解析函数解析函数
一、导数
二、解析
三、初等函数
1 定义
0
0
0
( ) ( )() lim
zzz
d w f z z f zfz
d z z
记为设函数 在区域 D 内有定义，
与 都是 D 内的点，如极限存在，
则称 在 可导，
这个极限值称为 在 的导数。
0
( ) ( )lim
z
f z z f z
z
()w f z?
z z z
0z
()fz 0z
解
0
( ) ( )
() lim
z
f z z f z
fz
z
22
0
()lim
z
z z z
z
0
( 2 )lim
z
zz
2z?
例 1 求函数 的导数
。
2()f z z?
例 2 判断 是否可导,( ) 2f z x y i
解,z x i y z x y i
0
( ) ( )lim
z
f z z f z
z
0
( ) 2 ( ) 2lim
z
x x y y i x y i
x y i
0
2lim
z
x y i
x y i
当 沿着平行于 x 轴的直线趋向 z 时,zz
0
2 1lim
z
x y i
x y i
当 沿着平行于 y 轴的直线趋向 z 时，zz
0
2 2lim
z
x y i
x y i
故函数 在任一点 z 处的导数都不存在,()fz
2 求导法则为正常数.1( 2 ) ( ),nnz n z n
( 3) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )f z g z f z g z
( 4) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )f z g z f z g z f z g z
2
( ) 1( 5 ) [ ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ],( ( ) 0 )
( ) ( )
fz f z g z f z g z g z
g z g z
( 1 ) (,)0c c 为复常数
1( 7 ) ( ),( ) ( )
()
f z w f z z w
w
其中 与
( 6 ) { [ ( ) ] } ( ) ( ),( ),f g z f w g z w g z 其中是两个互为反函数的单值函数，且 ( ) 0w
例 4 求函数 的导数,2()
1
zfz
z
2 2 2
22
( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )()
( 1 ) ( 1 )
z z z z z z zfz
zz
2
( 2 )
( 1 )
zz
z
解
3 微分概念
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )w f z z f z f z z z z
0( ),w f z z?设 在 可导 则
0
( ) 0,lim
z
z?
其中 () z z z因而 是 的高阶无穷小,而 是函数的改变量的 的线性部分,称 为函数 在 的微分,
0()f z z ()w f z?
w? 0()f z z
()w f z? 0z
如 在 处的微分存在，则称在 可微。函数可导与可微等价。
0()f z z ()fz
0z
3 微分概念例 3 证明 在 平面上处处不可微,但却处处连续。
()f z z z?
0 0 0,,z x i y z x i y z x i y证则
00
0
00()lim lim
xxzz
yy
z x iy x iy z
( ),f z z z 在 平面上处处连续
f z z z z z z z
z z z z
0 0,zx当 沿 趋向于 时
0
1lim
z
f
z
0
1lim
z
f
z
0
lim
z
z
z
不存在故它在复平面上处处不可微,
0 0,zy当 沿 趋向于 时解析函数
一、导数
二、解析
三、初等函数
1、定义
3） 奇点,如 f( z )在 z0不解析,但 z0 的每一邻域有若干点使 f( z )解析，则称 z0为 f( z )的奇点。
1） 在某点解析,如函数 f( z ) 在 z0 可导 及 z0
的某一邻域处处 可导,则称 f( z )在 z0 解析,
2） 在某区域解析,如 f( z )在区域 D内每一点解析，则称 f( z )在 D 内解析，或称 f (z )
是 D内的一个解析函数,
2 可导与解析的关系某一点可导 某点解析区域内可导 区域内解析
2( ),f z z?例4 讨论 的解析性解 2 20000 ||( ) ( ) z z zf z z f z
zz
0 0 0 0
00
( ) ( )z z z z z z zz z z
zz
0 0z?当 时,( 0 ) 0f
0 0 0 0()z z y y k x x z令 沿 趋于
0
1
1limz
z k i
z k i
上式极限值与 k 的取值有关，从而极限不存在,
2( ) 0,f z z z仅在 可导 在整个复平面上处处不解析.
0 0z?当 时,
2
1dw
dz z
1,w
z
例5 讨论 的解析性故在除 外的复平面，函数处处解析，而 是它的一个奇点,
0z?
0z?
1w
z
解
3 解析函数性质定理 1（ 1）若函数 f(z ),g(z )都在区域 D内解析，则它们的和、差、积、商（除去分母为 0
的点）在 D内解析,
（ 2）设函数 h = g (z )在 z 平面上的区域 D 内解析
，函数 w = f (h )在 h 平面上的区域 G内解析，若对于 D内每一点 z,g(z )的对应值 h都属于 G，则复合函数 w = f [g(z )]在 D内解析,
4 结论
10 1 01 ) ( ) ( 0)nn nP z a z a z a a多项式函数
120 1 2 1( ) ( 1 ) 2nn nnP z n a z n a z a a
1
001
1 0
01
0()
2 ) ( )
0()
nn
n
nn
n
aa z a z aPz
bQz b z b z b
有理分式函数在除使 的点外的整个 z 平面内是解析的( ) 0Qz?
而使 的点是它的奇点,( ) 0Qz?
在 z 平面内是处处解析的,且
5 某点可微的判定定理 2 函数 f( z )= u( x,y)+ iv( x,y)在 D上有定义，且在 D内一点可微的充要条件是
,uvxy即,vu
xy
简写为
C.- R.
(1) u( x,y)与 v(x,y)在点 ( x0,y0 ) 可微 ;
(2) u(x,y),v(x,y)在点 ( x0,y0 )满足柯西 —
黎曼方程,
证：（必要性）
()f z D设 在 内一点可微,则
( ) ( ) ( ) ( 1 )f z f z z z z
( ) 0 0zz其中 是当 而趋势于 的复数.
( ),,( )f z a i b z x i y f z u i v令
12( ),zi则（ 1）式可写成
：
12( ) ( ) ( ) ( )u i v a i b x i y i x i y
1 2 2 1( ) ( )a x b y i b x a y x y i x y
1 2 2 1[)a x b y x y i b x a y x y
12u a x b y x y
21v b x a y x y
0
( ) 0lim
z
z?
12
00
0,0l i m l i m
zz
(,),(,) (,)u x y v x y x y? 在 可微
,u v u vabx y y x且充分性：
(,),(,)u x y v x y由 的可微性知
1xyu u x u y
2xyv v x v y
2212,xy其中 是 的高阶无穷小由 C-R条件得
，x y y xa u v b u v
12( ) ) ( )f u i v a x b y i b x a y
12( ) ( )a i b x i y i
12 if a ib
zz
1212
2 2 2 2
i
z x y x y
0z
f a ib
zlim
( ) (,)f z x y? 在点 可微
6 导数的计算方法
( ) (,) (,)f z u x y i v x y已知函数
() uvf z i
xx
vu
i
yy
uui
xy
vvi
yx
则
7 区域内解析的判定
(2) u,v 在 D 内每一点满足柯西 — 黎曼方程,
定理 3 函数 f(z )=u( x,y)+i v( x,y)在区域 D内解析的充要条件是：
(1) u,v 在 D内每一点都可微；
,uvxy即,vu
xy
解 22(,),(,) 0u x y x y v x y
2,2,0,0x y x yu x u y v v
上面的四个偏导数处处连续,但只在
z = 0 处满足 C-R 条件,
( ) 0,f z z 只在 可微
( ),f z z从而 在 平面上处处不解析
26 ( ),f z z?例 讨论 的解析性
( ) 0u v v uf z i i
x x y y
证 ∵ 函数在区域内处处可导,且 ( ) 0fz
0u v v u
x x y y
从而 u =常数,v =常数,故函数在 D内是常数,
7 ( ) ( )
.
f z D f z
D
例 证明,如 在区域 处处为0,则在 内为一常数而函数 f(z)在 D内解析,
例 8 证明：如在区域 D内解析，且满足下列条件之一，
则函数是常数,
( ) (,) (,)f z u x y i v x y
1 ) ( )fz 恒取实数;
2 ) a r g ( )f z D在 内为一常数.
( ) 0fz ( ),fz故 为常数
(,) 0v x y
0,0xyvv
,x y y xu v u v0,0xyuu
()fz证 恒取实数,
2 ) a r g ( ),fz 为一常数
( ),a r g ( ) vf z f z a r c tg u?设 在第一象限 于是有
v c
u
(c为实常数 ).
.v c u?即
()fz 解析
x y y
y x x
u v c u
u v c u
0,0x y y xc u u v v当时
( ) 0fz
()fz? 是常数.
当 c ≠0 时,11
xy
xy
u c u
c
cuu
c
ci,这与 c是实常数矛盾,
0c只有
()fz? 是常数.
练习
1、设问常实数 a,b,c,d 取何值时,在平面上解析,
2 2 2 2( ) ( ),f z x a x y b y i c x d x y y
()f z z
2、试判断下列函数的可微性和解析性,
22( 1 ) ( )f z x y i x y
22( 2 ) ( )f z x i y
33( 3 ) ( ) 2 2f z x i y
3 2 2 3( 4 ) ( ) 3 ( 3 )f z x x y i x y y
（只在 z = 0可微）
（只在 y = x可微）
xy( 只 在 可 微 )
（处处可微 ）
（ a =d = 2,b = c = -1 ）
一、导数
二、解析
三、初等函数
1 定义
0
0
0
( ) ( )() lim
zzz
d w f z z f zfz
d z z
记为设函数 在区域 D 内有定义，
与 都是 D 内的点，如极限存在，
则称 在 可导，
这个极限值称为 在 的导数。
0
( ) ( )lim
z
f z z f z
z
()w f z?
z z z
0z
()fz 0z
解
0
( ) ( )
() lim
z
f z z f z
fz
z
22
0
()lim
z
z z z
z
0
( 2 )lim
z
zz
2z?
例 1 求函数 的导数
。
2()f z z?
例 2 判断 是否可导,( ) 2f z x y i
解,z x i y z x y i
0
( ) ( )lim
z
f z z f z
z
0
( ) 2 ( ) 2lim
z
x x y y i x y i
x y i
0
2lim
z
x y i
x y i
当 沿着平行于 x 轴的直线趋向 z 时,zz
0
2 1lim
z
x y i
x y i
当 沿着平行于 y 轴的直线趋向 z 时，zz
0
2 2lim
z
x y i
x y i
故函数 在任一点 z 处的导数都不存在,()fz
2 求导法则为正常数.1( 2 ) ( ),nnz n z n
( 3) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )f z g z f z g z
( 4) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )f z g z f z g z f z g z
2
( ) 1( 5 ) [ ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ],( ( ) 0 )
( ) ( )
fz f z g z f z g z g z
g z g z
( 1 ) (,)0c c 为复常数
1( 7 ) ( ),( ) ( )
()
f z w f z z w
w
其中 与
( 6 ) { [ ( ) ] } ( ) ( ),( ),f g z f w g z w g z 其中是两个互为反函数的单值函数，且 ( ) 0w
例 4 求函数 的导数,2()
1
zfz
z
2 2 2
22
( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )()
( 1 ) ( 1 )
z z z z z z zfz
zz
2
( 2 )
( 1 )
zz
z
解
3 微分概念
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )w f z z f z f z z z z
0( ),w f z z?设 在 可导 则
0
( ) 0,lim
z
z?
其中 () z z z因而 是 的高阶无穷小,而 是函数的改变量的 的线性部分,称 为函数 在 的微分,
0()f z z ()w f z?
w? 0()f z z
()w f z? 0z
如 在 处的微分存在，则称在 可微。函数可导与可微等价。
0()f z z ()fz
0z
3 微分概念例 3 证明 在 平面上处处不可微,但却处处连续。
()f z z z?
0 0 0,,z x i y z x i y z x i y证则
00
0
00()lim lim
xxzz
yy
z x iy x iy z
( ),f z z z 在 平面上处处连续
f z z z z z z z
z z z z
0 0,zx当 沿 趋向于 时
0
1lim
z
f
z
0
1lim
z
f
z
0
lim
z
z
z
不存在故它在复平面上处处不可微,
0 0,zy当 沿 趋向于 时解析函数
一、导数
二、解析
三、初等函数
1、定义
3） 奇点,如 f( z )在 z0不解析,但 z0 的每一邻域有若干点使 f( z )解析，则称 z0为 f( z )的奇点。
1） 在某点解析,如函数 f( z ) 在 z0 可导 及 z0
的某一邻域处处 可导,则称 f( z )在 z0 解析,
2） 在某区域解析,如 f( z )在区域 D内每一点解析，则称 f( z )在 D 内解析，或称 f (z )
是 D内的一个解析函数,
2 可导与解析的关系某一点可导 某点解析区域内可导 区域内解析
2( ),f z z?例4 讨论 的解析性解 2 20000 ||( ) ( ) z z zf z z f z
zz
0 0 0 0
00
( ) ( )z z z z z z zz z z
zz
0 0z?当 时,( 0 ) 0f
0 0 0 0()z z y y k x x z令 沿 趋于
0
1
1limz
z k i
z k i
上式极限值与 k 的取值有关，从而极限不存在,
2( ) 0,f z z z仅在 可导 在整个复平面上处处不解析.
0 0z?当 时,
2
1dw
dz z
1,w
z
例5 讨论 的解析性故在除 外的复平面，函数处处解析，而 是它的一个奇点,
0z?
0z?
1w
z
解
3 解析函数性质定理 1（ 1）若函数 f(z ),g(z )都在区域 D内解析，则它们的和、差、积、商（除去分母为 0
的点）在 D内解析,
（ 2）设函数 h = g (z )在 z 平面上的区域 D 内解析
，函数 w = f (h )在 h 平面上的区域 G内解析，若对于 D内每一点 z,g(z )的对应值 h都属于 G，则复合函数 w = f [g(z )]在 D内解析,
4 结论
10 1 01 ) ( ) ( 0)nn nP z a z a z a a多项式函数
120 1 2 1( ) ( 1 ) 2nn nnP z n a z n a z a a
1
001
1 0
01
0()
2 ) ( )
0()
nn
n
nn
n
aa z a z aPz
bQz b z b z b
有理分式函数在除使 的点外的整个 z 平面内是解析的( ) 0Qz?
而使 的点是它的奇点,( ) 0Qz?
在 z 平面内是处处解析的,且
5 某点可微的判定定理 2 函数 f( z )= u( x,y)+ iv( x,y)在 D上有定义，且在 D内一点可微的充要条件是
,uvxy即,vu
xy
简写为
C.- R.
(1) u( x,y)与 v(x,y)在点 ( x0,y0 ) 可微 ;
(2) u(x,y),v(x,y)在点 ( x0,y0 )满足柯西 —
黎曼方程,
证：（必要性）
()f z D设 在 内一点可微,则
( ) ( ) ( ) ( 1 )f z f z z z z
( ) 0 0zz其中 是当 而趋势于 的复数.
( ),,( )f z a i b z x i y f z u i v令
12( ),zi则（ 1）式可写成
：
12( ) ( ) ( ) ( )u i v a i b x i y i x i y
1 2 2 1( ) ( )a x b y i b x a y x y i x y
1 2 2 1[)a x b y x y i b x a y x y
12u a x b y x y
21v b x a y x y
0
( ) 0lim
z
z?
12
00
0,0l i m l i m
zz
(,),(,) (,)u x y v x y x y? 在 可微
,u v u vabx y y x且充分性：
(,),(,)u x y v x y由 的可微性知
1xyu u x u y
2xyv v x v y
2212,xy其中 是 的高阶无穷小由 C-R条件得
，x y y xa u v b u v
12( ) ) ( )f u i v a x b y i b x a y
12( ) ( )a i b x i y i
12 if a ib
zz
1212
2 2 2 2
i
z x y x y
0z
f a ib
zlim
( ) (,)f z x y? 在点 可微
6 导数的计算方法
( ) (,) (,)f z u x y i v x y已知函数
() uvf z i
xx
vu
i
yy
uui
xy
vvi
yx
则
7 区域内解析的判定
(2) u,v 在 D 内每一点满足柯西 — 黎曼方程,
定理 3 函数 f(z )=u( x,y)+i v( x,y)在区域 D内解析的充要条件是：
(1) u,v 在 D内每一点都可微；
,uvxy即,vu
xy
解 22(,),(,) 0u x y x y v x y
2,2,0,0x y x yu x u y v v
上面的四个偏导数处处连续,但只在
z = 0 处满足 C-R 条件,
( ) 0,f z z 只在 可微
( ),f z z从而 在 平面上处处不解析
26 ( ),f z z?例 讨论 的解析性
( ) 0u v v uf z i i
x x y y
证 ∵ 函数在区域内处处可导,且 ( ) 0fz
0u v v u
x x y y
从而 u =常数,v =常数,故函数在 D内是常数,
7 ( ) ( )
.
f z D f z
D
例 证明,如 在区域 处处为0,则在 内为一常数而函数 f(z)在 D内解析,
例 8 证明：如在区域 D内解析，且满足下列条件之一，
则函数是常数,
( ) (,) (,)f z u x y i v x y
1 ) ( )fz 恒取实数;
2 ) a r g ( )f z D在 内为一常数.
( ) 0fz ( ),fz故 为常数
(,) 0v x y
0,0xyvv
,x y y xu v u v0,0xyuu
()fz证 恒取实数,
2 ) a r g ( ),fz 为一常数
( ),a r g ( ) vf z f z a r c tg u?设 在第一象限 于是有
v c
u
(c为实常数 ).
.v c u?即
()fz 解析
x y y
y x x
u v c u
u v c u
0,0x y y xc u u v v当时
( ) 0fz
()fz? 是常数.
当 c ≠0 时,11
xy
xy
u c u
c
cuu
c
ci,这与 c是实常数矛盾,
0c只有
()fz? 是常数.
练习
1、设问常实数 a,b,c,d 取何值时,在平面上解析,
2 2 2 2( ) ( ),f z x a x y b y i c x d x y y
()f z z
2、试判断下列函数的可微性和解析性,
22( 1 ) ( )f z x y i x y
22( 2 ) ( )f z x i y
33( 3 ) ( ) 2 2f z x i y
3 2 2 3( 4 ) ( ) 3 ( 3 )f z x x y i x y y
（只在 z = 0可微）
（只在 y = x可微）
xy( 只 在 可 微 )
（处处可微 ）
（ a =d = 2,b = c = -1 ）
