1.5 随机变量的函数变换这个函数关系的含义为：在随机试验 E中，设样本空间为 S={ei}，对每一个试验结果 ei,对应于 X的某个取值
X(ei)，相应地指定一个 Y(ei)，且 Y(ei)
与 X(ei)有如下关系：
显然,Y的概率特性与 X是有关系的。
)]([)( ii eXgeY?
1.5.1 一维变换若随机变量 X,Y满足下列函数关系如果 X与 Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即若反函数 h(Y)的导数也存在，则可利用 X的概率密度求出 Y的概率密度。
][ XY
)(][1 YhYX
综合上述讨论，得到
)())(()( ' yhyhfyf XY
例 1：随机变量 X和 Y满足线性关系
Y=aX+b,X为高斯变量，即
a,b为常数，求 Y的概率密度。
2
2
2
)(
2
1
)( X
Xmx
X
X exf

如果 X和 Y之间不是单调关系，即
Y的取值 y可能对应 X的两个或更多的值 x1,x2,…,x n。
假定一个 y值有两个 x值与之对应，则有
)())(()())(()( '22'11 yhyhfyhyhfyf XXY
一般地，如果 y=g(x)有 n个反函数
h1(y),h2(y),…,hn(y)，则
)())((
)())(()())(()(
'
'
22
'
11
yhyhf
yhyhfyhyhfyf
nnX
XXY


例 2：假定输入输出的关系为 Y=bX2，
b>0，若已知 X的概率密度为 f(x)，求 Y
的 f(y)。
求得随机变量函数的概率密度后，
就可以求随机变量函数的数学期望和方差。
1.5.2 二维变换设二维随机变量 (X1,X2)的联合概率密度 f(x1,
x2)，另有二维随机变量 (Y1,Y2)，且求随机变量 (Y1,Y2)的联合概率密度 f(y1,y2)。
),(
),(
2122
2111
XXY
XXY
)),(),,((
),(),(
212211
2
2
1
2
2
1
1
1
2121
yyhyyhf
y
h
y
h
y
h
y
h
xxfJyyf
X
XY
例 3：设有两个随机变量 X1与 X2，已知它们的联合概率密度为 f(x1,x2)，求它们和、差、积、商的概率密度。
如果随机变量 Y是二维随机变量 (X1,X2)
的函数，即可求 Y的数学期望和方差。
),( 21 XXgY?