1.3 随机变量及其概率分布
1.3.1 随机变量的概念
E1抛硬币：可能出现正面或反面；
E2从一批产品中任取 10件，抽到的废品数可能是 0,1,2,…,10中的一个数；
E3掷骰子：可能出现 1,2,3,4,5,6点定义 设随机试验的样本空间为 S＝ {ei}，
如果对样本空间的每一个元素 ei，都有一实数 X(ei)与之对应，对所有的元素
，就得到一个定义在空间 S上的实单值函数 X(e)，称 X(e)为 随机变量,简写为 X。
Se?
1.3.2 离散型随机变量及其分布律如果随机变量 X只能取有限个或可列无穷多个数值，则称 X为 离散型随机变量 。
定义 设 X为一个离散型随机变量，它所有可能取的值为 xk(k=1,2,…),而 pk (k=1,2,…)
是 X取值 xk时相应的概率，即或写成则称上式或表格表示的函数为离散型随机变量 X的 概率分布,或称为 X的 分布律 。
),2,1(}{ kpxXP kk
X
P
x1 x2 … xk …
p1 p2 … pk …
1.3.3 连续型随机变量对于可以在某一区间内任意取值的随机变量，它的值不是集中在有限个或可列无穷个点上，这就是 连续型随机变量 。
1.3.4 概率分布函数定义 设 X是一随机变量,x是任意实数，函数称为 X的 概率分布函数,简称为 分布函数 。（对连续和离散随机变量都适用）
),(}{)( xxXPxF
根据分布函数的定义，可得下面的基本性质：
性质 1：满足
1)(0 xF
性质 2,F(x)是单调非减函数，即当则有
21 xx?
)()( 21 xFxF?
性质 3：
)(1}{ xFxXP
性质 4：随机变量 X在区间上取值的概率为
21 xXx
)()(}{ 1221 xFxFxXxP
性质 5：
1)(,0)( FF
性质 6,F(x)右连续，即
)()( xFxF
对于离散随机变量的分布函数，
除满足以上性质外，还具有阶梯形式，
即
1
1
)(
)(}{)(
i
ii
i
i
i
xxUp
xxUxXPxF
1.3.5 概率密度函数概率密度函数定义为概率分布函数
F(x)对 x的导数，即有时简称为 密度函数 。
dx
xdF
xf
)(
)(?
对于离散随机变量，其概率密度函数为
i
ii xxpdx
xdF
xf )(
)(
)(?
根据概率分布函数的性质，可得到概率密度的性质：
性质 1：概率密度函数非负
0)(?xf
性质 2：概率密度函数在 (x1,x2)区间积分，得到该区间的取值概率
2
1
)(}{ 21
x
x
dxxfxXxP
性质 3：概率密度函数在整个取值区间积分为 1，即
1)( dxxf
1.3.6 二维随机变量及其分布
1.二维随机变量及其分布函数定义 设随机试验 E的样本空间 S={e}，
X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在样本空间 S
上的两个随机变量，由 X和 Y构成的矢量 (X,Y)称为 二维随机矢量 或 二维随机变量 。
定义 设 (X,Y)为二维随机变量，对于任意实数 x和 y，令则称 FXY(x,y)为二维随机变量 (X,Y)的联合分布函数,或称 二维分布函数 。
},{),( yYxXPyxF XY
二维分布函数 FXY(x,y)的性质：
性质 1：
1),(0 yxF XY
性质 2：对于任意固定的 x和 y，分布函数满足
1),(,0),(
0),(,0),(
XYXY
XYXY
FF
xFyF
性质 3：对于每个变量,FXY(x,y)都是单调非减的，即当 y2>y1时当 x2>x1时
),(),( 12 yxFyxF XYXY?
),(),( 12 yxFyxF XYXY?
如果二维随机变量的可能取值为有限个或可列无穷个，则称 (X,Y)为 二维离散型随机变量 。
对于二维离散型随机变量，有
pij称为 (X,Y)的 联合概率分布列,简称为 分布列 。
ijji pyYxXP },{
2.二维概率密度定义 若二维分布函数 FXY(x,y)连续并存在二阶偏导数，则定义为 (x,y)的 二维联合概率密度,简称为二维概率密度 。
yx
yxF
yxf XYXY
),(
),(
2
二维概率密度具有以下性质：
性质 1：
0),(?yxf XY
性质 2：
1),(
d x d yyxf XY
性质 3：
d x d yyxf
yYyxXxP
x
x
y
y
XY
2
1
2
1
),(
},{
2121
例：设 (X,Y)的联合密度函数求
0
0,0
),(
)( yxe
yxf
yx
XY
}10,10{ YXP
3.边缘分布定义 设 FXY(x,y)为二维随机变量 (X,Y)
的分布函数，令则称 FX (x),FY(y)分别为 (X,Y)关于 X
和 Y的边缘分布函数，简称为 X和 Y的边缘分布函数 。
),()(
),()(
yFyF
xFxF
Y
X
将分别称 fX(x)和 fY(y)为 X和 Y的 边缘概率密度函数 。
dxyxfyf
dyyxfxf
XYY
XYX
),()(
),()(
4.随机变量的独立性定义 设 X,Y为两个随机变量，如果对任意实数 x和 y，事件和 相互独立，即则称 X和 Y相互独立 。
}{ xX?
}{ yY?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
5.条件分布在 的条件下，随机变量 Y的 条件概率分布函数 和 条件概率密度函数可分别表示为
xX?
)(
),(
)|(
)(
),(
)|(
xf
yxf
xyf
xF
yxF
xyF
X
XY
Y
X
XY
Y
1.3.7 n维随机变量及其分布定义 n维随机变量的 n维（联合）分布函数 为
),,,( 21 nXXX?
},,,{
),,,(
2211
21
nn
n
xXxXxXP
xxxF
定义 设 为 n维随机变量 的 n维分布函数，如果它的 n阶混合偏导数存在，
那么定义为 n维随机变量的 n维概率密度 。
),,,( 21 nxxxF?
),,,( 21 nXXX?
n
n
n
n
xxx
xxxF
xxxf
21
21
21
),,,(
),,,(
n维随机变量相互统计独立的充要条件为：对于所有的满足
),,,( 21 nXXX?
)()()(),,,( 2121 nn xfxfxfxxxf
1.3.1 随机变量的概念
E1抛硬币：可能出现正面或反面；
E2从一批产品中任取 10件，抽到的废品数可能是 0,1,2,…,10中的一个数；
E3掷骰子：可能出现 1,2,3,4,5,6点定义 设随机试验的样本空间为 S＝ {ei}，
如果对样本空间的每一个元素 ei，都有一实数 X(ei)与之对应，对所有的元素
，就得到一个定义在空间 S上的实单值函数 X(e)，称 X(e)为 随机变量,简写为 X。
Se?
1.3.2 离散型随机变量及其分布律如果随机变量 X只能取有限个或可列无穷多个数值，则称 X为 离散型随机变量 。
定义 设 X为一个离散型随机变量，它所有可能取的值为 xk(k=1,2,…),而 pk (k=1,2,…)
是 X取值 xk时相应的概率，即或写成则称上式或表格表示的函数为离散型随机变量 X的 概率分布,或称为 X的 分布律 。
),2,1(}{ kpxXP kk
X
P
x1 x2 … xk …
p1 p2 … pk …
1.3.3 连续型随机变量对于可以在某一区间内任意取值的随机变量，它的值不是集中在有限个或可列无穷个点上，这就是 连续型随机变量 。
1.3.4 概率分布函数定义 设 X是一随机变量,x是任意实数，函数称为 X的 概率分布函数,简称为 分布函数 。（对连续和离散随机变量都适用）
),(}{)( xxXPxF
根据分布函数的定义，可得下面的基本性质：
性质 1：满足
1)(0 xF
性质 2,F(x)是单调非减函数，即当则有
21 xx?
)()( 21 xFxF?
性质 3：
)(1}{ xFxXP
性质 4：随机变量 X在区间上取值的概率为
21 xXx
)()(}{ 1221 xFxFxXxP
性质 5：
1)(,0)( FF
性质 6,F(x)右连续，即
)()( xFxF
对于离散随机变量的分布函数，
除满足以上性质外，还具有阶梯形式，
即
1
1
)(
)(}{)(
i
ii
i
i
i
xxUp
xxUxXPxF
1.3.5 概率密度函数概率密度函数定义为概率分布函数
F(x)对 x的导数，即有时简称为 密度函数 。
dx
xdF
xf
)(
)(?
对于离散随机变量，其概率密度函数为
i
ii xxpdx
xdF
xf )(
)(
)(?
根据概率分布函数的性质，可得到概率密度的性质：
性质 1：概率密度函数非负
0)(?xf
性质 2：概率密度函数在 (x1,x2)区间积分，得到该区间的取值概率
2
1
)(}{ 21
x
x
dxxfxXxP
性质 3：概率密度函数在整个取值区间积分为 1，即
1)( dxxf
1.3.6 二维随机变量及其分布
1.二维随机变量及其分布函数定义 设随机试验 E的样本空间 S={e}，
X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在样本空间 S
上的两个随机变量，由 X和 Y构成的矢量 (X,Y)称为 二维随机矢量 或 二维随机变量 。
定义 设 (X,Y)为二维随机变量，对于任意实数 x和 y，令则称 FXY(x,y)为二维随机变量 (X,Y)的联合分布函数,或称 二维分布函数 。
},{),( yYxXPyxF XY
二维分布函数 FXY(x,y)的性质：
性质 1：
1),(0 yxF XY
性质 2：对于任意固定的 x和 y，分布函数满足
1),(,0),(
0),(,0),(
XYXY
XYXY
FF
xFyF
性质 3：对于每个变量,FXY(x,y)都是单调非减的，即当 y2>y1时当 x2>x1时
),(),( 12 yxFyxF XYXY?
),(),( 12 yxFyxF XYXY?
如果二维随机变量的可能取值为有限个或可列无穷个，则称 (X,Y)为 二维离散型随机变量 。
对于二维离散型随机变量，有
pij称为 (X,Y)的 联合概率分布列,简称为 分布列 。
ijji pyYxXP },{
2.二维概率密度定义 若二维分布函数 FXY(x,y)连续并存在二阶偏导数，则定义为 (x,y)的 二维联合概率密度,简称为二维概率密度 。
yx
yxF
yxf XYXY
),(
),(
2
二维概率密度具有以下性质：
性质 1：
0),(?yxf XY
性质 2：
1),(
d x d yyxf XY
性质 3：
d x d yyxf
yYyxXxP
x
x
y
y
XY
2
1
2
1
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},{
2121
例：设 (X,Y)的联合密度函数求
0
0,0
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)( yxe
yxf
yx
XY
}10,10{ YXP
3.边缘分布定义 设 FXY(x,y)为二维随机变量 (X,Y)
的分布函数，令则称 FX (x),FY(y)分别为 (X,Y)关于 X
和 Y的边缘分布函数，简称为 X和 Y的边缘分布函数 。
),()(
),()(
yFyF
xFxF
Y
X
将分别称 fX(x)和 fY(y)为 X和 Y的 边缘概率密度函数 。
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XYY
XYX
),()(
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4.随机变量的独立性定义 设 X,Y为两个随机变量，如果对任意实数 x和 y，事件和 相互独立，即则称 X和 Y相互独立 。
}{ xX?
}{ yY?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
5.条件分布在 的条件下，随机变量 Y的 条件概率分布函数 和 条件概率密度函数可分别表示为
xX?
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)|(
)(
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xF
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X
XY
Y
X
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1.3.7 n维随机变量及其分布定义 n维随机变量的 n维（联合）分布函数 为
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},,,{
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2211
21
nn
n
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定义 设 为 n维随机变量 的 n维分布函数，如果它的 n阶混合偏导数存在，
那么定义为 n维随机变量的 n维概率密度 。
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n
n
n
n
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xxxF
xxxf
21
21
21
),,,(
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n维随机变量相互统计独立的充要条件为：对于所有的满足
),,,( 21 nXXX?
)()()(),,,( 2121 nn xfxfxfxxxf
