复变函数的积分
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数
C
D
,z0RK
柯西积分公式定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析,C为 D
内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含 D
,z0为 D内任一点，则
0
0
1 ( )()
2 c
fzf z d z
i z z?
证 ∵ f (z )在 z0 连续，对任意 ε>0,存在
δ>0,当 |z - z0|<δ时,| f (z) - f (z0)|<ε.
0
0
() 2 ( )
c
fz d z if z
zz
00( ) ( ) ( )
kk
f z f z f z dz
z z z z
0
0
0
( ) ( )2 ( )
k
f z f zi f z d z
zz
00
00
( ) ( ) | ( ) ( )|2
||k k k
f z f z f z f zd z d s d s
z z z z R
00
( ) ( )
ck
f z f z dz
z z z z
设以 z0 为中心,R为半径的圆周 K:|z - z0| = R
在 C 的内部,且 R<δ.则例 计算下列积分（沿圆周正向）
4
122 ) ( )
13z
dz
zz?
22
1)
( 9 ) ( )z
z dz
z z i
2
2
91)
()z
z
z dz
zi?
解 原式
22,59
zi
zi
z
44
22)
13zz
d z d z
zz
原式
2 1 2 2 6,i i i
复变函数的积分
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数高阶导数
定理 解析函数 f(z )的导数仍是解析函数，它的
n阶导数为其中 C为函数 f (z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，且它的内部全含于 D。
()
0 1
0
! ( )( ) ( 1,2 )
2 ()
n
c n
n f zf z d z n
i zz
00
0
0
( ) ( )()
lim
z
f z z f zfz
z
证
0
0
1 ( )( ),
2 c
fzf z d z
i z z?
00
00
( ) ( ) 1 ( ) ( )[]
2 cc
f z z f z f z f zd z d z
z i z z z z z z?
22
0 0 0
1 ( ) ( )[]
2 ( ) ( ) ( )cc
f z f z zd z d z
i z z z z z z z?
00
1 ( )
2 ( ) ( )c
fz dz
i z z z z z?
2
0
1 ( )
2 ()c
fz dz
i zz?
3( | | | | )
MLIz
d
0
0
1 ( )()
2 c
fzf z z d z
i z z z?
1 计算积分,C是绕 i 一周的闭曲线,
3
c o s
()c
z dz
zi
3
2 ( c o s )
() zi
i z
zi
解 原式
c o sii
1
.
2
eei
2 计算,C为正向圆周 |z|= r >1.
22( 1 )
z
c
e dz
z
22,()
ze
c z i
z
解 在 内的 处不解析
12,-,,C i i C C在 内以 为中心作正向圆周
12
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )
z z z
c c c
e e ed z d z d z
z z z
12
22
22
( ) ( )
( ) ( )
zz
cc
ee
z i z i
d z d z
z i z i
x
c1
c2-i
i
y
0
.
.
22
22[ ] [ ]
( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !( ) ( )
zz
z i z i
i e i e
z i z i
1( 1 ) ( 1 )
22
ii e i e
1( 1 ) ( )
2
ii e ie
2( 1 ) ( c o s 1 sin 1 )
2 i
2 sin ( 1 )4i
复变函数的积分
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数解析函数与调和函数定理 如函数 f(z)= u + iv 在区域 D 内解析，则 u 和 v 是 D内的调和函数,
定义 1 如果二元实变函数 f(x,y)在区域 D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程则称 f(x,y) 为区域 D内的调和函数,
22
22 0
ff
xy
定义 2 设 u(x,y)是区域 D 内的调和函数，如
v(x,y)也是 D内的调和函数，且 u + iv 是 D内的解析函数，则称 v (x,y)为 u(x,y) 的共轭调和函数,
v (x,y)的共轭调和函数是什么？
例 已知调和函数 v =e x( y cosy + x siny )+ x + y,
求解析函数 f(z) = u + iv.
( c o s sin sin ) 1,xv e y y x y y
x
解
( c o s s in c o s ) 1,xv e y y y x y
y
( c o s s i n c o s ) 1,xuv e y y y x y
xy
由
[ ( c o s s i n c o s ) 1 ]xu e y y y x y d x
( c o s s i n ) ( )xe x y y y x g y
vu
xy
()g y y c
( c o s s in s in ) 1
( s in c o s s in ) ( )
x
x
e y y x y y
e x y y y y g y
( ) ( c o s s in )
[ ( c o s s in ) ]
x
x
f z e x y y y x y c
i e y y x y x y
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数
C
D
,z0RK
柯西积分公式定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析,C为 D
内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含 D
,z0为 D内任一点，则
0
0
1 ( )()
2 c
fzf z d z
i z z?
证 ∵ f (z )在 z0 连续，对任意 ε>0,存在
δ>0,当 |z - z0|<δ时,| f (z) - f (z0)|<ε.
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设以 z0 为中心,R为半径的圆周 K:|z - z0| = R
在 C 的内部,且 R<δ.则例 计算下列积分（沿圆周正向）
4
122 ) ( )
13z
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22
1)
( 9 ) ( )z
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2
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解 原式
22,59
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44
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13zz
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原式
2 1 2 2 6,i i i
复变函数的积分
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数高阶导数
定理 解析函数 f(z )的导数仍是解析函数，它的
n阶导数为其中 C为函数 f (z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，且它的内部全含于 D。
()
0 1
0
! ( )( ) ( 1,2 )
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1 计算积分,C是绕 i 一周的闭曲线,
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解 原式
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2 计算,C为正向圆周 |z|= r >1.
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解 在 内的 处不解析
12,-,,C i i C C在 内以 为中心作正向圆周
12
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )
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12
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复变函数的积分
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数解析函数与调和函数定理 如函数 f(z)= u + iv 在区域 D 内解析，则 u 和 v 是 D内的调和函数,
定义 1 如果二元实变函数 f(x,y)在区域 D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程则称 f(x,y) 为区域 D内的调和函数,
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22 0
ff
xy
定义 2 设 u(x,y)是区域 D 内的调和函数，如
v(x,y)也是 D内的调和函数，且 u + iv 是 D内的解析函数，则称 v (x,y)为 u(x,y) 的共轭调和函数,
v (x,y)的共轭调和函数是什么？
例 已知调和函数 v =e x( y cosy + x siny )+ x + y,
求解析函数 f(z) = u + iv.
( c o s sin sin ) 1,xv e y y x y y
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解
( c o s s in c o s ) 1,xv e y y y x y
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