第八章 离散系统 的 z 域分析
§ 8.1 引 言
Z.T,
时域卷和 z域乘法
差分方程 z域代数方程
本章重 点,（双边 ）正 反 z变换 ；
（单边 ） z变换 性质 ；
z域 分析 法 。
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 8.2 z 变换及其收敛区
一一
、
、
z 变变换换的的定定义义
h(k)
∞<<∞ k-
k
z
y(k)=
由
+∞<<∞?===
==
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
kzHzzjhzzjh
zkhkhzky
k
j
jk
j
jk
kk
)()()(
*)()(*)(
其中,)]([)()( khZzjhzH
j
j
==
∑
∞
∞=
东南大学移动通信国家重点实验室
1,定义
)]([)()()( kfZzkfzFkf
k
k
b
==?
∑
∞
∞=
若
""++++=
=?

∞
=
∑
i
k
k
zifzff
zkfzFkkf
)()1()0(
)()()()(
1
0
ε
∴
)(zF
是
1?
z 的幂 级数,
i
z
项系数=
)(if
东南大学移动通信国家重点实验室
2,解释,
设
)(|)()( kTftfkf
kTt
==
=
∑
∑
∞
∞=
∞
∞=
=
=?=
k
k
Ts
kTtkf
kTttfttftf
)()(
)()()()()(
δ
δδ
得,
∑
∞
∞=
=
k
skT
s
ekfsF )()(
比较
∑
∞
∞=
=
k
k
zkfzF )()(
东南大学移动通信国家重点实验室
∴
)()( sF
sT
ez
zF
s
=
=
sT
ez =
z 域 到 s域的基本映射。
令
ω= js
,
∴
)()( ω
ω
jF
Tj
ez
zF
s
=
=
频谱,连 续的，且以
s
ω
为周 期。
（ 时域周期 频域离散；
时域离 散 频域周期； ）
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
z变变换换的的收收敛敛域域
例 1：有 限长序列
∑
=
=?
2
1
)()()(
n
nk
k
zkfzFkf
z 在全平 面（可能不含
∞=,0z
）收 敛
例 2：右 边序列
||||)()(
0
az
az
z
zazFka
k
kkk
>
==?ε
∑
∞
=
又如：
|}max{|||)()(
11
i
n
i
i
n
i
k
i
az
az
z
zFka >
=?
∑∑
==
ε
东南大学移动通信国家重点实验室
x
x
x
x
x
Re[z]
Im[z]
Max{|ai|}
x
右右边边序序列列极极点点均均在在收收敛敛域域内内
。
。
东南大学移动通信国家重点实验室例 3：左 边序 列
||||)()1(
1
bz
bz
z
zbzFkb
k
kkk
<
==ε
∑
∞=
而
|}min{|||)()1(
11
i
m
i
i
m
i
k
i
bz
bz
z
zFkb <
=
∑∑
==
ε
东南大学移动通信国家重点实验室
x
x
x
x
Re[z]
Im[z]
x
左左边边序序列列极极点点均均在在收收敛敛域域外外
。
。
结论,双 边序 列若 存在 双边 z变 换,收敛 域一 般为
环状 区域,
<<+ RzR ||
。
东南大学移动通信国家重点实验室
x
x
Re[z]
Im[z]
x
x
x
x
x
x
左边序列极点右边序列极点东南大学移动通信国家重点实验室三三
、
、
常常用用序序列列的的
z变变换换
1,单位 样值 函 数,
1)(?δ k
,ROC,全 z 平面
2,单边 指数 序 列,
az
z
ka
k
ε )(
，R OC,|z|>|a|
3,单位 阶跃 序 列,
1
)(
ε
z
z
k
,ROC,|z|>1
东南大学移动通信国家重点实验室
4,单位正 弦序列,
1cos2
cos
)(cos
2
2
+β?
β?
εβ
zz
zz
kk
，ROC,|z|>1
1cos2
sin
)(sin
2
+β?
β
εβ
zz
z
kk
,ROC：|z|>1
特例：
1
)(
2
cos
2
2
2
+
=
z
z
k
k
ε
ππ
β
，R OC,|z|>1
1
)(
2
sin
2
2
+
=
z
z
k
k
ε
ππ
β
，R OC,|z|>1
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5,斜变 序列,
2
)1(
)(
ε
z
z
kk
ROC：|z|>1
)1)((
32)(
2121
321
0
""
"
+++++=
+++==


∞
=
∑
zzzz
zzzkzzF
k
k
1
)1(1
1
1
211
1
>
=
=

z
z
z
zz
z
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§ 8.3 （单边） z变换的主要性质
（设
)()()( zFkkf?ε
,f(k)本身可双边 ）
1．
．
线线性性性性质质
：
：
)()()()()()(
22112211
zFazFakkfakkfa +?+ εε
,
收 敛 域 ROC,一般情 况下 为公 共部 分
（特 例,有时 ROC会扩 大,如：
)1()()(?ε?ε=δ kkk
，
前者 是全 平面,而 后两 者是 单位 圆外 ）
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2．
．
移移序序性性质质
：
：
由
"++=?ε
1
)1()0()()()( zffzFkkf
左移,
)0()()]0()([)()1( zfzzFfzFzkkf?=ε+
)1()0()()1()]0()([)()2(
22
zffzzFzzfzfzzFzkkf=ε+
… … … … … … … …
)1()1()0()()()(
1
ε+
nzffzfzzFzknkf
nnn
"
东南大学移动通信国家重点实验室右移,
)()()( zFznknkf
n?
ε?
当
)(kf
为双边 时,
)1()2()()()()(
120
+?+?+?ε?
+?+
fzfznfzzFzknkf
nnn
"
注,
（1） 若
)(kf
本 身 单边,即
)()()( kkfkf ε=
,
则
)()()()( knkfnknkf ε?=?ε?
,两 者 z 变换一 样；
（ 2）双 边 z变换，
)()( zFznkf
b
n±
±
东南大学移动通信国家重点实验室例：矩形序列：
=
=
k
Nk
kP
N
其它,0
1,2,1,0,1
)(
"
解：
)1(
1
)()()(
N
N
z
z
z
NkkkP
ε?ε=
0||1)(
)1(21
1
0
>++++δ=

=
∑
zzzznk
N
N
n
"
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3．
．
尺尺度度变变换换
（
（
序序列列指指数数加加权权
）
）
)0()()( ≠? a
a
z
Fkfa
k
例,)()()1( zFkf
k

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4．
．
卷卷积积定定理理
)()()(*)(
2121
zFzFkfkf,
收 敛 域,一般 为公 共部分
例,已知,(k)1)(k(k)*(k) ε+=εε,求
](k)[ εkZ
解：
(k)-(k)*(k)(k) εεε=εk
∴
22
2
)1(1)1(
](k)[
=
=ε
z
z
z
z
z
z
kZ |z|>1
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5．
．
Z域域微微分分
（
（
序序列列线线性性加加权权
）
）
dz
zdF
zkkf
)(
)()(
如,1||
)1(
]
)1(
[)(
2
>
=
ε z
z
z
z
z
dz
d
zkk
1||
)1(
)1(
]
)1(
[)()(
32
2
>
+
=
ε z
z
zz
z
z
dz
d
zkk
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6．
．
初初值值和和终终值值定定理理
"+++=
21
)2()1()0()( zfzffzF
初值,
)(lim)0( zFf
z ∞→
=
)]()1([lim)]0()([lim)1( kkfZfzFzf
zz
ε+=?=
∞→∞→
∴
)]()([lim)( knkfZnf
z
ε+=
∞→
东南大学移动通信国家重点实验室终值,)()1(lim)(
1
zFzf
z
=+∞
→
条件,)(kf 必须存在终值,即 )(zF 极点均在
单位圆内，或 z=1 处单阶 级 点。
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