孤立奇点及留数教学辅助软件数学教研室留数及其应用之理解孤立奇点及留数的有关概念，明确孤立奇点的各种类型，掌握留数的有关计算方法。
目的、要求掌握留数的有关计算方法孤立奇点及留数
一、孤立奇点
二、留数
如函数 f(z) 在奇点 z=a的邻域 |z-a|< R
内除去 a外都解析，则 z= a称为 f(z) 的 孤立奇点。
（一）孤立奇点的定义例 求下列函数的孤立奇点,
1( 1 ) ( )
( ) ( 1 )
fz
z i z

1
( 2 ) ( )
1
s in
fz
z
1
(,1,2 )znn
12(,1 )z i z
1( 3 ) ( )f z tg
z?
00 | |,zz考察下列函数在 < 内的洛朗级数
0
1( 1 ) ( ),0zef z z
z

0
1( 2 ) ( ),1
( 1 )
f z z
zz

1
0( 3 ) ( ),0
zf z e z
1
1 1 1 1( 1 ) ( 1 )
!
z
zn
n
e ez
z z z n
解
111( 2) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
nz z z
zz

1
23
1 1 1 1( 3 ) 1
2 ! 3 ! !
z
ne z z z n z
没有 z- z0 的负幂项，则 z0为 f(z)的可去奇点。
（二）孤立奇点的分类可去奇点
0 0
00( ) ( ) ( )limlimzz
zz
f z F z F z C


2
0 1 0 2 0
00
( ) ( ) ( )
( ) ( 0 | | )nn
f z c c z z c z z
c z z z z?


0()F z z和函数 在 解析.
0,( ) ( ) ;z z F z f z当时 0 0 0,( ),z z F z c当时
0 0 0( ),0 | - |f z c z z只要令 则当
0 1 0 0 0( ) ( ) ( ),nnf z c c z z c z z z 在 解析
只有有限个 z- z0的负幂项，则 z0 为 f (z )
的极点。如 (z- z0)-m 为最高负幂项，则称 z0 为
f (z) 的 m 级极点。
极点
0
1 ()
() m
gz
zz
1
0 1 0 0
10
( ) ( ) ( )
( ) ( 1,0 )
m
m
m
f z c z z c z z c
c z z m c




1
1 0 0 0
00
( ) ( ) ( ),
( ) | | ( ) 0,
mm
mg z c c z z c z z
g z z z r z


其中在 内解析,g
当 z0 是 f (z)的极点时，
例 判断下列函数奇点的类型：
（ z=1是三级极点）
（ z= 0是可去奇点）
3
2( 1 ) ( )
( 1 )
zfz
z

s in( 2 ) ( ) zfz
z?
0
()lim
zz
fz

00
00( ) ( ) ( ) ( ) 0l i m l i m
m
z z z z
z z f z g z g z


有无限个 z - z0的负幂项，则 z0为 f (z)
的本性奇点。
∴ z = 0是函数的本性奇点例 判断函数 的奇点类型,12() zf z z e?
本性奇点可证明：如 z0 为 f (z) 的本性奇点，
则 不存在，也不为无穷大。
0
()lim
zz
fz
2
2
1 1 1
2 ! 3 ! ! nzz z nz
1
2
2
1 1 1( 1 )
2 ! !
z
nz e z z z n z解结论
0
03 ) ( ) ( )limzz f z z f z?当 不存在且不无穷大时,为 的本性奇点.
0
02 ) ( ) ( )limzz f z z f z当 时,为 的极点.
0
001 ) ( ) ( )limzz f z c z f z当 时,为 的可去奇点.
1 定义：当 z= z0时,f (z)=0,则 z0为 f (z)
的零点。如 f(z) = (z - z0)mg(z),其中 g(z)
在 z0解析，且 g(z0) ≠0,则称 z0为 f(z)的
m级零点。
（三）函数的零点例 求函数 f (z) = z(z - 1)3的零点的级数
.（ z = 0是一级零点,z =1是三级零点）
（三）函数的零点
2 定理,如 f(z)在点 z0处解析，则 z0为 f(z)的
k 级零点的充要条件为
f(n)(z0) = 0 (n=0,1…,k-1),且 f(k)(z0) ≠0
f(z) = (z-z0)mg(z) g(z)=C0+C1(z-z0)+… (C 0≠0)
f(z) =C0(z-z0)m + C1(z-z0)m+1 + …
f(n)(z0)= 0 (n =0,1…,k-1),且 f(k)(z0) ≠0
z0为 f(z)的 k级零点
定理：如 z0是 f(z)的 m级极点，则 z0为
1/f(z)的 m级零点。反过来也成立。
（四）零点和极点的关系分析
0
()()
() m
gzfz
zz
0
11()
( ) ( )
mzz
f z g z
z0是 f(z)的 m
级极点
z0为 1/f(z)的 m
级零点例题
[z =0是可去奇点,z =kπ(k≠0) 为一级极点 ]
（ z=0为三级极点）
（ 2）讨论下列函数的极点的级数。
（ z=0为一级极点）
（ 1）讨论函数 的孤立奇点的类型。()
s in
zfz
z?
3
c o s2 ) ( ) zfz
z?
3
1 c o s1 ) ( ) zfz
z

孤立奇点及留数
一、孤立奇点
二、留数
（一）留数的定义
01
1R e [ ( ),] ( )
2 c
s f z z f z d z C
i
即设 z0是函数 f(z)的孤立奇点，即 f(z)在某圆环域 0<|z-z0|<R内解析,c为圆环域内包围
z0的任一条简单闭曲线，则积分称为 f(z)在 z0处的留数。也称残数。
1 ()
2 c f z d zi
记为 Res [ f(z),z0]
设函数 f(z)在区域 D内解析,c为 D内的一条简单闭曲线，
在 c内函数除了孤立奇点 z1,z2,…,zn
外处处解析，则
（二）留数定理
1
( ) 2 R e [ ( ),]
n
kc
k
f z d z i s f z z?

.
.
.
.
D
c
c1
c2 cn
c3
z1
z2
z3
zn
（三）留数的计算规则
（ 1）设 z0为 f(z)的 m级极点，则
0
1
00 1
1R e [ ( ),] [ ( ) ( ) ]
( 1 ) ! lim
m
m
mzz
ds f z z z z f z
m dz

0
1( ) ( )
() m
f z g z
zz
10 1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )m m mmz z f z C C z z C z z
1
0 1 01 [ ( ) ( ) ] ( 1 ) ! { }
m
m
m
d z z f z m C z z
dz
含 正幂的项
（三）留数的计算规则
（ 2）如 z0是 f(z)的一级极点，则
0
00R e [ ( ),] ( ) ( )limzzs f z z z z f z
（ 3）设 f(z)=P(z)/Q(z),P(z),Q(z)均在 z0解析,Q(z0)≠0,且 z0是 f(z0)的一级极点，则
0
0
0
()R e [ ( ),]
()
Pzs f z z
Qz
{Res[f(z),1]=e/2;Res[f(z),-1]=e-1/2}
（ 2）计算下列函数的积分,
（ 1）求函数 在孤立奇点处的留数,
2() 1
zze
fz
z
1|| 23
2
11)
( 1 )zi
dz
z
| | 22) z
tg z dz
z
（ 0 ）
（ 3π /8）
例题本次课介绍了孤立奇点的概念和类型以及留数的概念及计算方法，
小 结其中重点把握应用留数定理计算复积分。
1、确定函数 f(z)=sinz/z3奇点的类别,
复习思考题
2、求函数 f(z)=(1-e2z)/z4奇点处的留数,
3、利用留数计算,
4|z| 2 dz)2z)(3z( z