级数
一、复数项级数
二、幂级数
三、泰勒级数
四、洛朗级数
1、定理
00
( ) D,D,d
,,
0
()
0
0
0
-
()
( ) ( )
!
n
n
n
f z z z
D z z
fz
f z z z
n

设 在区域 解析 为 内一点 为 到的边界上各点的最短距离 当 < d 时
0()f z z此级数称为 以 为中心的泰勒级数,
.0( ) ( )f z f z z z?将 展成这样的级数称为将 在 泰勒展开
0,.z?当 时 分 别 称 为 马 克 劳 林 级 数,马 克 劳 林 展 开
00
0
1 1 1
22 1kk
f ( ) f ( )
f ( z ) d,d
zzi z i z
z






2
n0
n- 10 0 0
00 0 0
0
()
1
[ 1 ( ) + + ( ) + + ]
2
1k
z - z
z - z z - z zf ( )
d
z - zi z z z
z




2、基本初等函数的幂级数展开式
22
1,
2 ! !
z zze z z
n

2 2 1
1sin ( 1 ),
3 ! ( 2 1 ) !
n
nzzz z z
n

22
c o s 1 ( 1 ),
2 ! ( 2 ) !
n
nzzzz
n

21 1 ( 1 ),1
1
nnz z z z
z

2
1
1 ( ) ( ) ln( 1 )
( 1 )
z
f z f z z
z

例1 把下列函数展成 的幂级数 求其收敛半径
（）
,.
(2)
(1)
2
2
2 1 1
11
()
1( 1 )
[ 1 ( ) ( ) ]
1 2 3 ( 1 ),
n
nn
zz
z z z
z z nz





解
2
0
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
nn
n
n z R
z

(2)
0
| | 1
1
ln ( 1 )
1
z
z
d z z
z


在内
2
00
23
1
1
[ 1 ( ) ]
1
1
( 1 )
2 3 1
zz n
nn
d z z z z d z
z
zz
zz
n


又
ln(
23
111 ) ( 1 )
2 3 1
( 1 )
nnzzz z z
n
R

2,f ( z ) s i n z?2 求 的马克劳林展开式
0 1,.2
z z
( z )
1 求 在 的泰勒展开式 并求收敛半径
221 1 1
2 2 1 ( 1 + z)
z
zz解
21 2 [ 1 1 1 1 1 ]2 nnz ( z ) ( z ) ( ) zz
211 2 1 1 1 1nn( z ) ( z ) ( ) ( z )
练习
2 112 sin 2
22
z c o s z
2
2
k = 0
12c o s 2 =
2
kk
k()zz
( k ) !

12
2
k = 1
2 4 6
1 1 1 2
s in2 = 1 2
2 2 2
12
3 4 5
kk
k()
z ( c o s z ) z
( k ) !
z z z



级数
一、复数项级数
二、幂级数
三、泰勒级数
四、洛朗级数
00
1 0,1?
1
f ( z ) z z
z ( z )

能否展成 的幂级数形式
< z 1,f ( z )?在0 内有
21 1 1 1 1
( 1 ) 1
f ( z ) z z
z z z z z


0 < 1 1,z在 内有
111 []
( 1 ) 1 1 1
f ( z )
z z z ( z )


21 [ 1 1 1 ]
1
( z ) ( z )
z

11 1 1( z ) ( z )
0
0
r <,
,
c.
n
n
n
f ( z ) z z R
f ( z ) c ( z z )




若 在环 内解析 则在此圆环可展成洛朗级数 即其中 为圆环内的任意的圆周
0
n0c,< r
.
( n )f ( z )
f ( z ) z - z
n!
注,这里 因为 在 时不是解析函数
1、定理
0
1 2 2 1
z,z
k,k,k R k r,
证 设 为圆环域内的任一点 在圆环域内作以为中心的正向圆周 的半径 大于 的半径
2 1
11
22
11
22
k k
AB BA
f ( z )
f ( ) f ( )
dd
i z i z
f ( ) f ( )
dd
i z i z











z0
R1
R2
B
A
k1
k2
z
ba
21
11
22kk
f ( ) f ( )dd
i z i z




2
n0
n- 10 0 0
00 0 0
0
()
1
[ 1 ( ) + + ( ) + ]
2
1k
z - z
z - z z - z zf ( )
d
z - zi z z z
z




1
n0
n- 10 0 0
00 0 0
0
()
1
[ 1 ( ) + + ( ) + ]
2
1k
-z
- z - z z zf ( )
d
-zi z z z z z z
zz




22
2
2
0
2
0 0
1
0
0
1
22
2
kk
n
nn
k
zzf ( ) f ( )
dd
i z i ( z )
( z z ) f ( )
d R ( z )
i ( z )








11
2
1
12
00
1
0
0
1
0
22
2
kk
n
n( n )
k
( z z ) ( z z ) f ( )
f ( ) d d
ii ( z )
( z z ) f ( )
d R ( z )
i ( z )









1
0 1 0 1 0
12
1 0 2 0
n
nf ( z ) c c ( z z ) c ( z z )
c ( z z ) c ( z z )




0
n
n
n
n
c ( z z )



2
1
0
1
2n nk
f ( )cd
i ( z )



1
1
0
1
2n nk
f ( )cd
i ( z )



2、定义
形如 的级数叫洛朗级数,它由级数的正幂项部 和负幂项部分
组成，如当且仅当正幂项及负幂项部分都收敛时，则洛朗级数收敛,
0
n
n
n
c ( z z )



0
0
n
n
n
c ( z z )


1
0
n
n
n
c ( z z )


0
0
,nn
n
c ( z z )

级数 称为洛朗级数的解析部分
1
0
n
n
n
c ( z z )

级数 称为洛朗级数的主要部分.
21 3 7
2 4 8zz
11
12
f ( z )
( z - ) ( z - )
例 设 在圆环内
( 1 ) 0 1 ( 2 ) 1 < 2 ( 3 ) 2z,z,z
,f ( z ),处处解析求 在这些圆环内的洛朗展式
1 1 1 1 1
( 1 )
2 1 2 1
1
2
f ( z )
zz z z


解
2
21 ( 1 ) ( 1 )
2 2 4
zz zz
2
1
1 1 1 1
2 4 8nn
zz
zzz
2 3 4
1 3 7
zzz
1 1 1 1 1 1
2
12 1 2
11
2
( ) f ( z )
zz z z
z


2
2
1 1 1 111
2 2 4
zz( ) ( )
zz z
1 1 1 1 1 1
3
2121
11
( ) f ( z )
z z z z
zz


22
1 2 4 1 1 111( ) ( )
z z z zzz
在洛朗级数的系数计算公式中，令 n = -1,得
11
1 2
2i ccC f ( z ) d z f ( z ) d z iC 或
1 0 2c R < z z R
f ( z )
其中 为圆环 内任一条简单闭曲线,在此圆环内解析.
例 1 求下列积分,
1
12 32
1
12
1 4 1
z
zz
ze
( ) I d z,( ) I d z
z ( z ) ( z ) z


解（ 1） < 4,3,f ( z ) z z在1 内处处解析 且 在此圆环内
2.f ( z ) i -1在此圆环内洛朗级数的系数C 乘以 即为所求
1 1 1
4 3 1 1 2 4
f ( z )
z ( z ) ( z )


2
2
1 1 1 1 111
4 3 4 8 4 4 1 6
zzz( ) ( )
z z z z

32
1 1 1 1
1 2 4 8 1 9 233
z
zzz
1
1
12C
1
12
1 2 6
iI i ( )
( 2 ) 1 <,2,f ( z ) z z在 内解析 在此圆环内1
22
1 1 1 1
11
1 2
1
ze
f ( z ) ( ) ( )
zz z ! z
()
z


2
251
2
()
z z

1 2C 2 2 2 4I i ( ) i
0
1,1,
12
f ( z ) z
( z - ) ( z - )
练习 把 展成 的洛朗级数
11
1 1 1
f ( z )
z - [ ( z ) ]


21 1 1 1 1
1
n[ ( z ) ( z ) ( z ) ]
z-

11 1 1 1 n( z ) ( z ) ( z ) ]
解 0 1 1| z |
1 1 2| z |
2
11
11
1
1
f ( z )
( z - )
[]
( z )