解析函数
一、导数
二、解析
三、初等函数
( 1 ),,指数函数 对数函数 幂函数,三角函数,双曲函数等如何定义? 分别有什么性质? 分别与对应的实函数有何区别与联系?
1 1 1
( 2 )?
1 ) 0,
2 ) | sin | 1,
3)
4 ) 2
z
b
e
z
L n a bL n a
L n z L n z L n z
下列各式是否恒成立问题
1 指数函数
1 2 1 23) z z z ze e e服从加法定律:
2 ) | | 0,0,z x zz e e e在 面上每一点,故
1 ) I m 0,zxz e e当 则 是实函数的指数函数.性质
,( c o s s i n ),xz x i y w e y i y定义,设 称 为指数函数
1 2 1 21 1 2 2( s i n ) ( s i n )z z x xe e e c o s y i y e c o s y i y
12 1 2 1 2[ ( ) s i n ( ) ]xxe c o s y y i y y
12zze
24 ),0,1,2,.z z k ie e k2.ze k i?有周期
12 125 ) 2,zze e z z k i
2 c o s 2 s i n 2,iei
0 x
y
0 u
v
i?
i
3 i?
3 i
z
2zi
2zi
w
zwe?
6 ) ( )z z ze e e在复平面内处处解析,且,
,iz x i y w e设
( I m )zw e z考察 的映射特点
izee x iye x iyee
x
i i y
e
ee?
从而
()
xe
y i k
或为整数
0
zz x x w e w面上的直线 经 映射为 面上的圆周,0xe 0|| xwe?即
0
:
zz y y w e w面上的直线 经 映射为 面上的射线
0 2 ( )y k k 为整数
0
,x
wO
当 在( -,+ ) 内连续地由小变大时 对应的圆周就连续地扫过 面上除原点 外的多连通域,0 | |w
o
y
x
v
uo
2|| xwe?
x1 x2
1|| xwe?y1
y2
y0
zw e z? 将 面上的带形区域
Im
Re
z
z
内的点
w一一对应地映射为 面上的区域
a r g
.
||
w
w
内的点
1 ( ) zf z e z?例 证 不是 的解析函数.
z x i y证令
() x i yf z u i v e[ c o s ( ) s i n ( ) ]xe y i y
c o s s i nxxe y i e y
c o s,xu e y s i nxv e y
c o s,xxu e y s in,xxv e y
s i n,xyu e y c o s,xyv e y
0,xe?,.2 xyy k u v只有 才有
zez? 不是 的解析函数.
,,lim z
z
ze
例2 当 沿过原点直线前进时 讨论
,A r g z解令
1 ),c o s 0,22当时
c o s,lim r
r
e?
,iz x i y r e c o s| |,z x re e e则
.lim z
z
e
2 ),c o s 0,22当 或 时
c o s 0,lim r
r
e?
0.lim z
z
e
3 ),0,2 x当即
c o s s i nz i ye e y i y 没有确定的极限值.
2 对数函数
( 0 ) ( ),wz e z w f z定义,称 的反函数 为对数函数
.w L n z?记为
( 2 ),,( 0,1,)i i kz r e r e k设
,w u i v又设 (2),u i v i ke r e则
l n,2u r v k
l n | |,w z i A r g z
因 辐角 是多值函数,则 w是无穷多值函数,每两个值相差 2?i 的整数倍,
2、对数函数性质
1 2 1 21 ) ( ),L n z z L n z L n z
1
12
2
2 ) ( ),zL n L n z L n z
z
3 ) 0,ln ln
.
z x L nz z x如 的主值 就是实函数中的对数函数
4) L nz 的各分支在除去原点及负实轴外的复平面上解析,1( ln ),z
z
且如取 Arg z 的主值 arg z,则得一个主值函数,称为 Ln z的主值,记为 ln z,从而 ln z = ln |z| + iarg
z,其余值 Lnz = lnz + 2k? i ( k = ± 1,± 2,… ).
（集合相等）
3,0,( ),z L n z L n z例 指出命题的错误 有
22( ) ( 1 )zz证
22( ) ( 2 )L n z L n z
( ) ( ) ( 3)L n z L n z L n z L n z
2 ( ) 2 ( 4)L n z L n z
( ) ( 5)L n z L n z
( ) | | [ ( 2 1 ) ]L n z l n z i k
| | ( 2 )L n z l n z i k
2 2L n z L n z?
2L n z L n z L n z
2 | | 2 ( 2 )l n z i k
{ 2 }k { 2 }k
3 幂函数定义：设 α 是任意复数,z≠0,定义 w = zα =
eαLnz为幂函数,α 为三种特殊情形：
n nLnzw z e l n 2n z i n kee
1)? 为整数
n? 为正整数 时,
.n n l n zw z e k 是与 无关的单值函数
2 ( 2 ) 1ni n k i kee
n? 为负整数- 时,n n l n zze 1
nln ze
1
nz
为零时,00ln zze? 0 1e
2 ) (,)p pq
q
为有理数 为互质的整数,q > 0
pp L n z
qqze? 2
()
ppl n z i k
qqek 为整数
,0,1,.,,,- 1p q k q由于 互质,当 取 时,
12
( 2 ) q
pik
i k pqee,q是 个不同的值
3 ),z 为其它值时 为无穷多值.
4、三角函数
（ 1） sinz和 cosz都以 2kπ为周期（ k为整数）,
（ 2） sin z 为奇函数,cos z 为偶函数,
（ 3） 保留实三角函数的下列恒等式,
:定义 正弦,余 弦函数为:
sin,
2
iz izee
z
i
c o s,
2
iz izee
z
22s i n c o s 1,zz
1 2 1 2 1 2s i n ( ) s i n c o s c o s s i nz z z z z z
1 2 1 2 1 2c o s ( ) c o s c o s s i n s i n,z z z z z z
性质
（ 1） n 为自然数或 0 时,w = zn 在 z 平面上解析,
（ 2） n为负整数时,w =1/z|n |在去掉原点的平面上解析,
（ 3） m,n为互质整数时,w = zm/n 在去掉原点及负实轴的 z 平面上解析,
（ 4） (zα )’ =αzα-1
性质
4、三角函数
（ 4） sinz 和 cosz 在全平面解析，
( s i n ) c o s,( c o s ) s i nz z z z
1sin | | |,
2
yyz e e例4 证明|
1sin | | ( ) |
2
i z i zz e e
i
证 | 1 ||
2
i z i zee
| | | | | |i z i z i z i ze e e e
1| sin |,
2
yyz e e
5、双曲函数
（ 1） z为实数时，复双曲函数与实双曲函数一致,
（ 2） 都以 2kπi为周期，（ k为整数）,
（ 3） chz为偶函数,shz为奇函数,
:定义 双曲正弦函数和双曲余弦函数
2
zzez
s hz
2
zzee
c hz
( 4 ),( ),( ),c h z s h z s h z c h z在平面上解析 且
( 5) s i n,s i n,i z i s h z s h i z i z
c o s,c o s,i z c h z c h i z z
6 ( )b c b caa?例 在什么条件下,是正确.
b c b c L n aae?解
() bb c c L n aae? b L n ac L n ee?
[ R e ( ) I m ( ) ]b L n a i b L n ac L n ee
R e ( ){ [ I m ( ) 2 ] }b L n ac l n e i b L n a ke
[ R e ( ) I m ( ) 2 ]c b L n a i b L n a k ie
( 2 ]c b L n a k ie
2c b L n a k c iee 2c b k c iae
2 1.kice只有 为整数,则 ( ),b c b caa?此时有
2bL n a b L n a k i
bL n a b L n a?
1 计算下列各题
1) Ln2,Ln(-1),ln(-1+i).
2) 3 i,(1+i )i,sin(2+2i),
1 2 l n 2 2L n k i） ( 1 ) ( 2L n k i )
3( 1 ) 2
4ln i i
3 ( l n 3 2 ) 22 3 ( c o s l n 3 s i n l n 3 )i i L n i k i ke e e i）
[ l n 2 ( 2 ) ]( 1 ) 4( 1 ) i i ki i L n ii e e
24 [ c o s ( l n 2 ) s i n ( l n 2 ) ]kei
2 下列各等式是否成立?
1 ) ; 2) c o s c o s ; 3) s i n s i n,zze e z z z z
( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 2 2 2
s in ( 2 2 )
22
i i i i i ie e e e
i
ii
22
( c o s 2 s in 2 ) ( c o s 2 s in 2 ) c o s 2
22
ee ii
ii
2 2 2 2
s in 2 c o s 2
22
e e e ei
一、导数
二、解析
三、初等函数
( 1 ),,指数函数 对数函数 幂函数,三角函数,双曲函数等如何定义? 分别有什么性质? 分别与对应的实函数有何区别与联系?
1 1 1
( 2 )?
1 ) 0,
2 ) | sin | 1,
3)
4 ) 2
z
b
e
z
L n a bL n a
L n z L n z L n z
下列各式是否恒成立问题
1 指数函数
1 2 1 23) z z z ze e e服从加法定律:
2 ) | | 0,0,z x zz e e e在 面上每一点,故
1 ) I m 0,zxz e e当 则 是实函数的指数函数.性质
,( c o s s i n ),xz x i y w e y i y定义,设 称 为指数函数
1 2 1 21 1 2 2( s i n ) ( s i n )z z x xe e e c o s y i y e c o s y i y
12 1 2 1 2[ ( ) s i n ( ) ]xxe c o s y y i y y
12zze
24 ),0,1,2,.z z k ie e k2.ze k i?有周期
12 125 ) 2,zze e z z k i
2 c o s 2 s i n 2,iei
0 x
y
0 u
v
i?
i
3 i?
3 i
z
2zi
2zi
w
zwe?
6 ) ( )z z ze e e在复平面内处处解析,且,
,iz x i y w e设
( I m )zw e z考察 的映射特点
izee x iye x iyee
x
i i y
e
ee?
从而
()
xe
y i k
或为整数
0
zz x x w e w面上的直线 经 映射为 面上的圆周,0xe 0|| xwe?即
0
:
zz y y w e w面上的直线 经 映射为 面上的射线
0 2 ( )y k k 为整数
0
,x
wO
当 在( -,+ ) 内连续地由小变大时 对应的圆周就连续地扫过 面上除原点 外的多连通域,0 | |w
o
y
x
v
uo
2|| xwe?
x1 x2
1|| xwe?y1
y2
y0
zw e z? 将 面上的带形区域
Im
Re
z
z
内的点
w一一对应地映射为 面上的区域
a r g
.
||
w
w
内的点
1 ( ) zf z e z?例 证 不是 的解析函数.
z x i y证令
() x i yf z u i v e[ c o s ( ) s i n ( ) ]xe y i y
c o s s i nxxe y i e y
c o s,xu e y s i nxv e y
c o s,xxu e y s in,xxv e y
s i n,xyu e y c o s,xyv e y
0,xe?,.2 xyy k u v只有 才有
zez? 不是 的解析函数.
,,lim z
z
ze
例2 当 沿过原点直线前进时 讨论
,A r g z解令
1 ),c o s 0,22当时
c o s,lim r
r
e?
,iz x i y r e c o s| |,z x re e e则
.lim z
z
e
2 ),c o s 0,22当 或 时
c o s 0,lim r
r
e?
0.lim z
z
e
3 ),0,2 x当即
c o s s i nz i ye e y i y 没有确定的极限值.
2 对数函数
( 0 ) ( ),wz e z w f z定义,称 的反函数 为对数函数
.w L n z?记为
( 2 ),,( 0,1,)i i kz r e r e k设
,w u i v又设 (2),u i v i ke r e则
l n,2u r v k
l n | |,w z i A r g z
因 辐角 是多值函数,则 w是无穷多值函数,每两个值相差 2?i 的整数倍,
2、对数函数性质
1 2 1 21 ) ( ),L n z z L n z L n z
1
12
2
2 ) ( ),zL n L n z L n z
z
3 ) 0,ln ln
.
z x L nz z x如 的主值 就是实函数中的对数函数
4) L nz 的各分支在除去原点及负实轴外的复平面上解析,1( ln ),z
z
且如取 Arg z 的主值 arg z,则得一个主值函数,称为 Ln z的主值,记为 ln z,从而 ln z = ln |z| + iarg
z,其余值 Lnz = lnz + 2k? i ( k = ± 1,± 2,… ).
（集合相等）
3,0,( ),z L n z L n z例 指出命题的错误 有
22( ) ( 1 )zz证
22( ) ( 2 )L n z L n z
( ) ( ) ( 3)L n z L n z L n z L n z
2 ( ) 2 ( 4)L n z L n z
( ) ( 5)L n z L n z
( ) | | [ ( 2 1 ) ]L n z l n z i k
| | ( 2 )L n z l n z i k
2 2L n z L n z?
2L n z L n z L n z
2 | | 2 ( 2 )l n z i k
{ 2 }k { 2 }k
3 幂函数定义：设 α 是任意复数,z≠0,定义 w = zα =
eαLnz为幂函数,α 为三种特殊情形：
n nLnzw z e l n 2n z i n kee
1)? 为整数
n? 为正整数 时,
.n n l n zw z e k 是与 无关的单值函数
2 ( 2 ) 1ni n k i kee
n? 为负整数- 时,n n l n zze 1
nln ze
1
nz
为零时,00ln zze? 0 1e
2 ) (,)p pq
q
为有理数 为互质的整数,q > 0
pp L n z
qqze? 2
()
ppl n z i k
qqek 为整数
,0,1,.,,,- 1p q k q由于 互质,当 取 时,
12
( 2 ) q
pik
i k pqee,q是 个不同的值
3 ),z 为其它值时 为无穷多值.
4、三角函数
（ 1） sinz和 cosz都以 2kπ为周期（ k为整数）,
（ 2） sin z 为奇函数,cos z 为偶函数,
（ 3） 保留实三角函数的下列恒等式,
:定义 正弦,余 弦函数为:
sin,
2
iz izee
z
i
c o s,
2
iz izee
z
22s i n c o s 1,zz
1 2 1 2 1 2s i n ( ) s i n c o s c o s s i nz z z z z z
1 2 1 2 1 2c o s ( ) c o s c o s s i n s i n,z z z z z z
性质
（ 1） n 为自然数或 0 时,w = zn 在 z 平面上解析,
（ 2） n为负整数时,w =1/z|n |在去掉原点的平面上解析,
（ 3） m,n为互质整数时,w = zm/n 在去掉原点及负实轴的 z 平面上解析,
（ 4） (zα )’ =αzα-1
性质
4、三角函数
（ 4） sinz 和 cosz 在全平面解析，
( s i n ) c o s,( c o s ) s i nz z z z
1sin | | |,
2
yyz e e例4 证明|
1sin | | ( ) |
2
i z i zz e e
i
证 | 1 ||
2
i z i zee
| | | | | |i z i z i z i ze e e e
1| sin |,
2
yyz e e
5、双曲函数
（ 1） z为实数时，复双曲函数与实双曲函数一致,
（ 2） 都以 2kπi为周期，（ k为整数）,
（ 3） chz为偶函数,shz为奇函数,
:定义 双曲正弦函数和双曲余弦函数
2
zzez
s hz
2
zzee
c hz
( 4 ),( ),( ),c h z s h z s h z c h z在平面上解析 且
( 5) s i n,s i n,i z i s h z s h i z i z
c o s,c o s,i z c h z c h i z z
6 ( )b c b caa?例 在什么条件下,是正确.
b c b c L n aae?解
() bb c c L n aae? b L n ac L n ee?
[ R e ( ) I m ( ) ]b L n a i b L n ac L n ee
R e ( ){ [ I m ( ) 2 ] }b L n ac l n e i b L n a ke
[ R e ( ) I m ( ) 2 ]c b L n a i b L n a k ie
( 2 ]c b L n a k ie
2c b L n a k c iee 2c b k c iae
2 1.kice只有 为整数,则 ( ),b c b caa?此时有
2bL n a b L n a k i
bL n a b L n a?
1 计算下列各题
1) Ln2,Ln(-1),ln(-1+i).
2) 3 i,(1+i )i,sin(2+2i),
1 2 l n 2 2L n k i） ( 1 ) ( 2L n k i )
3( 1 ) 2
4ln i i
3 ( l n 3 2 ) 22 3 ( c o s l n 3 s i n l n 3 )i i L n i k i ke e e i）
[ l n 2 ( 2 ) ]( 1 ) 4( 1 ) i i ki i L n ii e e
24 [ c o s ( l n 2 ) s i n ( l n 2 ) ]kei
2 下列各等式是否成立?
1 ) ; 2) c o s c o s ; 3) s i n s i n,zze e z z z z
( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 2 2 2
s in ( 2 2 )
22
i i i i i ie e e e
i
ii
22
( c o s 2 s in 2 ) ( c o s 2 s in 2 ) c o s 2
22
ee ii
ii
2 2 2 2
s in 2 c o s 2
22
e e e ei
