复变函数论知识结构
一、复数与复变函数
二、解析函数
三、复变函数的积分
四、级数
五、留数复数与复变函数第一章复数与复变函数
一、复数与复数的运算
二、复变函数的概念
三、复变函数的极限
四、复变函数的连续性
1、定义：形如 a + bi（ a,b∈ R) 的数称为复数,
2、复数相等：设 z1= x1 + iy1,z2 = x2 + iy2
(一 ) 复数的概念
a = Re z,b = Im z,
3、共轭复数：
z1,z2 互为共轭复数
x i y x i y记为
x1= x2 且 y1= - y2,
z1= z2? x1= x2,y1= y2
1 复平面
0
y
x
.P
(二 )复数的几何表示
θ
r2) z x i y P O
1 ) (,)z x i y P x y 点
22,| |z r x y模
,A r g z辐角
() ytg Argz x?即
(x,y)
a r g z辐角主值记为
( 0 )
ar
y
ar gz z z Arc tg
x
y
c tg
x
当 表示 主辐角时,它与反正切的主值 的关系
a rg
( 0 )
z
z
a r g,( 0 )yc t x
x
a r g,( 0,0 )yc t x y
x

a r g,( 0,0 )yc t x y
x

,( 0,0 )
2
xy
,( 0,0 )
2
xy
( 2 - 2 ) a r g ( 3 4 ),A r g i i例1 求 及
( 2 2 ) a r g ( 2 2 ) 2A r g i i k解
2 2
2a rc tg k?

2.4 k
4a r g ( 3 4 )
3i a rc tg
4,
3arc tg
（三 )复数的表达式
1）代数式,z = x + yi
3) 指数式,z = re iθ
2）三角式,z = r (cosθ+ i sinθ)
c o s siniei
欧拉公式
（四）复数的运算
1）加减法
2）乘法
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
( c o s s in ),
( c o s s in ),
z x iy r i
z x iy r i




设
1 2 1 2 1 2( ) ( )z z x x i y y
1 2 1 1 2 2( ) ( )z z x i y x i y
1 2 1 2 1 2 2 1()x x y y i x y x y
12()12 ir r e
（四）复数的运算
3) 除法
1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
z x y i x x y y y x x y i
z x y i x y x y


12()1
2
ir e
r

1 1 2
[ ],( 0,1,,1 )
ki
in n n nz r e r e k n


4) 幂：设 z = reiθ,则 z n = rn e inθ
5) 开方：设 z= re iθ,则
（五）复数的运算的性质
11
1 2 1 2 1 2 1 2 2
2 2
1 ),,( ) ( 0 ),zzz z z z z z z z z
z z

2 222 ) ( R e ) ( I m )z z z z z
3 ) 2 R e,( 2 I m ),z z z z z z i
11
1 2 1 2
22
4 ),.
zz
z z z z
zz

1 2 1 2 1 2 1 25 ),.z z z z z z z z
1
1 2 1 2 1 2
2
6),( )zA r g z z A r g z A r g z A r g A r g z A r g zz
1 2 1 2 1 2 1 25 ),.z z z z z z z z
2
1 2 1 2 1 2( ) ( )z z z z z z1 1 2 1 1 2 2 2z z z z z z z
22
1 1 2 1 2 2z z z z z z
22
1 1 2 22 R e ( )z z z z
22 2
1 1 2 2 1 22 ( )z z z z z z
2
12zz? 221 1 2 22 R e ( )z z z z
22 2
1 1 2 2 1 22 ( )z z z z z z
12 ( 0)
1
zwz
z

例 求 的实部,虚 部和模.
2
1 ( 1 ) ( 1 )
1 1
z z zw
z z


解
2
1
1
zz z z
z

2
2
1
Re
1
z
w
z

2
2 ImIm
1
zw
z
2 11
11
zzw w w
zz

2
1
1
zz z z
z

2
2
1 2 R e
1
zz
z

2
2
1 2 R e
1
zz
w
z


3,,,x y a b例 若 都是实数,解方程组
( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 1 5
( 3 ) ( 4 2 ) ( 1 ) 4 2
i x i y i a i b i
i x i y i a ib i


( ) ( 2 3 4 ) 1 5
( 3 4 ) ( 2 4 ) 2
x y a b i x y a b i
x y a i x y a b i


解
1
2 3 4 5
3 4 2
2 4 1
x y a b
x y a b
x y a
x y a b





2
3
2
2
1
2
x
y
a
b




1 2 3 4 1 2 3 44 0,1,z z z z z z z z例 若 且,
则此四点构成一个内接于单位圆的矩形.
( 1,2,3,4 ),k k kz x i y k若设
1 2 3 4 1 2 3 41,z z z z z z z z
z
证 故四边形 内接于单位圆 = 1,
1 2 3 4 0,z z z z
3412
22
zzzz
3 4 3 41 2 1 2,
2 2 2 2
x x y yx x y y则
1 2 4z z z3故边 的中点与边z 的中点关于原点对称.
1 2 3 4z z z z从而四边形 为一矩形.
5,n例 设 为正整数 试证明
3 1 3 11 3 1 3( ) ( ) 1,
22
nnii
2 2 4 4
c o s sin,c o s sin
2 3 3 2 3 3
ii
ii


- 1 + 3 - 1 - 3
证
331 3 1 3 1 3 1 3( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
nni i i i左边
13
( c o s 2 sin 2 ) ( )
2
13
( c o s 4 sin 4 ) ( )
2
i
n i n
i
n i n






1 3 1 3
22
ii 1
13
23
23
6,,.zzz z z zz1例 试证 在一条直线上的条件是 为实数
13
23
a r g 0,zz
zz

则
1 2 3 2 3
1 3 2 3 1
,,
.
z z z z z
z z z z z
证 在一直线上的条件是以线段与线段 为两边的角 是 的整数倍
13
23
.zz
zz
故 为实数是充要条件
3z将 平移到原点来考虑,
x
y
o
3z
1z
2z
3z
1z
2z
47 1,i?例求
1 2 ( c o s s i n )44ii解
( 0,1,2,3)k?
8
0 2 ( c o s s in )1 6 1 6wi
即
84
22
441 2 ( c o s s in )
44
kk
ii



8
1
992 ( c o s sin )
1 6 1 6wi

8
2
1 7 1 72 ( c o s sin )
1 6 1 6wi

8
3
2 5 2 52 ( c o s sin )
1 6 1 6wi

1 2 5 0,z i z2解方程
1
421 z?求 的值.
3?证明三角形的内角和等于,
224,1,(,,,),x iy a b i a b x y a b R
x iy

设 证明练习
1 2 3,,,
,,.
z z z

证 设三角形三个顶点分别为 对应的三个顶角分别为
21
31
a r g,zz
zz

32
12
a r g,zz
zz

13
23
a r g zz
zz

3 2 1 321
3 1 1 2 2 3
1z z z zzz
z z z z z z


3 2 1 321
3 1 1 2 2 3
a r g a r g a r g a r g ( 1 ) 2z z z zzz k
z z z z z z


0,,

03
z1
z2
z3γ
β
α