第七章 离散时间系统的时域分析
本章重点,抽 样定理，零输入 响应，卷积和
§7.1 离散时 间信号的描述
一一
、
、
离离散散信信号号的的描描述述
定义,只在离 散时刻
k
t
才有定 义，记 作
)(
k
tf
抽 样 信 号 的 概念
东南大学移动通信国家重点实验室
f(t)
t
连续信号
f(k)
t=kT
离散信号抽样时间离散
f(k)
数字信号
1
2
3
幅度量化
f(t)
t
量化信号
1
2
3
t=kT
东南大学移动通信国家重点实验室描述,a）闭式，写成时刻
k
t 的函数
（注,通常取 " "1,0,== kkTt
k
,
T：抽样间隔,)()()( kfkTftf
k
记
== ）
如
k
kf
2
1
)( = 0≥k
b）有序数字（数 值序列）,
如上例的
== " ",、、；、、、,210
8
1
4
1
2
1
1)( kkf,
东南大学移动通信国家重点实验室
f(k)
k
1
1/2
…...
1/4
c）时域波形
对上面的 )(kf
0 1 2 3
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
常常用用的的序序列列
1,单位阶跃序列
<
≥
=ε
0,0
0,1
)(
k
k
k
2,单位（样值）函数
≠
=
=δ
0,0
0,1
)(
k
k
k
东南大学移动通信国家重点实验室对应于连续时间域中
dt
td
t
)(
)(
ε
=δ
在离散中是差分关系,)1()()(?ε?ε=δ kkk
对应于连续时间域中
∫
∞?
=
t
dt ττδε )()(
在离散中是求和关系,
<
≥
==
∑
∞=
0,0
0,1
)()(
k
k
jk
k
j
δε
或
∑
∞
=
+?δ+δ=?δ=ε
0
)1()()()(
j
kkjkk "
东南大学移动通信国家重点实验室
3,（单 边） 指数 序列 （ )(k
k
εν,ν 实数 ）
ν
1
1
1
<
=
>
收敛序列时是交叉等幅）序列等幅（当发散序列
1?=ν
东南大学移动通信国家重点实验室
4,（单边）变幅正 弦序列
一对共轭根ν
设
νν
j
e=
θj
eC=C
则 )()cos(2)()()(
**
kkCkCkC
k
kk
εθ?νενεν +=+
C是常量（与定解系数有 关 ）
东南大学移动通信国家重点实验室
§7.2 抽样定理
问题,1,抽 样 间 隔 T如何定？
2,原信 号能 否由 样本 点（ 值） 恢复？
若能,如 何恢 复？
东南大学移动通信国家重点实验室一一
、
、
理理想想抽抽样样
)()()( ttftf
Ts
δ=
)(tf
∑
+∞
∞=
δ=δ
n
T
nTtt )()(
设 )()( ω? jFtf （最高 频率
m
ω
）
)()( ωδ?δ
ωsT
t
)()( ω? jFtf
ss
东南大学移动通信国家重点实验室
f(t)
t
0
F(jw)
w
0
-w
m
w
m
t
0
F(jw)
w
0
-w
s
T2T-T-2T
w
s
2w
s
-2w
s
(w
s
)
f
s
(t)
t
0
F
s
(jw)
w
0-w
m
w
m
w
s
-w
s
F(0)/T
)(t
T
δ
(1)
东南大学移动通信国家重点实验室
由
∑
+∞
∞=
ω
=δ
n
tjn
n
T
s
e
A
t
2
)(
T
s
π
=ω
2
抽样频率
{}
T
tF
T
A
n
2
)(
2
=δ=
∴ ∑∑
=?= )()(
2
)(
ssss
nn
T
ωωδωωωδπωδ
ω
∴
∑
+∞
∞=
==
n
SsS
njjF
T
jFjF )(
1
)(*)(
2
1
)( ωωωδω
π
ω
ω
东南大学移动通信国家重点实验室由
)( ωjF
s
知：若
ms
ω≥ω 2 则 )( ωjF
s
无混迭,
则 )(tf 可由 )( ωjF
S
通过（ 理想 ）低 通恢 复,
把
ms
ω=ω 2
称为 奈 奎 斯 特 抽样 速率,
则称为奈氏间隔
mS
T
ω
π
ω
π
==
2
东南大学移动通信国家重点实验室注,⒈ 工 程 上
)( ωjF
有拖 尾,设有 效带 宽
为
m
ω
，则取
mms
ω=ω?=ω )10~6(2)5~3(
⒉ 冲激 序列 无法产 生,实际 可用
开关 函数 （窄 脉冲 序列 ）代 替。
东南大学移动通信国家重点实验室
二二
、
、
自自然然抽抽样样
（
（
脉脉幅幅调调制制
）
） （参见书 上图 7-4,7-5）
设 )()( ω? jFtf 频限
m
ω
,
)()( ω? jGtg
，
)()( ωjFtf
Ss
（ 框 图 与波形,频 谱图示 于黑 板 ）
由
∑
∞
∞=
ω
=
n
tjn
n
s
e
A
tg
2
)(
T
s
π
=ω
2
)
2
(
2
τω
τ=
s
an
n
SA
T
A
东南大学移动通信国家重点实验室得
∑∑
∞
∞=
ω?ωδ
τωτπ
=ω?ωδπ=ω
n
s
s
asn
n
n
S
T
A
nAjG )()
2
(
2
)()(
∑
∞+
∞=
=
=
n
s
s
a
s
njjF
n
S
T
A
jGjFjF
结论与理想抽样相同)()
2
(
)(*)(
2
1
)(
ωω
τωτ
ωω
π
ω
注 1：平顶抽样
2,抽 样 定理使连续信号的 离散成为可能。
（参见 书 上图 7-9）
东南大学移动通信国家重点实验室
§7,3离散时间 系统的描述和模 拟
系 统表示法 连 续 离 散
（1） 系统 I/O 方程 微分方程 差分方程
（ 2） 框图模拟 三种基 本单元 三种基 本单元
（ 3） 系统函数 H（ s） H（ z）
注,线性 时 不 变 （ LTI）连 续系 统 线 性 常系 数微 分方程,
线性 时 /移不 变（ LTI/LSI）离 散系 统 线 性 常系 数差 分 方 程 。
东南大学移动通信国家重点实验室一一
、
、
差差分分方方程程描描述述的的离离散散系系统统
1,差分
一阶 差分,
)()1()( kykyky?+=?
（前 向） ；
（
)1()()(=?
kykyky
） （后向）
二阶 差分：
)()1(2)2(
)()1()(
2
kykyky
kykyky
++?+=
+?=?
n阶差 分,
)()1()(
11
kykyky
nnn
+?=?
东南大学移动通信国家重点实验室
2,差分 方程
离散系统
e(k) y(k)
n阶
0)}(,),(),(),(,),(,{ =Φ kekekekykyk
mn
" "
或
0)}(,),1(),(),(,),1(),(,{ =++++Φ mkekekenkykykyk " "
东南大学移动通信国家重点实验室对 LTI系统有,
)()1(...)1()(
)()1(...)1()(
011
011
kebkebmkebmkeb
kyakyankyanky
mm
n
++++?+++=
++++?+++
定义 移 序算子 S，
)()]([ ikykyS
i
+=
)()(
)()(
01
01
1
1
kebSbSb
kyaSaSaS
m
m
n
n
n
+++=
++++?
"
"
东南大学移动通信国家重点实验室简记 为：
)()()()( keSNkySD =
或
)()()(
)(
)(
)( keSHke
SD
SN
ky ==
其中,)(SH 为 转移 算子,)(SD 为特 征多 项式。
注,（1 ） 对 因果 系统
nm ≤?
（2 ） 若
i
a
全为 0
非递 归系 统 （FI R）,
若
i
a
不全为 0? 递归 系统 （I IR） 。
东南大学移动通信国家重点实验室
3,举例
例1,（银行贷款 问题）某 人 月初向银行借 了 M元,
之后不 再借，月息β元 /元月； 从当月开始（ k=0）,
每月底 还 e(k),第 k 月初尚 欠 y(k)元，问何 时还清？
考 虑第(k+1 )月 初的 欠款 y(k+1)
y(k+1)= y(k)+β y(k)- e(k)
=
=β++
My(0)
-e(k))y(k)(1-1)y(k
东南大学移动通信国家重点实验室例 2：梯形电阻网络,求 各节点电压 u(k)
（参见书上图 7-11,7-12）
考虑典型节点，由电 流 关 系,
R
kuku
aR
ku
R
kuku )2()1()1()1()( +?+
+
+
=
+?
得：
===
=+++?+
nknuEu
kuku
a
ku
"2,1,0,0)(,)0(
0)()1()
1
2()2(
东南大学移动通信国家重点实验室例 3,（微分方程与 差分方 程的转换或微分方程 的数 值解）
)()(
)(
tBetAy
dt
tdy
+?= （ 1）
)()()1( kbekayky +?=+ （ 2）
设 T 足够小,kTt = 时,
T
kyky
dt
tdy
kTt
)()1()(?+
≈
=
东南大学移动通信国家重点实验室
∴原微分方程在 kTt = 时近似有,
)()(
)()1(
kBekAy
T
kyky
+?≈
+
即
)3()()()1()1( kBTekyATky +≈+
比较 (2) (3)
)()()1( kbekayky +?=+
（ 2）
当 a=AT-1,b=BT 时 两系统近似等 价 。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
差差分分方方程程描描述述的的
LTI离离散散系系统统的的框框图图模模拟拟
1,基本运 算单元
（1 ） 加 法 器,
∑
)(
1
kx
)(
2
kx
)()()(
21
kxkxky +=
东南大学移动通信国家重点实验室
（2 ） 标 量 乘法 器
)()( kaxky =)(kx
（3 ） 延时器
D
e(k+1) y(k)=e(k)
东南大学移动通信国家重点实验室
2,LTI离 散系统的框图
对
)()()()( keSNkySD =
，引 入中间变量 q(k)
令 )()()( kekqSD =,则
)()()( kqSNky =
（参见 书上图 7-15 或图示 于黑板）
直接型 框图形式和连续系 统类似，此略。
东南大学移动通信国家重点实验室
本章重点,抽 样定理，零输入 响应，卷积和
§7.1 离散时 间信号的描述
一一
、
、
离离散散信信号号的的描描述述
定义,只在离 散时刻
k
t
才有定 义，记 作
)(
k
tf
抽 样 信 号 的 概念
东南大学移动通信国家重点实验室
f(t)
t
连续信号
f(k)
t=kT
离散信号抽样时间离散
f(k)
数字信号
1
2
3
幅度量化
f(t)
t
量化信号
1
2
3
t=kT
东南大学移动通信国家重点实验室描述,a）闭式，写成时刻
k
t 的函数
（注,通常取 " "1,0,== kkTt
k
,
T：抽样间隔,)()()( kfkTftf
k
记
== ）
如
k
kf
2
1
)( = 0≥k
b）有序数字（数 值序列）,
如上例的
== " ",、、；、、、,210
8
1
4
1
2
1
1)( kkf,
东南大学移动通信国家重点实验室
f(k)
k
1
1/2
…...
1/4
c）时域波形
对上面的 )(kf
0 1 2 3
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
常常用用的的序序列列
1,单位阶跃序列
<
≥
=ε
0,0
0,1
)(
k
k
k
2,单位（样值）函数
≠
=
=δ
0,0
0,1
)(
k
k
k
东南大学移动通信国家重点实验室对应于连续时间域中
dt
td
t
)(
)(
ε
=δ
在离散中是差分关系,)1()()(?ε?ε=δ kkk
对应于连续时间域中
∫
∞?
=
t
dt ττδε )()(
在离散中是求和关系,
<
≥
==
∑
∞=
0,0
0,1
)()(
k
k
jk
k
j
δε
或
∑
∞
=
+?δ+δ=?δ=ε
0
)1()()()(
j
kkjkk "
东南大学移动通信国家重点实验室
3,（单 边） 指数 序列 （ )(k
k
εν,ν 实数 ）
ν
1
1
1
<
=
>
收敛序列时是交叉等幅）序列等幅（当发散序列
1?=ν
东南大学移动通信国家重点实验室
4,（单边）变幅正 弦序列
一对共轭根ν
设
νν
j
e=
θj
eC=C
则 )()cos(2)()()(
**
kkCkCkC
k
kk
εθ?νενεν +=+
C是常量（与定解系数有 关 ）
东南大学移动通信国家重点实验室
§7.2 抽样定理
问题,1,抽 样 间 隔 T如何定？
2,原信 号能 否由 样本 点（ 值） 恢复？
若能,如 何恢 复？
东南大学移动通信国家重点实验室一一
、
、
理理想想抽抽样样
)()()( ttftf
Ts
δ=
)(tf
∑
+∞
∞=
δ=δ
n
T
nTtt )()(
设 )()( ω? jFtf （最高 频率
m
ω
）
)()( ωδ?δ
ωsT
t
)()( ω? jFtf
ss
东南大学移动通信国家重点实验室
f(t)
t
0
F(jw)
w
0
-w
m
w
m
t
0
F(jw)
w
0
-w
s
T2T-T-2T
w
s
2w
s
-2w
s
(w
s
)
f
s
(t)
t
0
F
s
(jw)
w
0-w
m
w
m
w
s
-w
s
F(0)/T
)(t
T
δ
(1)
东南大学移动通信国家重点实验室
由
∑
+∞
∞=
ω
=δ
n
tjn
n
T
s
e
A
t
2
)(
T
s
π
=ω
2
抽样频率
{}
T
tF
T
A
n
2
)(
2
=δ=
∴ ∑∑
=?= )()(
2
)(
ssss
nn
T
ωωδωωωδπωδ
ω
∴
∑
+∞
∞=
==
n
SsS
njjF
T
jFjF )(
1
)(*)(
2
1
)( ωωωδω
π
ω
ω
东南大学移动通信国家重点实验室由
)( ωjF
s
知：若
ms
ω≥ω 2 则 )( ωjF
s
无混迭,
则 )(tf 可由 )( ωjF
S
通过（ 理想 ）低 通恢 复,
把
ms
ω=ω 2
称为 奈 奎 斯 特 抽样 速率,
则称为奈氏间隔
mS
T
ω
π
ω
π
==
2
东南大学移动通信国家重点实验室注,⒈ 工 程 上
)( ωjF
有拖 尾,设有 效带 宽
为
m
ω
，则取
mms
ω=ω?=ω )10~6(2)5~3(
⒉ 冲激 序列 无法产 生,实际 可用
开关 函数 （窄 脉冲 序列 ）代 替。
东南大学移动通信国家重点实验室
二二
、
、
自自然然抽抽样样
（
（
脉脉幅幅调调制制
）
） （参见书 上图 7-4,7-5）
设 )()( ω? jFtf 频限
m
ω
,
)()( ω? jGtg
，
)()( ωjFtf
Ss
（ 框 图 与波形,频 谱图示 于黑 板 ）
由
∑
∞
∞=
ω
=
n
tjn
n
s
e
A
tg
2
)(
T
s
π
=ω
2
)
2
(
2
τω
τ=
s
an
n
SA
T
A
东南大学移动通信国家重点实验室得
∑∑
∞
∞=
ω?ωδ
τωτπ
=ω?ωδπ=ω
n
s
s
asn
n
n
S
T
A
nAjG )()
2
(
2
)()(
∑
∞+
∞=
=
=
n
s
s
a
s
njjF
n
S
T
A
jGjFjF
结论与理想抽样相同)()
2
(
)(*)(
2
1
)(
ωω
τωτ
ωω
π
ω
注 1：平顶抽样
2,抽 样 定理使连续信号的 离散成为可能。
（参见 书 上图 7-9）
东南大学移动通信国家重点实验室
§7,3离散时间 系统的描述和模 拟
系 统表示法 连 续 离 散
（1） 系统 I/O 方程 微分方程 差分方程
（ 2） 框图模拟 三种基 本单元 三种基 本单元
（ 3） 系统函数 H（ s） H（ z）
注,线性 时 不 变 （ LTI）连 续系 统 线 性 常系 数微 分方程,
线性 时 /移不 变（ LTI/LSI）离 散系 统 线 性 常系 数差 分 方 程 。
东南大学移动通信国家重点实验室一一
、
、
差差分分方方程程描描述述的的离离散散系系统统
1,差分
一阶 差分,
)()1()( kykyky?+=?
（前 向） ；
（
)1()()(=?
kykyky
） （后向）
二阶 差分：
)()1(2)2(
)()1()(
2
kykyky
kykyky
++?+=
+?=?
n阶差 分,
)()1()(
11
kykyky
nnn
+?=?
东南大学移动通信国家重点实验室
2,差分 方程
离散系统
e(k) y(k)
n阶
0)}(,),(),(),(,),(,{ =Φ kekekekykyk
mn
" "
或
0)}(,),1(),(),(,),1(),(,{ =++++Φ mkekekenkykykyk " "
东南大学移动通信国家重点实验室对 LTI系统有,
)()1(...)1()(
)()1(...)1()(
011
011
kebkebmkebmkeb
kyakyankyanky
mm
n
++++?+++=
++++?+++
定义 移 序算子 S，
)()]([ ikykyS
i
+=
)()(
)()(
01
01
1
1
kebSbSb
kyaSaSaS
m
m
n
n
n
+++=
++++?
"
"
东南大学移动通信国家重点实验室简记 为：
)()()()( keSNkySD =
或
)()()(
)(
)(
)( keSHke
SD
SN
ky ==
其中,)(SH 为 转移 算子,)(SD 为特 征多 项式。
注,（1 ） 对 因果 系统
nm ≤?
（2 ） 若
i
a
全为 0
非递 归系 统 （FI R）,
若
i
a
不全为 0? 递归 系统 （I IR） 。
东南大学移动通信国家重点实验室
3,举例
例1,（银行贷款 问题）某 人 月初向银行借 了 M元,
之后不 再借，月息β元 /元月； 从当月开始（ k=0）,
每月底 还 e(k),第 k 月初尚 欠 y(k)元，问何 时还清？
考 虑第(k+1 )月 初的 欠款 y(k+1)
y(k+1)= y(k)+β y(k)- e(k)
=
=β++
My(0)
-e(k))y(k)(1-1)y(k
东南大学移动通信国家重点实验室例 2：梯形电阻网络,求 各节点电压 u(k)
（参见书上图 7-11,7-12）
考虑典型节点，由电 流 关 系,
R
kuku
aR
ku
R
kuku )2()1()1()1()( +?+
+
+
=
+?
得：
===
=+++?+
nknuEu
kuku
a
ku
"2,1,0,0)(,)0(
0)()1()
1
2()2(
东南大学移动通信国家重点实验室例 3,（微分方程与 差分方 程的转换或微分方程 的数 值解）
)()(
)(
tBetAy
dt
tdy
+?= （ 1）
)()()1( kbekayky +?=+ （ 2）
设 T 足够小,kTt = 时,
T
kyky
dt
tdy
kTt
)()1()(?+
≈
=
东南大学移动通信国家重点实验室
∴原微分方程在 kTt = 时近似有,
)()(
)()1(
kBekAy
T
kyky
+?≈
+
即
)3()()()1()1( kBTekyATky +≈+
比较 (2) (3)
)()()1( kbekayky +?=+
（ 2）
当 a=AT-1,b=BT 时 两系统近似等 价 。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
差差分分方方程程描描述述的的
LTI离离散散系系统统的的框框图图模模拟拟
1,基本运 算单元
（1 ） 加 法 器,
∑
)(
1
kx
)(
2
kx
)()()(
21
kxkxky +=
东南大学移动通信国家重点实验室
（2 ） 标 量 乘法 器
)()( kaxky =)(kx
（3 ） 延时器
D
e(k+1) y(k)=e(k)
东南大学移动通信国家重点实验室
2,LTI离 散系统的框图
对
)()()()( keSNkySD =
，引 入中间变量 q(k)
令 )()()( kekqSD =,则
)()()( kqSNky =
（参见 书上图 7-15 或图示 于黑板）
直接型 框图形式和连续系 统类似，此略。
东南大学移动通信国家重点实验室
