一,幂级数展开
z 泰勒 公式,
" "+++
′′
+
′
+=
=
k
k
x
x
k
f
x
f
xffxf
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
0处展开
z 长除 法,对右 边序 列,降序 排；
对左 边序 列,升序 排。
§ 8.4 （单 边） 反 Z 变换
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
z
a
ezF
=)(
，求
)(kf
解：由
.....
!
1
.......
!2
1
!1
1
1
2
+++++=
kx
x
k
xxe
" "+?++?+?+=
k
z
a
kz
a
z
a
zF )(
!
1
)(
!2
1
)(1)(
2
)()(
!
1
)(
)(
!
1
)(
!
1
00
ka
k
kf
za
kz
a
k
k
kk
kk
k
ε?=?
=?=
∞
=
∞
=
∑∑
东南大学移动通信国家重点实验室例2,
5.05.0
5.02
)(
2
2
=
zz
zz
zF
（长除 法）
"+++=
21
25.15.02 zz
∴
))(])5.0(1[)((
}2,1,0,,25.1,5.0,2{)(
kkf
kkf
k
ε?+=?
== " "
东南大学移动通信国家重点实验室二、部 分分式法
将
z
zF )(
展开,设 )(zF 极点
i
v
均 单阶
则
n
n
vz
K
vz
K
z
K
z
zF
++
+= "
1
10
)(
,
其中
)0(
)(
)(
0
=
=
= v
i
vz
z
zF
vzK
ii
有,
∑
=
+=
n
i
i
i
vz
zK
KzF
1
0
)(
)(
∴
∑
=
ε+δ=
n
i
k
ii
kvKkKkf
1
0
)()()()(
注,若 v 有 重根,可用部 分分 式法,但最 好用留 数法 。
东南大学移动通信国家重点实验室三、围 线 积分 （留数 法）
由
≠
=π
=
∫
1,0
1,2
i
ij
dzz
C
i
及
" "+++++=
k
zkfzfzffzF )()2()1()0()(
21
易 得,
∫
π
=
C
k
dzzzF
j
kf
1
)(
2
1
)(
（ C 是 含 F(z)极点的 逆时 针闭 线）
∑
=
=
n
i
k
zzFs
1
1
])([Re
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
)5.0)(1(
12
)(
23
++
=
zzz
zz
zF
，求
)(kf
解,
=
1
)(
k
zzF
2
23
)5.0)(1(
12
++
k
z
zz
zz
,
05.0,1
21
≥== kvv
对 k=0时，
0
3
=v
二阶
)(kAδ→；
东南大学移动通信国家重点实验室
k=1时,
0=v
单 阶
)1(?δ→ kB
)(80,8
1
1
)()(1Re
1
1
kk
vz
zzFvzs
k
ε=≥=
==
=
)()5.0(13
5.0
2
)()(2Re
1
2
k
vz
zzFvzs
kk
ε=
==
=
)(60,6
0
])()0[(
)!12(
1
3Re
102
kk
z
zzFz
dz
d
s δ===
=
=
)1(24Re?= ks δ
∴
......Re)(
4
1
==
∑
=i
i
skf
东南大学移动通信国家重点实验室一,双边 z变换
)()()1()()()()( kfkfkkfkkfkf
lr
+=ε+ε=
则
<<++= RzRzFzFzF
blbrb
||)()()(
其中,
+>===
∑∑
∞
=
∞
∞=
RzzFzkfzkfzF
r
k
k
r
k
k
rbr
||)()()()(
0
补充,双边正反 z变换
东南大学移动通信国家重点实验室
∑
∑∑∑
∞
=
∞
=
=
∞=
∞
∞=
=
===
0
1
1
)
1
)((
)()()()(
k
k
l
k
k
l
kk
k
k
l
k
k
llb
z
kf
zkfzkfzkfzF
令
>
=
=
Rz
z
z
kfZ
l
1
|
1
|
1
)]([
，即
< Rz ||
如：
0)1()()( >>ε+ε= abkbkakf
kk
东南大学移动通信国家重点实验室解,aaz
az
z
zF
br
=>
= ||||)(
∵
bb
zROCz
b
z
z
b
k
b
Z
b
kbZkfZ
kk
l
1
|
1
|||
1
1
)]1()
1
[(
1
)]1([)]([
1
1
=>
=
=?=?
εε
∴ bz
bz
z
z
b
z
z
b
zF
bl
<
=
=
||
1
1
)(
1
1
∴
bza
bz
z
az
z
zF
b
<<
= ||)(
东南大学移动通信国家重点实验室二,双边 反 z变换
将
)(zF
b
的 极 点 按收 敛域 进行分 解,
内圆 内/ 上 为 右 边 序 列 的极 点；
外圆 外/ 上 为 左 边 序 列 的极 点。
)()()( zFzFzF
blbrb
+=
则,
)()()( kfkfkf
lr
+=
其中,
)]
1
([)(
)],([)(
1
1
z
FZkf
zFZkf
bll
brr
=?
=
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
5.015.05.0
5.02
)(
2
2
+
+
=
=
z
z
z
z
zz
zz
zF
,
分别求 在 下列收敛域下的 反 变换,
1）|z |>1 2）0,5<|z|<1 3）|z |<0.5
解,1）
)(])5.0(1[)( kkf
k
ε?+=
2）
+
=
1
)(
z
z
zF
b
)()(
5.0
zFzF
z
z
brbl
+=
+
)()5.0()( kkf
k
r
ε?=
)1(]
1
[]
1
1
[)]
1
([)(
1111
=
=
==?
k
z
z
zZ
z
Z
z
FZkf
bll
ε
∴
)1()(ε?= kkf
l
3）
)1()1)5.0(()(ε+= kzF
k
b
东南大学移动通信国家重点实验室设
)()()( kTftfkf
kTt
==
=
)()()( ttftf
Ts
δ=
记
)()(
.
sFtf
TL
→←
)()(
.
zFkf
TZ
→←
)()(
.
sFtf
s
TL
s
→←
§ 8,5 z变换与拉氏变换的关系
东南大学移动通信国家重点实验室一一
、
、
)(zF 与与 )(sF
s
关关系系
)()( sF
sT
ez
zF
s
=
=
或
)()( ω
ω
jF
Tj
ez
zF
s
=
=
（频谱以
s
T
ω
π
=
2
为周期）
二,
sT
ez =
映映射射关关系系
设
ω+σ= js
记
θ
=
j
rez
则
TjTsT
eeez
ωσ
==
即
ω=θ
=
σ
T
er
T
东南大学移动通信国家重点实验室
Re[z]
Im[z]
-1 1
j
-j
0
A1
A2
0
A1
A2=
σ
ωj
j2π/T
A2
A1
A1
东南大学移动通信国家重点实验室
s平 面 z平面
1） 虚轴（ 0=σ ） 单位圆（ 1=r ）
2） 右半平面（ 0>σ ） 单位圆外（ 1>r ）
3） 左半平面（ 0<σ ） 单位圆内（ 1<r ）
4） 映射不是单值映射（ θ以 π2 为周期）
东南大学移动通信国家重点实验室三,)(zF 与 )(sF 关系 （ 只讨 论 两 者皆 单 边 ）
对 )(tf 有始
0)(
2
1
)( ≥=
∫
∞+
∞?
tdsesF
j
tf
j
j
st
σ
σ
π
由
0)(
2
1
)()( ≥
π
==
∫
∞+σ
∞?σ
=
kdsesF
j
tfkf
j
j
skT
ktt
东南大学移动通信国家重点实验室
∴
∑
∫
∑
∞
=
∞+σ
∞?σ
∞
=
π
==
00
)(
2
1
)()(
k
k
j
j
skT
k
k
zdsesF
j
zkfzF
∫
∑
∞+σ
∞?σ
∞
=
π
=
j
j
k
k
sT
ds
z
e
sF
j
0
)()(
2
1
当
sT
ez >
∫
∞+σ
∞?σ
π
=
j
j
sT
ds
ez
z
sF
j
)(
2
1；
)
sT
e()(
)(Re
不含各极点sF
ez
z
sFsi
sT
∑
=；
Tp
i
i
ez >
收敛域
Tp
i
ez max>
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
1),()()()(
1
2
==?=? Tkkkftftt
s
εε
由,
0
]
1
[
1
])([)(
2
2
=
=
=
=
∑
s
ez
z
s
s
ds
d
TF
ez
z
sFRESzF
s
sT
i
各极点，
1||||,
0
)(
0
2
=>
=
=
T
s
s
ez
s
ez
ze
1||
)1(
2
>
= z
z
z
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 8.6 z 变换分 析 法
对 n 阶系统,
)()()()( keSNkySD =
或
)()()(
)(
)(
)( keSHke
SD
SN
ky ==
东南大学移动通信国家重点实验室一,求
)(ky
zi
零输入
对齐次 方程
0)()( =kySD
取单边 z变 换（移序性质 ）
得,
)()( kyzY
zizi
如：
0)()1()2(
01
=++++ kyakyaky
，
)1(),0(
zizi
yy
已知
z变 换,有,
0)()]0()([)1()0()(
01
22
=+?+ zYazyzzYazyyzzYz
zizizizizizi
∴
01
2
1
2
)]0()1([)0(
)(
azaz
yayzyz
zY
zizizi
zi
++
++
=
,
再取正变换? 不 如 时 域 方法 方便 。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
,)(ky
zs
求求法法
∵
)(*)()( khkeky
zs
=
∴
)()()( zHzEzY
zs
=
（
=)(ky
zs
受迫响应 +自然响应 ）
其中，
zS
SHzH
=
= )()(
系统函数
东南大学移动通信国家重点实验室三、全 响应
法1,
)()()( kykyky
zszi
+=
法 2．直 接对差分方程求 单边 z变 换。
注意,
)1()0()(][)1()()1()2(
2
01
2
01
zyyzzYazazkekyakyaky++?+=++++
)0()()0(
1
zezzEzya?=?
可以证 明，由原式可得
)()0()1()0()(][
1
2
01
2
zzEzyazyyzzYazaz
zizizi
=++
即可以 消去
)(ky
zs
及
)(ke
初值有关的 项 。
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
)()(,4)1(,2)0(
,
)2.0)(5.0(
)27(
)(
kke
zi
y
zi
y
SS
SS
SH
ε===
=
解：法 一：用 z变换分别 求
)(),( k
zs
yk
zi
y
1．
)(k
zi
y
：由
0)()1.07.0(
2
=+? kySS
有,
2.0
10
5.0
12
)2.0)(5.0(
6.22
)(
2
=
+
=
z
z
z
z
zz
zz
zY
zi
∴
)(])2.0(10)5.0(12[)( kky
kk
zi
ε?=
东南大学移动通信国家重点实验室
2．
)(k
zs
y
：
1
)()(
=
z
z
zHz
zs
Y
∴
)(])2.0(5.0)5.0(55.12[)( kk
zs
y
kk
ε=
3．
)()()( k
zs
yk
zi
yky +=
东南大学移动通信国家重点实验室法二,直接用 z变换求全 响应
由
)()27()()1.07.0(
22
keSSkySS?=+?
有,
)()27()0(7.0)1()0()(]1.07.0[
222
zEzz
zi
zy
zi
zy
zi
yzzYzz?=++?
∴
2.0
5.10
5.0
7
1
5.12
)1)(2.0)(5.0(
)6.24.19(
)(
2
+
+
=
=
z
z
z
z
z
z
zzz
zzz
zY
东南大学移动通信国家重点实验室例 2：已 知
36
23
)2(
6
7
)1()2(3)()2(6)1(5)( =?=+=?+
zi
y
zi
ykekekykyky
)()( kke ε=
，求 全响 应。
解,法一,转 成前 向方 程
)(3)2()(6)1(5)2( kekekykyky ++=++?+
==
==
3)1(6)0(5)1(
2)2(6)1(5)0(
zi
y
zi
y
zi
y
zi
y
zi
y
zi
y
（ 余 略 ）
法二,直 接 用 单 边 z变换
用
10
)1()()()()(
+
++?+?ε?
nn
zfznfzFzknkf "
东南大学移动通信国家重点实验室
z 泰勒 公式,
" "+++
′′
+
′
+=
=
k
k
x
x
k
f
x
f
xffxf
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
0处展开
z 长除 法,对右 边序 列,降序 排；
对左 边序 列,升序 排。
§ 8.4 （单 边） 反 Z 变换
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
z
a
ezF
=)(
，求
)(kf
解：由
.....
!
1
.......
!2
1
!1
1
1
2
+++++=
kx
x
k
xxe
" "+?++?+?+=
k
z
a
kz
a
z
a
zF )(
!
1
)(
!2
1
)(1)(
2
)()(
!
1
)(
)(
!
1
)(
!
1
00
ka
k
kf
za
kz
a
k
k
kk
kk
k
ε?=?
=?=
∞
=
∞
=
∑∑
东南大学移动通信国家重点实验室例2,
5.05.0
5.02
)(
2
2
=
zz
zz
zF
（长除 法）
"+++=
21
25.15.02 zz
∴
))(])5.0(1[)((
}2,1,0,,25.1,5.0,2{)(
kkf
kkf
k
ε?+=?
== " "
东南大学移动通信国家重点实验室二、部 分分式法
将
z
zF )(
展开,设 )(zF 极点
i
v
均 单阶
则
n
n
vz
K
vz
K
z
K
z
zF
++
+= "
1
10
)(
,
其中
)0(
)(
)(
0
=
=
= v
i
vz
z
zF
vzK
ii
有,
∑
=
+=
n
i
i
i
vz
zK
KzF
1
0
)(
)(
∴
∑
=
ε+δ=
n
i
k
ii
kvKkKkf
1
0
)()()()(
注,若 v 有 重根,可用部 分分 式法,但最 好用留 数法 。
东南大学移动通信国家重点实验室三、围 线 积分 （留数 法）
由
≠
=π
=
∫
1,0
1,2
i
ij
dzz
C
i
及
" "+++++=
k
zkfzfzffzF )()2()1()0()(
21
易 得,
∫
π
=
C
k
dzzzF
j
kf
1
)(
2
1
)(
（ C 是 含 F(z)极点的 逆时 针闭 线）
∑
=
=
n
i
k
zzFs
1
1
])([Re
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
)5.0)(1(
12
)(
23
++
=
zzz
zz
zF
，求
)(kf
解,
=
1
)(
k
zzF
2
23
)5.0)(1(
12
++
k
z
zz
zz
,
05.0,1
21
≥== kvv
对 k=0时，
0
3
=v
二阶
)(kAδ→；
东南大学移动通信国家重点实验室
k=1时,
0=v
单 阶
)1(?δ→ kB
)(80,8
1
1
)()(1Re
1
1
kk
vz
zzFvzs
k
ε=≥=
==
=
)()5.0(13
5.0
2
)()(2Re
1
2
k
vz
zzFvzs
kk
ε=
==
=
)(60,6
0
])()0[(
)!12(
1
3Re
102
kk
z
zzFz
dz
d
s δ===
=
=
)1(24Re?= ks δ
∴
......Re)(
4
1
==
∑
=i
i
skf
东南大学移动通信国家重点实验室一,双边 z变换
)()()1()()()()( kfkfkkfkkfkf
lr
+=ε+ε=
则
<<++= RzRzFzFzF
blbrb
||)()()(
其中,
+>===
∑∑
∞
=
∞
∞=
RzzFzkfzkfzF
r
k
k
r
k
k
rbr
||)()()()(
0
补充,双边正反 z变换
东南大学移动通信国家重点实验室
∑
∑∑∑
∞
=
∞
=
=
∞=
∞
∞=
=
===
0
1
1
)
1
)((
)()()()(
k
k
l
k
k
l
kk
k
k
l
k
k
llb
z
kf
zkfzkfzkfzF
令
>
=
=
Rz
z
z
kfZ
l
1
|
1
|
1
)]([
，即
< Rz ||
如：
0)1()()( >>ε+ε= abkbkakf
kk
东南大学移动通信国家重点实验室解,aaz
az
z
zF
br
=>
= ||||)(
∵
bb
zROCz
b
z
z
b
k
b
Z
b
kbZkfZ
kk
l
1
|
1
|||
1
1
)]1()
1
[(
1
)]1([)]([
1
1
=>
=
=?=?
εε
∴ bz
bz
z
z
b
z
z
b
zF
bl
<
=
=
||
1
1
)(
1
1
∴
bza
bz
z
az
z
zF
b
<<
= ||)(
东南大学移动通信国家重点实验室二,双边 反 z变换
将
)(zF
b
的 极 点 按收 敛域 进行分 解,
内圆 内/ 上 为 右 边 序 列 的极 点；
外圆 外/ 上 为 左 边 序 列 的极 点。
)()()( zFzFzF
blbrb
+=
则,
)()()( kfkfkf
lr
+=
其中,
)]
1
([)(
)],([)(
1
1
z
FZkf
zFZkf
bll
brr
=?
=
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
5.015.05.0
5.02
)(
2
2
+
+
=
=
z
z
z
z
zz
zz
zF
,
分别求 在 下列收敛域下的 反 变换,
1）|z |>1 2）0,5<|z|<1 3）|z |<0.5
解,1）
)(])5.0(1[)( kkf
k
ε?+=
2）
+
=
1
)(
z
z
zF
b
)()(
5.0
zFzF
z
z
brbl
+=
+
)()5.0()( kkf
k
r
ε?=
)1(]
1
[]
1
1
[)]
1
([)(
1111
=
=
==?
k
z
z
zZ
z
Z
z
FZkf
bll
ε
∴
)1()(ε?= kkf
l
3）
)1()1)5.0(()(ε+= kzF
k
b
东南大学移动通信国家重点实验室设
)()()( kTftfkf
kTt
==
=
)()()( ttftf
Ts
δ=
记
)()(
.
sFtf
TL
→←
)()(
.
zFkf
TZ
→←
)()(
.
sFtf
s
TL
s
→←
§ 8,5 z变换与拉氏变换的关系
东南大学移动通信国家重点实验室一一
、
、
)(zF 与与 )(sF
s
关关系系
)()( sF
sT
ez
zF
s
=
=
或
)()( ω
ω
jF
Tj
ez
zF
s
=
=
（频谱以
s
T
ω
π
=
2
为周期）
二,
sT
ez =
映映射射关关系系
设
ω+σ= js
记
θ
=
j
rez
则
TjTsT
eeez
ωσ
==
即
ω=θ
=
σ
T
er
T
东南大学移动通信国家重点实验室
Re[z]
Im[z]
-1 1
j
-j
0
A1
A2
0
A1
A2=
σ
ωj
j2π/T
A2
A1
A1
东南大学移动通信国家重点实验室
s平 面 z平面
1） 虚轴（ 0=σ ） 单位圆（ 1=r ）
2） 右半平面（ 0>σ ） 单位圆外（ 1>r ）
3） 左半平面（ 0<σ ） 单位圆内（ 1<r ）
4） 映射不是单值映射（ θ以 π2 为周期）
东南大学移动通信国家重点实验室三,)(zF 与 )(sF 关系 （ 只讨 论 两 者皆 单 边 ）
对 )(tf 有始
0)(
2
1
)( ≥=
∫
∞+
∞?
tdsesF
j
tf
j
j
st
σ
σ
π
由
0)(
2
1
)()( ≥
π
==
∫
∞+σ
∞?σ
=
kdsesF
j
tfkf
j
j
skT
ktt
东南大学移动通信国家重点实验室
∴
∑
∫
∑
∞
=
∞+σ
∞?σ
∞
=
π
==
00
)(
2
1
)()(
k
k
j
j
skT
k
k
zdsesF
j
zkfzF
∫
∑
∞+σ
∞?σ
∞
=
π
=
j
j
k
k
sT
ds
z
e
sF
j
0
)()(
2
1
当
sT
ez >
∫
∞+σ
∞?σ
π
=
j
j
sT
ds
ez
z
sF
j
)(
2
1；
)
sT
e()(
)(Re
不含各极点sF
ez
z
sFsi
sT
∑
=；
Tp
i
i
ez >
收敛域
Tp
i
ez max>
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
1),()()()(
1
2
==?=? Tkkkftftt
s
εε
由,
0
]
1
[
1
])([)(
2
2
=
=
=
=
∑
s
ez
z
s
s
ds
d
TF
ez
z
sFRESzF
s
sT
i
各极点，
1||||,
0
)(
0
2
=>
=
=
T
s
s
ez
s
ez
ze
1||
)1(
2
>
= z
z
z
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 8.6 z 变换分 析 法
对 n 阶系统,
)()()()( keSNkySD =
或
)()()(
)(
)(
)( keSHke
SD
SN
ky ==
东南大学移动通信国家重点实验室一,求
)(ky
zi
零输入
对齐次 方程
0)()( =kySD
取单边 z变 换（移序性质 ）
得,
)()( kyzY
zizi
如：
0)()1()2(
01
=++++ kyakyaky
，
)1(),0(
zizi
yy
已知
z变 换,有,
0)()]0()([)1()0()(
01
22
=+?+ zYazyzzYazyyzzYz
zizizizizizi
∴
01
2
1
2
)]0()1([)0(
)(
azaz
yayzyz
zY
zizizi
zi
++
++
=
,
再取正变换? 不 如 时 域 方法 方便 。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
,)(ky
zs
求求法法
∵
)(*)()( khkeky
zs
=
∴
)()()( zHzEzY
zs
=
（
=)(ky
zs
受迫响应 +自然响应 ）
其中，
zS
SHzH
=
= )()(
系统函数
东南大学移动通信国家重点实验室三、全 响应
法1,
)()()( kykyky
zszi
+=
法 2．直 接对差分方程求 单边 z变 换。
注意,
)1()0()(][)1()()1()2(
2
01
2
01
zyyzzYazazkekyakyaky++?+=++++
)0()()0(
1
zezzEzya?=?
可以证 明，由原式可得
)()0()1()0()(][
1
2
01
2
zzEzyazyyzzYazaz
zizizi
=++
即可以 消去
)(ky
zs
及
)(ke
初值有关的 项 。
东南大学移动通信国家重点实验室例1,
)()(,4)1(,2)0(
,
)2.0)(5.0(
)27(
)(
kke
zi
y
zi
y
SS
SS
SH
ε===
=
解：法 一：用 z变换分别 求
)(),( k
zs
yk
zi
y
1．
)(k
zi
y
：由
0)()1.07.0(
2
=+? kySS
有,
2.0
10
5.0
12
)2.0)(5.0(
6.22
)(
2
=
+
=
z
z
z
z
zz
zz
zY
zi
∴
)(])2.0(10)5.0(12[)( kky
kk
zi
ε?=
东南大学移动通信国家重点实验室
2．
)(k
zs
y
：
1
)()(
=
z
z
zHz
zs
Y
∴
)(])2.0(5.0)5.0(55.12[)( kk
zs
y
kk
ε=
3．
)()()( k
zs
yk
zi
yky +=
东南大学移动通信国家重点实验室法二,直接用 z变换求全 响应
由
)()27()()1.07.0(
22
keSSkySS?=+?
有,
)()27()0(7.0)1()0()(]1.07.0[
222
zEzz
zi
zy
zi
zy
zi
yzzYzz?=++?
∴
2.0
5.10
5.0
7
1
5.12
)1)(2.0)(5.0(
)6.24.19(
)(
2
+
+
=
=
z
z
z
z
z
z
zzz
zzz
zY
东南大学移动通信国家重点实验室例 2：已 知
36
23
)2(
6
7
)1()2(3)()2(6)1(5)( =?=+=?+
zi
y
zi
ykekekykyky
)()( kke ε=
，求 全响 应。
解,法一,转 成前 向方 程
)(3)2()(6)1(5)2( kekekykyky ++=++?+
==
==
3)1(6)0(5)1(
2)2(6)1(5)0(
zi
y
zi
y
zi
y
zi
y
zi
y
zi
y
（ 余 略 ）
法二,直 接 用 单 边 z变换
用
10
)1()()()()(
+
++?+?ε?
nn
zfznfzFzknkf "
东南大学移动通信国家重点实验室
