第 11 章 线 性 系统的状态变量分析
§1 1.1 引 言
前面：输入输出 法
本章,多输入多 输出和内部状态
→
状态变量法,
数学方程矩阵形 式，规范、简洁,
且可以推广到非 线性、时变系统 。
重点,状态/ 输出方程的建立
东南大学移动通信国家重点实验室一,状态与状态变量
1,状态,储 能状态。
2,状态变 量,一组数量最少 的代表系统状态的
独立变 量，
)(
1
tx
、
)(
2
tx
、……
)(tx
n
,
或用 状态矢量
[]
T
n
txtxtxtX )()(),()(
21
"=
。
初始状态：
)(
0
tX
K
,
状态空 间? 维数 = 独立储 能元件个数
= 系统阶数。
东南大学移动通信国家重点实验室
§11.2 系统的状 态变量描述法
二,状态变量分析法 及其步骤
1,把状态 变量作为求解变量,用状态变量描述,
分析系 统的方法。
2,两 大 步,
（1 ） 选状态 变量，列写 状态方 程 和 输出方程 。
状态方 程,
)()()(
'
teBtXAtX
K
K K
+=
（连 续系统）
or
)()()1( keBkXAkX
K
K K
+=+
（离 散系统）
东南大学移动通信国家重点实验室输出方 程,
)()()( teDtXCtY
K
K K
+=
（连 续 系 统）
or
)()()( keDkXCkY
K
K K
+=
（离 散系统）
)(
0
tX 是定解条件
（注意,若已知电路给出 了初始储能，在建 立
状态方 程 时不用考虑它,初态只是用来定解 ）
（ 2） 求解 状态变量
)(tX
K
,得
)(tY
K
东南大学移动通信国家重点实验室三,状 态 变量 的 选 取
z 对连续 系 统（电网络）选 全 部的
独立的 电 感电流和电容电 压 。
z 而对 I/O方 程,系 统 函 数
框图
选 所有积分器，延 时 器的输出 。
东南大学移动通信国家重点实验室
§11.3 由输入- 输出方程求状态 方程
框图,
1,直接型,规范,相变 量 法 ；
2,并联型,对角线变量法 ；
3,其它,没有一般性规律 。
东南大学移动通信国家重点实验室一,简单系 统的状态方程
例1,
4
2
3
1
1
1
12198
104
)(
23
+
+
+
+
=
+++
+
=
ssssss
s
sH
列写状 态 方程、输出方程 。
解,（一）直接型 框图—— 相变量法
1．框图,
2,选状态变量：
321
,,xxx
如图。
东南大学移动通信国家重点实验室
3．列方程,
=
′
=
′
=
′
3213
32
21
81912 xxxex
xx
xx
21
410 xxy +=
4．写成标 准形式,
e
x
x
x
x
x
x
+
=
′
′
′
1
0
0
81912
100
010
3
2
1
3
2
1
[]e
x
x
x
ty?+
= 00401)(
3
2
1
东南大学移动通信国家重点实验室
4,规律,（可推广到 m < n 的一般情况）
[A]：最后一行：特征多项 式系数 倒排且取负 值,
对角线 右上行全为 1，其余 为 0
[B]：最后一个元素为 1，其 余 为 0
[C]：前（ m+1）个元素是 分子多项式系数倒 排，其余为 0
[D]：=0
东南大学移动通信国家重点实验室
（ 二 ） 并联型 框图 ——对 角 线 变 量法
1,框图,
2．选 状态 变量：
321
,,xxx
3．列 方程,
=
′
=
′
=
′
33
22
11
4
3
xex
xex
xex
321
2xxxy?+=
东南大学移动通信国家重点实验室
4,写 成 标准 形式,
e
x
x
x
x
x
x
+
=
′
′
′
1
1
1
400
030
001
3
2
1
3
2
1
[]e
x
x
x
ty?+
= 0211)(
3
2
1
东南大学移动通信国家重点实验室
5,规 律,（可 推广到 m < n 的 一般 情况
且 H(s)极 点均 为单根）
[A]：对角 线矩 阵,各 元素 = 极 点,其 余为 0
[B]：全为1
[C],各 极点 对应 的 留 数
[D]：=0
东南大学移动通信国家重点实验室二、一 般 连续系统的状态 方 程与输出方程
对 n 阶系统
)()(
01
1
1
01
1
1
nm
asasas
bsbsbsb
sH
n
n
n
m
m
m
m
≤
++++
++++
=
"
"
设 m=n
东南大学移动通信国家重点实验室
1,相变 量法
21
xx =
′
32
xx =
′
……
∑
=
=
′
n
i
iin
xaex
1
1
ebxabbxbxbty
n
n
i
iininn
n
i
ii
+?=
′
+=
∑∑
=
=
1
11
1
1
)()(
东南大学移动通信国家重点实验室
)(
1
0
0
0
1
0
0
0010
2
1
110
2
1
te
x
x
x
aaa
x
x
x
n
n
n
+
=
′
′
′
#
#
" "
% % % #
% % % #
# % % %
"
#
A,B 矩 阵规 律不变 。
[])(][)(
2
1
111100
teb
x
x
x
abbabbabbty
n
n
nnnnn
+
=
#
"
矩阵 C变 化,且 D=
n
b
① I/O 方 程 ； ②系统 函数 ；③ 框图 ；④ 标 准 ABCD。
东南大学移动通信国家重点实验室
2,对角线变量法
设
i
λ 无重根，
∑
=
λ?
+=
n
i
i
i
n
s
K
bsH
1
)(
λ+=
′
λ+=
′
λ+=
′
nnn
xex
xex
xex
"
222
111
∑
=
+=
n
i
nii
ebxKy
1
东南大学移动通信国家重点实验室
)(
1
1
1
1
00
0
0
0
000
2
1
2
1
2
1
te
x
x
x
x
x
x
n
n
n
+
λ
λ
λ
=
′
′
′
#
#
" "
% % % #
% % % #
# % %
"
#
A，B 矩阵规 律不变 。
[])(][)(
2
1
21
teb
x
x
x
KKKty
n
n
n
+
=
#
"
矩阵 C规 律不 变,D=
n
b
东南大学移动通信国家重点实验室三,离 散 系 统 的状 态方 程与输 出方 程
形 式 和 规律与 连续 系统类 似,
只需,积 分 器 →延 时 器；
)1()( +→
′
kxtx；
)()( kxtx →；
)()( kyty →；
)()( kete →
东南大学移动通信国家重点实验室例1,已 知,
01
2
01
2
2
)(
azaz
bzbzb
zH
++
++
=
，求相变量 的 A,B,C,D。
解,?
=
10
10
aa
A
=
1
0
B
[]
121020
abbabbC=
2
bD =
东南大学移动通信国家重点实验室例2,已 知
=
30
02
A
=
1
1
B []32=C 1=D,
求
)(sH
解,由 A，B
对角线变量 法
因
1=D,∴分子分母次数相 等。
65
1810
3
3
2
2
1
)(
2
2
2
1
++
++
=
+
+
+
+=
+=
∑
=
ss
ss
ss
s
K
bsH
i
i
i
n
λ
东南大学移动通信国家重点实验室
§11,4 电 系 统 状 态方 程的建 立
一,简单连续系统的 状态方程与输出 方程
例 1：两 个激励三阶系统,
)(
1
te
,
)(
2
te
激励,
)(ty
响应。
+
-
e
1
R
1
L
1
L
2
R
2
+
-
C
Y(t)
+
-
+
-
X
1
(t)
X
2
(t)
X
3
(t)
e
2
东南大学移动通信国家重点实验室解,
1．选状态变 量：
)(
1
tx
、
)(
2
tx
、
)(
3
tx
如图
2．列基本方 程,
对 包 含电感的回路，列 写 KVL方 程 ；
对 包 含电容的节点，列 写 KCL方 程
（ 对 KVL时,尽 量只包含 一 个电感，对 KCL时，尽 量
只包含 一 个电容）
东南大学移动通信国家重点实验室
KVL：
=?+
′
=++
′
232222
111311
eXXRXL
eXRXXL
KCL,
213
xxXC?=
′
222
eXRy +=
东南大学移动通信国家重点实验室
3,整 理 /写成标 准形 式,
+
=
′
′
′
2
1
2
1
3
2
1
22
2
1
11
3
2
1
1
0
0
1
0
11
1
0
1
0/
e
e
L
L
x
x
x
CC
LL
R
L
LR
x
x
x
[][]
+
=
2
1
3
2
1
2
1000)(
e
e
x
x
x
Rty
东南大学移动通信国家重点实验室例 2：一 个 滤 波 电 路,列状 态方 程
（ 图 见 书 P206 图 11-10）
解,
1,选 状态变 量 )(
1
tx )(
2
tx )(
3
tx
2,列 基本方 程
+=
′
=
′
=
′
L
Rc
cs
iixxc
xiixc
xxxL
1133
1122
321
东南大学移动通信国家重点实验室
3．消去中间变量,
s
s
s
R
xe
i
2
=
31213211
)(
11
xcxcxxcuci
cc
′
′
=
′
=
′
=
L
R
R
x
i
L
3
=
东南大学移动通信国家重点实验室
4．整理成标准形 式,
)(
||
||
0
||||||
||||||
11
0
1
1
3
2
1
112
1313
3
2
1
te
CR
C
CR
C
x
x
x
CR
C
CR
C
C
C
CR
C
CR
CC
C
C
LL
x
x
x
s
s
ss
ss
+
+
=
′
′
′
其 中
133221
ccccccc ++=
注：整 理 过程中若出现某 输入激励的导数项
作 为 新 激励 。
东南大学移动通信国家重点实验室小结（四步）
1．选状态变量；
2．列基本方程；
3．消去中间变量；
4,整理成标准（矩阵）形 式。
东南大学移动通信国家重点实验室
§11,5 连 续 系统状 态方程 的复频 域求解
一,复频域求解
对
)()()()()()( teDtxCtyteBtxAtx
K K K K K K
+=+=
′
取 L.T有,
)()()0()( sEBsXAxsXs
K K
K
K
+=?
即
)()0()()( sEBxsXAIs
K
K
K K
+=?
,
∴
)()()()0()()(
11
txsEBAIsxAIssX
K
K K
K
K K
+?=
东南大学移动通信国家重点实验室而
)(])([)0()()()()(
11
sEDBAIsCxAIsCsEDsXCsY
K K
K
K K K K
+?+?=+=
零输入 响应
)(sY
zi
零状态 响 应
)(sY
zs
从而,
)()()( tytyty
zszi
K K K
+=
东南大学移动通信国家重点实验室二,系统函数矩阵与自然频率
由
)()()(])([)(
1
sHsEsEDBAIsCsY
zs
K K K K K
=+?=
得
DBAIsC
sHsH
sHsH
sH
mr
mrr
m
+?=
=
×
1
1
111
)(
)()(
)()(
)(
K
"
# % #
"
K
r个响应,m 个激 励
东南大学移动通信国家重点实验室其中，
单独 作用下)(
)(
)(
)(
t
j
e
sE
sY
s
ij
H
j
i
=
由于
||
)(
)(
1
AsI
AsIadj
AIs
=?
伴随矩阵
K
伴随矩 阵 求法：
T
AIs )(?
K
的代数余 子式。
∴
|| AsI?
特征多项 式。
令
=? 0|| AsI
特 征 根 （A 的 特 征根 ）
东南大学移动通信国家重点实验室三,状态过 渡 矩阵 （基本矩阵 ） )(tφ
令 )()()(
1
tAIss φ=Φ
K
设零输入 0)( =sE
K
则
)0()()0()()(
1
xsxAIssX
K K
K K
Φ=?=
∴
))((0)0()()(
tA
ettxttx
K
K
K K
=φ≥φ=
东南大学移动通信国家重点实验室例 3：对例 2，求 H（S）
解,
+
+
=
+
+
++
=
+
+
=?=Φ
3
1
0
0
2
1
30
02
)3)(2(
1
30
02
)()(
1
1
s
s
s
s
ss
s
s
AIss
K
东南大学移动通信国家重点实验室
[]
1
1
1
3
3
2
2
1
1
1
3
1
0
0
2
1
32
)()(
+
++
=
+
+
+
=
+Φ=
ss
s
s
DBsCsH
K
1
3
3
2
2
+
+
+
+
=
ss
东南大学移动通信国家重点实验室
~End of Chapter 11~
东南大学移动通信国家重点实验室
§1 1.1 引 言
前面：输入输出 法
本章,多输入多 输出和内部状态
→
状态变量法,
数学方程矩阵形 式，规范、简洁,
且可以推广到非 线性、时变系统 。
重点,状态/ 输出方程的建立
东南大学移动通信国家重点实验室一,状态与状态变量
1,状态,储 能状态。
2,状态变 量,一组数量最少 的代表系统状态的
独立变 量，
)(
1
tx
、
)(
2
tx
、……
)(tx
n
,
或用 状态矢量
[]
T
n
txtxtxtX )()(),()(
21
"=
。
初始状态：
)(
0
tX
K
,
状态空 间? 维数 = 独立储 能元件个数
= 系统阶数。
东南大学移动通信国家重点实验室
§11.2 系统的状 态变量描述法
二,状态变量分析法 及其步骤
1,把状态 变量作为求解变量,用状态变量描述,
分析系 统的方法。
2,两 大 步,
（1 ） 选状态 变量，列写 状态方 程 和 输出方程 。
状态方 程,
)()()(
'
teBtXAtX
K
K K
+=
（连 续系统）
or
)()()1( keBkXAkX
K
K K
+=+
（离 散系统）
东南大学移动通信国家重点实验室输出方 程,
)()()( teDtXCtY
K
K K
+=
（连 续 系 统）
or
)()()( keDkXCkY
K
K K
+=
（离 散系统）
)(
0
tX 是定解条件
（注意,若已知电路给出 了初始储能，在建 立
状态方 程 时不用考虑它,初态只是用来定解 ）
（ 2） 求解 状态变量
)(tX
K
,得
)(tY
K
东南大学移动通信国家重点实验室三,状 态 变量 的 选 取
z 对连续 系 统（电网络）选 全 部的
独立的 电 感电流和电容电 压 。
z 而对 I/O方 程,系 统 函 数
框图
选 所有积分器，延 时 器的输出 。
东南大学移动通信国家重点实验室
§11.3 由输入- 输出方程求状态 方程
框图,
1,直接型,规范,相变 量 法 ；
2,并联型,对角线变量法 ；
3,其它,没有一般性规律 。
东南大学移动通信国家重点实验室一,简单系 统的状态方程
例1,
4
2
3
1
1
1
12198
104
)(
23
+
+
+
+
=
+++
+
=
ssssss
s
sH
列写状 态 方程、输出方程 。
解,（一）直接型 框图—— 相变量法
1．框图,
2,选状态变量：
321
,,xxx
如图。
东南大学移动通信国家重点实验室
3．列方程,
=
′
=
′
=
′
3213
32
21
81912 xxxex
xx
xx
21
410 xxy +=
4．写成标 准形式,
e
x
x
x
x
x
x
+
=
′
′
′
1
0
0
81912
100
010
3
2
1
3
2
1
[]e
x
x
x
ty?+
= 00401)(
3
2
1
东南大学移动通信国家重点实验室
4,规律,（可推广到 m < n 的一般情况）
[A]：最后一行：特征多项 式系数 倒排且取负 值,
对角线 右上行全为 1，其余 为 0
[B]：最后一个元素为 1，其 余 为 0
[C]：前（ m+1）个元素是 分子多项式系数倒 排，其余为 0
[D]：=0
东南大学移动通信国家重点实验室
（ 二 ） 并联型 框图 ——对 角 线 变 量法
1,框图,
2．选 状态 变量：
321
,,xxx
3．列 方程,
=
′
=
′
=
′
33
22
11
4
3
xex
xex
xex
321
2xxxy?+=
东南大学移动通信国家重点实验室
4,写 成 标准 形式,
e
x
x
x
x
x
x
+
=
′
′
′
1
1
1
400
030
001
3
2
1
3
2
1
[]e
x
x
x
ty?+
= 0211)(
3
2
1
东南大学移动通信国家重点实验室
5,规 律,（可 推广到 m < n 的 一般 情况
且 H(s)极 点均 为单根）
[A]：对角 线矩 阵,各 元素 = 极 点,其 余为 0
[B]：全为1
[C],各 极点 对应 的 留 数
[D]：=0
东南大学移动通信国家重点实验室二、一 般 连续系统的状态 方 程与输出方程
对 n 阶系统
)()(
01
1
1
01
1
1
nm
asasas
bsbsbsb
sH
n
n
n
m
m
m
m
≤
++++
++++
=
"
"
设 m=n
东南大学移动通信国家重点实验室
1,相变 量法
21
xx =
′
32
xx =
′
……
∑
=
=
′
n
i
iin
xaex
1
1
ebxabbxbxbty
n
n
i
iininn
n
i
ii
+?=
′
+=
∑∑
=
=
1
11
1
1
)()(
东南大学移动通信国家重点实验室
)(
1
0
0
0
1
0
0
0010
2
1
110
2
1
te
x
x
x
aaa
x
x
x
n
n
n
+
=
′
′
′
#
#
" "
% % % #
% % % #
# % % %
"
#
A,B 矩 阵规 律不变 。
[])(][)(
2
1
111100
teb
x
x
x
abbabbabbty
n
n
nnnnn
+
=
#
"
矩阵 C变 化,且 D=
n
b
① I/O 方 程 ； ②系统 函数 ；③ 框图 ；④ 标 准 ABCD。
东南大学移动通信国家重点实验室
2,对角线变量法
设
i
λ 无重根，
∑
=
λ?
+=
n
i
i
i
n
s
K
bsH
1
)(
λ+=
′
λ+=
′
λ+=
′
nnn
xex
xex
xex
"
222
111
∑
=
+=
n
i
nii
ebxKy
1
东南大学移动通信国家重点实验室
)(
1
1
1
1
00
0
0
0
000
2
1
2
1
2
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te
x
x
x
x
x
x
n
n
n
+
λ
λ
λ
=
′
′
′
#
#
" "
% % % #
% % % #
# % %
"
#
A，B 矩阵规 律不变 。
[])(][)(
2
1
21
teb
x
x
x
KKKty
n
n
n
+
=
#
"
矩阵 C规 律不 变,D=
n
b
东南大学移动通信国家重点实验室三,离 散 系 统 的状 态方 程与输 出方 程
形 式 和 规律与 连续 系统类 似,
只需,积 分 器 →延 时 器；
)1()( +→
′
kxtx；
)()( kxtx →；
)()( kyty →；
)()( kete →
东南大学移动通信国家重点实验室例1,已 知,
01
2
01
2
2
)(
azaz
bzbzb
zH
++
++
=
，求相变量 的 A,B,C,D。
解,?
=
10
10
aa
A
=
1
0
B
[]
121020
abbabbC=
2
bD =
东南大学移动通信国家重点实验室例2,已 知
=
30
02
A
=
1
1
B []32=C 1=D,
求
)(sH
解,由 A，B
对角线变量 法
因
1=D,∴分子分母次数相 等。
65
1810
3
3
2
2
1
)(
2
2
2
1
++
++
=
+
+
+
+=
+=
∑
=
ss
ss
ss
s
K
bsH
i
i
i
n
λ
东南大学移动通信国家重点实验室
§11,4 电 系 统 状 态方 程的建 立
一,简单连续系统的 状态方程与输出 方程
例 1：两 个激励三阶系统,
)(
1
te
,
)(
2
te
激励,
)(ty
响应。
+
-
e
1
R
1
L
1
L
2
R
2
+
-
C
Y(t)
+
-
+
-
X
1
(t)
X
2
(t)
X
3
(t)
e
2
东南大学移动通信国家重点实验室解,
1．选状态变 量：
)(
1
tx
、
)(
2
tx
、
)(
3
tx
如图
2．列基本方 程,
对 包 含电感的回路，列 写 KVL方 程 ；
对 包 含电容的节点，列 写 KCL方 程
（ 对 KVL时,尽 量只包含 一 个电感，对 KCL时，尽 量
只包含 一 个电容）
东南大学移动通信国家重点实验室
KVL：
=?+
′
=++
′
232222
111311
eXXRXL
eXRXXL
KCL,
213
xxXC?=
′
222
eXRy +=
东南大学移动通信国家重点实验室
3,整 理 /写成标 准形 式,
+
=
′
′
′
2
1
2
1
3
2
1
22
2
1
11
3
2
1
1
0
0
1
0
11
1
0
1
0/
e
e
L
L
x
x
x
CC
LL
R
L
LR
x
x
x
[][]
+
=
2
1
3
2
1
2
1000)(
e
e
x
x
x
Rty
东南大学移动通信国家重点实验室例 2：一 个 滤 波 电 路,列状 态方 程
（ 图 见 书 P206 图 11-10）
解,
1,选 状态变 量 )(
1
tx )(
2
tx )(
3
tx
2,列 基本方 程
+=
′
=
′
=
′
L
Rc
cs
iixxc
xiixc
xxxL
1133
1122
321
东南大学移动通信国家重点实验室
3．消去中间变量,
s
s
s
R
xe
i
2
=
31213211
)(
11
xcxcxxcuci
cc
′
′
=
′
=
′
=
L
R
R
x
i
L
3
=
东南大学移动通信国家重点实验室
4．整理成标准形 式,
)(
||
||
0
||||||
||||||
11
0
1
1
3
2
1
112
1313
3
2
1
te
CR
C
CR
C
x
x
x
CR
C
CR
C
C
C
CR
C
CR
CC
C
C
LL
x
x
x
s
s
ss
ss
+
+
=
′
′
′
其 中
133221
ccccccc ++=
注：整 理 过程中若出现某 输入激励的导数项
作 为 新 激励 。
东南大学移动通信国家重点实验室小结（四步）
1．选状态变量；
2．列基本方程；
3．消去中间变量；
4,整理成标准（矩阵）形 式。
东南大学移动通信国家重点实验室
§11,5 连 续 系统状 态方程 的复频 域求解
一,复频域求解
对
)()()()()()( teDtxCtyteBtxAtx
K K K K K K
+=+=
′
取 L.T有,
)()()0()( sEBsXAxsXs
K K
K
K
+=?
即
)()0()()( sEBxsXAIs
K
K
K K
+=?
,
∴
)()()()0()()(
11
txsEBAIsxAIssX
K
K K
K
K K
+?=
东南大学移动通信国家重点实验室而
)(])([)0()()()()(
11
sEDBAIsCxAIsCsEDsXCsY
K K
K
K K K K
+?+?=+=
零输入 响应
)(sY
zi
零状态 响 应
)(sY
zs
从而,
)()()( tytyty
zszi
K K K
+=
东南大学移动通信国家重点实验室二,系统函数矩阵与自然频率
由
)()()(])([)(
1
sHsEsEDBAIsCsY
zs
K K K K K
=+?=
得
DBAIsC
sHsH
sHsH
sH
mr
mrr
m
+?=
=
×
1
1
111
)(
)()(
)()(
)(
K
"
# % #
"
K
r个响应,m 个激 励
东南大学移动通信国家重点实验室其中，
单独 作用下)(
)(
)(
)(
t
j
e
sE
sY
s
ij
H
j
i
=
由于
||
)(
)(
1
AsI
AsIadj
AIs
=?
伴随矩阵
K
伴随矩 阵 求法：
T
AIs )(?
K
的代数余 子式。
∴
|| AsI?
特征多项 式。
令
=? 0|| AsI
特 征 根 （A 的 特 征根 ）
东南大学移动通信国家重点实验室三,状态过 渡 矩阵 （基本矩阵 ） )(tφ
令 )()()(
1
tAIss φ=Φ
K
设零输入 0)( =sE
K
则
)0()()0()()(
1
xsxAIssX
K K
K K
Φ=?=
∴
))((0)0()()(
tA
ettxttx
K
K
K K
=φ≥φ=
东南大学移动通信国家重点实验室例 3：对例 2，求 H（S）
解,
+
+
=
+
+
++
=
+
+
=?=Φ
3
1
0
0
2
1
30
02
)3)(2(
1
30
02
)()(
1
1
s
s
s
s
ss
s
s
AIss
K
东南大学移动通信国家重点实验室
[]
1
1
1
3
3
2
2
1
1
1
3
1
0
0
2
1
32
)()(
+
++
=
+
+
+
=
+Φ=
ss
s
s
DBsCsH
K
1
3
3
2
2
+
+
+
+
=
ss
东南大学移动通信国家重点实验室
~End of Chapter 11~
东南大学移动通信国家重点实验室
