2.3 随机过程的微分与积分
2.3.1 随机收敛和随机连续性设有随机变量 X及随机变量序列 {Xn}
(n=1,2,… ),均有二阶矩，且则称 随机变量序列 {Xn} 依均方收敛于 X，
或者说，随机变量 X是随机变量序列 {Xn}
在 n趋于无穷时的均方极限。
0])[(lim 2

XXE n
n
如果随机变量序列 {Xn}满足那么该 序列 k阶收敛于 X。
00])[(lim

kXXE kn
n
若随机过程 X(t)满足则 X(t)在 t时刻均方意义下连续 。
0]))()([(lim 2
0


tXttXE
t
若 R(t1,t2)沿直线 t1=t2处处连续，则随机过程 X(t)处处均方连续。
从随机过程 X(t)的均方连续性，可推得，
X(t)的数学期望必然是连续的，即
)]([)]([lim
0
tXEttXE
t


2.3.2 随机过程的微分
1,定义如果随机过程 X’(t)满足则称 X(t)在 t时刻具有均方导数 X’(t)。
0])}(')()([{lim 2
0



tX
t
tXttXE
t
t
tXttXmil
dt
tdXtX
t?


)()(..)()('
0
判断随机过程的导数存在与否，可采用柯西判别准则，即如果则 X(t)的导数存在。
0]}
)()()()(
[{lim 2
2
2
1
1
0,21


t
tXttX
t
tXttX
E
tt
2,均方可微的条件（导数存在的条件）
可推导出，随机过程 X(t)均方可微的充分条件是：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶偏导数，即存在
21
|
),(
21
21
2
tt
X
tt
ttR

只有当随机过程连续，即相关函数
R(t1,t2)在 t1=t2时连续，且有存在，则随机过程在均方意义下存在导数。
21
|
),(
21
21
2
tt
X
tt
ttR

3,随机过程导数运算的法则设用 Y(t)表示随机过程 X(t)的均方导数，
即
Y(t)的数学期望
dt
tdXtXtY )()(')(
dt
tdmtYE X )()]([?
Y(t)的相关函数
21
21
2
21
),(
),(
tt
ttR
ttR XY

2.2.3 随机过程的积分
1,随机过程的积分当把积分区间 [a,b]分成 n个小区间,
当 时，令
Y就定义为 X(t)在均方意义下的积分。
it?
n itt m a x
0}])({[lim 2
1
0

i
n
i
it ttXYE
当随机过程通过线性时不变系统时，
其输出应为输入与系统冲激响应的卷积，即
dthXtY )()()(

2,随机过程均方积分的运算法则设 Y为随机过程的均方积分，即
Y的均值
ba dttXY )(
ba X dttmYE )(][
Y的方差
2121
2 ),( dtdtttCb
a
b
a XY

随机过程积分的相关函数随机过程的变上限积分
')',(),( 1 2
0 021
ddRttR
t t
XY
dXtY t
0
)()(