1.7 常见分布
1.7.1 常见的离散型分布一,两点分布如果随机变量 X的分布为则称 X服从 两点分布,也称为 贝努里分布 。当 a,b分别为 0,1时，称这种分布为 0－ 1分布 。
X
P
a b
1－ p p
二,二项分布设随机试验 E只有两种可能的结果且将 E独立地重复 n次，那么在 n次试验中事件 A发生 m次的概率为称为 二项分布 。
AA,
qpAPpAP 1)(,)(
nmqpCmP mnmmnn 0)(
三,泊松分布设随机变量 X的可能取值为 0,1,2,…,且分布密度为则称 X服从 泊松分布 。
0;,2,1,0
!
}{
k
e
k
kXP
k
1.7.2 常见的连续分布一,均匀分布设连续型随机变量 X在有限区间 [a,b]内取值，且其概率密度为则称 X在区间 [a,b]上服从 均匀分布 。
e l s e
bxa
abxf X
0
1
)(
随机变量 X的分布函数为
bx
bxa
ax
ab
ax
xF
X
1
0
)(
12
)(;
2
2
2 abbam
XX
1)一维高斯分布高斯变量 X的概率密度为：
2
2
2
)(
2
1
)(?
mx
X exf
二,高斯分布概率分布函数
)(
2
1
)( 2
2
mx
dtexF
mx t
X
对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令,归一化后的概率密度为
2
2
2
1
)(
y
Y eyf
mXY
服从标准正态分布 N(0,1)的高斯变量 X，
其特征函数为
2
2
)(
eX
服从 的高斯变量 Y，其特征函数为
),( 2YYmN?
2
22
)(
Y
Ymj
Y e
（ 1）已知 X为高斯变量，则 Y=aX+b
（ a,b为常数）也为高斯变量，且
222
XYXY abamm
特点：
（ 2）高斯变量之和仍为高斯变量。
例：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量 X1,X2之和的概率密度。
推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即若 Xi服从,则其和的数学期望和方差分别为
n
i
iXY
1
),( 2iimN?
n
i
iY
n
i
iY mm
1
22
1
若有大量相互独立的随机变量的和其中每个随机变量 Xi对总的变量 Y的影响足够小时，则在一定条件下，当时，随机变量 Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。
n
i
iXY
1
n
（ 3）中心极限定理结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。
2）二维高斯分布设 X是均值为,方差为 的正态随机变量,Y是均值为,方差为的正态随机变量，且 X,Y的相关系数为,则二维随机变量 (X,Y)为一个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为
Xm 2X?
Ym
2Y?
XYr
)1(2
)())((2)(
2
222
2222
12
1
),( XYYX
YXYXYXXYXY
r
mymymxrmx
XYYX
e
r
yxf?
设 n维随机变量向量为 Y，数学期望和方差向量为 m和 s，它们具有如下形式：
Y= m= s=
n
Y
Y
Y
2
1
n
m
m
m
2
1
2
2
2
2
1
n
协方差矩阵 C
C =
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
21
22221
11211
则 n维联合概率密度函数为
2
)()(
212
1
)2(
1
)(
myCmy
n
T
e
C
yf
三,分布
1) 中心 分布若 n个互相独立的高斯变量 X1,X2,…,
Xn的数学期望都为零，方差为 1，它们的平方和的分布是具有 n个自由度的 分布 。
2?
2?
n
i
iXY
1
2
2?
其概率密度为
0
)
2
(2
1
)( 2
1
2
2
yey
n
yf
yn
nY
dtetx tx?
0
1)(
当互相独立的高斯变量 Xi的方差不是 1，
而是 时,Y的概率密度为
2?
0
)
2
()2(
1
)(
2212
22
yey
n
yf
yn
nY
性质：两个互相独立的具有 分布的随机变量之和仍为 分布，若它们的自由度分别为 n1和 n2，其和的自由度为 n= n1+n2。
2?
2?
2) 非中心 分布若互相独立的高斯变量 Xi(I=1,2,…,n)
的方差为,数学期望为,则为 n个自由度的非中心 分布 。
2?
2? im
n
i
iXY
1
2
2?
其概率密度为称为 非中心分布参量
0)()(
2
1
)(
21
2
24
2
2
2
y
y
Ie
y
yf n
yn
Y
n
i
im
1
2?
0
2
)1(!
)2(
)(
m
mn
n mnm
x
xI
性质：两个相互独立的非中心 分布的随机变量之和仍为非中心 分布，
若它们的自由度为 n1和 n2，非中心分布参量分别为 和,其和的自由度为 n= n1+n2，非中心分布参量为
2?
2?
1? 2?
21
四,瑞利分布和莱斯分布
1) 瑞利分布对于两个自由度的 分布，即
Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为且相互独立的高斯变量，则为 瑞利分布 。
2?
2
2
2
1 XXY
2?
2
2
2
1 XXYR
R的概率密度为
0)(
2
2
2
2
re
r
rf
r
R
对 n个自由度的 分布，若令则 R为 广义瑞利分布
2?
n
i
iXYR
1
2
0
)
2
(2
)(
2
2
2
2)2(
1
re
n
r
rf
r
nn
n
R
2) 莱斯分布当高斯变量 Xi(I=1,2,…,n) 的数学期望为 不为零时，
是非中心 分布，而 则是莱斯分布 。
im
n
i
iXY
1
2
2? YR?
对于任意 n值有
0)()(
21
2
2
22
2
2
2
r
r
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r
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r
n
n
R
1.7.1 常见的离散型分布一,两点分布如果随机变量 X的分布为则称 X服从 两点分布,也称为 贝努里分布 。当 a,b分别为 0,1时，称这种分布为 0－ 1分布 。
X
P
a b
1－ p p
二,二项分布设随机试验 E只有两种可能的结果且将 E独立地重复 n次，那么在 n次试验中事件 A发生 m次的概率为称为 二项分布 。
AA,
qpAPpAP 1)(,)(
nmqpCmP mnmmnn 0)(
三,泊松分布设随机变量 X的可能取值为 0,1,2,…,且分布密度为则称 X服从 泊松分布 。
0;,2,1,0
!
}{
k
e
k
kXP
k
1.7.2 常见的连续分布一,均匀分布设连续型随机变量 X在有限区间 [a,b]内取值，且其概率密度为则称 X在区间 [a,b]上服从 均匀分布 。
e l s e
bxa
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0
1
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随机变量 X的分布函数为
bx
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1)一维高斯分布高斯变量 X的概率密度为：
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二,高斯分布概率分布函数
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对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令,归一化后的概率密度为
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y
Y eyf
mXY
服从标准正态分布 N(0,1)的高斯变量 X，
其特征函数为
2
2
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服从 的高斯变量 Y，其特征函数为
),( 2YYmN?
2
22
)(
Y
Ymj
Y e
（ 1）已知 X为高斯变量，则 Y=aX+b
（ a,b为常数）也为高斯变量，且
222
XYXY abamm
特点：
（ 2）高斯变量之和仍为高斯变量。
例：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量 X1,X2之和的概率密度。
推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即若 Xi服从,则其和的数学期望和方差分别为
n
i
iXY
1
),( 2iimN?
n
i
iY
n
i
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1
22
1
若有大量相互独立的随机变量的和其中每个随机变量 Xi对总的变量 Y的影响足够小时，则在一定条件下，当时，随机变量 Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。
n
i
iXY
1
n
（ 3）中心极限定理结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。
2）二维高斯分布设 X是均值为,方差为 的正态随机变量,Y是均值为,方差为的正态随机变量，且 X,Y的相关系数为,则二维随机变量 (X,Y)为一个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为
Xm 2X?
Ym
2Y?
XYr
)1(2
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12
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),( XYYX
YXYXYXXYXY
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yxf?
设 n维随机变量向量为 Y，数学期望和方差向量为 m和 s，它们具有如下形式：
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n
Y
Y
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2
1
n
m
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协方差矩阵 C
C =
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n
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11211
则 n维联合概率密度函数为
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n
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C
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三,分布
1) 中心 分布若 n个互相独立的高斯变量 X1,X2,…,
Xn的数学期望都为零，方差为 1，它们的平方和的分布是具有 n个自由度的 分布 。
2?
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当互相独立的高斯变量 Xi的方差不是 1，
而是 时,Y的概率密度为
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2) 非中心 分布若互相独立的高斯变量 Xi(I=1,2,…,n)
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2? im
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2
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其概率密度为称为 非中心分布参量
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性质：两个相互独立的非中心 分布的随机变量之和仍为非中心 分布，
若它们的自由度为 n1和 n2，非中心分布参量分别为 和,其和的自由度为 n= n1+n2，非中心分布参量为
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21
四,瑞利分布和莱斯分布
1) 瑞利分布对于两个自由度的 分布，即
Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为且相互独立的高斯变量，则为 瑞利分布 。
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对 n个自由度的 分布，若令则 R为 广义瑞利分布
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2) 莱斯分布当高斯变量 Xi(I=1,2,…,n) 的数学期望为 不为零时，
是非中心 分布，而 则是莱斯分布 。
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