第十一章 压杆稳定压杆稳定的概念小结压杆的临界应力细长压杆的临界力压杆的稳定计算第一节 压杆稳定的概念压杆稳定 — 压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性）
临界力 — 压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至弯断的现象称为 丧失稳定或失稳 。
一、两端铰支细长压杆的临界力第二节 细长压杆的临界力
2
2
l
EIP
lj
— 两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
2
m i n
2
)( l
EIP
lj?
式中,Imin? 压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；
μl? 计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆,μ＝ 2；
两端铰支细长压杆,μ＝ 1；
一端固定，一端铰支压杆,μ＝ 0.7；
两端固定细长压杆,μ＝ 0.5
例 11-1：截面为 200× 120mm2的轴向受压木柱,l=8m,柱的支承情况是,
在最大刚度平面内压弯时为两端铰支
（图 a）； 在最小刚度平面内压弯时为两端固定（图 b）。 木材的弹性模量
E=10GPa,试求木柱的临界压力。
解：（ 1）计算最大刚度平面内的临界压力
（即绕 y轴失稳）
中性轴为 y轴：
kNl
EIP y
lj 12380001
1080101014.3
2
632
2
2
y
z
200
120
120
z
y
200
（图 a） （图 b）
木柱两端铰支,，则得：
46
3
108012 200120 mmI y
y
z
200
120
（ 2）计算最小刚度平面内的临界压力
（即绕 z 轴失稳）
4646
3
108281082812 120200 m.mm.I z
木柱两端固定,，则得：
KNl
EIP z
lj 1 7 88 0 0 05.0
108.28101014.3
2
632
2
2?
中性轴为 z轴：
120
z
y
200
由上可知：木柱的临界压力为 Plj=123kN。
第三节 压杆的临界应力一、临界应力与柔度
2
22
2
2
2
2
2
2
Ei
l
E
A
I
l
E
Al
EI
A
P lj
lj
面的几何性质；截面的惯性半径；为截—其中,AIi?
程度。比）；反映压杆的柔软称为压杆的柔度（长细＝ i l
二、欧拉公式的适用范围
p
p
plj
EE?
2
2
2
或三、超出比例极限时压杆的临界力及临界应力总图;balj 2
当临界应力超出比例极限时，临界应力由经验公式计算。;:;:
2
2
2
ba
E
ljc
ljc
中小柔度杆；
大柔度杆；;A)ba(AP ljlj 2
临界应力总图 — 临界应力?lj
与柔度?的函数关系曲线 。;:;:
2
2
2
ba
E
ljc
ljc
中小柔度杆；
大柔度杆；
o
λ
σ ij
E
B
C
A
λ cλp
σ s
cσ
σ p
抛物线公式欧拉公式抛物线公式欧拉公式;6.5975.6157.96 BAljlj NkNAP
例 11-2 图示支架中圆形截面压杆 AB的直径为 28mm,材料为 A3钢，
E=200GPa。 试求荷载 P的最大值。
解,AB压杆 l=1000mm,;dI;mm.dA
64756154
422;1;74mmdAIi
大柔度杆；;.i l p 1 2 391 4 271 0 0 01
MP aElj 7.969.142 200000 2222
由结点 B的平衡,;0s i n,0
m a x PNY BA?;7.47546.59s inm a x kNNP BA
P
Ba
BAN
CBN
P
0.6m
C Ba
A
0.8m
第四节 压杆的稳定计算
折减系数法— ][ wAP
)(])[(
)(
w
lj
w
ljW
nn
一,稳定条件极限应力法—
w
lj
lj nA
P ][ 许可荷载法—][ w
w
lj P
n
PP
安全系数法—][ wlj nPPn
φ— 折减系数或纵向弯曲系数；一般 [σ]>[σw],故 φ<1。
二、压杆的稳定计算
1,稳定计算：由 P,A,I,l,μ,求 λ,查 φ,校核 σ。
3,设计截面：由 P,l,μ,求 A,I。 因 A,φ均未知，故用 试算法计算；
2,确定许可荷载：由 A,I,l,μ,E,求 [P]=φ[σ].A。
例 11-3 校核木柱稳定性。已知 l＝ 6m,圆截面 d＝ 20cm,两端铰接，轴向压力 P＝ 50kN，木材许用应力 [σ]=10MPa。
解,;120
5
6001;1;5
4
20
4?
i
lcmd
A
Ii;08.210208.0][,208.0 ＝查表，
木柱稳定。 ];[59.12 0 0 45 0 0 0 0 2 M P aAP
查表：
∴ 木杆稳定。;12056001;1;54204 ilcmdAIi ;12056001;1;54204 ilcmdAIi
解：查型钢表,A=12.74cm2,Iy=25.6cm4,
Iz＝ 198.3cm4,iz=3.95cm,zo=1.52cm;
m i n42 4 6 3])5.252.1(74.126.25[2 IIcmI zy;6.1265.39 100005.0,5.0 i l 求柔度由;4 2 3.0)1 2 06.1 2 6(1 2 01 3 0 4 6 6.04 0 1.04 6 6.0 值，用插值公式求得：查
kNAP 9.15012742140423.0][][
例 11-4 求钢柱的许可荷载 [P]。 已知钢柱由两根 10号槽钢组成，
l＝ 10m,两端固定,[σ]＝ 140MPa。
一、压杆稳定的概念
2
2
l
EIP
lj?
2
2
E
lj?:,pp
:,pp 2 balj AP ljlj
AP;; AIii l
小 结五、压杆的稳定计算折减系数法稳定条件：
四、中小柔度杆临界应力和临界压力计算的经验公式三、大柔度杆临界应力和临界压力计算的欧拉公式二、压杆的柔度
临界力 — 压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至弯断的现象称为 丧失稳定或失稳 。
一、两端铰支细长压杆的临界力第二节 细长压杆的临界力
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— 两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
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式中,Imin? 压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；
μl? 计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆,μ＝ 2；
两端铰支细长压杆,μ＝ 1；
一端固定，一端铰支压杆,μ＝ 0.7；
两端固定细长压杆,μ＝ 0.5
例 11-1：截面为 200× 120mm2的轴向受压木柱,l=8m,柱的支承情况是,
在最大刚度平面内压弯时为两端铰支
（图 a）； 在最小刚度平面内压弯时为两端固定（图 b）。 木材的弹性模量
E=10GPa,试求木柱的临界压力。
解：（ 1）计算最大刚度平面内的临界压力
（即绕 y轴失稳）
中性轴为 y轴：
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（图 a） （图 b）
木柱两端铰支,，则得：
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（ 2）计算最小刚度平面内的临界压力
（即绕 z 轴失稳）
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木柱两端固定,，则得：
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中性轴为 z轴：
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由上可知：木柱的临界压力为 Plj=123kN。
第三节 压杆的临界应力一、临界应力与柔度
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面的几何性质；截面的惯性半径；为截—其中,AIi?
程度。比）；反映压杆的柔软称为压杆的柔度（长细＝ i l
二、欧拉公式的适用范围
p
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或三、超出比例极限时压杆的临界力及临界应力总图;balj 2
当临界应力超出比例极限时，临界应力由经验公式计算。;:;:
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中小柔度杆；
大柔度杆；;A)ba(AP ljlj 2
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例 11-2 图示支架中圆形截面压杆 AB的直径为 28mm,材料为 A3钢，
E=200GPa。 试求荷载 P的最大值。
解,AB压杆 l=1000mm,;dI;mm.dA
64756154
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大柔度杆；;.i l p 1 2 391 4 271 0 0 01
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二、压杆的稳定计算
1,稳定计算：由 P,A,I,l,μ,求 λ,查 φ,校核 σ。
3,设计截面：由 P,l,μ,求 A,I。 因 A,φ均未知，故用 试算法计算；
2,确定许可荷载：由 A,I,l,μ,E,求 [P]=φ[σ].A。
例 11-3 校核木柱稳定性。已知 l＝ 6m,圆截面 d＝ 20cm,两端铰接，轴向压力 P＝ 50kN，木材许用应力 [σ]=10MPa。
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木柱稳定。 ];[59.12 0 0 45 0 0 0 0 2 M P aAP
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∴ 木杆稳定。;12056001;1;54204 ilcmdAIi ;12056001;1;54204 ilcmdAIi
解：查型钢表,A=12.74cm2,Iy=25.6cm4,
Iz＝ 198.3cm4,iz=3.95cm,zo=1.52cm;
m i n42 4 6 3])5.252.1(74.126.25[2 IIcmI zy;6.1265.39 100005.0,5.0 i l 求柔度由;4 2 3.0)1 2 06.1 2 6(1 2 01 3 0 4 6 6.04 0 1.04 6 6.0 值，用插值公式求得：查
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例 11-4 求钢柱的许可荷载 [P]。 已知钢柱由两根 10号槽钢组成，
l＝ 10m,两端固定,[σ]＝ 140MPa。
一、压杆稳定的概念
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小 结五、压杆的稳定计算折减系数法稳定条件：
四、中小柔度杆临界应力和临界压力计算的经验公式三、大柔度杆临界应力和临界压力计算的欧拉公式二、压杆的柔度
