复变函数的积分
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数
（一）定理
柯西 — 古萨定理：如果函数 f( z )在单连通域 B内处处解析，那么 f( z )沿 B
内的任一条封闭曲线 C 的积分为 0,即
( ) 0c f z d z
（二）复合闭路
定义：如果有一些简单闭曲线全被一条简单闭曲线包含在内，这些内部的闭曲线互不包含，也不相交，则说它们组成一条复合闭路。
闭路正向：指沿此方向前进时区域总在左手边的那个方向。复合闭路的外圈为反时针，内中的圈为顺时针,
co
cn
c2
c1
0 1 2 nc c c c

定理的推广
1
( ) ( ) ( )
k
n
kcC
k
f z d z f z d z c c
或 及 都取正向
-
1
--
2
,( )
( ) 0,n
f z D c c
c c D f z d z


复合闭路定理 如果 在 内解析,
所围的区域全属于,则
( ) 0,
A E B B E A A
f z d z


( ) 0,
A A F B B F A
f z d z


1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0,
c c AA A A
B B BB
f z d z f z d z f z d z f z d z
f z d z f z d z






1
( ) ( ) 0,
c c
f z d z f z d z

上两式相加得
1
( ) ( ),
cc
f z d z f z d z
c1 c2
A
E
F
B
A? B?
F?
E?
D
2
11,| | 2,
1c
d z c z
z

例 计算 是圆周 的正向
2
1| | 2,1,
1
zz
z

解 在 内 除 外都解析
121,.z c c以 为圆心作圆周
12
2 2 2
1 1 1ccc
d z d z d z
z z z


1 1 2 2
11[ ] [ ]
2 1 1 2 1 1c c c c
d z d z d z d z
z z z z


112 2 0
22 ii
0
x
y
1-1
c1c2
2
1
2,
1
1 ) { | | 2 },2 ) { | | 1 },
c
dz
z
c z z c z z i

计算
-ic2
ic
1
0 x
y
2
12
22
111)
11cc
d z d z
zz


解 原式
1 1 1
2
1 1 1 1[]
12c c c
d z d z d z
z i z i z i


2
2
i
i

2 2 2
2
1 1 1 1[]
12c c c
d z d z d z
z i z i z i


2
2
i
i

2
1 0
1c
dz
z

2
12 ),
1c
dz
z


3,,.
0,1 ;
( ) 2,1,;
2,1,
n
c
c a n
n
z a d z i n a c
i n a c



证明 若 是任意且不经过点 的简单闭路 是整数则 点 在 内点 在 外.
1 ) 0,1,,
:
n n a c c a证 若 且 点 在 内 则在 内部作以 中心的圆
2
0()
n n in i
c
z a d z r e r ie d 21 ( 1 )0 0n i nir e d
| |,z a r
( ) 0n
c
z a d z
,( ) na c z a c?当点 在 外 在一个包含 的单连通域内解析.
2 ) 1,,,| |,n a c c z a r若 点 在 内 则在 内部作圆
2
0
1 2
()
i
i
c
i r ed z d i
z a r e

1
3 ) 1,,( )n a c f z c
za

若 点 在 外 则 在包含 的单连通域内解析
1 0.
()c
dz
za


复变函数的积分
一、复变函数积分的概念与性质
二、柯西 — 古萨定理
三、原函数与不定积分
四、柯西积分公式
五、解析函数的高阶导数
六、解析函数与调和函数
0
( ) ( )zzF z f d
定理 1 若 f (z )在单连通域 D 内解析，则在 D内解析，且 F’(z) = f(z ).
变上限函数
( ) ( )F z z F z
z

00
1 [ ( ) ( ) ]z z z
zzf d f dz


1 ()zz
z fdz


.z
0
.z
k
,zz
( ) ( ) 1( ) [ ( ) ( ) ]z z z z
zz
F z z F z f z f d z f z d z
zz?


0
1 [ ( ) ( ) ]zz
z f f z dz


1 ( ) ( )zz
z f z d f zz?


( ),0,
,| ( ) ( ) |,
f z D
f f z



在 内连续 对 只要圆k 足够小,
则k 内一切 均满足条件
( ) ( ) ()F z z F z zfz
zz


( ) ( )F z f z
定义 1 如函数 F(z )在区域 D内的导数等于 f(z),
即 F’(z)= f(z),则称 F(z)为 f(z)在区域 D内的原函数,
定义 2 f(z)的原函数的一般表达式 F(z)+C(其中
C为任意常数）称为 f(z) 的不定积分。记为
( ) ( )f z d z F z c
原函数与不定积分原函数与不定积分定理 2 如 f( z) 在单连通域 D 内处处解析，
G(z) 是 f (z )的一个原函数,z0,z1为 D两点,则
1
0 10
( ) ( ) ( )zz f z d z G z G z
1 2
01)
i z d z例 22 ) c o sb
a z z d z?
13
0
3
i
z
3(1 )
3
i
21 sin
2
b
a
z?
2211sin sin
22ba
1
l n ( 1 )| | 1,.
1
i zz d z
z


例 试沿第一象限的圆弧 计算
2
ln ( 1 )
,
1
1
,ln ( 1 ),
2
z
z
z
解 在所给的区域内解析 且其原函数为
2
1
ln ( 1 ) 1 ln ( 1 )
12
iz z
z

221 [ ln ( 1 ) ln 2 ]
2
i
2211[ ( l n 2 ) l n 2 ]
2 2 4 i
2 23 ln 2ln 2
3 2 8 8
i