1.6 随机变量的特征函数
1.6.1 特征函数的定义随机变量 X的 特征函数 就是由 X组成的一个新的随机变量 ejwX的数学期望，即
][)( XjX eE
离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为




dxxfeeE
xXPeeE
X
xjXj
X
i
i
xjXj
X
i
)(][)(
}{][)(




随机变量 X的 第二特征函数 定义为特征函数的对数，即
)(ln)( XX?
对二维随机变量，可用类似的方法定义特征函数
2121
21
2211
),(
),(
dxdxexxf
xjxj
X
X





21212
21
2211),(
4
1
),(


dde
xxf
xjxj
X
X




第二特征函数 定义为
),(ln),( 2121 XX?
例 1：设随机变量 X的概率分布为求 X的特征函数。
1
}0{}1{


qp
qXPpXP
例 2：设随机变量 X服从标准正态分布
N(0,1)，即求 X的特征函数。
2
2
2
1
)(
x
X exf
1.6.2 特征函数的性质性质 1：
1)0()( X
性质 2：若 Y=aX+b,a和 b为常数,Y
的特征函数为
)()( ae XbjY
性质 3：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，
即若则
N
n
nXY
1
N
n
XY n
1
)()(
1.6.3 特征函数与矩函数的关系矩函数与特征函数之间存在如下关系：
0
0
|
)(
)(][
|
)(
][




n
X
n
nn
X
d
d
jXE
d
d
jXE
例 3：设随机变量 Y服从正态分布
，用特征函数求随机变量 Y的各阶矩。
),( 2YYmN?
例 4：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量 X1,X2之和的概率密度。