2.2 随机过程的统计特性
2.2.1 随机过程的概率分布
1,一维概率分布对于任意的时刻 t,X(t)是一个随机变量，设 x为任意实数，定义为随机过程 X(t)的 一维分布函数 。
})({),( xtXPtxF X
若 的一阶偏导数存在，则定义为随机过程 X(t)的 一维概率密度 。
),( txF X
x
txF
txf XX
),(
),(
随机过程一维分布的性质：
1),(
),(),(
1),(
0),(
1),(0
dxtxf
dutuftxF
tF
tF
txF
X
x
XX
X
X
X
2,二维概率分布和 n维概率分布对于随机过程 X(t),在任意两个时刻 t1和
t2可得到两个随机变量 X(t1)和 X(t2),可构成二维随机变量 {X(t1),X(t2)},它的二维分布函数称为随机过程 X(t)的 二维概率分布函数 。
})(,)({
),;,(
2211
2121
xtXxtXP
ttxxF X
若 对 x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程 X(t)的 二维概率密度 。
),;,( 2121 ttxxF X
21
2121
2
2121
),;,(
),;,(
xx
ttxxF
ttxxf XX
对于任意的时刻 t1,t2,…,t n,X(t1),X(t2),…,
X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程 X(t)的 n维概率分布，
即定义为随机过程 X(t)的 n维概率分布函数 。
})(,,)(,)({
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2211
2121
nn
nnX
xtXxtXxtXP
tttxxxF
为随机过程 X(t)的 n维概率密度 。
n
nnX
n
nnX xxx
tttxxxF
tttxxxf
21
2121
2121
),,,;,,,(
),,,;,,,(
随机过程 X(t)和 Y(t)的四维联合概率密度
2121
21212121
4
21212121
)',',,;,,,(
)',',,;,,,(
yyxx
ttttyyxxF
ttttyyxxf
XY
XY
若两个随机过程互相独立，则有
)',,';,,(),,;,,(
)',,',,,;,,,,,(
1111
1111
mmYnnX
mnmnXY
ttyyfttxxf
ttttyyxxf
一个随机过程不同时刻状态间互相独立，即 X(t1)和 X(t2)互相独立
),(),(),;,( 22112121 txftxfttxxf XXX?
例：设随机过程其中 w0是常数,X是均值为零，方差为 1
的正态随机变量，求 时 Y(t)
的概率密度，及 Y(t)的一维概率密度。
tXtY 0c o s)(
03
2,0
t
2.2.2 随机过程的数字特征
1,数学期望对于任意的时刻 t,X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为 随机过程的数学期望,记为 mx(t)，
即
dxtxxftXEtm XX ),()]([)(
2,方差对于任意的时刻 t,X(t)是一个随机变量，称该随机变量 X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差,记为 D[X(t)],即
dxtxftmx
tXEtXEtXDt
XX
X
),()]([
)]}([)({)]([)(
2
22
3,自相关函数和协方差函数设 X(t1)和 X(t2)是随机过程 X(t)在 t1和 t2
二个任意时刻的状态,fX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为 X(t)的 自相关函数,简称相关函数
21212121
2121
),;,(
)]()([),(
dxdxttxxfxx
tXtXEttR
X
X
设 X(t1)和 X(t2)是随机过程 X(t)在 t1和 t2
二个任意时刻的状态，称 X(t1)和 X(t2)
的二阶联合中心矩为 X(t)的 自协方差函数
2121212211
221121
),;,()]() ] [([
) ] }()() ] [()({[),(
dxdxttxxftmxtmx
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XXX
XXX
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当 时，
当 时，
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21 tt?
)(
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2
1
2
1
2
1
2
11
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t
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tmtXtXE
tmtmttRttC
X
X
XXXX
若对于任意的 t1和 t2都有 CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的 。
若 RX(t1,t2)=0,则称 X(t1)和 X(t2)是 相互正交的 。
若则称随机过程在 t1和 t2时刻的状态是相互独立的。
),(),(),;,( 22112121 txftxfttxxf XXX?
4,互相关函数和互协方差函数设有两个随机过程 X(t)和 Y(t),它们在任意两个时刻 t1和 t2的状态分别为 X(t1)
和 Y(t2),则随机过程 X(t)和 Y(t)的 互相关函数 定义为
d x d yttyxx y f
tYtXEttR
XY
XY
),;,(
)]()([),(
21
2121
类似地，定义两个随机过程的 互协方差函数 为
d x d yttyxftmytmx
tmtYtmtXEttC
XYYX
YXXY
),;,()]() ] [([
) ] }()() ] [()({[),(
2121
221121
)()(),(),( 212121 tmtmttRttC YXXYXY
若对于任意时刻 t1和 t2,有 RXY(t1,t2)=0，
则称 X(t)和 Y(t)是 正交过程,此时有
)()(),( 2121 tmtmttC YXXY
若对于任意时刻 t1和 t2,有 CXY(t1,t2)=0，
则称 X(t)和 Y(t)是 互不相关的,此时有
)()(),( 2121 tmtmttR YXXY?
当 X(t)和 Y(t)互相独立时，满足则有当 X(t)和 Y(t)互相独立时,X(t)与 Y(t)
之间一定不相关；反之则不成立。
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)',,';,,(),,;,,(
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1111
1111
mmYnnX
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ttyyfttxxf
ttttyyxxf
研究随机过程有两条途经：
侧重于研究概率结构
侧重于统计平均性质的研究例：求随机过程的数学期望，方差及自相关函数。其中,w0为常数,是在区间上均匀分布的随机变量。
)s in ()( 0 ttX
]2,0[?
2.2.3 随机过程的特征函数对于某一固定时刻 t,随机变量 X(t)的特征函数就定义为 随机过程的一维特征函数
dxtxfe
eEt
X
xj
tXj
X
),(
][),(
)(
一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系
dettxf xj
XX ),(2
1
),(
随机过程的二维特征函数,
随机过程在任意两个时刻 t1和 t2的取值构成一个二维随机变量 {X(t1),X(t2)},它的特征函数定义为 随机过程 X(t)的二维特征函数。
212121
)()(
2121
),;,(
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2211
2211
dxdxttxxfe
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X
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4
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X
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随机过程的特征函数与矩函数之间的关系为：
0|
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n
X
n
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相关函数与二维特征函数之间的关系为：
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2121
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2.2.1 随机过程的概率分布
1,一维概率分布对于任意的时刻 t,X(t)是一个随机变量，设 x为任意实数，定义为随机过程 X(t)的 一维分布函数 。
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若 的一阶偏导数存在，则定义为随机过程 X(t)的 一维概率密度 。
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随机过程一维分布的性质：
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2,二维概率分布和 n维概率分布对于随机过程 X(t),在任意两个时刻 t1和
t2可得到两个随机变量 X(t1)和 X(t2),可构成二维随机变量 {X(t1),X(t2)},它的二维分布函数称为随机过程 X(t)的 二维概率分布函数 。
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若 对 x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程 X(t)的 二维概率密度 。
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X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程 X(t)的 n维概率分布，
即定义为随机过程 X(t)的 n维概率分布函数 。
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一个随机过程不同时刻状态间互相独立，即 X(t1)和 X(t2)互相独立
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例：设随机过程其中 w0是常数,X是均值为零，方差为 1
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2.2.2 随机过程的数字特征
1,数学期望对于任意的时刻 t,X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为 随机过程的数学期望,记为 mx(t)，
即
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2,方差对于任意的时刻 t,X(t)是一个随机变量，称该随机变量 X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差,记为 D[X(t)],即
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3,自相关函数和协方差函数设 X(t1)和 X(t2)是随机过程 X(t)在 t1和 t2
二个任意时刻的状态,fX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为 X(t)的 自相关函数,简称相关函数
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若则称随机过程在 t1和 t2时刻的状态是相互独立的。
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4,互相关函数和互协方差函数设有两个随机过程 X(t)和 Y(t),它们在任意两个时刻 t1和 t2的状态分别为 X(t1)
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类似地，定义两个随机过程的 互协方差函数 为
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则称 X(t)和 Y(t)是 正交过程,此时有
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当 X(t)和 Y(t)互相独立时，满足则有当 X(t)和 Y(t)互相独立时,X(t)与 Y(t)
之间一定不相关；反之则不成立。
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研究随机过程有两条途经：
侧重于研究概率结构
侧重于统计平均性质的研究例：求随机过程的数学期望，方差及自相关函数。其中,w0为常数,是在区间上均匀分布的随机变量。
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2.2.3 随机过程的特征函数对于某一固定时刻 t,随机变量 X(t)的特征函数就定义为 随机过程的一维特征函数
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一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系
dettxf xj
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1
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随机过程的二维特征函数,
随机过程在任意两个时刻 t1和 t2的取值构成一个二维随机变量 {X(t1),X(t2)},它的特征函数定义为 随机过程 X(t)的二维特征函数。
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相关函数与二维特征函数之间的关系为：
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