§6.5 波 特 图
一一
、
、
对对数数频频率率特特性性
1,增 益
设
)(
)()(
ω?
ωω
j
ejHjH =
（奈培）（对数）增益，单位）（）（令 NpjHG ωω ln=
或
分贝常用对数增益，）（）（ BjHG dlog20 ωω =
dBeNp 686.8log201 ==
东南大学移动通信国家重点实验室
2．
．
频频响响的的增增益益形形式式
由
）（）（有 ωω
ω
jHG
A
B
HjH
k
n
k
i
m
i
log20
)(
1
1
0
=
Π
Π
=
=
=
常数 + ∑零点因式增益 - ∑极点因式增益
∑∑
==
+=
n
k
k
m
i
i
ABH
11
0
log20log20log20
东南大学移动通信国家重点实验室二,
一一次次因因式式的的增增益益
单实根,z
1
，一阶
考虑
1
11
1
log20)(
T
zzjG == 令ωω
则 11
1log20log20)( TjzG ωω ++=
（图见 P302 图 6-12 过ω =lZ
1
l 的两条折 线）
注,（1）若
ωωω log20log200
111
=?== zjGz ）（则
则是过原点的 20dB/十倍频折线,不须修正
东南大学移动通信国家重点实验室三三
、
、
二二次次因因式式的的增增益益 （图 见 P378 图 6-14）
一对共轭根
*
22
,zz
222
ωλ jz +=
两个一次迭加,log20log20)(
*
22
zjzjG?ω+?ω=ω
可用
2
2
z
λ
=
阻尼系 数，对折断点附近进行修正
（图见 P306 图 6-14）
注,（ 1）若为 n 重根，折线斜率 n 倍于单根
（ 2）幅频归一化
最大值增益 0dB（调节
0
H
）
东南大学移动通信国家重点实验室
§6,6/7 系统稳定性的判别
一一
、
、
稳稳定定因因果果系系统统的的判判别别
1) BIBO（ Boundary Input,Boundary Output） 定 义,
任意有界输入
)(ty
zs 有界。
2) 原型低通的
)(th
绝 对可积（能量有限）或
()稳定渐进）（ 0lim →
∞→
th
t
。
3) 系统函数
）（ sH
极点均在 s 的左半开平面上
（到高阶时，求特征根不易，可用下法） 。
4) 罗斯一胡维茨（R outh-Hurwitz） 准则（ 可 不求出极点 ）
5) 奈氏准则 (用 于反馈系统)
东南大学移动通信国家重点实验室例,图示全反 馈系统 ；讨论 增益系 数 k >0 增 加时 系 统的稳定 性。
2)1)(s-(s
K
G(s)
+
=
1H(s) ≡
Y(s)
X(s)
-
∑
东南大学移动通信国家重点实验室令 T（s）
)()(1
)(
.
)(
)(
sHsG
sG
sz
sX
sY
+
==
闭环
[]GHYGXHYXGY?=?=∵
(原 G(s)极点一 般 不是闭环系统的极点 )
反馈系统开环传 递 函数
)()( sHsG
有
)2)(1(
)2)(1(
1
)2)(1(
)(
+?+
=
+?
+
+?
=
ssK
K
ss
K
ss
K
sT
东南大学移动通信国家重点实验室
KP?±?=∴
4
9
2
1
2,1
故
20 <≤ K
不 稳 定 ；
2=K
临 界 稳 定 ；
2>K
稳定 。
（可以 用根轨 迹图讨 论）
结论,前向 增益
)(sG
表示 的系统 可能不 稳定,但反馈 后
可能达 到稳定 。 （通过 调节参 数 K） 。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
Routh-Hurwitz 准准则则
设
）（
）（
）（
sD
sN
sH =
0
1
1
01
1
1
aassasa
bsbsbsb
n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=
null
null
有理函数
1．
）（ sH
极点均不落在 s 右 半闭平面（含虚轴）
的必要条件：
无缺项且系数同号。)(sD
东南大学移动通信国家重点实验室
2．若最多临界稳定。极点）（即有一个全不为零其余
=
=
0s
a0
0 i
a
3．
)(sD
极点均在 虚 轴上的必要条 件：
)(sD
全奇次
或全偶 次。
最多临 界（在 分 解子 系统相 乘时,也 可用 于
子系统 的
)(sD
）
4,R－ H 准则
R－H 数 列 不 变 号
稳定
东南大学移动通信国家重点实验室
三三
、
、
R – H 阵阵列列及及其其判判据据
由
)(sD
排
HR?
阵列
step1,a
n
a
n-2
a
n-4
a
n-1
a
n-3
a
n-5
东南大学移动通信国家重点实验室
step2,计算下面各列
R–H 阵列 （ n 阶 系 统要排 n+1 行）
n
s
An Bn Cn Dn …
1?n
s
An-1 Bn-1 Cn-1 Dn-1 …
∶ An-2 Bn-2 Cn-2
∶ An-3
∶ ∶ ∶
2
s
A2 B2 0
1
s
A1 0
0
s
A0 0
东南大学移动通信国家重点实验室第一 列,R – H 数列；
判据,数 列数 值变 号的 次数
)(sD=
在右 半平 面上 根的 个数 。
例,求图 示系 统的 稳定 条件
4)1)(ss(s
K
G(s)
++
=
Y(s)X(s)
-
∑
东南大学移动通信国家重点实验室解：
KSSS
K
G
G
sT
+++
=
+
=
4511
)(
23
下面 计 算 R – H 阵 列
0
1
2
3
S
S
S
S
K
K
5
20
5
1
0
0
4
K
一个根在左平面则有两根在右平面若即稳定条件
,20
200
0K
0
5
20
>
<<
>
>
K
K
K
东南大学移动通信国家重点实验室
*特殊情况的 讨论
（
（
1）
）
上上一一行行首首项项为为零零
，
，
其其余余各各项项不不全全零零
。
。
处理方法,
a） 0用 无 穷 小 量
ε
（实数） 代替，判据不变。
（ 注意
ε
的符号与上 面一致 ）
b）
)()1( sDs+
排下去。
c） 倒排法，由
nn
nn
asasasasD ++++=
1
1
10
)( null
判据不 变 。
东南大学移动通信国家重点实验室例：
322)(
234
++++= sssssD
解,R－ H 阵列
35432)()1(
2345
+++++=+ ssssssDs
直接排 排列
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
3
/)32(
0
1
1
ε?ε
0
0
3
2
2
0
0
3
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
3
2/9
3
1
2
1
0
3
2/7
4
3
0
0
3
5
变号 2次，不稳 变号 2次，不稳
ε
东南大学移动通信国家重点实验室
（ 2）出 现全 零行
)(sD
有一 因式
)(sA
，称 为辅 助多 项式
且
全零行的上一行，=)(sA
（上 两行 相应 元素 成比 例 ）
例：
2233)(
2345
+++++= ssssssD
排R － H阵 列
东南大学移动通信国家重点实验室
5
s
1 3 2
4
s
1 3 2
代替全零行）（用 sssA
sssssA
64
)2)(1(23)(
3/
2224
+=
++=++=?
3
s
0 0 0
（ 4 6 0）
2
s
3/2 2 0
1
s
2/3 0
0
s
2 0
东南大学移动通信国家重点实验室临界稳定个左半平面上的根个虚轴上的单根，得）＝（且由个右半平面上的根，
未变号，
1
40
0
sA
东南大学移动通信国家重点实验室注,（ 1）若
)(sA
出现重根
01
002
000
011
044
000
121
121
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
不稳定（二重根）
)1()(
)1(12)(
2
2
2224
1
+=?
+=++=?
ssA
ssssA
东南大学移动通信国家重点实验室
~End of Chapter 6~
东南大学移动通信国家重点实验室
一一
、
、
对对数数频频率率特特性性
1,增 益
设
)(
)()(
ω?
ωω
j
ejHjH =
（奈培）（对数）增益，单位）（）（令 NpjHG ωω ln=
或
分贝常用对数增益，）（）（ BjHG dlog20 ωω =
dBeNp 686.8log201 ==
东南大学移动通信国家重点实验室
2．
．
频频响响的的增增益益形形式式
由
）（）（有 ωω
ω
jHG
A
B
HjH
k
n
k
i
m
i
log20
)(
1
1
0
=
Π
Π
=
=
=
常数 + ∑零点因式增益 - ∑极点因式增益
∑∑
==
+=
n
k
k
m
i
i
ABH
11
0
log20log20log20
东南大学移动通信国家重点实验室二,
一一次次因因式式的的增增益益
单实根,z
1
，一阶
考虑
1
11
1
log20)(
T
zzjG == 令ωω
则 11
1log20log20)( TjzG ωω ++=
（图见 P302 图 6-12 过ω =lZ
1
l 的两条折 线）
注,（1）若
ωωω log20log200
111
=?== zjGz ）（则
则是过原点的 20dB/十倍频折线,不须修正
东南大学移动通信国家重点实验室三三
、
、
二二次次因因式式的的增增益益 （图 见 P378 图 6-14）
一对共轭根
*
22
,zz
222
ωλ jz +=
两个一次迭加,log20log20)(
*
22
zjzjG?ω+?ω=ω
可用
2
2
z
λ
=
阻尼系 数，对折断点附近进行修正
（图见 P306 图 6-14）
注,（ 1）若为 n 重根，折线斜率 n 倍于单根
（ 2）幅频归一化
最大值增益 0dB（调节
0
H
）
东南大学移动通信国家重点实验室
§6,6/7 系统稳定性的判别
一一
、
、
稳稳定定因因果果系系统统的的判判别别
1) BIBO（ Boundary Input,Boundary Output） 定 义,
任意有界输入
)(ty
zs 有界。
2) 原型低通的
)(th
绝 对可积（能量有限）或
()稳定渐进）（ 0lim →
∞→
th
t
。
3) 系统函数
）（ sH
极点均在 s 的左半开平面上
（到高阶时，求特征根不易，可用下法） 。
4) 罗斯一胡维茨（R outh-Hurwitz） 准则（ 可 不求出极点 ）
5) 奈氏准则 (用 于反馈系统)
东南大学移动通信国家重点实验室例,图示全反 馈系统 ；讨论 增益系 数 k >0 增 加时 系 统的稳定 性。
2)1)(s-(s
K
G(s)
+
=
1H(s) ≡
Y(s)
X(s)
-
∑
东南大学移动通信国家重点实验室令 T（s）
)()(1
)(
.
)(
)(
sHsG
sG
sz
sX
sY
+
==
闭环
[]GHYGXHYXGY?=?=∵
(原 G(s)极点一 般 不是闭环系统的极点 )
反馈系统开环传 递 函数
)()( sHsG
有
)2)(1(
)2)(1(
1
)2)(1(
)(
+?+
=
+?
+
+?
=
ssK
K
ss
K
ss
K
sT
东南大学移动通信国家重点实验室
KP?±?=∴
4
9
2
1
2,1
故
20 <≤ K
不 稳 定 ；
2=K
临 界 稳 定 ；
2>K
稳定 。
（可以 用根轨 迹图讨 论）
结论,前向 增益
)(sG
表示 的系统 可能不 稳定,但反馈 后
可能达 到稳定 。 （通过 调节参 数 K） 。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
Routh-Hurwitz 准准则则
设
）（
）（
）（
sD
sN
sH =
0
1
1
01
1
1
aassasa
bsbsbsb
n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=
null
null
有理函数
1．
）（ sH
极点均不落在 s 右 半闭平面（含虚轴）
的必要条件：
无缺项且系数同号。)(sD
东南大学移动通信国家重点实验室
2．若最多临界稳定。极点）（即有一个全不为零其余
=
=
0s
a0
0 i
a
3．
)(sD
极点均在 虚 轴上的必要条 件：
)(sD
全奇次
或全偶 次。
最多临 界（在 分 解子 系统相 乘时,也 可用 于
子系统 的
)(sD
）
4,R－ H 准则
R－H 数 列 不 变 号
稳定
东南大学移动通信国家重点实验室
三三
、
、
R – H 阵阵列列及及其其判判据据
由
)(sD
排
HR?
阵列
step1,a
n
a
n-2
a
n-4
a
n-1
a
n-3
a
n-5
东南大学移动通信国家重点实验室
step2,计算下面各列
R–H 阵列 （ n 阶 系 统要排 n+1 行）
n
s
An Bn Cn Dn …
1?n
s
An-1 Bn-1 Cn-1 Dn-1 …
∶ An-2 Bn-2 Cn-2
∶ An-3
∶ ∶ ∶
2
s
A2 B2 0
1
s
A1 0
0
s
A0 0
东南大学移动通信国家重点实验室第一 列,R – H 数列；
判据,数 列数 值变 号的 次数
)(sD=
在右 半平 面上 根的 个数 。
例,求图 示系 统的 稳定 条件
4)1)(ss(s
K
G(s)
++
=
Y(s)X(s)
-
∑
东南大学移动通信国家重点实验室解：
KSSS
K
G
G
sT
+++
=
+
=
4511
)(
23
下面 计 算 R – H 阵 列
0
1
2
3
S
S
S
S
K
K
5
20
5
1
0
0
4
K
一个根在左平面则有两根在右平面若即稳定条件
,20
200
0K
0
5
20
>
<<
>
>
K
K
K
东南大学移动通信国家重点实验室
*特殊情况的 讨论
（
（
1）
）
上上一一行行首首项项为为零零
，
，
其其余余各各项项不不全全零零
。
。
处理方法,
a） 0用 无 穷 小 量
ε
（实数） 代替，判据不变。
（ 注意
ε
的符号与上 面一致 ）
b）
)()1( sDs+
排下去。
c） 倒排法，由
nn
nn
asasasasD ++++=
1
1
10
)( null
判据不 变 。
东南大学移动通信国家重点实验室例：
322)(
234
++++= sssssD
解,R－ H 阵列
35432)()1(
2345
+++++=+ ssssssDs
直接排 排列
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
3
/)32(
0
1
1
ε?ε
0
0
3
2
2
0
0
3
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
3
2/9
3
1
2
1
0
3
2/7
4
3
0
0
3
5
变号 2次，不稳 变号 2次，不稳
ε
东南大学移动通信国家重点实验室
（ 2）出 现全 零行
)(sD
有一 因式
)(sA
，称 为辅 助多 项式
且
全零行的上一行，=)(sA
（上 两行 相应 元素 成比 例 ）
例：
2233)(
2345
+++++= ssssssD
排R － H阵 列
东南大学移动通信国家重点实验室
5
s
1 3 2
4
s
1 3 2
代替全零行）（用 sssA
sssssA
64
)2)(1(23)(
3/
2224
+=
++=++=?
3
s
0 0 0
（ 4 6 0）
2
s
3/2 2 0
1
s
2/3 0
0
s
2 0
东南大学移动通信国家重点实验室临界稳定个左半平面上的根个虚轴上的单根，得）＝（且由个右半平面上的根，
未变号，
1
40
0
sA
东南大学移动通信国家重点实验室注,（ 1）若
)(sA
出现重根
01
002
000
011
044
000
121
121
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
不稳定（二重根）
)1()(
)1(12)(
2
2
2224
1
+=?
+=++=?
ssA
ssssA
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~End of Chapter 6~
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