留数在定积分的应用教学辅助软件数学教研室留数及其应用之理解定积分与复积分的联系，掌握利用留数定理计算三种类型的定积分。
目的、要求
（一）形如 R( c o s,si n ) d 20
22
2
0
1
11
22| z |
z z d zR( c o s,sin ) d R [,]
z iz iz



要求右边的被积函数在 |z|=1上没有奇点,
12 1
22
z z zc o s,
z


12 1
22
z z zsin,
i iz


ii
R( c o s,sin ) c o s,sin
z e,d z ie d izd


定理 设 为 的有理函数,令 则
1| z |
f ( z )d z

2 i [ f ( z ) 在单位圆内奇点的留数和]
∵ f（ z）有三个极点 z=0,P,1/P，但只有 0,P在 |z|=1内,
c o sI d ( p )
p c o s p



2
0 2
2 01
12
例1 计算
iic o s ( e e ) ( z z )2 2 2 2112
22解
-1
p
z
z z d z
I
izzz
p


22
1
2
1
2
12
2
z
z dz
iz ( p z ) ( z p )?


4
1 2
1
21
其中 z=0是二级极点,z=p是一级极点,
zp
zR e s [ f ( z ),p ] [ ( z p ) ]
iz ( p z ) ( z p )lim?


4
2
1
21
p
ip

2
2
1
2
z
dzR e s [ f ( z ),] [ z ]
dz iz ( p z ) ( z p )lim?


4
2
2
0
10
21
p
ip ( p )

4
22
1
21
p p pI i [ ]
ip ip ( p ) p


2 4 2
2 2 2 2
1 1 22
2 2 1 1
定理：设 P(x),Q(x)为多项式,P(x)次数 ≤ Q(x)
次数 + 2,Q（ x）在 x 轴无零点，则其中 zk 是上半平面内的所有奇点,
当 R(x)是偶函数时，
（二）形如 P ( x )R ( x ) dx,R ( x ) Q ( x )
kR ( x ) d x i R e s [ R ( z ),z ] 2
kR( x ) d x i Re s [ R( z ),z ]?

0
1
1
1
1
2
nn
n
mm
m
z a z aR ( z ),m n,
z b z b


设
2
R
R
Rc
k
R( x ) d x R( z ) d z
i Re s [ R( z ),z ]?


1
1
1
1
11
1
n
n
m n m
m
| a z a z || R ( z ) |
| z | | b z b z |




1
1
1
1
11
1
n
n
m n m
m
| a z a z |
| z | | b z b z |




1
1
1
10
n
n| a z a z |,
1
1
1
10
m
m| b z b z |

z|当| 足够大时,
x0
y
1.z2.z
k.z
3.z
R? R
.
.
.
2mn
RRC在 充分大的 上,有
R,当时
2
1
1
12 10
1
1
10
mn
| R ( z ) |
| z | | z |

2
22
RRcc
| R( z ) d z | | R( z ) | d s R RR
0Rc R ( z ) d z
2R kR R ( x ) d x i R e s [ R ( z ),z ]
解,∵ R(z)的一级极点为 ± ai,± bi，
其中 ai 和 bi 在上半平面内。
ab

2
2 2 2 2 00
x d xI ( a,b )
( x a ) ( x b )

例2 计算 =
z a i
zR e s [ f ( z ),a i ] [ ( z a i ) ]
( z a ) ( z b )lim?


2
2 2 2 2
2
222
a
ai ( b a )

a
i ( a b )
222 2
2 2 2 2z b i
zRe s [ f ( z ),b i ] [ ( z b i ) ]
( z a ) ( z b )lim?


abI i [ ]
i ( b a ) i ( b a )

2 2 2 2
2
22
b
i ( b a )
222
其中 zk 是 R(z)eiaz 在上半平面的所有奇点,
定理：若 R(x)是 x 的有理函数，分母的次数至少比分子的次数高一次，且 R(z)在 x 轴无点奇，
则
aiR ( x ) e d x ( a ) 0（三）形如
a i x a i z kR ( x ) e d x i R e s [ R ( z ) e,z ]
2
n ia z
k
k
R( x ) c o s a x d x R e { i R e s [ R( z ) e,z ] }

1
2
n ia z
k
k
R( x ) s in a x d x I m { i R e s [ R( z ) e,z ] }

1
2
a ixR ( x ) e d x ( a ) 0（三）形如
a i xR ( x ) e d x R ( x ) c o s a x d x i R ( x ) s in a x d x

∵ R(z)在上半平面内有一级极点 ai.
x s in x d x ( a )
xa

0 22
0例3 计算
ixx e d x
xa

22 izi R e s [ R ( z ) e,a i ] 2
a
aei i e
2
2
ax s in x d x e
xa

0 22
1
2
= zR( z )
za?22
解设
∵ R(z)在上半平面内有一级极点 i,
2
c o s x dx
x
1
+
0例4 计算
R( z )
z
2
1
1
解设
iz
ix ee d x i R e s [,i ]
xz

22
1 2
11iz
zi
ei ( z i )
z
lim?

2
2
1e

c o s x dx
ex

0 2 21
练习
))
x c o s x
d x d x
x a x x



0 4 4 2
1
12
2 1 0
计算下列积分
03 54
c o s m xI d x
c o s x
)=
) dx
xa

0 44
11
解 0 4 4 4 412d x d x
x a x a

k
kf ( z ) z a eza


2
4
44
1 有四个一级极点
k
k
zz
Re s [ f ( z ),z ]
z?
31
4
f ( z ) z,z,01在上半平面内只有两个一级极点
zk4+a4=0
kz
a
4
4kz
31
4
k
k
z
z
4
4
=-
ii
i ( e e )
a

443
1
4
3= a s in

42
3= a
2
4
3
44
0 4 4 4
1
4
iidx
i ( a e a e )
x a a


izze
f ( z )
zz
2 2 1 0
解设
f ( z ) z i 13在上半平面只有一个一级极点 iz
zi
ze
R e s [ f ( z ),i ]
( z z )

2
13
13
2 1 0
i( i ) e
i

313
6
) x c o s x dx
xx

22 2 1 0
ix ix e ( i ) e
d x i
ixx





3
2
132
62 1 0
e ( i ) ( c o s i s in )3 1 3 1 1
3
e ( c o s s in ) i e ( c o s s in )331 3 1 3 1 1
33
x c o s x d x e ( c o s s in )
xx


3
2 1 3 132 1 0
12 5 4 5 4
c o s m x s in m xI d x,I d x
c o s x c o s x

令
1
im xe
I iI d x
c o s x
2 54则
ixz e,?设
1
m
z
zI iI d z
i z ( z )?


2 1 2
1
5 2 1
则
03 54
c o s m xI d x
c o s x
)=
c o s m x c o s m xd x d x
- c o s x - c o s x

0
1
5 4 2 5 4解
m
z
z
dz
( z ) ( z )

1 1
2
2 1
= 2z f ( z ) z,? 1在 的内部 只有一个一级极点 m
z
z
Re s [ f ( z ),] [ ( z ) ]
( z ) ( z )
lim

1
2
11
122
2
2
m 1
1
32
mI iI ( ) i ( )i12 1
112
2 32m
132
mI
1 132 mI

32
本次课介绍了留数在定积分上的应用。要注意不同类型的定积分对应不同的复积分，且注意复积分的路线，被积函数在 x
轴无奇点，其中第二、三类对应的复积分的奇点仅指上半平面内的奇点。
小 结复习思考题计算下列积分：
20 xco s35 dx)1(
)0a()ax( dxI)2( 22
dx
)4x)(1x(
xs i nxI)3(
22


]2[?
]a83[ 5?
])e1e1(6[ 2