1 2 5 0,iz2解方程 z
1
42 ( 1 )zi,求 的值.
3?证明三角形的内角和等于,
x i y a b i a b x y a b R
x i y
224,1,(,,,),设 证明
5,.指出下列方程的图形并指出是何种曲线
1 ) 1,0 1 ;z i t t 22 ) 3,0 1 ;tiz e t
23 ) 1,0 1 ;z i t t t
练习
1 2 3,,,
,,.
z z z
证 设三角形三个顶点分别为 对应的三个顶角分别为
21
31
a r g,zzzz 32
12
a r g,zzzz 13
23
a r g zzzz
3 2 1 321
3 1 1 2 2 3
1z z z zzzz z z z z z
3 2 1 321
3 1 1 2 2 3
a r g a r g a r g a r g ( 1 ) 2z z z zzz kz z z z z z
0,, 03
z
1
z2
z3γ
β
α
二元函数的定义
.
,,
,
,
,,,
D
P x y D z
z x y
z f x y
D x y
z z z f x y x y D
定义 设 是平面上的一个点集，如果对于每个点变量 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 是变量,的二元函数，记为点集 称为该函数的定义域,称为自变量，
也称为因变量,称为该函数的值域平面点集 D 实数点集,z f x y?
二元函数的极限
（一） 二重极限的定义设函数 A是常数，
如果对于任意给定的正数 ε，总存在一个正数 δ，
使得对于满足
0＜ |PP0|= ＜ δ
的一切点 都有成立，则称常数 A为函数 当时的极限，记为
2200( ) ( )x x y y
,P x y D?,
,f x y D在区域 内有定义，
,f x y A
,f x y 0,xx?
0yy?
0
0
l i m,,0
xx
yy
f x y A f x y A?
或解释：
δ
P0·
·P
·P
·P
(,)f x y A?
δ
P0·
22
0 0 00 ( ) ( )P P x x y y
结论当点 P以任意方向趋向于 P0时，函数趋于同一确定 的值，则函数极限存在。
如点 P沿不同的路径趋于点 P0时，函数趋 向于不同的值，则函数的极限不存在。
解
2 2 2 2200
00
0
lim lim
1xx
y k x y k x
y k x
x k xx y k
x y kx k x
沿直线 趋于,有
例4
研究极限,
22
22
22
0
0
,0,
,
0,0,
lim,
x
y
xy
xy
xyf x y
xy
f x y
.
0
极限不存在时，得到不同的值，故同方向趋于取不同的值时，即沿不当 k
,
0
但极限并不存在时，得到相同的值，轴趋于轴或注：当沿 yx
例5 设求证
2 2 2 2
22
0
0
1
,sin 0
li m,0,
x
y
f x y x y x y
xy
f x y
22
22 1s i n
yxyx
22 221sin 0xy xy
22xy
证
时，有
，则当取
22
000
,0
yx
22 221sin 0xy xy证毕,
例 6 求
22
22
0
0
)s in (
lim yx
yx
y
x?
解 令 u= x2 + y2
0
sin
1lim
u
u
u?
原式复数与复变函数一、复数与复数的运算二、复变函数的概念三、复变函数的极限四、复变函数的连续性
（一）复变函数设复平面点集 G，如有确定的法则，
对于 G中每一复数 z= x+ iy，按照这一法则
，有复数 w = u + iv与之对应，则称 w是复变数 z 的函数，简称为复变函数,
例 w = z2= (x+ i y) 2= x2- y2+2xy i
w = u(x,y)+ iv(x,y)
记为,w = f
(z)
HG
复变函数 w = f( z) 在几何上看做：
把 Z平面上的一个点集 G 到 W平面上的一个点集 H的一个映射。
（二）几何解释
0
v
u0
y
x
z w
.z0 w0.W=f(z)
原象 映象
2 1w z z x w例 把 面上直线 映成 面上什么曲线,
2 2 2( ) 2,w u i v x i y x y x y i解
22,2,u x y v x y
1xw 在 平面上的象的参数方程为
21,2,.u y v y y
y消去参数 得方程为:
1 1 2,xx?直线 中 是从 连续地变到
2
1 4vu
u
v
0 1 4
2,.,
2 1w z z x w例 把 面上直线 映成 面上什么曲线,
1 1 2,xx?直线 中 是从 连续地变到
x
y
0,
1,2
2
1;4vu1x? 2x?
2
4 16vu
8.
1,2,w z z
z例2 对于映射 求圆周 的像
,,z x i y w u i v解设
22
x iyw x iy
xy
2 2 2 2
()xyx i y
x y x y
22
22
( 1 )
x
xu
xy
y
yv
xy
2 c o s ( 0 2 ) ( 2 )
2 s i n
x
y
2:z?圆 的参数方程为
:w表示 平上的椭圆
5
c os
2
( 0 2 )
3
si n
2
u
v
( 2 ) ( 1 )把 代入 得
22
22
1
53
( ) ( )
22
uv
（三）反函数假设函数 w = f( z )的 定义集合为 G，
函数值集合为 H，那么 H 中每一点 w 必有相应点 z 与之对应，这样就确定出一个函数
z= g( w),则 g 称为 f 的反函数。
2 2 2( ) 2,w z x y x y i例
1
2,zw?其反函数为
iw r e
1
2 22( c o s s in ),( 0,1 )kkz r i k
复数与复变函数一、复数与复数的运算二、复变函数的概念三、复变函数的极限四、复变函数的连续性
（一）、极限的定义
.
w
A ε
f(z)
设函数 w = f ( z )在 z0 的去心 ρ邻域内有定义，对任意给定 ε >0，总存在一正数 δ （ ε ） （
0<δ≤ρ）,使得当 0<∣ z - z0 ∣ <δ时，总有 ∣ f ( z )
- A∣ <ε，则称 A 为 z 趋向 z0 的极限,
0
li m ( )zz f z A记为 z
.
z
z
0
δ
（二）两个特点
（ 1）复变函数的极限可归结为两个实变函数的极限,
00 0(,) (,)
li m (,),x y x y u x y u
00 0(,) (,)
lim (,)x y x y v x y v
定理 1：设 f ( z )= u(x,y )+ iv( x,y ),A= u0+i v0,
z0= x0+i y0,则 的充要条件是
0
li m ( )zz f z A
( ),lim f z A
0zz
证
000,0,0 ( ) ( )x i y x i y当时
00( ) ( )u i v u i v有
22000 ( ) ( ),x x y y即当 时
00,.u u v v
00
00(,),(,),l i m l i mx x x x
y y y y
u x y u v x y v
从而反之若上两式成立,22000 ( ) ( ),x x y y则当 时
00,.22u u v v
有
0 0 0 0( ) ( ) ( ),f z A u u i v v u u v v而
00 -,zz当时 ( ),
22f z A
有
0
( ),lim
zz
f z A
（二）两个特点
（ 2）函数极限定义要求 z 趋向于 z0 的方式是任意的,
即不论 z 以何种方式趋向 z0,f (z )都趋向 A.
R e ( )( ) 0,zf z z
z例 证明函数 当 时的极限不存在
,z x i y证令
22
( ),xfz
xy
则
22
(,),0,xu x y v
xy
z y k x?令 沿直线 趋于零,
2200
( ) ( )
(,)lim lim
xx
y k x y k x
xu x y
xy
20
()
1
lim
x
y k x
x
xk?
2
1,
1 k
,.k由于极限值与 的取值有关 故所求极限不存在
（三）极限的四则运算
00
2 li m ( ),li m ( ),z z z zf z A g z B定理 若
0 0 0
1 ) lim [ ( ) ( ) ] lim ( ) lim ( )z z z z z zf z g z f z g z A B
0 0 0
2 ) lim [ ( ) ( ) ] lim ( ) lim ( )z z z z z zf z g z f z g z A B
0
0
0
li m ( )()
3 ) li m
( ) li m ( )
zz
zz
zz
fzf z A
g z g z B
.例 求下列极限
2
211
221 ) ( 2 ),2 ),
1l i m l i mz i z
z z z zz
z
复数与复变函数一、复数与复数的运算二、复变函数的概念三、复变函数的极限四、复变函数的连续性复变函数的连续性定理 3：函数 f (z )= u(x,y)+i v(x,y)在 z0= x0+ iy0处连续的充要条件是 u(x,y) 和 v(x,y) 在 (x0,y0) 处连续,
定义 1：若,则称 f (z)在 z0处连续
,0 0l i m ( ) ( )zz f z f z
定义 2,若 f (z )在区域 D内处处连续，则称 f (z )在 D
内连续,
00,0,,zz即 当 时有
0( ) ( )f z f z
复变函数的连续性定理 4,（ 1）在 z0 连续的两个函数 f (z )与 g( z )
的和、差、积、商（分母在 z0 不为 0）在 z0 仍连续,
（ 2）如函数 h = g( z )在 z0 连续，函数 w = f( h )
在 h0= g( z0) 连续，则复合函数 w = f [ g(z ) ] 在
z0处连续,
0 0,z当 沿 趋向
1
( ) ( 0)
( ),( ),2
0 ( 0)
zz
z
f z f zi z z
z
例 设 证 在原点不连续
( c o s s i n ),z r i证令
221
() 2 zzfz i z z 21 ( ) ( )2 z z z zi
r
2
1 2 c os 2 sin
2 r r iir
2 c o s s in sin 2
0
( ) 0,lim
z
fz
则
0,4z当 沿 趋向
0
( ) 1,lim
z
fz
则
()fz故 在原点没有极限,从而在原点不连续.
( ) (,) (,),f z u x y i v x y解设
002 ( ),( )f z z f z z如 在 连续 在 是否连续?
( ) (,) (,)f z u x y i v x y则
0 0 0( ),f z z x i y在 连续
00(,) (,),? 与 在( ) 必连续.u x y v x y x y
00(,),v x y x y 在( ) 必连续.
00()在z = 连续.f z x i y
3 试证 argz 在原点与负实轴上不连续,
000(,)z x y z1) 当 与 不是原点,负实轴,虚轴上的点时,
( 0 )
( 0 )
2
a r g
( 0,0 )
( 0,0 )
y
a rc tg x
x
x
z
y
a rc tg x y
x
y
a rc tg x y
x
解
00
00
0
0
0
0
,
ar g
.
li m li m
x x x x
y y y y
yy
arctgarctg
xx
z
yy
arctg arctg
x x
则
0
0a r g a r g,limzz zz
.从而连续
0 0 0 0 0 0,(,) ( 0 )z x y z i y y?3) 同理 当 为负虚轴上的点,= 时连续.
0 0 0 0 0 0(,) ( 0 )z x y z i y y?2) 当 为正虚轴上的点,= 时,
0
0
0
0
0
0
0
2
a r g
2 2 2
2
()
lim
li m li m
lim
x
yy
zz x
yy
x
yy
y
a rc tg
x
z
y
a rc tg
x
则
0
0a r g a r g,limzz zz
a r g,z从而 连续
0 0 0 0 0 0(,) ( 0 )z x y z x x?4) 当 为负实轴上的点,= 时,
0
0
0
0
0
()
ar g
()
lim
lim
lim
xx
y
zz
xx
y
y
arc tg
x
z
y
arc tg
x
0
a r g,lim
zz
z
不存在
5 ),.在原点处辐角不确定从而不连续从而不连续.
∴ argz 在原点与负实轴上不连续,
练习
1 ) { | 1 | | 2,0 a r g }w i z D z z z w把 映成 面的什么范围.
2
0,( 0 )
2 ) ( ),[ R e ( ) ]
,( 0 )
||
z
fz z
z
z
讨论 在原点的连续性
003 ),( ),| ( ) |,f z z f z z证明 如果 在 连续则 在 也连续
1
42 ( 1 )zi,求 的值.
3?证明三角形的内角和等于,
x i y a b i a b x y a b R
x i y
224,1,(,,,),设 证明
5,.指出下列方程的图形并指出是何种曲线
1 ) 1,0 1 ;z i t t 22 ) 3,0 1 ;tiz e t
23 ) 1,0 1 ;z i t t t
练习
1 2 3,,,
,,.
z z z
证 设三角形三个顶点分别为 对应的三个顶角分别为
21
31
a r g,zzzz 32
12
a r g,zzzz 13
23
a r g zzzz
3 2 1 321
3 1 1 2 2 3
1z z z zzzz z z z z z
3 2 1 321
3 1 1 2 2 3
a r g a r g a r g a r g ( 1 ) 2z z z zzz kz z z z z z
0,, 03
z
1
z2
z3γ
β
α
二元函数的定义
.
,,
,
,
,,,
D
P x y D z
z x y
z f x y
D x y
z z z f x y x y D
定义 设 是平面上的一个点集，如果对于每个点变量 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 是变量,的二元函数，记为点集 称为该函数的定义域,称为自变量，
也称为因变量,称为该函数的值域平面点集 D 实数点集,z f x y?
二元函数的极限
（一） 二重极限的定义设函数 A是常数，
如果对于任意给定的正数 ε，总存在一个正数 δ，
使得对于满足
0＜ |PP0|= ＜ δ
的一切点 都有成立，则称常数 A为函数 当时的极限，记为
2200( ) ( )x x y y
,P x y D?,
,f x y D在区域 内有定义，
,f x y A
,f x y 0,xx?
0yy?
0
0
l i m,,0
xx
yy
f x y A f x y A?
或解释：
δ
P0·
·P
·P
·P
(,)f x y A?
δ
P0·
22
0 0 00 ( ) ( )P P x x y y
结论当点 P以任意方向趋向于 P0时，函数趋于同一确定 的值，则函数极限存在。
如点 P沿不同的路径趋于点 P0时，函数趋 向于不同的值，则函数的极限不存在。
解
2 2 2 2200
00
0
lim lim
1xx
y k x y k x
y k x
x k xx y k
x y kx k x
沿直线 趋于,有
例4
研究极限,
22
22
22
0
0
,0,
,
0,0,
lim,
x
y
xy
xy
xyf x y
xy
f x y
.
0
极限不存在时，得到不同的值，故同方向趋于取不同的值时，即沿不当 k
,
0
但极限并不存在时，得到相同的值，轴趋于轴或注：当沿 yx
例5 设求证
2 2 2 2
22
0
0
1
,sin 0
li m,0,
x
y
f x y x y x y
xy
f x y
22
22 1s i n
yxyx
22 221sin 0xy xy
22xy
证
时，有
，则当取
22
000
,0
yx
22 221sin 0xy xy证毕,
例 6 求
22
22
0
0
)s in (
lim yx
yx
y
x?
解 令 u= x2 + y2
0
sin
1lim
u
u
u?
原式复数与复变函数一、复数与复数的运算二、复变函数的概念三、复变函数的极限四、复变函数的连续性
（一）复变函数设复平面点集 G，如有确定的法则，
对于 G中每一复数 z= x+ iy，按照这一法则
，有复数 w = u + iv与之对应，则称 w是复变数 z 的函数，简称为复变函数,
例 w = z2= (x+ i y) 2= x2- y2+2xy i
w = u(x,y)+ iv(x,y)
记为,w = f
(z)
HG
复变函数 w = f( z) 在几何上看做：
把 Z平面上的一个点集 G 到 W平面上的一个点集 H的一个映射。
（二）几何解释
0
v
u0
y
x
z w
.z0 w0.W=f(z)
原象 映象
2 1w z z x w例 把 面上直线 映成 面上什么曲线,
2 2 2( ) 2,w u i v x i y x y x y i解
22,2,u x y v x y
1xw 在 平面上的象的参数方程为
21,2,.u y v y y
y消去参数 得方程为:
1 1 2,xx?直线 中 是从 连续地变到
2
1 4vu
u
v
0 1 4
2,.,
2 1w z z x w例 把 面上直线 映成 面上什么曲线,
1 1 2,xx?直线 中 是从 连续地变到
x
y
0,
1,2
2
1;4vu1x? 2x?
2
4 16vu
8.
1,2,w z z
z例2 对于映射 求圆周 的像
,,z x i y w u i v解设
22
x iyw x iy
xy
2 2 2 2
()xyx i y
x y x y
22
22
( 1 )
x
xu
xy
y
yv
xy
2 c o s ( 0 2 ) ( 2 )
2 s i n
x
y
2:z?圆 的参数方程为
:w表示 平上的椭圆
5
c os
2
( 0 2 )
3
si n
2
u
v
( 2 ) ( 1 )把 代入 得
22
22
1
53
( ) ( )
22
uv
（三）反函数假设函数 w = f( z )的 定义集合为 G，
函数值集合为 H，那么 H 中每一点 w 必有相应点 z 与之对应，这样就确定出一个函数
z= g( w),则 g 称为 f 的反函数。
2 2 2( ) 2,w z x y x y i例
1
2,zw?其反函数为
iw r e
1
2 22( c o s s in ),( 0,1 )kkz r i k
复数与复变函数一、复数与复数的运算二、复变函数的概念三、复变函数的极限四、复变函数的连续性
（一）、极限的定义
.
w
A ε
f(z)
设函数 w = f ( z )在 z0 的去心 ρ邻域内有定义，对任意给定 ε >0，总存在一正数 δ （ ε ） （
0<δ≤ρ）,使得当 0<∣ z - z0 ∣ <δ时，总有 ∣ f ( z )
- A∣ <ε，则称 A 为 z 趋向 z0 的极限,
0
li m ( )zz f z A记为 z
.
z
z
0
δ
（二）两个特点
（ 1）复变函数的极限可归结为两个实变函数的极限,
00 0(,) (,)
li m (,),x y x y u x y u
00 0(,) (,)
lim (,)x y x y v x y v
定理 1：设 f ( z )= u(x,y )+ iv( x,y ),A= u0+i v0,
z0= x0+i y0,则 的充要条件是
0
li m ( )zz f z A
( ),lim f z A
0zz
证
000,0,0 ( ) ( )x i y x i y当时
00( ) ( )u i v u i v有
22000 ( ) ( ),x x y y即当 时
00,.u u v v
00
00(,),(,),l i m l i mx x x x
y y y y
u x y u v x y v
从而反之若上两式成立,22000 ( ) ( ),x x y y则当 时
00,.22u u v v
有
0 0 0 0( ) ( ) ( ),f z A u u i v v u u v v而
00 -,zz当时 ( ),
22f z A
有
0
( ),lim
zz
f z A
（二）两个特点
（ 2）函数极限定义要求 z 趋向于 z0 的方式是任意的,
即不论 z 以何种方式趋向 z0,f (z )都趋向 A.
R e ( )( ) 0,zf z z
z例 证明函数 当 时的极限不存在
,z x i y证令
22
( ),xfz
xy
则
22
(,),0,xu x y v
xy
z y k x?令 沿直线 趋于零,
2200
( ) ( )
(,)lim lim
xx
y k x y k x
xu x y
xy
20
()
1
lim
x
y k x
x
xk?
2
1,
1 k
,.k由于极限值与 的取值有关 故所求极限不存在
（三）极限的四则运算
00
2 li m ( ),li m ( ),z z z zf z A g z B定理 若
0 0 0
1 ) lim [ ( ) ( ) ] lim ( ) lim ( )z z z z z zf z g z f z g z A B
0 0 0
2 ) lim [ ( ) ( ) ] lim ( ) lim ( )z z z z z zf z g z f z g z A B
0
0
0
li m ( )()
3 ) li m
( ) li m ( )
zz
zz
zz
fzf z A
g z g z B
.例 求下列极限
2
211
221 ) ( 2 ),2 ),
1l i m l i mz i z
z z z zz
z
复数与复变函数一、复数与复数的运算二、复变函数的概念三、复变函数的极限四、复变函数的连续性复变函数的连续性定理 3：函数 f (z )= u(x,y)+i v(x,y)在 z0= x0+ iy0处连续的充要条件是 u(x,y) 和 v(x,y) 在 (x0,y0) 处连续,
定义 1：若,则称 f (z)在 z0处连续
,0 0l i m ( ) ( )zz f z f z
定义 2,若 f (z )在区域 D内处处连续，则称 f (z )在 D
内连续,
00,0,,zz即 当 时有
0( ) ( )f z f z
复变函数的连续性定理 4,（ 1）在 z0 连续的两个函数 f (z )与 g( z )
的和、差、积、商（分母在 z0 不为 0）在 z0 仍连续,
（ 2）如函数 h = g( z )在 z0 连续，函数 w = f( h )
在 h0= g( z0) 连续，则复合函数 w = f [ g(z ) ] 在
z0处连续,
0 0,z当 沿 趋向
1
( ) ( 0)
( ),( ),2
0 ( 0)
zz
z
f z f zi z z
z
例 设 证 在原点不连续
( c o s s i n ),z r i证令
221
() 2 zzfz i z z 21 ( ) ( )2 z z z zi
r
2
1 2 c os 2 sin
2 r r iir
2 c o s s in sin 2
0
( ) 0,lim
z
fz
则
0,4z当 沿 趋向
0
( ) 1,lim
z
fz
则
()fz故 在原点没有极限,从而在原点不连续.
( ) (,) (,),f z u x y i v x y解设
002 ( ),( )f z z f z z如 在 连续 在 是否连续?
( ) (,) (,)f z u x y i v x y则
0 0 0( ),f z z x i y在 连续
00(,) (,),? 与 在( ) 必连续.u x y v x y x y
00(,),v x y x y 在( ) 必连续.
00()在z = 连续.f z x i y
3 试证 argz 在原点与负实轴上不连续,
000(,)z x y z1) 当 与 不是原点,负实轴,虚轴上的点时,
( 0 )
( 0 )
2
a r g
( 0,0 )
( 0,0 )
y
a rc tg x
x
x
z
y
a rc tg x y
x
y
a rc tg x y
x
解
00
00
0
0
0
0
,
ar g
.
li m li m
x x x x
y y y y
yy
arctgarctg
xx
z
yy
arctg arctg
x x
则
0
0a r g a r g,limzz zz
.从而连续
0 0 0 0 0 0,(,) ( 0 )z x y z i y y?3) 同理 当 为负虚轴上的点,= 时连续.
0 0 0 0 0 0(,) ( 0 )z x y z i y y?2) 当 为正虚轴上的点,= 时,
0
0
0
0
0
0
0
2
a r g
2 2 2
2
()
lim
li m li m
lim
x
yy
zz x
yy
x
yy
y
a rc tg
x
z
y
a rc tg
x
则
0
0a r g a r g,limzz zz
a r g,z从而 连续
0 0 0 0 0 0(,) ( 0 )z x y z x x?4) 当 为负实轴上的点,= 时,
0
0
0
0
0
()
ar g
()
lim
lim
lim
xx
y
zz
xx
y
y
arc tg
x
z
y
arc tg
x
0
a r g,lim
zz
z
不存在
5 ),.在原点处辐角不确定从而不连续从而不连续.
∴ argz 在原点与负实轴上不连续,
练习
1 ) { | 1 | | 2,0 a r g }w i z D z z z w把 映成 面的什么范围.
2
0,( 0 )
2 ) ( ),[ R e ( ) ]
,( 0 )
||
z
fz z
z
z
讨论 在原点的连续性
003 ),( ),| ( ) |,f z z f z z证明 如果 在 连续则 在 也连续
