级 数级数
一、复数项级数
二、幂级数
三、泰勒级数
四、洛朗级数一 复项数列
对非负整数 n有一复数列 An与之对应，
即 A0,A1,A2 ……A n …… 称为复数列，记作 {An}，各 An 称为此数列的第 n项,
1 复数列的定义
设 {An}(n=1,2… )为一复数列，其中 An=
an+ibn,A= a+ib 是一复常数，如任给 ε>0，
都存在一个正数 N(ε)，使得当 n > N时 |An-
A|<ε成立，则称 A 为复数列 {An},当 n ->∞的极限,记为 lim nn AA
2 复数列的极限定义如 {An}不收敛，则称 {An}为发散数列,
也称复数列收敛于 A。
{ } { },( 1,,),,n n nA a i b n A a i b定理,设



aal i m
bbl i m
n
n
n
nAAlim n
n
3 极限存在的充要条件
AA n
n
l i m?

AA,Nn,)(N,n有时当00
)bb(iaaibaibaAA nnnnn而
)bb(iaaaa nnn
)bb(iaabb nnn
()?证
bb,aa n
n
n
n
limlim

)(?
bb,aa n
n
n
n
limlim

22
00




bb,aa
,Nn,)(N,
nn
有时当
bbaa)bb(iaaAA nnnnn
22
AAlim nn
二 复数项级数
设复数列 {An},
称为复数项级数,其最前 n项的和
Sn=A1+A2+… +An称为复数项级数的部分和

n
1n
21n AAAA
1 定义如 {Sn}收敛于 S，则称级数 是收敛的,
1n
nA
如 {Sn}发散，则称级数 是发散的,
1n
nA
.s,sA
n
n 此时称级数有和表示以
1
2 级数的收敛条件定理 2 级数 收敛的充要条件是和 都收敛。
1n
nA?
1n
na

1n
nb
)bbb(i)aaa(
AAAS
nn
nn




2121
21
收敛?
0n
nA
iBASS n
nl i m







B)bbb(
A)aaa(
n
n
n
n
lim
lim
21
21
分析收敛
0 nn
a?
收敛
0 nn
b?
1n
nA
定理 3 级数 收敛的必要条件是 0?

n
n
Al i m
定理 4
.AA
,A,A
n
n
n
n
n
n
n
n
成立且有不等式也收敛则收敛如


11
11
分析
n=1
22
1
,n n n
n
A a b


ab
11
nn
nn


与 收敛
2 2 2 2,n n n n n na a b b a b
na
11
n
nn
b


与 收敛nA
1n
收敛
n
k
11
n
k
kk
AA

又
n
k
n 11
lim lim
n
k
nkk
AA


n
11
n
nn
AA



定理 4 级数 绝对收敛的充要条件是和 都绝对收敛。
1
n
n
A
1
n
n
a
1
n
n
b
定义 2 如果 收敛，则称级数是绝对收敛的。非绝对收敛级数称为条件收敛级数。
1
n
n
A
1
n
n
A
2 条件收敛、绝对收敛
22 n n n n nb a b a bn充分性 a
22
22
n n n
n n n
a b A
b b A


n
n
a
必要性
a
例 1 考察级数 的收敛性,
1
1()
2 nn
i
n

例 2 级数 是否收敛，是否绝对收敛？
1
( 1 )[]
2
n
nn
i
n

:
1
1
n n
析 发散
(-
11
1 ) 1,
2
n
n
nn n


析 收敛n(-
1
1 ) 1[]
2
n
n
i
n
收敛
-1
11
1
n
nn nn


但 发散故原级数不是绝对收敛定理 5 对级数,如存在正项收敛级数对任意 n,有 |An|≤ rn 成立，则绝对收敛,
1
n
n
A
1
n
n
r
1
1
6,lim kk
knk
A
AL
A

定理 在级数 中 设
1
1,.k
k
LA
如 则 发散
1
1,;k
k
LA
如 则 绝对收敛级数
一、复数项级数
二、幂级数
三、泰勒级数
四、洛朗级数
1 函数项级数
设 {fn(z)}(n=1,2,… )为一复变函数序列，其中各项在 D内有定义，则 f1(z )+f2(z )+… +fn(z )+…
为复变函数项级数，记为
1
()n
n
fz
Sn(z )= f1(z )+f2(z )+… +f n(z ) 称为级数的部分和,
如对于 D内某一 z0,存在，则称 在 z0 收敛,S(z0) 称为它的和,
00lim ( ) ( )nn S z S z
1
()n
n
fz
如级数在 D内处处收敛，则它的和是 z的一个函数 S(z),称它为 的和函数,
1
()n
n
fz
2 幂级数具有形式
（其中 C0,C1… 和 a 都是复常数）的复变函数项级数称为幂级数。
010 ( ) ( )
nn
nnn C z a C C C z a

1）定义
na,
00
() nn n
nn
z C z a C


如令 则
2) 定理
nC 0
1
n
n
z
收敛如级数 在 z = z0(z0≠0)收敛，则对满足
|z| < |z0| 的 z,级数必绝对收敛；如在 z =z0 级数发散，则在 |z|>|z0| 的每一点 z，级数必发散
0
n
n
n
cz
n
0 0lim nnCz

nC 0||nzM?
0
0
||| | | |,1
||
zz z q
z如则 0 0
| | | |
n
n n n
n
z
C z C z M q
z
n
1
n
n
Mq
收敛 nC
1
||n
n
z
收敛
1
n
n
Cz
n 收敛分析
3）收敛园、收敛半径
n
1
0n
n
C z z
对 在 总是收敛的
:0,z?当 时 有三种情况
( 1 ) 0,
1
n
n
n
z C z
对任意的 发散
( 2 ),
1
n
n
n
z C z
对任意的 收敛
n 1
1
n
n
Cz
使 发散
( 3 ),,,0 0 1
1
0 nn
n
z C z z
使 收敛 同时又定义,幂级数在 |z|<R
内绝对收敛，在 |z|>R内发散,则称 |z|=R为幂级数的收敛圆,R称为收敛半径结论,幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域,
在圆周上,级数可能收敛,
也可能发散,
z1.
B
z3
z2
.
o
z0,A.
例 求幂级数的收敛范围与和函数,
2
0
1nn
n
z z z z

解 n 21 11,( 1 )
1
nn z
S z z z zz
n
< 1,,| | < 1,,1||
1lim n
z S z
z
当 有 即 时 级数收敛
0
1
1
n
n
z
z


1,0,,|| z?当 级数的一般项不趋于 故级数发散
<1,1| |,1-z z? 收敛范围为 和函数为
1
0
1,lim,
,( 0,;,0 ),
n n
n
n n
n
c
cz
c
R R R



定理 对幂级数 如有 则其
1
收敛半径为 当 则 当 则
4）收敛半径的求法
:
n
1
1 1lim lim
n
n n
n n
nn
Cz C
zz
CCz




证
1<,z
当时 1
n
n
n
Cz
,收敛
n
1| | =,
1
n
n
C z z
故 在 内收敛
n,.1 1 0 1
1
,n
n
z z z C z
再取一点 使 则 必收敛
1>,
1||z?而 >1n
1
11
1
1
lim
n
n
n
n
Cz
z
Cz


nC.1
1
n
n
z
这与 收敛矛盾
n
1>,C,
1
|| n
n
zz
故 时 级数 发散
n
11>,| z | > C,
00
1
n
n
z z z

当 时 在 外取一点 使级数 收敛
12 l i m 0,.n
nn c u R u定理 如 则收敛半径
1
0 0 0
( 1 ),( 2 ),( 3 ) ( 2 1 )!
n kk
n n n
zz z
nn



n( - 1 )
(1)
1
1
( ! ) ( 1 ) !
![ ( 1 ) ! ]lim limnn
nnR
nn


解例 求下列幂级数的收敛半径,
(2) 1
( 1 )limn
nR
n

(3)
1 1
2
1
1
1
2 1 12
1 221
2
2
lim lim
k k
k
nn
k
R




4) 幂级数的性质
（ 2）在收敛圆的内部,可以逐项积分
0
n
n
n
Cz
0
( ),nn
cc
n
f z d z C z d z c z R
即
（ 1）幂级数的和 在收敛圆内部是一个解析函数,且可逐项求导,即
0
n
n
n
Cz
1
1
( ),nn
n
F z nC z