1.4 随机变量的数字特征
1.4.1 数学期望对于连续随机变量 X，它的概率密度为 fX(x)，则其数学期望定义为
dxxxfXEm XX )(][
对于离散随机变量 X，假定它有 n
个可能取值，各个取值的概率为
，则数学期望定义为
}{ ii xXPp



n
i
ii
n
i
ii pxxXPxXE
11
}{][
均值具有如下性质：
性质 1：
其中 c为常数
][][ XcEcXE?
性质 2：若 c为常数，则有
ccE?][
性质 3：若 X,Y是任意二个随机变量，
则有
][][][ YEXEYXE
][][][
][
21
21
n
n
XEXEXE
XXXE


性质 4：若 X,Y是二个相互独立的随机变量，则有
][][][ YEXEXYE?
例 1：设连续随机变量 X在 [a,b]区间上服从均匀分布，求 X的数学期望。
例 2：设离散随机变量 X服从二项分布，
即求其数学期望。
nkqp
qpCkXP knkkn
,,1,0,1
}{


1.4.2 方差连续随机变量 X的方差定义为




dxxfXEx
XEXEXD
X
X
)(])[(
}])[{(][
2
22
离散随机变量 X的方差定义为：


1
2
22
])[(
}])[{(][
i
ii
X
pXEx
XEXEXD?
方差的性质：
性质 1：若 c为常数，则
0][?cD
性质 2：若 X是随机变量,c是常数，
则有
][][ 2 XDccXD?
性质 3：若 X,Y是两个相互独立的随机变量，则有
][][][ YDXDYXD
][][][
][
21
21
n
n
XDXDXD
XXXD


例 3：设 X服从 [a,b]上的均匀分布，求其方差。
1.4.3 矩
n阶原点矩 定义为
,2,1][ nXEm nn
对于离散和连续随机变量，则分别有
dxxfxm
pxm
X
n
n
i
i
n
in
)(
1


n阶中心矩 定义为：
,2,1}])[{( nXEXE nn?
对于离散和连续随机变量，则分别有
dxxfXEx
pXEx
X
n
n
i
i
n
in
)(])[(
])[(
1




二维随机变量 X和 Y的 n+k阶联合原点矩 定义为：



d x d yyxfyx
YXEm
XY
kn
kn
nk
),(
][
二维随机变量 X和 Y的 n+k阶联合中心矩 为：
d x d yyxfYEyXEx
YEYXEXE
XY
kn
kn
nk
),(])[(])[(
}])[(])[{(





当 n=1,k=1时，二阶联合原点矩为它又称为 X和 Y的相关矩 。
XYRXYEm ][11
当 n=1,k=1时，二阶联合中心矩为它又称为 X和 Y的协方差 。
XYCYEYXEXE ])[])([(11?
由协方差定义得 相关系数 定义为：
11
][][


XY
YX
XYXY
XY
r
C
YDXD
C
r

当 时，则称 X与 Y不相关 ；
若,则称 X与 Y相关 。
当,称为 正相关 ；
当,称为 负相关 。
0?XYr
0?XYr
10 XYr
01 XYr
例 4,X与 Y为相互独立的随机变量，
求二者的相关系数。
例 5：随机变量 Y=aX+b，其中 X为随机变量,a,b为常数，且 a>0，求 X与
Y的相关系数。
1.4.4 统计独立与不相关统计独立：对于随机变量而言,X和 Y
相互统计独立的充要条件为
)()(),( yfxfyxf YXXY?
相关是指两个坐标之间的线性相关程度。
下面对这两个概念进行讨论：
1,随机变量 X和 Y相互统计独立的充要条件为
)()(),( yfxfyxf YXXY?
2,随机变量 X与 Y不相关的充要条件是
0?XYr
3,若两个随机变量统计独立，它们必然不相关。
4,两个随机变量不相关，则它们不一定互相独立。
5,若随机变量 X,Y的相关矩为零，即则称 X,Y互相正交 。
0?XYR