第十章 组合变形第一节 概述第三节 拉压与弯曲第四节 偏心拉压第二节 斜弯曲小 结四种基本变形计算,
变形 轴向拉压 剪切 扭转 平面弯曲 A
外力 轴向力 横向力 外力偶 横向力或外力偶内力 轴力 (Ｎ ) 剪力 (Q) 扭矩 (Ｍ z) 剪力 (Q) 弯矩
(M)
应力 正应力 剪应力 剪应力 剪应力 正应力
计算公式 AN AQ
p
x
I
M
bI
QS
z
*
z
z
I
yM
z z
M
z
分布规律
a
檩条第一节 概述一、概念,
1,组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以上的基本变形组合而成的。
2,组合变形实例,
y
檩条
x
y
Tm
m
p
传动轴屋架檩条
q
G
p
烟囱牛腿柱雨 篷二、计算方法,
3,常见组合变形的类型,
（ 1） 斜弯曲
（ 2） 拉伸（压缩）与弯曲组合
（ 3） 偏心拉伸（压缩）
1,叠加原理,弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作用所产生的应力、变形等可叠加计算。
2,计算方法：,先分解，后叠加 。,
先分解 ----应先分解为各种基本变形，分别计算各基本变形。
后叠加 ----将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的结果。
第二节 斜弯曲受力特点,外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内。
变形特点,杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
一、强度计算：
co sPP y?
s i nPP z?
2.内力计算：;s ins in;c o sc o s
MxPxPM
MxPxPM
zy
yz
Pz
m
m y
x
y
z
o
o
z
Px
L
K
Py
1.外力分解：
应力计算：
m a xm a xm a x,,zI
M
y
I
M
y
y
Z
Z最大应力：
y
y
Z
Z
W
M
W
M
ma x
强度条件：
Z
Z
y
y
I
yM
I
zM
Z? y? )( yzyz 设
y
m
m x
y
z
+
+ +
-
y
m
m x
y
z
+
+ +
-
y
m
m x
y
z
+
+ +
-
二、挠度计算：
梁在斜弯曲情况下的挠度，也用叠加原理求得。如上例
yy
z
z
zz
y
y
EI
Pl
EI
lp
f
EI
Pl
EI
lp
f
3
s i n
3
3
c o s
3
33
33
22
zy fff
tgIIfftg
y
z
y
z
总挠度为：
设挠度 f与轴的夹角为 α,则可用下式求得：
例 10-1 悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5KN/m，在自由端的水平对称平面内受集中力 P=2KN的作用。已知截面为 25a工字钢,材料的 E= MPa，试求：梁的最大拉、压应力。5102?
mKNqlM
mKNPlM
z
y
10252121
422
22
m a x
m a x;108
48283
104
4 0 1 8 8 2
1010 66
m a xm a x
m a x
MP a
W
M
W
M
y
y
z
z
解：（ 1）固定端截面为危险截面。
（ 2）由于截面对称，最大拉压应力相等。
P =2 K N
q =5 KN /m
2m
y
Z
B
A
X
一、概念：
在实际工程中，杆件受横向力和轴向力的作用，则杆件将产生拉（压）弯组合变形。
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合作用如斜梁，将力 P分解为 Px,
Py 。则垂直于梁轴的横向力 PY
使梁产生弯曲变形，轴向力 Px使
AB梁段产生轴向压缩变形。
如重力坝，自重使坝底受压力，水压力使坝体产生弯曲变形。
二、计算：
(C )
X q(x)
(x)N
M (x) (f )
(e )
(d )
M?
MN
以挡土墙为例强度条件：
][|| m a xm a xm a x
zW
M
A
N
zW
M
A
N m a xm a xm a x
m i n
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，为危险截面，其最大和最小应力为：;)()(
z
k I
yxM
A
xN
N?
(C)
q
(x)
(x)N
M (x) (f)
-
+
(e)
-
-
(d)
-
X
(C )
X q(x)
(x)N
M (x) (f )
(e
(d )
(C )
X q(x)
(x)N
M (x) (f )
(e )
(d )
x截 面任意点 应力：
例 10-2 简易起重机如图。最大吊重 P=8KN，若 AB
杆为工字钢,A3钢的 [σ]＝ 100Mpa，试选择工字钢的型号。
kNT 42
A
D
C
Ba
2.5 m2.5 m
0.8
m
P
解：（ 1）内力计算：
梁段。在 截面；在ACKNN CmKNM,40,12m a xm a x
梁段。在 截面；在ACKNN CmKNM,40,12m a xm a x
m.kN12
P
B
C
AX
Y
T
A
A a
T X
Ty
kN40
因此，可选 16号工字钢。
];[1 0 54.1 0 0|| 00m a xm a x M P aWMAN
z
校核：;1,26,14116;120
][
23
3m a x
cmAcmW
cm
M
W
z
z
号工字钢，查表选设计：
（ 4）强度计算：
截面上边缘。在截面下边缘；在右左
C
W
M
C
W
M
A
N
z
z
|;|;
m a x
m a x
m a x
m a x
m a x
（ 3）应力计算,
第四节 偏心拉伸（压缩） 截面核心一、概念,
受力特点,外力与杆轴线平行但不重合变形特点,轴向拉压与纯弯曲组合的变形二、偏心压缩的应力计算：
内力,N=P,M=Pe;
z
MN I
yM
A
N ＝应力：
];[
m i n
m a x
zW
Pe
A
P强度条件：
e
h
p
三、双向偏心拉伸（压缩）的应力计算外力作用线与杆轴线平行，且作用点不在截面的任何一个形心主轴上，而且位于 Z,Y轴的距离分别为 和的某一点 K处。这类偏心称为双向偏心拉（压）。下图为双向偏心拉伸：
ey ez
x
z
y
p
e y
ze
x
z
y
P
e y
ze
1、轴向力 P的作用,
A
P
P
N
N
2,的作用：mz
yy
I
m
I
M
z
z
z
z
mz
3,的作用：m
y Z
I
mZ
I
M
y
y
y
y
my
ZIMyImAP
y
y
z
z Z
I
Pey
I
Pe
A
P
y
z
z
y
在双向偏心拉（压）时，杆件横截面上任一点正应力计算方法与单向偏心拉（压）类似。
强度条件,
][
y
z
z
y
W
Pe
W
Pe
A
P
x
z
yo
a
b
c
d
(b)
P
m y
zm
四、截面核心：;0)61(m a x h ebhN? 6he
即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段内时截面上无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。类似可确定其它截面的截面核心。
z z
y y
z
y
D
8
D
6h
6h
6
h
6
h
z
y
h
b
4
3
2
1
例 10-3 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力 P1=100KN，由吊车梁传来压力 P2=30KN，已知 e=0.2m,b=0.18m，问截面边 h为多少时，截面不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。
解,1.求内力：
.2 8 0,9.2 7 6;0
618.0
106
18.0
101 3 0
2
63
m a x
mmhmmh
hhW
M
A
P
z
取
M P aWMAP
z
13.5628.018.0 10628.018.0 101 3 0 2
63
ma x
2.求应力：
b y
z
o
h
e
e
2
P
1
P
h
M=P2 e=6KN.m
N=P1+P2=100+30=130KN
小 结一、组合变形的计算方法,
1,分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结果，然后叠加。
综合各种基本变形截面的内力，判断危险截面，
并建立相应的强度条件来进行强度计算。
2,将荷载沿杆轴的相应方向分解，将组合变形分解为几种基本变形。
二、各种组合变形杆件的强度条件：
1,斜弯曲,];[
ma x
y
y
z
z
I
M
W
M
2,轴向拉压与弯曲,][|| m a xm a x
m a x
zW
M
A
N
3,偏心拉压：
];[
m i n
m a x
zW
Pe
A
P
三、截面核心：
使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的范围，称为该截面的截面核心。
变形 轴向拉压 剪切 扭转 平面弯曲 A
外力 轴向力 横向力 外力偶 横向力或外力偶内力 轴力 (Ｎ ) 剪力 (Q) 扭矩 (Ｍ z) 剪力 (Q) 弯矩
(M)
应力 正应力 剪应力 剪应力 剪应力 正应力
计算公式 AN AQ
p
x
I
M
bI
QS
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*
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z
I
yM
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M
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分布规律
a
檩条第一节 概述一、概念,
1,组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以上的基本变形组合而成的。
2,组合变形实例,
y
檩条
x
y
Tm
m
p
传动轴屋架檩条
q
G
p
烟囱牛腿柱雨 篷二、计算方法,
3,常见组合变形的类型,
（ 1） 斜弯曲
（ 2） 拉伸（压缩）与弯曲组合
（ 3） 偏心拉伸（压缩）
1,叠加原理,弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作用所产生的应力、变形等可叠加计算。
2,计算方法：,先分解，后叠加 。,
先分解 ----应先分解为各种基本变形，分别计算各基本变形。
后叠加 ----将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的结果。
第二节 斜弯曲受力特点,外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内。
变形特点,杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
一、强度计算：
co sPP y?
s i nPP z?
2.内力计算：;s ins in;c o sc o s
MxPxPM
MxPxPM
zy
yz
Pz
m
m y
x
y
z
o
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z
Px
L
K
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1.外力分解：
应力计算：
m a xm a xm a x,,zI
M
y
I
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Z
Z最大应力：
y
y
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强度条件：
Z
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yM
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m x
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+
+ +
-
y
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+
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二、挠度计算：
梁在斜弯曲情况下的挠度，也用叠加原理求得。如上例
yy
z
z
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y
z
y
z
总挠度为：
设挠度 f与轴的夹角为 α,则可用下式求得：
例 10-1 悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5KN/m，在自由端的水平对称平面内受集中力 P=2KN的作用。已知截面为 25a工字钢,材料的 E= MPa，试求：梁的最大拉、压应力。5102?
mKNqlM
mKNPlM
z
y
10252121
422
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m a x
m a x;108
48283
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1010 66
m a xm a x
m a x
MP a
W
M
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z
z
解：（ 1）固定端截面为危险截面。
（ 2）由于截面对称，最大拉压应力相等。
P =2 K N
q =5 KN /m
2m
y
Z
B
A
X
一、概念：
在实际工程中，杆件受横向力和轴向力的作用，则杆件将产生拉（压）弯组合变形。
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合作用如斜梁，将力 P分解为 Px,
Py 。则垂直于梁轴的横向力 PY
使梁产生弯曲变形，轴向力 Px使
AB梁段产生轴向压缩变形。
如重力坝，自重使坝底受压力，水压力使坝体产生弯曲变形。
二、计算：
(C )
X q(x)
(x)N
M (x) (f )
(e )
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MN
以挡土墙为例强度条件：
][|| m a xm a xm a x
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M
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(C)
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M (x) (f)
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X
(C )
X q(x)
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M (x) (f )
(e
(d )
(C )
X q(x)
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M (x) (f )
(e )
(d )
x截 面任意点 应力：
例 10-2 简易起重机如图。最大吊重 P=8KN，若 AB
杆为工字钢,A3钢的 [σ]＝ 100Mpa，试选择工字钢的型号。
kNT 42
A
D
C
Ba
2.5 m2.5 m
0.8
m
P
解：（ 1）内力计算：
梁段。在 截面；在ACKNN CmKNM,40,12m a xm a x
梁段。在 截面；在ACKNN CmKNM,40,12m a xm a x
m.kN12
P
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因此，可选 16号工字钢。
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校核：;1,26,14116;120
][
23
3m a x
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号工字钢，查表选设计：
（ 4）强度计算：
截面上边缘。在截面下边缘；在右左
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M
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N
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|;|;
m a x
m a x
m a x
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（ 3）应力计算,
第四节 偏心拉伸（压缩） 截面核心一、概念,
受力特点,外力与杆轴线平行但不重合变形特点,轴向拉压与纯弯曲组合的变形二、偏心压缩的应力计算：
内力,N=P,M=Pe;
z
MN I
yM
A
N ＝应力：
];[
m i n
m a x
zW
Pe
A
P强度条件：
e
h
p
三、双向偏心拉伸（压缩）的应力计算外力作用线与杆轴线平行，且作用点不在截面的任何一个形心主轴上，而且位于 Z,Y轴的距离分别为 和的某一点 K处。这类偏心称为双向偏心拉（压）。下图为双向偏心拉伸：
ey ez
x
z
y
p
e y
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x
z
y
P
e y
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1、轴向力 P的作用,
A
P
P
N
N
2,的作用：mz
yy
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3,的作用：m
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在双向偏心拉（压）时，杆件横截面上任一点正应力计算方法与单向偏心拉（压）类似。
强度条件,
][
y
z
z
y
W
Pe
W
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A
P
x
z
yo
a
b
c
d
(b)
P
m y
zm
四、截面核心：;0)61(m a x h ebhN? 6he
即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段内时截面上无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。类似可确定其它截面的截面核心。
z z
y y
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D
8
D
6h
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6
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1
例 10-3 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力 P1=100KN，由吊车梁传来压力 P2=30KN，已知 e=0.2m,b=0.18m，问截面边 h为多少时，截面不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。
解,1.求内力：
.2 8 0,9.2 7 6;0
618.0
106
18.0
101 3 0
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13.5628.018.0 10628.018.0 101 3 0 2
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2.求应力：
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2
P
1
P
h
M=P2 e=6KN.m
N=P1+P2=100+30=130KN
小 结一、组合变形的计算方法,
1,分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结果，然后叠加。
综合各种基本变形截面的内力，判断危险截面，
并建立相应的强度条件来进行强度计算。
2,将荷载沿杆轴的相应方向分解，将组合变形分解为几种基本变形。
二、各种组合变形杆件的强度条件：
1,斜弯曲,];[
ma x
y
y
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z
I
M
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M
2,轴向拉压与弯曲,][|| m a xm a x
m a x
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M
A
N
3,偏心拉压：
];[
m i n
m a x
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Pe
A
P
三、截面核心：
使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的范围，称为该截面的截面核心。
