§
§
7.4 离离散散系系统统的的零零输输入入响响应应
∵ 零输入
0)( =ke
,
∴
0)()( =kySD
n 阶齐 次
定解：
)1(),1(),0(?nyyy
zizizi
""
东南大学移动通信国家重点实验室一、
)(ky
zi
求法
1,一阶 系统,
)0(,0)()1(
0 zi
ykyaky =++
已知
0)()(
0
=+ kyaS
由
0),()1(
0
≥?=+ kkyaky
东南大学移动通信国家重点实验室
∴
)0()()1()2(
),0()1(
2
00
0
zizizi
zizi
yayay
yay
=?=
=
0,)0()()(
0
≥?= kyaky
zi
k
zi
""
比较
)0(,0
0
=+
′
yyay
已知,
00
0)( aappD?=λ?=+=
∴
)()0()()(
0
teytAety
tat
zi
ε=ε=
λ
东南大学移动通信国家重点实验室
2,n 阶 离散 系统 0)()( =kySD,
设
0,)( ≥= kvky
k
是一 个解,
将
nikyviky
i
,2,1,0),()("==+
代 入方 程
得：
00)()(
01
1
1
≥≡++++
kkyavavav
n
n
n
"
0)(
01
1
1
=++++=?
avavavvD
n
n
n
"
特征 方程 。
东南大学移动通信国家重点实验室
（ 1） 设特征 根均 为单根
n
vvv"
21
,,则
0)()()(
1
2211
≥=ε+++=
∑
=
kvckvcvcvcky
n
i
k
ii
k
nn
kk
zi
"
（2 ）设 有 一 个 l重根
nll
vvvvv,,,
121
""
+
==
，则
0)()(
1
1
1
21
≥++++=
∑
+=
kvcvkckccky
n
lj
k
jj
kl
lzi
"
注,一 对共轭 根配 对（变 幅 正 弦 序列 ） 。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
举举例例
例 1：电阻网络，n=3,a=2
由 0)()1()
1
2()2( =+++?+ kuku
a
ku
即 0)()1(
2
5
)2( =++?+ kukuku
有,01
2
5
)(
2
=+?= SSSD,得,2,
2
1
21
== vv
∴
08
8
1
)3(
)0(;3,2,1,0)(
21
21
2211
=+=
=+=
=+=
ccu
Eccu
kvcvcku
kk
东南大学移动通信国家重点实验室解得,EcEc
63
1
63
64
21
==
∴ 3,2,1,0],2)
2
1
(64[
63
)( =?= k
E
ku
kk
即
0)3(
21
4
)2(
21
10
)1()0(
==
==
uEu
EuEu
东南大学移动通信国家重点实验室例 2：后 向差分方程表示 的 离散系统
1)2(
2
1
)1(0)2(2)1(2)(?==?=?+
zizi
yykykyky
解,（ 1） 直接求解
0)22(221)(
2221
=+?=+?=

SSSSSSD
得
4
2,1
21
π
±
=±=
j
ejv
∴
2)(
2211
≥+= kvcvcky
kk
zi
东南大学移动通信国家重点实验室由
2
1
)1(
1
22
1
11
=+=?

vcvcy
zi
及
1)2(
2
22
2
11
=+=?

vcvcy
zi
得
2
2
2
1
11
2
5
2
1
2
5
2
1

=+==?=
jtgjtg
ejcejc
∴
)2()2tan
4
cos()2(
2
5
2
)2()cos(||||2)(
1
+?××=
++=
kk
kkvCky
k
k
zi
ε
π
εθ?
东南大学移动通信国家重点实验室
（ 2） 转换成 前向 方程
00)(2)1(2)2( ≥=++?+ kkykyky
1)2(2)1(2)0( ==
zizizi
yyy
3)1(2)0(2)1( ==
zizizi
yyy
（ 余略,类 似（1 ） ）
得
)()2tan
4
cos()2(
2
5
2)(
1
kkky
k
zi
ε
π
××=
东南大学移动通信国家重点实验室一一,,零零 状状 态态 响响 应应 的的 求求 法法,,时时 域域 卷卷 和和 法法
§
§
7.5 离离散散系系统统的的零零状状态态响响应应
东南大学移动通信国家重点实验室设已 知单 位函 数响 应 h(k)
由,
∑
∞
∞=
=?=
j
kkejkjeke )(*)()()()( δδ
记
则
∑
+∞
∞=
==
j
zs
jkhjekhkeky )()()(*)()(
卷积 和
=
∑
∑
∞=
∞
=
k
j
j
jkhje
kejkhje
因果有始
)()(
)()()(
0
二二
、
、
卷卷和和的的计计算算
图 解法,不进位长乘 法,解析法,
性质（ 结合查表）,Z 变换 法
1,图解法,有限长序列的卷 积 和
例：
{}210312)(,，；，,== kke
{}210321,，，，，）（ == kkh
则由公式,
∑
=
==
k
j
jkhjekhkeky
0
* ）（）（）（）（）（
直接计算得,
东南大学移动通信国家重点实验室
2120000 =×===? ）（）（）（,heyk
514011011 =+=+== ）（）（）（）（）（,heheyk
1102112022 =++== ）（）（）（）（）（）（）（,heheheyk
9233133 =×+×== ）（,yk
93344 =×== ）（,yk
其它 k,y（k ）= 0
∴
{}4,3,2,1,0;9,91152 == kky,，，）（
（卷 和结 果 仍 是 一 个 序 列）
í 与图解对比东南大学移动通信国家重点实验室
★图解 法四步：
∑
+∞
∞=
==
j
jkhjeheky )()(*)(
（1 ） 反褶,)()( jhjh?→
（2 ） 平移,)()( jkhjh?→?,移 k位
（3 ） 相乘,)()()( jgjkhje =?
（4 ） 相加：
∑
= )()( kyjg
（5 ） 1+= kk,回到 （ 2）
东南大学移动通信国家重点实验室
2,不进位长 乘法
2 1 3
1 2 3
----------------------------------
6 3 9
4 2 6
2 1 3
---------------------------------------
2 5 11 9 9
上 /下限是两 个序列上 /下限之和 。 对本题，两 个 序列起始
均为 k=0，故
{}4,3,2,1,0;9,91152 == kky,，，）（
K=0,
东南大学移动通信国家重点实验室
3．解析法,针对无限长序 列
例 1：
)()()()( kbkhkake
kk
ε=ε=
,
求
hebaky
k
j
jkj
*)(
0
==
∑
=
解,
∑∑∑
==
=
===
k
j
jk
k
j
jjk
k
j
jkj
b
a
bbabbaky
000
)()(
东南大学移动通信国家重点实验室
1） a=b时,为
)()1( kak
k
ε+
2） a≠ b时,为
)(][
1
1
])(1[
11
1
kab
ab
b
a
b
a
b
kk
k
k
ε?
=
++
+
)()1()(*)( kkkk ε+=εε?
东南大学移动通信国家重点实验室例2,
e(k)=2
k
y(k)=?
)()
3
1
(h(k)
k
kε=
+∞<<∞ k-
解,
∑∑
∑
∞+
=?∞=
∞=
==
==
kj
jk
k
j
jk
k
j
jkj
khkeky
)
6
1
()
3
1
(6)
3
1
(
)
3
1
(2)(*)()(
+∞<<∞?=
=
k
k
k
k
)2(
5
6
6
1
1
)
6
1
(
)
3
1
(
注：
vz
kk
zHvkykvke
=
=?+∞<<∞?= |)()()(
东南大学移动通信国家重点实验室三三
、
、
卷卷和和的的性性质质
1,代数 运算 性 质
（ 1） 交 换律 e*h=h*e
（2 ）结 合 律 (e*h1)*h2=e*(h1*h2)
串联 等效
（ 3） 分 配率 e*(h1+h2)=e*h1+e*h2
并联 等效
东南大学移动通信国家重点实验室
2,有限长序列 A(k),B(k)，项数为
BA
NN,,
则 C(k)=A(k)*B(k)有限长，且满足,
（1）项数 1?+=
BAC
NNN 线性卷和
（2）上下限 = 各自上下 限之和
（3） ))()()(()(
∑∑∑
= jBjAjC
东南大学移动通信国家重点实验室
3,)()(*)( kekke =δ,则
δ
δ
=δε=ε
∑
∑
=
=
k
j
k
j
j
jk
kkk
0
0
)(
)(
)(*)()(
)()(*)( nkenkke?=?δ
4,延时 性 设
)(*)()( khkeky =
,
则
)()(*)(
2121
nnkynkhnke=
东南大学移动通信国家重点实验室四四
、
、
单单位位函函数数响响应应
h(k)的的求求法法
常用 Z反 变 换
)]([)(
1
zHZkh
=
,
其中：
zS
SHzH
=
= |)()(
下 一 章介绍。
本章：算子法
设 ∑∑
==
=
==
n
i
i
n
i
i
i
SH
vS
k
SD
SN
SH
11
)(
)(
)(
)(
,
则
∑∑
=
=
ε=δ=δ=
n
i
k
ii
n
i
i
kvkkSHkSHkh
1
1
1
)1()()()()()()(
东南大学移动通信国家重点实验室注,（1 ）m =n时,如
vS
v
vS
S
SH
+=
= 1)(
∴
)()1()()()(
1
kvkvvkkh
kk
ε=?ε+δ=
（2 ） 分 解 时,基本 因 式 用
vS
S
（可 以 先
"+
′
=
i
i
vS
k
S
SH )(
，
后乘 S,得
i
i
vS
Sk
'
）或
vS?
1
（ 3）全响应
)()()( kykyky
zszi
+=
东南大学移动通信国家重点实验室例 7-4 略见 教 材
注） )()()()( iyiyiyiy
zizszi
≠+=
东南大学移动通信国家重点实验室
~End of Chapter 7~
东南大学移动通信国家重点实验室