复变函数的积分复变函数的积分
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数
.z
2
Zn-1
.
z1.
.
Zk.
Zk-1
β
α
1
11
( ) ( ) ( )
nn
n k k k k k
kk
S f z z f z


0
y
x
.ξn.ξ2ξ1.,ξk
（一）复积分的定义
设函数 w = f (z )定义在区域 D上,C是 D内的光滑有向曲线，起点为 α，终点为 β。把 C 任意分为 n 个弧段，分点为,α= z0,z1,…,
zn-1,zn =β,在每个小 弧段
上任取的一点 ξk,
作和式
1kkzz?
其中 △ zk= zk – zk-1,记 △ sk = 弧段的长度,δ= max{△ sk }(1≤k≤n),当 n
无限增加且 δ趋于 0 时，不论对 C 如何分法
，及 ξk如何取法,Sn有唯一的极限，则定义 f (z ) 沿曲线 C 的积分为,
0 1
( ) lim ( )
n
kkc
k
f z d z f z


（一）复积分的定义
1kkzz?
（二）计算公式一
( ) (,) (,),
( ),( )c c c
f z u x y i v x y c
f z c f z d z u d x v d y i v d x u d y


定理 若 沿曲线 连续 则沿 可积 且
,k k ki证设
1 1 1()k k k k k k kz z z x i y x i y
11()k k k kx x i y ykkx i y
11
( ) [ (,) (,) ] ( )
nn
k k k k k k k k
kk
f z u iv x i y


1
1
[ (,) (,) ]
[ (,) (,) ]
n
k k k k k k
k
n
k k k k k k
k
u x v y
i v x u y




z = z( t ) = x( t )+iy( t ) (a≤t≤b),其中 a对应曲线的起点,b对应曲线的终点,t 增加的方向是曲线的正方向，则 ( ) [ ( ) ] ( )b
caf z d z f z t z t d t
如果曲线 C由参数方程表示：
( ) { [ ( ),( ) ] ( ) [ ( ),( ) ] ( ) }
{ [ ( ),( ) ] ( ) [ ( ),( ) ] ( ) }
b
ca
b
a
f z d z u x t y t x t v x t y t y t d t
i v x t y t x t u x t y t y t d t



{ [ ( ),( ) ] [ ( ),( ) ] } [ ( ) ( ) ]ba u x t y t iv x t y t x t iy t d t
[ ( ) ] ( )ba f z t z t d t
（二）计算公式二例 1 计算,其中 C 以 z0 为中心,r为半径的正向圆周,n为整数,
1
0()
c n
dz
zz
o x
y
z0,r 0:,0 2,
ic z z r e解 的方程为
2
1 1 ( 1 )0
0()
i
n n i n
c
d z ir e d
z z r e

2
0 n i n
i d
re

2
0
in
n
i ed
r

0,1,inne当时
0,n?当时
1
0
2.() n
c
dz i
zz则
2
1 0
0
( c o s s i n ) 0,() nn
c
d z i n i n d
z z r

则
1
0
,2
( ) 0,( 0
(
)
0)
nc
indz
z z n


的整数
（三）性质
()c f z d z M L
1 ) ( ) ( )ccf z d z f z d z
2 ) ( ) ( ) ( )cck f z d z k f z d z k 为常数
3 ) ( ) ( ) ( ) ( )c c cf z g z d z f z d z g z d z
5 ) ( ) ( ) ( )c c cf z d z f z d z f z d s
124) ( ) ( ) ( ) ( )nc c c cf z d z f z d z f z d z f z d z
6 ),| ( ) |,,c f z M L c?若沿曲线 是 的长 则
1 1 1
( ) | ( ) | | | | ( ) |
n n n
k k k k k k
k k k
f z f z f s


2
| | 2,2
.
c
dz
c i i
z
例2 试证 其中 是连接 和的直线段
:
( 1 ) ( 2 ),( 0 1 )z t i t i t
证 c 的参数方程为
2 2 2
1 1 1||
| | 4 1z z t且 2.c,而 的长为
2 ( 0 1 ),z t i t即
2
1,c
z 沿 连续
1?
2| | 2,c
dz
z
0
y
x1
i.,
2
2+i
例 3 计算,积分曲线 C是：
(1)连接 0到 2+i 的直线段； (2)由 0(点 O)到
2(点 A)，再由 2到 2+i (点 B) 的折线段,
Im( )c z d z?
11 ),,,( 0 2 )
2x t y t t解 直线方程为
1,
2z t i t
1Im,
2z y t
1( 1 ),
2d z i d t
2
0
11I m ( 1 ) 1,
2 2 2c
tz d z i d t i
2 ),0,( 0 2 ),,0,O A y x d z d x d y线段 的方程为
,2,( 0 1 ),,0,A B x y d z i d y d x线段 的方程为
Im
c O A A B
zd z y d z y d z
AB
y idy 10,2ii dy
2,
c
z d z c
z?计算积分 其中 为图所围区域的边界正向.
21,
c
z d z c?计算 其中 为,1 ) 从- 1 到1 的直线段; 2 ) 从
-1 沿上半圆周到1 ; 3 ) 从- 1 沿下半圆周到1,
1-1 0 x
y
图 1
练习
()43
0 x
c1
y
c4c2
c3
图 2
-1 12 2