1
第一章 振动 （ Vibration） 自学总结振动共振
(简谐振动）
受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由 谐振动
2
重点,简谐振动 （理想化模型）
1.简谐振动 是某些实际振动的近似
2.简谐振动 可用来研究复杂振动一,简谐振动的概念和表示：
1,定义式 )c o s ( tAx
x 可作广义理解（位移、电流、场强、温度 … ）
这种用时间的正弦或余弦函数来描述的振动，
简谐振动 可用 SHM表示。
称为 简谐振动 （ Simple Harmonic Motion）。
3
2,无阻尼自由振动条件下 SHM的判据
① 受力特征 kxF
k — 劲度系数 （ stiffness） 或 刚度系数 (rigidity)
② 微分方程
0
d
d 2
2
2
x
t
x?
ω — 角频率 （ angular frequency）
F — 恢复力（ 弹性力或准弹性力）
（针对机械振动）：
又称 圆频率 （ circular frequency）
4
③ 能量特征
的零点）（平衡位置为势能总能量
Pp EkxE
E
2
2
1
.c o n s t
22
4
1
.c o n s t
AkAEE
E
kp
或以上 ①、②、③ 中 任一条成立 即可判定为 SHM。
5
3,SHM的特征量
① 角频率
m
k — 由系统本身决定（固有）
2?
频率 （ frequency）
周期 （ period）
21T
② 振幅 （ amplitude）
k
ExA 2
2
2
02
0
v
— 由初始条件和系统本身情况决定
6
③ 相（位） （ phase）
)(tg
0
01
x
v
（一般取主值）
— 由初始条件及系统本身情况决定
4,SHM的表示法
① 解析式
)c o s ( tAx
)
2
c o s (
d
d tA
t
x v
)c o s (
d
d 2
2
2
tA
t
xa
7
② 振动曲线 x
o ω t
> 0-?
=?/2
ω T=2π
A
-A
= 0
★ ③ 旋转矢量法?定?，研究振动合成很方便
x
v0< 0
v0> 0
0
x0
A/2
20 Ax?
00?v
3
如：
o
m
x0 = A
xA
(伸长量 )
x
参考圆
(circle of reference)
A
A? t+?
o x
t
t = 0
x = A cos(? t +? )
·
3
m
0< x0 < A
m
0
8
二,SHM的合成
1,同方向合成
①?1=?2 =?，
1
A2
A1
Aω
xxx1x2
2?
k212若
21 AAA
则
)12( k若
|| 21 AAA则
)2,1,0(k
合成仍是同频率的 SHM。
9
②,|| 2121
21
A1
A2 A
ω
ω 1ω2
x0
21 AA
,同向重合时，
A = Amax = A1+A2
反向重合时，
21 AA
,
|| 21m i n AAAA
|| 21 vvv 拍形成,拍” （ beat）
则若若
10
t
x1
2
t
x2
1
= 1 -?2?
t
x
11
=?
2,互相 ⊥ 时的合成
①,合成轨迹为 椭圆。21
12 不同，椭圆形状、旋向也不同。
设 x? 1，
y? 2
= 3?/2 = 5?/4 = 7?/4
=?/2 =?/4
P··Q
= 0
y
x
= 3?/4
（ -3?/4） （ -?/2） （ -?/4）
（书 P39
图 1.22）
12（以?为界，决定超前、落后）
Ⅰ,Ⅲ 象限 SHM
= 0
y
x
Ⅱ,Ⅳ 象限 SHM
=
= -?/4
y落后 x— 左旋
=?/4
P··Q
y超前 x— 右旋
13
② 正整数 nm
n
m,
2
1,?
合成轨迹为 稳定的闭合曲线 — 李萨如图
y
x
A1
A20-A2
- A1
达到最大的次数达到最大的次数
y
x
y
x
y
x
例如左图：
2
3
y
x
应用,测定未知频率
14
三,谐振分析：
利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干
SHM的叠加。
对周期性振动：
)]c o s ([
2
)(
1
0
kk
k
tkAatx
T
2=T — 周期，
k = 1 基频（?）
k = 2 二次谐频（ 2?）
k = 3 三次谐频（ 3?）
决定 音调决定 音色高次谐频
15
x1
t0
x3
t0
x5
t0
0 t
a0
T
x0 +x1+x3+x5
t0 T
x2n = 0,n = 1,2,3,…
Ak
0 2 3 4 5 61 (ω)
k
分立谱,例如对 方波：
思考,有时赞誉一歌唱家,,声音洪亮,音域宽广,
音色甜美,。 这各指什么物理因素?
t
a0 / 20
x0
16
▲ 关于阻尼振动要求搞清：
（阻力 fr = v）
m21,固有频率 mk?0?
2,三种阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼
x
t0
过阻尼：
0
临界阻尼,0
欠阻尼：
0
teAA
0
和 阻尼系数时间常数, 21?
Q 值, TQ 2
振幅：
17
▲ 关于受迫振动要求搞清：
1,受迫振动：
在驱动力 tH?c o s 的作用下系统的振动稳定时系统振动的频率 = 驱动力的频率?
2,共振：
在 弱阻尼 即?<<? 0的情况下，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振。
—— 受迫振动。
应用,声、光、电、原子内部、工程技术?
避免共振造成破坏当? =? 0时，
18
小号发出的声波足以使酒杯破碎
19
随后在大风中因产生共振而断塌我国四川綦江彩虹桥的断裂：
武警跑步（引起共振）质量太差，
1940年 华盛顿的塔科曼大桥 在大风中产生振动
20
我国古代对“共振”的认识：
蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，
公元五世纪,天中记,,
问张华。
张华曰：此盘与宫中钟 相谐,故声 相应，
可改变其薄厚。
21
[附 ]教材第 25页 上 受迫振动振幅、相位公式：
由方程：
thx
t
x
t
x c o s
d
d2
d
d 2
02
2
(1,47)
有特解：
)c o s ( tAx
(1.49)
推导的思路：
)50.1(4)( 21222220
h
A
)51.1(2tg 22
0
1
22
将 (1.49)式 改 为,tbtax s inc o s (*)
将（ *）代入微分方程（ 1.47），
02)( 220 ab
hba 2)( 220
由上二式解得 a,b后,再代入到（ **）式中，
前系数应相等，t?sin t?co s，
a
b
baA
Ab
Aa
tgs i n
c o s
22
，
,(**)得即得 A,?的公式 (1.50),(1.51)。 振动总结完因等式双方于是有：
第一章 振动 （ Vibration） 自学总结振动共振
(简谐振动）
受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由 谐振动
2
重点,简谐振动 （理想化模型）
1.简谐振动 是某些实际振动的近似
2.简谐振动 可用来研究复杂振动一,简谐振动的概念和表示：
1,定义式 )c o s ( tAx
x 可作广义理解（位移、电流、场强、温度 … ）
这种用时间的正弦或余弦函数来描述的振动，
简谐振动 可用 SHM表示。
称为 简谐振动 （ Simple Harmonic Motion）。
3
2,无阻尼自由振动条件下 SHM的判据
① 受力特征 kxF
k — 劲度系数 （ stiffness） 或 刚度系数 (rigidity)
② 微分方程
0
d
d 2
2
2
x
t
x?
ω — 角频率 （ angular frequency）
F — 恢复力（ 弹性力或准弹性力）
（针对机械振动）：
又称 圆频率 （ circular frequency）
4
③ 能量特征
的零点）（平衡位置为势能总能量
Pp EkxE
E
2
2
1
.c o n s t
22
4
1
.c o n s t
AkAEE
E
kp
或以上 ①、②、③ 中 任一条成立 即可判定为 SHM。
5
3,SHM的特征量
① 角频率
m
k — 由系统本身决定（固有）
2?
频率 （ frequency）
周期 （ period）
21T
② 振幅 （ amplitude）
k
ExA 2
2
2
02
0
v
— 由初始条件和系统本身情况决定
6
③ 相（位） （ phase）
)(tg
0
01
x
v
（一般取主值）
— 由初始条件及系统本身情况决定
4,SHM的表示法
① 解析式
)c o s ( tAx
)
2
c o s (
d
d tA
t
x v
)c o s (
d
d 2
2
2
tA
t
xa
7
② 振动曲线 x
o ω t
> 0-?
=?/2
ω T=2π
A
-A
= 0
★ ③ 旋转矢量法?定?，研究振动合成很方便
x
v0< 0
v0> 0
0
x0
A/2
20 Ax?
00?v
3
如：
o
m
x0 = A
xA
(伸长量 )
x
参考圆
(circle of reference)
A
A? t+?
o x
t
t = 0
x = A cos(? t +? )
·
3
m
0< x0 < A
m
0
8
二,SHM的合成
1,同方向合成
①?1=?2 =?，
1
A2
A1
Aω
xxx1x2
2?
k212若
21 AAA
则
)12( k若
|| 21 AAA则
)2,1,0(k
合成仍是同频率的 SHM。
9
②,|| 2121
21
A1
A2 A
ω
ω 1ω2
x0
21 AA
,同向重合时，
A = Amax = A1+A2
反向重合时，
21 AA
,
|| 21m i n AAAA
|| 21 vvv 拍形成,拍” （ beat）
则若若
10
t
x1
2
t
x2
1
= 1 -?2?
t
x
11
=?
2,互相 ⊥ 时的合成
①,合成轨迹为 椭圆。21
12 不同，椭圆形状、旋向也不同。
设 x? 1，
y? 2
= 3?/2 = 5?/4 = 7?/4
=?/2 =?/4
P··Q
= 0
y
x
= 3?/4
（ -3?/4） （ -?/2） （ -?/4）
（书 P39
图 1.22）
12（以?为界，决定超前、落后）
Ⅰ,Ⅲ 象限 SHM
= 0
y
x
Ⅱ,Ⅳ 象限 SHM
=
= -?/4
y落后 x— 左旋
=?/4
P··Q
y超前 x— 右旋
13
② 正整数 nm
n
m,
2
1,?
合成轨迹为 稳定的闭合曲线 — 李萨如图
y
x
A1
A20-A2
- A1
达到最大的次数达到最大的次数
y
x
y
x
y
x
例如左图：
2
3
y
x
应用,测定未知频率
14
三,谐振分析：
利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干
SHM的叠加。
对周期性振动：
)]c o s ([
2
)(
1
0
kk
k
tkAatx
T
2=T — 周期，
k = 1 基频（?）
k = 2 二次谐频（ 2?）
k = 3 三次谐频（ 3?）
决定 音调决定 音色高次谐频
15
x1
t0
x3
t0
x5
t0
0 t
a0
T
x0 +x1+x3+x5
t0 T
x2n = 0,n = 1,2,3,…
Ak
0 2 3 4 5 61 (ω)
k
分立谱,例如对 方波：
思考,有时赞誉一歌唱家,,声音洪亮,音域宽广,
音色甜美,。 这各指什么物理因素?
t
a0 / 20
x0
16
▲ 关于阻尼振动要求搞清：
（阻力 fr = v）
m21,固有频率 mk?0?
2,三种阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼
x
t0
过阻尼：
0
临界阻尼,0
欠阻尼：
0
teAA
0
和 阻尼系数时间常数, 21?
Q 值, TQ 2
振幅：
17
▲ 关于受迫振动要求搞清：
1,受迫振动：
在驱动力 tH?c o s 的作用下系统的振动稳定时系统振动的频率 = 驱动力的频率?
2,共振：
在 弱阻尼 即?<<? 0的情况下，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振。
—— 受迫振动。
应用,声、光、电、原子内部、工程技术?
避免共振造成破坏当? =? 0时，
18
小号发出的声波足以使酒杯破碎
19
随后在大风中因产生共振而断塌我国四川綦江彩虹桥的断裂：
武警跑步（引起共振）质量太差，
1940年 华盛顿的塔科曼大桥 在大风中产生振动
20
我国古代对“共振”的认识：
蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，
公元五世纪,天中记,,
问张华。
张华曰：此盘与宫中钟 相谐,故声 相应，
可改变其薄厚。
21
[附 ]教材第 25页 上 受迫振动振幅、相位公式：
由方程：
thx
t
x
t
x c o s
d
d2
d
d 2
02
2
(1,47)
有特解：
)c o s ( tAx
(1.49)
推导的思路：
)50.1(4)( 21222220
h
A
)51.1(2tg 22
0
1
22
将 (1.49)式 改 为,tbtax s inc o s (*)
将（ *）代入微分方程（ 1.47），
02)( 220 ab
hba 2)( 220
由上二式解得 a,b后,再代入到（ **）式中，
前系数应相等，t?sin t?co s，
a
b
baA
Ab
Aa
tgs i n
c o s
22
，
,(**)得即得 A,?的公式 (1.50),(1.51)。 振动总结完因等式双方于是有：
