无线电系及生医系 信号与系统 期中考试试题答案 (仅供参考)
(考试时间 2004/04/28)
1、判断下列方程所描述的系统是否为线性系统
(每小题 2 分,共 6 分,写出,是,与,不是,即可)
)(
)(
2)(5
)(
3
)(
)1(
2
2
te
dt
tde
tr
dt
tdr
dt
trd
+=?+
( 答案,是 )
)()()()sin(2
)(
)2( tedrtrt
dt
tdr
t
=?+
∫
∞?
ττπ
( 答案,是 )
)()(
)(
2
)(
).3(
2
2
2
tetr
dt
tdr
dt
tdr
=++
( 答案:不 是 )
2、已知一线性系统:
)(3)()(5)( tete
dt
d
trtr
dt
d
+=+
激励 e(t)=5,( -∞<t<∞)求响应 r(t)。 ( 6分)
解法解法
1:
:
)(3)00cos(
5
3
5)(
5
3
5
3
)()0(
5
3
)(
)0cos(55)(
0
0
∞+<<?∞=+?=
===
+
+
=
==
=
tttr
ejHjH
j
j
jH
tte
j
ω
ω
ω
ω
ω
由系统方程故解法 2:因 e(t)=5,( -∞<t<∞),故由直流稳态解,可设
r(t)=A (常数),代入系统方程,得 5A=3x5,
∴ r(t)= A =3
3,利用傅里叶变换的性质求下列波形信号的傅里叶变换。 ( 8分)
1
-1
2
0
t
f(t)
解:
])([
2
)(
)(2)(2)}({
)1(2)()(
'
2
'
ω
ω
ω
ω
ω
ωωω
δ
j
j
eSa
j
jF
jFjeSatfF
ttGtf
=
=?=
=
4。 计算卷积,2 * t[ε(t+2)-ε(t-2)] 。( 5分)
2
)(
1
tf
0
t
2
)(
2
tf
0
t
2
2?
解,2
0
2
2)]2()2([
2)]2()2([)]2()2([
2
2
=
=
+=
+=+?
∫
∫
∞
∞?
ττ
ττετετ
εεεε
d
d
tttttt
5,图示系统:两个子系统的冲激响应为 h
1
(t)=δ(t-1),
h
2
(t)=δ(t),求整个系统的冲激响应 h(t)。( 6分)
h
1
(t)
h
2
(t)
Σ
e(t)
r(t)
解:令 e(t)=δ(t),由冲激响应定义,
)1()(
)1()()(
)()]1()()([
)()]()()([
)()(
21
+=
+=
+=
+=
=
tt
ttt
tttt
ththtt
trth
δδ
δδδ
δδδδ
δδ
6,已知系统,r′′(t)+2r′(t)=e′(t),初始条件为,r(0
-
)=0,r′(0
-
)=2,
求系统的零输入响应及冲激响应 h(t)。( 8分)
解,(1)系统特征方程为:
)()1()(
1
,1
22
,0
0,2)(
0,)(
2,0
,02
2
2
1
2
21
2
2
'
2
21
21
2
tetr
c
c
c
cc
tectr
tecctr
t
zi
t
zi
t
zi
ε
λλ
λλ
=∴
=
=
→
=?
=+
≥?=
≥+=
==
=+
(2)系统转移算子为:
)()(
2
1
2
10
)2(
)(
2
teth
ppppp
p
pH
t
ε
=∴
+
=
+
+=
+
=
解之,得在输入为零时 r(0
+
)= r(0
-
)= 0,r′(0
+
)= r′(0
-
)= 2,代入上列二式
7,已知如图所示的f(t),试画出f(t-1) ε(t) (5分)
2
1
-2
-1
f(t)
t
解:
0
3
1
f(t-1)ε(t)
8、已知某线性时不变系统的冲激响应为 )2()1(2)()(?+= tttth εεε
求系统在激励 下的零状态响应。 e(t)如图所示。 ( 9 分 )
dt
tde )(
5.0
)(th
t
0
1?
1
1
2
解:
)4()3(5.2)2(5.1)1(5.0)(5.0
)]4()3(2)2([
)]3()2(2)1([5.0
)]2()1(2)([5.0
)2()1(5.0)(5.0)(
)2()1(5.0)(5.0
)(
+=
+
++
+=
+=
+=
ttttt
ttt
ttt
ttt
thththtr
ttt
dt
tde
zs
εεεεε
εεε
εεε
εεε
δδδ dt
tde )(
)5.0()5.0(
)1(?
t
2
1
0
9、有一系统对激励为e
1
(t)= δ(t)的完全响应为r
1
(t)=2e
-t
ε(t),对 激 励 为
e
2
(t)=2δ(t) 的完全响应为r
2
(t)= e
-t
ε(t),
(1)求系统的零输入响应r
zi
(t);
( 2)系统的初始状态保持不变,求 系 统 对 激 励 e
3
(t)=3δ(t) 的 完 全 响应r
3
(t)( 8 分)
0)(3)(3)()(3)(
)()()()(
)(3)(
)()()(2)(
)(2)()()(
3
1
2
1
=+?=+=
=?=
=∴
=+=
=+=
tetetrthtr
tetrtrth
tetr
tetrthtr
tetrthtr
tt
zi
t
zi
t
zi
t
zi
t
zi
εε
ε
ε
ε
ε
( 1)
( 2)
10、一带限信号的频谱如图 (a)所示,若此信号通过图 (b) 所示系统,请画出 A、
B,C 三点处的信号频谱。理想低通滤波器的转移函数为
H(jω)=ε(ω+15)?ε(ω?15)。 ( 10 分 )
( a)
(b)
)(ta
)(tb
)(tc
4
ω
)( ωjA
30
30?
20
40
20?
40?
0
ω
)( ωjB
3030?
4
6060?
0
2 2
1010?
7070?
50
50?
解:
ω
)( ωjC
4
1010?
0
11、已知若已知 f
1
(t)的拉氏变换 F
1
(s),求 F
2
(s),(即用 F
1
(s)表示 F
2
(s).) ( 8分 )
0)(
0)(
)(
)()sin()(
1
1
)(
0
2
01
{
1
<
≥
=
=
tf
tf
tf
tttf
tf
当当
εω
)(]1[)(
]1)[()()()(
)()()
2
()()(
2
1
1
2
2221
0
22221
0
0
00
sFesF
esFesFsFsF
tftf
T
tftftf
T
s
ss
=∴
=?=
==
=
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
解:
12、求下列时间函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。( 8 分)
)]2(([)(
2
=
ttetf
t
εε )
( 1)
( 2)
)()3cos()cos()( ttttf ε=
解:( 1)
))
)))
2((
2(()]2(([)(
)2(242
222
=
==
teete
tetettetf
tt
ttt
εε
εεεε
)1(
2
1
2
1
2
1
)(
4224
+
=
+
+
=
ss
e
s
e
s
e
s
sF
(Re(s)>?∞)
]
416
[5.0)(
)()]2cos()4[cos(5.0)()3cos()cos()(
22
+
+
+
=
+==
s
s
s
s
sF
tttttttf εε
( 2)
[ Re(s)>0 ]
13、求下列F
d
(s)的原时间函数。( 6 分)
)(,
)
3Re(s)5-
5)(3(
)(?<<
++
=
ss
s
sF
d
3
5.1
5
5.2
5)(3(
)(
+
+
+
=
++
=
ssss
s
sF
d
)
解,
)(5.1)(5.1
3
5.1
3
5.1
3
5.1
)(
)(5.2
5
5.2
)(
33
5
1
1
tete
sss
sF
te
s
sF
ttttLss
b
tL
a
→→?
=
+?
→?
+
=
→?
+
=
→?→
εε
ε
F
d
(s)的原时间函数为
)(5.1)(5.2)(
35
tetetf
tt
+=
εε
14.画出系统的直接模拟框图:(7分)
)(8
)(
7)(6
)(
5
)(
4
)(
2
2
3
3
te
dt
tde
tr
dt
tdr
dt
trd
dt
trd
+=+++
解,引入辅助函数 q(t),得
)(8
)(
7)(
)()(6
)(
5
)(
4
)(
2
2
3
3
tq
dt
tdq
tr
tetq
dt
tdq
dt
tqd
dt
tqd
+=
=+++
∫ ∫ ∫
Σ
q
′′′
q
′′
q
′
q
-4
-5
-6
)(te
7
8
Σ
)(tr
(考试时间 2004/04/28)
1、判断下列方程所描述的系统是否为线性系统
(每小题 2 分,共 6 分,写出,是,与,不是,即可)
)(
)(
2)(5
)(
3
)(
)1(
2
2
te
dt
tde
tr
dt
tdr
dt
trd
+=?+
( 答案,是 )
)()()()sin(2
)(
)2( tedrtrt
dt
tdr
t
=?+
∫
∞?
ττπ
( 答案,是 )
)()(
)(
2
)(
).3(
2
2
2
tetr
dt
tdr
dt
tdr
=++
( 答案:不 是 )
2、已知一线性系统:
)(3)()(5)( tete
dt
d
trtr
dt
d
+=+
激励 e(t)=5,( -∞<t<∞)求响应 r(t)。 ( 6分)
解法解法
1:
:
)(3)00cos(
5
3
5)(
5
3
5
3
)()0(
5
3
)(
)0cos(55)(
0
0
∞+<<?∞=+?=
===
+
+
=
==
=
tttr
ejHjH
j
j
jH
tte
j
ω
ω
ω
ω
ω
由系统方程故解法 2:因 e(t)=5,( -∞<t<∞),故由直流稳态解,可设
r(t)=A (常数),代入系统方程,得 5A=3x5,
∴ r(t)= A =3
3,利用傅里叶变换的性质求下列波形信号的傅里叶变换。 ( 8分)
1
-1
2
0
t
f(t)
解:
])([
2
)(
)(2)(2)}({
)1(2)()(
'
2
'
ω
ω
ω
ω
ω
ωωω
δ
j
j
eSa
j
jF
jFjeSatfF
ttGtf
=
=?=
=
4。 计算卷积,2 * t[ε(t+2)-ε(t-2)] 。( 5分)
2
)(
1
tf
0
t
2
)(
2
tf
0
t
2
2?
解,2
0
2
2)]2()2([
2)]2()2([)]2()2([
2
2
=
=
+=
+=+?
∫
∫
∞
∞?
ττ
ττετετ
εεεε
d
d
tttttt
5,图示系统:两个子系统的冲激响应为 h
1
(t)=δ(t-1),
h
2
(t)=δ(t),求整个系统的冲激响应 h(t)。( 6分)
h
1
(t)
h
2
(t)
Σ
e(t)
r(t)
解:令 e(t)=δ(t),由冲激响应定义,
)1()(
)1()()(
)()]1()()([
)()]()()([
)()(
21
+=
+=
+=
+=
=
tt
ttt
tttt
ththtt
trth
δδ
δδδ
δδδδ
δδ
6,已知系统,r′′(t)+2r′(t)=e′(t),初始条件为,r(0
-
)=0,r′(0
-
)=2,
求系统的零输入响应及冲激响应 h(t)。( 8分)
解,(1)系统特征方程为:
)()1()(
1
,1
22
,0
0,2)(
0,)(
2,0
,02
2
2
1
2
21
2
2
'
2
21
21
2
tetr
c
c
c
cc
tectr
tecctr
t
zi
t
zi
t
zi
ε
λλ
λλ
=∴
=
=
→
=?
=+
≥?=
≥+=
==
=+
(2)系统转移算子为:
)()(
2
1
2
10
)2(
)(
2
teth
ppppp
p
pH
t
ε
=∴
+
=
+
+=
+
=
解之,得在输入为零时 r(0
+
)= r(0
-
)= 0,r′(0
+
)= r′(0
-
)= 2,代入上列二式
7,已知如图所示的f(t),试画出f(t-1) ε(t) (5分)
2
1
-2
-1
f(t)
t
解:
0
3
1
f(t-1)ε(t)
8、已知某线性时不变系统的冲激响应为 )2()1(2)()(?+= tttth εεε
求系统在激励 下的零状态响应。 e(t)如图所示。 ( 9 分 )
dt
tde )(
5.0
)(th
t
0
1?
1
1
2
解:
)4()3(5.2)2(5.1)1(5.0)(5.0
)]4()3(2)2([
)]3()2(2)1([5.0
)]2()1(2)([5.0
)2()1(5.0)(5.0)(
)2()1(5.0)(5.0
)(
+=
+
++
+=
+=
+=
ttttt
ttt
ttt
ttt
thththtr
ttt
dt
tde
zs
εεεεε
εεε
εεε
εεε
δδδ dt
tde )(
)5.0()5.0(
)1(?
t
2
1
0
9、有一系统对激励为e
1
(t)= δ(t)的完全响应为r
1
(t)=2e
-t
ε(t),对 激 励 为
e
2
(t)=2δ(t) 的完全响应为r
2
(t)= e
-t
ε(t),
(1)求系统的零输入响应r
zi
(t);
( 2)系统的初始状态保持不变,求 系 统 对 激 励 e
3
(t)=3δ(t) 的 完 全 响应r
3
(t)( 8 分)
0)(3)(3)()(3)(
)()()()(
)(3)(
)()()(2)(
)(2)()()(
3
1
2
1
=+?=+=
=?=
=∴
=+=
=+=
tetetrthtr
tetrtrth
tetr
tetrthtr
tetrthtr
tt
zi
t
zi
t
zi
t
zi
t
zi
εε
ε
ε
ε
ε
( 1)
( 2)
10、一带限信号的频谱如图 (a)所示,若此信号通过图 (b) 所示系统,请画出 A、
B,C 三点处的信号频谱。理想低通滤波器的转移函数为
H(jω)=ε(ω+15)?ε(ω?15)。 ( 10 分 )
( a)
(b)
)(ta
)(tb
)(tc
4
ω
)( ωjA
30
30?
20
40
20?
40?
0
ω
)( ωjB
3030?
4
6060?
0
2 2
1010?
7070?
50
50?
解:
ω
)( ωjC
4
1010?
0
11、已知若已知 f
1
(t)的拉氏变换 F
1
(s),求 F
2
(s),(即用 F
1
(s)表示 F
2
(s).) ( 8分 )
0)(
0)(
)(
)()sin()(
1
1
)(
0
2
01
{
1
<
≥
=
=
tf
tf
tf
tttf
tf
当当
εω
)(]1[)(
]1)[()()()(
)()()
2
()()(
2
1
1
2
2221
0
22221
0
0
00
sFesF
esFesFsFsF
tftf
T
tftftf
T
s
ss
=∴
=?=
==
=
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
解:
12、求下列时间函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。( 8 分)
)]2(([)(
2
=
ttetf
t
εε )
( 1)
( 2)
)()3cos()cos()( ttttf ε=
解:( 1)
))
)))
2((
2(()]2(([)(
)2(242
222
=
==
teete
tetettetf
tt
ttt
εε
εεεε
)1(
2
1
2
1
2
1
)(
4224
+
=
+
+
=
ss
e
s
e
s
e
s
sF
(Re(s)>?∞)
]
416
[5.0)(
)()]2cos()4[cos(5.0)()3cos()cos()(
22
+
+
+
=
+==
s
s
s
s
sF
tttttttf εε
( 2)
[ Re(s)>0 ]
13、求下列F
d
(s)的原时间函数。( 6 分)
)(,
)
3Re(s)5-
5)(3(
)(?<<
++
=
ss
s
sF
d
3
5.1
5
5.2
5)(3(
)(
+
+
+
=
++
=
ssss
s
sF
d
)
解,
)(5.1)(5.1
3
5.1
3
5.1
3
5.1
)(
)(5.2
5
5.2
)(
33
5
1
1
tete
sss
sF
te
s
sF
ttttLss
b
tL
a
→→?
=
+?
→?
+
=
→?
+
=
→?→
εε
ε
F
d
(s)的原时间函数为
)(5.1)(5.2)(
35
tetetf
tt
+=
εε
14.画出系统的直接模拟框图:(7分)
)(8
)(
7)(6
)(
5
)(
4
)(
2
2
3
3
te
dt
tde
tr
dt
tdr
dt
trd
dt
trd
+=+++
解,引入辅助函数 q(t),得
)(8
)(
7)(
)()(6
)(
5
)(
4
)(
2
2
3
3
tq
dt
tdq
tr
tetq
dt
tdq
dt
tqd
dt
tqd
+=
=+++
∫ ∫ ∫
Σ
q
′′′
q
′′
q
′
q
-4
-5
-6
)(te
7
8
Σ
)(tr