第六章 连续时间系统的系统函数
§ 6.1 引言
本章重点,系统函数的表示法及与响应的关系
稳定性判据（含反馈系统）
频响的矢量图解
东南大学移动通信国家重点实验室由第五章：系统函数的定义与求取方法有
1．
zs
sE
sY
sH
)(
)(
)( =
2．
)}({ thL
3．st
st
e
e
sH
作用下响应
=)(
东南大学移动通信国家重点实验室
§6.2系统函数的表示法
系统函数可以用数学表达式表达，也可以用图示的方法表达。前者比较简单，但是无法直接看出系统的特性。后者可以直接表示出系统的特性，便于对系统的性能进行深入研究。
常用图示法有三种：频率特性,
复轨迹,
极零图。
东南大学移动通信国家重点实验室一一
、
、
系系统统频频率率响响应应特特性性
（
（
曲曲线线
）
）
)(
)()(
ω?
ω=ω
j
ejHjH
注意：
）前无负号，与前有别（中ω?
ω? )(j
e
特点：1．
)(*)( ωω jHjH?=
共轭对称；
即 幅频：
ω
偶函数；
相频：
ω
奇函数
2．
对对因因果果系系统统
，
，
幅幅
/相相频频
或或
实实
/虚虚部部
非非独独立立
东南大学移动通信国家重点实验室
∵ 因果 ∴
)()()( tthth ε=
设
)()()( ω+ω=ω jXRjH
则
[]
+++=
+=
ω
ω
ω
ω
π
ωω
ω
ωπδω
π
ω
1
*)(
1
*)(
2
1
)()(
2
1
1
)(*)(
2
1
)(
X
j
RjXR
j
jHjH
即,
ω
ω
π
+
ω
ω
π
=ω+ω
1
*)(
11
*)(
1
)()( X
j
RjXR
东南大学移动通信国家重点实验室变换对希尔
)(11
*)(
1
)(
)(11
*)(
1
)(
伯特
=?=
==
∫
∫
∞+
∞?
∞+
∞?
λ
λω
λ
πω
ω
π
ω
λ
λω
λ
πω
ω
π
ω
d
R
RX
d
X
XR
东南大学移动通信国家重点实验室举例：二阶RLC并联谐振电路
)( ωjI
Ljω
1
Cjω
)( ωjU
东南大学移动通信国家重点实验室易得：
G
B
jtg
BG
jBG
Lj
CjG
jH e
1
22
11
1
1
)(
+
=
+
=
++
=
ω
ω
ω
其中,
L
CB
ω
ω
1
=
记
)(
)()(
ω?
ω=ω
j
ejHjH
则,
G
B
tg
BG
jH
1
22
)(
1
)(
=Φ
+
=
ω
ω
如图所示
东南大学移动通信国家重点实验室
0
ω
LC
1
0
=ω
0
ω?
G
1
)( ωjH
2
π
2
π
G
1
2
π
东南大学移动通信国家重点实验室二、
幅幅相相特特性性曲曲线线
（
（
复复轨轨迹迹
）
）
)()()( ωωω jXRjH +=
用途：用于反馈系统稳定性判据（奈氏图）
特点,
1,可用复轨迹表示，如上例谐振电路
ω cos
1
1
111
)(
222
G
tg
G
BG
jH =
+
=
+
=
在极坐标系中
ρ cosr=
为一个圆。
当圈。变化时，从原点绕圆两到从∞+∞-ω
东南大学移动通信国家重点实验室
0=ω
±∞=ω
G
1
LC
1±
=ω
R（ω）
X（ω）
东南大学移动通信国家重点实验室
2．复轨迹曲线对实轴上下对称
3．
的对应点在正实轴上
）（
）奇函数（）（
0
00
=?
=?
=
ω
ω?ω?
4．由于实际系统有分布电容存在，则
0→±∞→）（时，ωω jH
一定是闭合曲线?
东南大学移动通信国家重点实验室三三
、
、
极极零零图图
对系统
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
0
1
1
01
1
1
k
n
k
i
m
i
n
n
n
m
m
m
m
ps
zs
H
asas
bsbsbsb
sD
sN
sH
=
+++
++++
==
=
=
π
π
其中
极点?
k
p
率；即系统特征根，固有频
是常数零点；
m
i
bH
z
=
0
东南大学移动通信国家重点实验室如上例 设 L=1H，C=1F，G=1S，有
1
)(
2
++
=
ss
s
sH
则
0
1
=z
2
3
2
1
21
jp ±?=
、
1
0
=H
如图
东南大学移动通信国家重点实验室
1
z
2
1
σ
ωj
2
3
j
2
3
j-
-
P1
P2
东南大学移动通信国家重点实验室特点,
1,对实轴上下对称
2,广义上,极零点数相等
>
→=
<
=
∞→∞→
个无穷远处极点个常规极点个零点个无穷远处的零点个常规零点个极点极零点数相等；
)(
,,..)3;0
1
lim)(lim
.)(
,,;.)2
,.)1
nm
nmnm
S
bSH
mn
mnnm
nm
mn
m
ss
Q
东南大学移动通信国家重点实验室
§
§
6.3 系系统统函函数数极极零零点点分分布布与与时时域域响响应应的的关关系系
一一
、
、
与与
h（
（
t）
）
的的关关系系
)()( thsH?
设
∑
=
=
n
k
k
k
ps
k
sH
1
)(
则,
∑
=
=
n
k
tp
k
k
ekth
1
.)(
，t≧0
东南大学移动通信国家重点实验室结论,
1,
）极点决定（模式由sHth )(
2,
，稳定；）（若对因果系统，0lim →
∞→
th
t
临界常数界若不稳定若
c)(lim;)(lim
≤
∞→
∞→
∞→
th
th
t
t
的左半开平面。在因果稳定系统的极点均s
推推论论
：
：
反反因因果果系系统统要要稳稳定定
极极点点均均在在
s的的右右半半开开平平面面上上
。
。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
与与全全响响应应
r（
（
t）
）
的的关关系系
由,
)()()()()()()()()( sEsNsPsRsDtepNtrpD ==
得
)(sE
sD
sN
sD
Sp
sR
）（
）（
）（
）（
）（+=
零输入响应 零状态响应
自然响应 自然响应 受迫响应
东南大学移动通信国家重点实验室
§
§
6.4系系统统函函数数极极零零点点分分布布与与频频响响关关系系
由,
)(
)(
)(
1
1
0
k
n
k
i
m
i
ps
zs
HsH
Π
Π
=
=
=
得
ωω jssHjH == )()(
对稳定因果系统
即,
)
1
1
0
k
n
k
i
m
i
pj
zj
HjH
Π
Π
=
=
=
ω
ω
ω
（
）（
）（
可用复平面上的矢量图解求出
东南大学移动通信国家重点实验室记
i
j
ii
i
eBzjB
α
ω =?=
→
零点矢量 ；
k
j
kk
k
eApjA
β
ω =?=
→
极点矢量
设
)(
)()(
ω?
ω=ω
j
ejHjH
则,
)()(
11
∑∑
==
=
n
k
k
m
i
i
βαω?
东南大学移动通信国家重点实验室而由矢量图解得
k
n
k
i
m
j
A
B
HjH
1
1
0
)(
=
=
Π
Π
=ω
东南大学移动通信国家重点实验室例1,全通系统,
)(sH
的所有极点都有对虚轴成
镜像对称的零点（而没有其他零极点）
特点：1）m=n
2）幅频
）（常数）（0HjH =≡ω
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 6.1 引言
本章重点,系统函数的表示法及与响应的关系
稳定性判据（含反馈系统）
频响的矢量图解
东南大学移动通信国家重点实验室由第五章：系统函数的定义与求取方法有
1．
zs
sE
sY
sH
)(
)(
)( =
2．
)}({ thL
3．st
st
e
e
sH
作用下响应
=)(
东南大学移动通信国家重点实验室
§6.2系统函数的表示法
系统函数可以用数学表达式表达，也可以用图示的方法表达。前者比较简单，但是无法直接看出系统的特性。后者可以直接表示出系统的特性，便于对系统的性能进行深入研究。
常用图示法有三种：频率特性,
复轨迹,
极零图。
东南大学移动通信国家重点实验室一一
、
、
系系统统频频率率响响应应特特性性
（
（
曲曲线线
）
）
)(
)()(
ω?
ω=ω
j
ejHjH
注意：
）前无负号，与前有别（中ω?
ω? )(j
e
特点：1．
)(*)( ωω jHjH?=
共轭对称；
即 幅频：
ω
偶函数；
相频：
ω
奇函数
2．
对对因因果果系系统统
，
，
幅幅
/相相频频
或或
实实
/虚虚部部
非非独独立立
东南大学移动通信国家重点实验室
∵ 因果 ∴
)()()( tthth ε=
设
)()()( ω+ω=ω jXRjH
则
[]
+++=
+=
ω
ω
ω
ω
π
ωω
ω
ωπδω
π
ω
1
*)(
1
*)(
2
1
)()(
2
1
1
)(*)(
2
1
)(
X
j
RjXR
j
jHjH
即,
ω
ω
π
+
ω
ω
π
=ω+ω
1
*)(
11
*)(
1
)()( X
j
RjXR
东南大学移动通信国家重点实验室变换对希尔
)(11
*)(
1
)(
)(11
*)(
1
)(
伯特
=?=
==
∫
∫
∞+
∞?
∞+
∞?
λ
λω
λ
πω
ω
π
ω
λ
λω
λ
πω
ω
π
ω
d
R
RX
d
X
XR
东南大学移动通信国家重点实验室举例：二阶RLC并联谐振电路
)( ωjI
Ljω
1
Cjω
)( ωjU
东南大学移动通信国家重点实验室易得：
G
B
jtg
BG
jBG
Lj
CjG
jH e
1
22
11
1
1
)(
+
=
+
=
++
=
ω
ω
ω
其中,
L
CB
ω
ω
1
=
记
)(
)()(
ω?
ω=ω
j
ejHjH
则,
G
B
tg
BG
jH
1
22
)(
1
)(
=Φ
+
=
ω
ω
如图所示
东南大学移动通信国家重点实验室
0
ω
LC
1
0
=ω
0
ω?
G
1
)( ωjH
2
π
2
π
G
1
2
π
东南大学移动通信国家重点实验室二、
幅幅相相特特性性曲曲线线
（
（
复复轨轨迹迹
）
）
)()()( ωωω jXRjH +=
用途：用于反馈系统稳定性判据（奈氏图）
特点,
1,可用复轨迹表示，如上例谐振电路
ω cos
1
1
111
)(
222
G
tg
G
BG
jH =
+
=
+
=
在极坐标系中
ρ cosr=
为一个圆。
当圈。变化时，从原点绕圆两到从∞+∞-ω
东南大学移动通信国家重点实验室
0=ω
±∞=ω
G
1
LC
1±
=ω
R（ω）
X（ω）
东南大学移动通信国家重点实验室
2．复轨迹曲线对实轴上下对称
3．
的对应点在正实轴上
）（
）奇函数（）（
0
00
=?
=?
=
ω
ω?ω?
4．由于实际系统有分布电容存在，则
0→±∞→）（时，ωω jH
一定是闭合曲线?
东南大学移动通信国家重点实验室三三
、
、
极极零零图图
对系统
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
0
1
1
01
1
1
k
n
k
i
m
i
n
n
n
m
m
m
m
ps
zs
H
asas
bsbsbsb
sD
sN
sH
=
+++
++++
==
=
=
π
π
其中
极点?
k
p
率；即系统特征根，固有频
是常数零点；
m
i
bH
z
=
0
东南大学移动通信国家重点实验室如上例 设 L=1H，C=1F，G=1S，有
1
)(
2
++
=
ss
s
sH
则
0
1
=z
2
3
2
1
21
jp ±?=
、
1
0
=H
如图
东南大学移动通信国家重点实验室
1
z
2
1
σ
ωj
2
3
j
2
3
j-
-
P1
P2
东南大学移动通信国家重点实验室特点,
1,对实轴上下对称
2,广义上,极零点数相等
>
→=
<
=
∞→∞→
个无穷远处极点个常规极点个零点个无穷远处的零点个常规零点个极点极零点数相等；
)(
,,..)3;0
1
lim)(lim
.)(
,,;.)2
,.)1
nm
nmnm
S
bSH
mn
mnnm
nm
mn
m
ss
Q
东南大学移动通信国家重点实验室
§
§
6.3 系系统统函函数数极极零零点点分分布布与与时时域域响响应应的的关关系系
一一
、
、
与与
h（
（
t）
）
的的关关系系
)()( thsH?
设
∑
=
=
n
k
k
k
ps
k
sH
1
)(
则,
∑
=
=
n
k
tp
k
k
ekth
1
.)(
，t≧0
东南大学移动通信国家重点实验室结论,
1,
）极点决定（模式由sHth )(
2,
，稳定；）（若对因果系统，0lim →
∞→
th
t
临界常数界若不稳定若
c)(lim;)(lim
≤
∞→
∞→
∞→
th
th
t
t
的左半开平面。在因果稳定系统的极点均s
推推论论
：
：
反反因因果果系系统统要要稳稳定定
极极点点均均在在
s的的右右半半开开平平面面上上
。
。
东南大学移动通信国家重点实验室二二
、
、
与与全全响响应应
r（
（
t）
）
的的关关系系
由,
)()()()()()()()()( sEsNsPsRsDtepNtrpD ==
得
)(sE
sD
sN
sD
Sp
sR
）（
）（
）（
）（
）（+=
零输入响应 零状态响应
自然响应 自然响应 受迫响应
东南大学移动通信国家重点实验室
§
§
6.4系系统统函函数数极极零零点点分分布布与与频频响响关关系系
由,
)(
)(
)(
1
1
0
k
n
k
i
m
i
ps
zs
HsH
Π
Π
=
=
=
得
ωω jssHjH == )()(
对稳定因果系统
即,
)
1
1
0
k
n
k
i
m
i
pj
zj
HjH
Π
Π
=
=
=
ω
ω
ω
（
）（
）（
可用复平面上的矢量图解求出
东南大学移动通信国家重点实验室记
i
j
ii
i
eBzjB
α
ω =?=
→
零点矢量 ；
k
j
kk
k
eApjA
β
ω =?=
→
极点矢量
设
)(
)()(
ω?
ω=ω
j
ejHjH
则,
)()(
11
∑∑
==
=
n
k
k
m
i
i
βαω?
东南大学移动通信国家重点实验室而由矢量图解得
k
n
k
i
m
j
A
B
HjH
1
1
0
)(
=
=
Π
Π
=ω
东南大学移动通信国家重点实验室例1,全通系统,
)(sH
的所有极点都有对虚轴成
镜像对称的零点（而没有其他零极点）
特点：1）m=n
2）幅频
）（常数）（0HjH =≡ω
东南大学移动通信国家重点实验室
