 A与事件 B至少有一个发生，
这一事件称为事件 A与 B的和（或 A与 B
的并），记为
BABA
k
n
k
n AAAA
1
21
类似地，事件 A1,A2,…,A n中至少有一个发生，这一事件称为事件 A1,A2,…,
An的和，记为
4）积事件事件 A与事件 B同时发生，这一事件称为事件 A与 B的积（或 A与 B之交），
记为
BAAB?
k
n
k
n AAAA
1
21
类似地，可以定义 Ak（ k=1,2,…,n ）的交，
5）差事件事件 A发生而事件 B不发生，这一事件称为 A与 B之差，记为
BA?
6）互不相容事件若事件 A与事件 B不能同时发生，
亦即,则称 A与 B不相容。显然，基本事件是互不相容的。
AB
7）逆事件若事件 A与 B中必然有一个发生，
且仅有一个发生，即 A,B满足条件：
则称 A与 B互逆，又称 A是 B的对立事件
（或 B是 A的对立事件），记为
AB
SBA
ABBA
1.1.6 随机事件的频率和概率
1）随机事件的频率一般地，在同样条件下，大量进行重复试验，来观察事件 A发生或不发生。若在 n次独立试验中，随机事件
A出现 nA次，比值称为事件 A在这 n次试验中出现的频率。
n
nAf A
n?)(
数 P(A)是客观存在的，即对于每一随机事件 A总有这样一个数 P(A)与之相对应。因此，用稳定值 P(A)来刻划事件 A发生的可能性的大小是比较恰当的。
2) 概率的定义设 E是随机试验,S是它的样本空间，对于 E的每一事件赋予一实数，
记为 P(A)，称之为事件 A的概率，显然，
)()( n
n
nAP A
由于概率是频率的稳定值，因而对任何随机事件 A，有
1)(0 AP
0)(1)( PSP
对于必然事件 S和不可能事件，
则有前面提到的,抛硬币,,,掷骰子,
试验，它们具有两个共同的特点：
（ 1）试验的样本空间中元素只有有限个
（ 2）试验中每个基本事件出现的可能性相同一般地，设试验 E的样本空间为
S={e1,e2,…,en}，如果每一个基本事件的概率相等，即则称这类试验为 等可能概型,又叫古典概型 。
)()()( 21 nePePeP
对于等可能概型，由于 S=e1+ e2+… + en
则有故有
),,2,1(
1)()(
ni
enPSP i
n
eP i
1
)(?
因此，在等可能概型中，若事件
A包含 k个基本事件，则有
n
k
AP?)(
3）概率的性质性质 1（有限可加性） 设有有限个两两互不相容事件 A1,A2,…,An，则
n
i
i
n
i
i APAP
11
)()(
性质 2 设 A为任一随机事件，则
)(1)( APAP
性质 3 设 A,B为任意两事件，则
)()()(
)()()()(
ABPAPBAP
ABPBPAPBAP
1.2 条件概率与统计独立
1.2.1 条件概率事件在一定条件下发生的情况，
即在一个事件发生的条件下另一事件发生的概率，这就是条件概率问题。
定义 设 A,B为随机试验的两个事件，且 P(A)>0，则称为事件 A发生的条件下事件 B发生的条件概率。
)(
)(
)|(
AP
ABP
ABP?
类似地，有 [P(B)>0]
)(
)(
)|(
BP
ABP
BAP?
1.2.2 乘法定理乘法定理：
设 P(B)>0，则有若 P(A)>0，则有
)()|()( BPBAPABP?
)()|()( APABPABP?
乘法定理可以推广到 n个事件之积的情况。设 A1,A2,…,An为 n个事件
(n>=2)，且 P(An| A1,A2,…,An-1)>0则有
)|()|()|()(
)(
121213121
21
nn
n
AAAAPAAAPAAPAP
AAAP
1.2.3 全概率公式
1,完备事件组若事件 A1,A2,…,An两两互不相容，且则称 A1,A2,…,An构成一个 完备事件组 。
SA
n
i
i
1
虽然，事件 A1,A2,…,An可以不是基本事件，而随机试验 E的所有基本事件构成一个完备事件组。
2,全概率公式若某个事件可能在多种情况下发生，而且它在各种情况下发生的可能性也知道，试问该事件发生的,总的可能性,或,全部可能性,多大？
设 B为 E的事件,A1,A2,…,A n构成 E的完备事件组,B发生，只能与事件 A1,A2,…,
An中的一个同时发生，且仅能与它们之一同时发生，现在要确定 B发生的概率。
全概率公式设 n个事件 A1,A2,…,An构成随机试验 E的一个完备事件组，且
P(Ai)>0,B为随机试验 E的一个事件，
则
n
i
ii ABPAPBP
1
)|()()(
例：对飞机进行三次独立的射击，
第一次射击的命中率是 0.4，第二次是 0.5，第三次是 0.7。飞机中一弹坠落的概率为 0.2，中二弹而坠落的概率是 0.6，若中三弹，则必然被击落。
求射击三弹而击落飞机的概率。
解：
假设事件
B1－有一弹击中飞机 A1－第一次击中飞机
B2－有二弹击中飞机 A2－第二次击中飞机
B3－有三弹击中飞机 A3－第三次击中飞机
A－飞机被击落可看出,B1,B2,B3为互不相容事件；
而 A1,A2,A3为相互独立，但相容事件。
根据题意已知现在所求的是 P(A)：
即要求 P(B1),P(B2),P(B3)。
1)|(,6.0)|(,2.0)|(
7.0)(,5.0)(,4.0)(
321
321
BAPBAPBAP
APAPAP
)|()()|()()|()()( 332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP
可以看出通过分析知,A1,A2,A3为相互独立，但相容事件，而则是不相容的，有
3213
3213213212
3213213211
AAAB
AAAAAAAAAB
AAAAAAAAAB
321321321,,AAAAAAAAA
14.0)(
41.0)(
36.0
7.0*5.0*6.03.0*5.0*6.03.0*5.0*4.0
)()()()()()()()()(
)()()(
)()(
3
2
321321321
321321321
3213213211
BP
BP
APAPAPAPAPAPAPAPAP
AAAPAAAPAAAP
AAAAAAAAAPBP
即飞机被击落的概率为 0.458
4 5 8.0
1*14.06.0*41.02.0*36.0
)|()()|()()|()()(
332211
BAPBPBAPBPBAPBPAP
1.2.4 贝叶斯公式现在有这样一个问题：在全概率公式的命题中，若事件 B已经发生，
求事件 Ai的概率，即求 P(A1|B)，
P(A2|B),…,P(An|B)的大小。
经推导得贝叶斯公式为
n
j
jj
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)|()(
)|()(
)|(
定义 对于事件 A与 B，若则称 事件 A与 B相互独立,简称 独立 。
)()()( BPAPABP?
1.2.5 事件的独立性关于两个事件的独立性，有如下定理：
定理 1：当 P(A)>0,P(B)>0时，事件 A与事件 B相互独立的充分必要条件是或 )()|( )()|( APBAP BPABP
定理 2：若事件 A与 B相互独立，则下列三对事件：
也相互独立。
BABABA,;,;,
定理 3：不可能事件及必然事件与任何事件 A独立。
本课程主要介绍随机信号分析和处理的基本概念、基本理论和基本方法。
应用领域：雷达、通信、自动控制、随机振动、地震信号处理、图像处理、气象预报、生物电子等本课程基础：,概率论,,,信号与系统,
后续课程：,通信系统原理,及从事统计信号处理研究第一章 概率与随机变量
1.1 随机事件及其概率
1.1.1 随机现象现象：
第一类：确定的、可以预测的第二类：随机的、不可预测的第一类现象称之为 必然现象 或 确定性现象,这类现象在一定的条件下进行多次重复试验，必然产生同一结果。
第二类现象称之为 随机现象,是指在相同条件下进行多次重复试验，
有多种可能的结果，但在试验前不能准确预言它的结果。
在相同条件下，对同一随机现象进行大量的重复试验，就会呈现出确定的规律性－－统计规律性。
概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的数学学科。
1.1.2 随机试验为了掌握随机现象的统计规律，
就必须对随机现象进行大量观测或试验。
例 1：抛硬币试验 E1：抛一枚硬币，
观察其正面 H，反面 T出现的情况。
例 2：掷骰子试验 E2：掷一颗骰子，
观察出现的点数。
例 3：产品抽样测试试验 E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
这些试验均具有以下三个特点：
（ 1）试验可以在相同条件下重复进行
（ 2）试验有多种可能结果，并且事先明确知道该试验的所有可能的结果
（ 3）每次试验出现哪个结果，是不能准确预言的将具有以上三个特点的试验称为随机试验,简称 试验,常用 E来表示。
1.1.3 随机事件在随机试验的结果中，可能发生也可能不发生，但在大量重复试验中，
却具有某种规律性的事件，叫做 随机事件,简称为 事件 。
随机试验的每一种可能出现的结果都是一个随机事件，它们是该试验的最简单的随机事件。通常称这种简单的、不可再分割的随机事件为 基本事件 。
在试验 E中必然会发生的事件叫做 必然事件 。
不可能发生的事件就叫做 不可能事件 。
必然事件和不可能事件没有不确定性，它们是一种特殊的随机事件。
1.1.4 样本空间随机试验 E的所有基本事件所组成的集合叫 E的 样本空间,记为 S。
S中的元素就是试验 E的基本事件，
这里基本事件也称为 样本点 。
由于随机事件是基本事件，或由基本事件所组成的，故引入样本空间 S后，
试验 E的事件是样本空间 S的子集。
1.1.5 事件之间的关系与运算在一个随机试验中，可以观测到很多事件，它们各有特点，而且彼此之间又有一定的联系。
1）子事件若事件 A发生必然导致事件 B发生，则称事件 A是事件 B的子事件，
或称事件 A含于事件 B中（或 B包含
A），记为
ABBA
2）两事件相等若事件 A含于事件 B，事件 B也含于事件 A，即则称事件 A与事件 B相等，记为
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3）和事件事件 A与事件 B至少有一个发生，
这一事件称为事件 A与 B的和（或 A与 B
的并），记为
BABA
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n
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1
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类似地，事件 A1,A2,…,A n中至少有一个发生，这一事件称为事件 A1,A2,…,
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4）积事件事件 A与事件 B同时发生，这一事件称为事件 A与 B的积（或 A与 B之交），
记为
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类似地，可以定义 Ak（ k=1,2,…,n ）的交，
5）差事件事件 A发生而事件 B不发生，这一事件称为 A与 B之差，记为
BA?
6）互不相容事件若事件 A与事件 B不能同时发生，
亦即,则称 A与 B不相容。显然，基本事件是互不相容的。
AB
7）逆事件若事件 A与 B中必然有一个发生，
且仅有一个发生，即 A,B满足条件：
则称 A与 B互逆，又称 A是 B的对立事件
（或 B是 A的对立事件），记为
AB
SBA
ABBA
1.1.6 随机事件的频率和概率
1）随机事件的频率一般地，在同样条件下，大量进行重复试验，来观察事件 A发生或不发生。若在 n次独立试验中，随机事件
A出现 nA次，比值称为事件 A在这 n次试验中出现的频率。
n
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数 P(A)是客观存在的，即对于每一随机事件 A总有这样一个数 P(A)与之相对应。因此，用稳定值 P(A)来刻划事件 A发生的可能性的大小是比较恰当的。
2) 概率的定义设 E是随机试验,S是它的样本空间，对于 E的每一事件赋予一实数，
记为 P(A)，称之为事件 A的概率，显然，
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由于概率是频率的稳定值，因而对任何随机事件 A，有
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对于必然事件 S和不可能事件，
则有前面提到的,抛硬币,,,掷骰子,
试验，它们具有两个共同的特点：
（ 1）试验的样本空间中元素只有有限个
（ 2）试验中每个基本事件出现的可能性相同一般地，设试验 E的样本空间为
S={e1,e2,…,en}，如果每一个基本事件的概率相等，即则称这类试验为 等可能概型,又叫古典概型 。
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对于等可能概型，由于 S=e1+ e2+… + en
则有故有
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性质 3 设 A,B为任意两事件，则
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1.2 条件概率与统计独立
1.2.1 条件概率事件在一定条件下发生的情况，
即在一个事件发生的条件下另一事件发生的概率，这就是条件概率问题。
定义 设 A,B为随机试验的两个事件，且 P(A)>0，则称为事件 A发生的条件下事件 B发生的条件概率。
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类似地，有 [P(B)>0]
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1.2.2 乘法定理乘法定理：
设 P(B)>0，则有若 P(A)>0，则有
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乘法定理可以推广到 n个事件之积的情况。设 A1,A2,…,An为 n个事件
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1.2.3 全概率公式
1,完备事件组若事件 A1,A2,…,An两两互不相容，且则称 A1,A2,…,An构成一个 完备事件组 。
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1
虽然，事件 A1,A2,…,An可以不是基本事件，而随机试验 E的所有基本事件构成一个完备事件组。
2,全概率公式若某个事件可能在多种情况下发生，而且它在各种情况下发生的可能性也知道，试问该事件发生的,总的可能性,或,全部可能性,多大？
设 B为 E的事件,A1,A2,…,A n构成 E的完备事件组,B发生，只能与事件 A1,A2,…,
An中的一个同时发生，且仅能与它们之一同时发生，现在要确定 B发生的概率。
全概率公式设 n个事件 A1,A2,…,An构成随机试验 E的一个完备事件组，且
P(Ai)>0,B为随机试验 E的一个事件，
则
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1
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例：对飞机进行三次独立的射击，
第一次射击的命中率是 0.4，第二次是 0.5，第三次是 0.7。飞机中一弹坠落的概率为 0.2，中二弹而坠落的概率是 0.6，若中三弹，则必然被击落。
求射击三弹而击落飞机的概率。
解：
假设事件
B1－有一弹击中飞机 A1－第一次击中飞机
B2－有二弹击中飞机 A2－第二次击中飞机
B3－有三弹击中飞机 A3－第三次击中飞机
A－飞机被击落可看出,B1,B2,B3为互不相容事件；
而 A1,A2,A3为相互独立，但相容事件。
根据题意已知现在所求的是 P(A)：
即要求 P(B1),P(B2),P(B3)。
1)|(,6.0)|(,2.0)|(
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可以看出通过分析知,A1,A2,A3为相互独立，但相容事件，而则是不相容的，有
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即飞机被击落的概率为 0.458
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1.2.4 贝叶斯公式现在有这样一个问题：在全概率公式的命题中，若事件 B已经发生，
求事件 Ai的概率，即求 P(A1|B)，
P(A2|B),…,P(An|B)的大小。
经推导得贝叶斯公式为
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ii
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1.2.5 事件的独立性关于两个事件的独立性，有如下定理：
定理 1：当 P(A)>0,P(B)>0时，事件 A与事件 B相互独立的充分必要条件是或 )()|( )()|( APBAP BPABP
定理 2：若事件 A与 B相互独立，则下列三对事件：
也相互独立。
BABABA,;,;,
定理 3：不可能事件及必然事件与任何事件 A独立。
