1
第二章 波动 （ Wave）
§ 2.1 机械波的形成和特征
§ 2.2 行波，简谐波
△ § 2.4 波动方程
△ § 2.3 物体的弹性变形
§ 2.6 惠更斯原理
§ 2.5 波的能量
§ 2.7 波的叠加，驻波
△ § 2.8 声波,*地震波,*水波
§ 2.9 多普勒效应
*§ 2.10 复波，群速度
△ *§ 2.11 孤子
2
§ 2.1 机械波的形成和特征一,机械波的形成
····
t = T/4·····················
t = T/2········ ·················
···
··· · t = 3T/4
··
················
· ···· t = T·
·········
· ·········
t = 00 4 8 16 20···· ········12·············24
3
弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，
波动是振动 状态 的传播,不是 媒质 的传播。
形成机械波的条件
弹性媒质波源这就形成了波动 —机械波 （ mechanical wave） 。
“上游,的质元依次带动,下游,的质元振动 。某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于
“下游,某处出现。
因媒质各部分间的弹性联系,会使振动传播开去，
4
二,波的几何描述波线 （ wave line） ——
表示波的传播方向的射线 （波射线）
波面 （ wave surface） ——
相位相同的点组成的面 （同相面）
波阵面 （ wave front） ——
某时刻波到达的各点所构成的面 （波前）
球面波平面波波线波面
5
三,波的分类按波的性质机械波 （ mechanical wave ）
电磁波 （ electromagnetic wave ）
纵波 （ longitudinal wave ）
按波线与振动方向关系横波 （ transverse wave ）
演示 横波与纵波
6
水表面的波既非横波又非纵波。
波速
7
按波面形状平面波 （ plane wave ）
球面波 （ spherical wave ）
柱面波 （ cylindrical wave ）
按复杂程度 简谐波 （ simple harmonic wave ）
复波 （ compound wave ）
按持续时间 连续波 （ continued wave ）
脉冲波 （ pulsating wave ）
按波形是否传播行波 （ travelling wave ）
驻波 （ standing wave ）
8
1,波速 u,振动状态传播的速度它 由媒质的性质决定与波源情况无关。
2,周期 （ period） T：
一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。
它 由波源决定 （波源、观测者均不动时）
频率 （ frequency）
T
1
角频率 （ angular frequency） 2?
四,波的特征量
9
3,波长 （ wave length）?,
波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。
它 由波源和媒质共同决定。
uT
波长是波的,空间周期”。
x
u
10
§ 2.2 行波，简谐波设? 为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则
）（ uxtf
为沿 +x 向传播的行波,u 为波速。
某种物理量的扰动的传播称为行波。
)(
)(
u
x
tf
tux
u
xx
ttf
ξ
x xx +Δ x
t +Δ t 时刻
ξ
x x
f t 时刻
t
xu
理由：
一,行波 （ travelling wave ）
11
∴ 具有沿 +x向传播的性质。
)( uxtf
同理,具有沿 -x向传播的性质。
)( uxtf
），（ tx? 的函数形式称为 波函数，
）（）（ uxtftx,?
称为 行波 的 波函数。
即 ），（），（ txttxx
是波传播时媒质质元的运动函数。
它也就
12
二,简谐波 （ simple harmonic wave）
如果波传播的扰动是简谐振动的话，
波称为 简谐波 （余弦波，单色波）
这样的一维平面简谐波的波函数：
在 x = 0 处质元振动方程为,tAty?c o s),0(?
则应有：
）（ uxtAtxyc o s),(
（因无吸收，故振幅 A不变）
——波函数以机械波的横波为例,设平面波沿 x方向以速度 u 传播,媒质均匀、无限大，无吸收。
13
上面波函数式中的
）（ uxt
为波的 相位。
波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
——相速度（相速）
设 t 时刻 x处的相位经 dt 传到（ x +dx）处，
u xxttuxt dd ）（）（则应有
t
xu
d
d?于是得到即 简谐波的波速就是相速。
14
简谐波函数的另一种常用的表示：
）（ uxtAtxyc o s),(
Tu
2?T
∴
)2c o s (),( xtAtxy
0
t?
2?t
x
)( xt
2)( xx
沿波传播方向每增加? 的距离，相位落后 2?。
说明：
15
波函数的意义：
① x 一定,y? t 给出 x 点的振动方程。
y
T
t0
振动曲线 x 一定
x
y
0
波动曲线 t 一定
② t 一定,y? x 给出 t 时刻空间各点位移分布。
16
波函数的另几种几种常见表示式：
2)c o s ( kkxtAy,?
——波数
(wave number)
）（
x
T
tAy?2c o s?
）（ xtukAy? c o s?
）（ Re)( kxtiAey
）（ Re)( tikxi eAe
空间因子 振动因子
（复振幅）
17
例?
反射波在 S处相位改变?。
如图示,已知,波长为?，
，tAy?co s0?
求,反射波函数 ),( txy?
解,全反射,A不变。
]22c o s [),(?
xlltAtxy
]222c o s [
lxtA
“+”表示沿 -x 方向传播全反射壁(l- x)
l
x
y0 =Acosω t
入反 S
0
18
△ § 2.3 物体的弹性变形着重搞清 线变,切变 和 体变 的概念，
以及与三种变化相应的材料的弹性模量。
19
△ § 2.4 波动方程 （ wave equation）
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
一维波动方程：
（ u 是波速）
书 P63-66有其以棒中纵波为例的动力学推导。
将
)(c o s uxtAy
代入可以验证。
实际上，不光是简谐波函数是波动方程的解，
都是波动方程的解。 （可自己证明）
)( uxtfy任意一个以 ）（
u
xt? 为变量的波函数
20
气体中
,MRTu
液体中
,
Ku?
（体积模量）
VV
PK
波速 u 与媒质性质的关系：
—— 比热比
（公式不必记忆）
体变
p
p
p
p
V+? V
21
固体中
,
Gu
t
SFG?
,
Eu
l? ll
SFE
（切变模量）
（杨氏模量）
tl uu?
书表 2.2,（地震波传播,沙漠蝎子捕食）
弹性绳上的横波
l
Fu
l — 绳的线密度F — 绳的初始张力，
横波 F
切变
F
S
l? l
F F
线变纵波
22
§ 2.5 波的能量 （ energy of wave）
一,波的能量振动有能量，振动的传播将导致能量的传播。
这里要搞清：
① 媒质质元能量是如何变化的？
②能量传播的规律如何？
以弹性棒中的简谐横波为例来分析：
23
y
x0
y
x
y =Acos?( t- x /u)
0
u
x x+?x
yyy
d
0
xSG
x
F
F
y
S y?
y?
“质元” 形变势能 ΔWp,振动动能 ΔWk
yFW
y
p d
0
VG 22
1?
x
y
切变模量? SFG /GSF
24
uu
xtA
x
y
x
y 1)(s i n
d
d
)(s i n
2
1 222
u
xtAVW
p
2
d
d
)(
2
1
t
y
VW k?
)(s i n21 222 uxtAV pW
∴
V
x
yGW
p
2
2
1 V
x
yu?
22
2
1?
2uGGu
又
y =Acos?( t- x /u)
25
∴ 质元总能量
kp WWW kp WW 22
V
u
xtA )(s i n 222
振动系统：
.c o n s t pkpk EEEE,
系统与外界无能量交换。
波动质元：
.c o n s t pkpk WWWW,
每个质元都与周围媒质交换能量。
能量密度 （ energy density）：
)(s i n 222 uxtAVWw
22 A （特征）
26
22
0 2
1d1 At
T
T
ww
适用于各种弹性波
0
A
w
x
yw
u
2
22 A
0?y 处，,处，,m a xww? Ay? 0?w
能量“一堆堆”地传播。
27
二,能流密度 （ energy flux density）
→ 能流波的传播 → 能量传播能流密度 S ——单位时间内通过垂直于波线方向单位面积波的能量。
波的强度 I S?
u
单位面积
x
u
w
由图示有
uAuI 22
2
1 w
22
2
1 Az
uz ——媒质的
“特性阻抗”
28
利用 和能量守恒，可以证明，
22
2
1 AzI
对无吸收媒质：
平面波,c o n s t?A
球面波
r
AAr 1.c o n s t,
柱面波
r
ArA 1.c o n s t,
r —— 场点到波源的距离
29
*三,波的吸收 （ absorption of wave）
波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。
机械能 → 热运动能（不可逆）；
造成吸收的因素：
疏部、密部有温差，发生热交换，
非弹性碰撞使分子规则振动能机械能 → 热运动能 （不可逆）；
→ 分子内部无规则的转、振能
（不可逆）。
① 内摩擦：
② 热传导：
③ 分子碰撞：
30
定义 吸收系数
xA
A
d
d
对平面波：
x+dxx0
A0 A A+dA x
xAA dd
xeAA
0
设 = 则? const.
xeII?2
0
2AI?∵
x
A
A xA
A
dd
00
31
空气：,2
1211 m102 气钢：, 17 m104
钢
▲ 空气中低频波可传得很远
▲ 很大时（超声）?
钢气
超声波探伤：
探测器钢件超声波
zH105 6若
250m106.4 m15.1 3
100mm6.4
0
0
III? 空气
1 0 0m15.1
0
0
III? 钢
32
§ 2.6 惠更斯原理 （ Huygens principle）
前面讨论了波动的基本概念，
其 传播方向、
惠更斯原理给出的方法 （惠更斯作图法）
现在讨论 与波的传播特性有关的现象、原理和规律。
是一种处理 波传播方向 的普遍方法。
频率 和 振幅 都有可能改变。
由于某些原因,波在传播过程中
33
发射子波 （次级波）的 波源 （点源），
就是波在该时刻的 新的 波面。
的任一时刻，
一,惠更斯原理（ 1690）
1,原理的叙述媒质中任意波面上的各点,都可看作是其后这些 子波面的包络面（包迹）
2,原理的应用已知 t 时刻的波面?t+?t 时刻的波面，
从而可进一步给出波的传播方向。
34
t+?t时刻波面
··
··
·
u?t
波传播方向
t 时刻波面平面波
··
··
·· ···
·
··
···
t +?t
球面波例如，均匀各向同性媒质内波的传播：
u
t
35
二,波的衍射 （ wave diffraction）
衍射,波传播过程中，当遇到障碍物时，
能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。
·
入射波衍射波障碍物
·
··
入射波衍射波障碍物
a
相对障碍物（包括孔、缝）的线度而言，
波长大衍射现象明显,波长小衍射现象不明显。
例如：
36水波通过窄缝时的衍射
37
广播和电视哪个更容易收到?
更容易听到男的还是女的说话的声音？
障碍物
38
三,波的反射和折射 （ reflection & refraction）
△ 1.波的反射 （书 P 74）
浴室中的声反射
39
2.波的折射,用惠更斯作图法导出折射定律
u2?t
媒质 1,
折射率 n1
媒质 2,
折射率 n2
i
法线
B
入射波
A· ·
E ·C
u1
u1?t
·· FD
u2
折射波传播方向
r
iACtuBC s i n1
rACtuAD s i n2
2
1
s i n
s i n
u
u
r
i?
1
2
21 n
nn?
rnin s i ns i n 21? ——折射定律
.c o n s t
1
2
n
n
2
2
1
1 n
cu
n
cu,光波
21s i n
s i n n
r
i?或 ——相对折射率得到
40
光密媒质?光疏媒质时，折射角 r >入射角 i 。
全反射的一个重要应用是 光导纤维 （光纤），
i
r
n1(大 )
n2(小 )
i = ic
r = 90?
n1(大 )
n2(小 )
1
2s i n
n
ni
c?
当入射 i >临界角 ic 时，将无折射光 — 全反射。
ic — 临界角它是现代光通信技术的重要器件。
41光 导 纤 维
42
光缆电缆图中的细光缆和粗电缆的通信容量相同我国电信的主干线可达 300公里。
也只有几十公里。
而且损耗小。
光纤通信容量大，
在不加中继站的情况下,光缆传输距离而同轴电缆只几公里,微波全部敷设的光缆。
43
近 10年发展起来的 导管 X 光学 也应用了 全反射现象。 对 X 光来说，玻璃对真空的折射率 <1：
故 X 光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。
X 光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃就可以沿着弯曲的导管传播。管内，
n玻璃
1
0 0
可见光 X 射线反常色散区（吸收带）色散曲线 r?
44
应用毛细的 X 管束可制成 X 光透镜。
聚焦提高光束功率密度 将发散光变为平行光
X 光透镜已用于：
▲ X 光荧光分析
▲ 深亚微米 X 射线光刻
▲ X光天文望远镜
▲ X 光衍射分析
▲ 医疗诊断
45
§ 2.7 波的叠加，驻波一,波的叠加原理 (superposition principle of waves)
波传播的独立性：
两不同形状的正脉冲大小形状一样的正负脉冲
46
（仍可辨出不同乐器的音色、旋律）
▲ 红,绿 光束空间 交叉相遇
（ 红 仍是 红,绿 仍是 绿 ）
（仍能分别接收不同的电台广播）
▲ 听乐队演奏
▲ 空中 无线电波 很多波的叠加原理：
在它们相遇处，质元的位移为各波单独在该处几列波可以保持各自的特点
(方向、振幅、波长、频率 )同时通过同一媒质，
产生位移的合成。 （亦称波传播的独立性）
47
叠加原理由波动方程的线性所决定，
★ 对于电磁波的情形：
其解同样满足叠加原理。
*麦克斯韦方程组的各个方程都是线性的，
如果 D=? E 和 B=? H 也是线性关系，
则 E或 H的每个分量的波动方程也是线性方程。
过大时,媒质形变与弹力的关系不再呈线性，
叠加原理也就不再成立了。
当波强度
48
*光波在媒质中传播时：
▲ 弱光情形，媒质可看作线性媒质。
弱光,光波电场强度的幅值 <<原子内部电媒质非线性，
子受到的电场强度（～ 1010V/m） 。
波的叠加原理不成立。
非线性光学现象：
混频效应光致透明和光学双稳态倍频效应
▲ 强光情形 （激光 E 的幅值可超过 10 9 V/m），
普通光源的光属弱光 (E的幅值～ 103V/m)。
49
二,波的干涉现象波叠加时在空间出现 稳定的振动加强和减弱 的分布叫 波的干涉。
水波盘中水波的干涉
50
相干条件,① 频率相同；
② 振动方向相同；
③ 有固定的相位差。
两列波干涉的一般规律留待在后面光的干涉中再去分析。
下面研究一种特殊的、常见的干涉现象
—— 驻波
51
三,驻波 （ standing wave）
就形成 驻波，
设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，
能够传播的波叫行波 （ travelling wave）。
)2c o s (1 xtAy,x?
:x?
)2c o s (2 xtAy
1,驻波的描述两列 相干的行波 沿相反方向传播而叠加时，
它是一种常见的重要干涉现象。
在 x = 0 处两波的初相均为 0：
52
yA合
A2
A1?
2
x?
2x
21 yyy
AAA 21令
2c o s2 xAA?合如图
txAy
c o s2c o s2
∴
相位中无 x其绝对值为振幅
——不具备传播的特征驻波演示
53
2A
t = 0
y
0 x
0t = T/8 x
x
0t = T/2
0 xt = T/4
波节波腹
λ/4-λ/4
x0
2A
-2A
振动范围
λ /2
xt = 3T/8
0
54
各处不等大，出现了 波腹 （振幅最大处）
和 波节 （振幅最小处）。
测波节间距可得行波波长。相邻波节间距?/2，
相位中没有 x 坐标，
2c o s2 xAA?
在波节两侧变号
x =λ / 2
波腹
x = 0
波腹
x = 3λ /4,波节
x =λ /4,波节
(-)
(-) (+)
(+)
x2
① 振幅：
② 相位,故 没有了相位的传播。
驻波是 分段的振动。 两相邻波节间为一段，
2,驻波的特点：
同一段振动相位相同； 相邻段振动相位相反：
55
合能流密度为,ww 0)( uu
但各质元间仍有能量的交换。
③ 能量：
平均说来没有能量的传播，
能量由两端向中间传，
瞬时位移为 0，
能量由中间向两端传，
势能 → 动能。
动能最大。
势能为 0，
动能 → 势能。
56
3,的情形：21 AA?
)2c o s (c o s2c o s2 1 xtAtxAy
设,
112 )( AAAA
则有典型的驻波 行波此时总的仍可叫“驻波”，不过波节处有振动。二,波在界面的反射和透射，“半波损失”
)2c o s ( 1
1
11
xtAy
) 2c o s ( 2
2
22
xtAy
0
透射波 y2
反射波 y1?
入射波 y1
z2z1 x
uz — 特性阻抗
) 2c o s ( 1
1
11
xtAy
57
机械波 ⊥ 入射时，利用 界面关系：
z大 ——波密媒质
z小 ——波疏媒质 相对而言
② 界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
① 界面两侧质元位移相同（接触）
[ y1+ y1?]x =0 = [ y2]x =0
0
2
0
11
xx S
F
S
F
S
F
0
2
2
0
11
1
xx x
yE
x
y
x
yE （纵波）
58
透射波：
(2) 若 z1 < z2,则? 1? =? 1
(1)若 z1> z2,则? 1? =? 1反射波：
1,相位关系反射波和入射波同相即 波密?波疏，
反射波有相位突变?即 波 疏?波 密,
——半波损失均有?2 =? 1不论 z1 > z2，还是 z1 < z2，
即 透射波总是与入射波同相将 y 的表达式代入界面关系,考虑 E=?u2 可得：
59
波腹相位不变波疏媒质波密媒质
x
驻波若忽略透射波,则入射和反射波的波形如下：
波节驻波 相位突变 π
波疏媒质 波密媒质
x
2
60
）（利用 2222 2121 AzAuI
,1
21
21
1 Azz
zz
A
,1
21
1
2
2 A
zz
zA
2
21
212
1
1
1
1 )(
zz
zz
A
A
I
I
R
反射比
2
21
21
2
11
2
22
1
2
)(
4
zz
zz
Az
Az
I
IT
透射比
R + T = 1
(能量守恒 )
2,振幅关系：
▲ z1,z2 互换,R,T 不变 。
R? 1,T? 0,全反射。▲ z1 >> z2 或 z1 << z2时，
▲ z1? z2时,R? 0（ 无反射 ）,T? 1,全透射。
61
空气 (标准状况 ) 420 空气 → 水 0.1%
水 空气 → 钢 0.004%
钢 (按纵波算 ) 水 → 钢 12%
6105.1?
7106.4?
s)( k g / m 2?z
T
以保证声阻抗的,匹配” 。
∴ 要使声波进入钢，不能有气隙。
涂一层油 (保持“声接触”的过渡层 )，以增加透射率。
实际的波发射和接收装置都需要设置过渡层，
通常在钢表面
62
三,简正模式 （ normal mode）
波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。
如两端固定的弦，
L
,3,2,1
2
nLn n?
n
L
n
2或
L
u
n
u
n
n 2
l
F
u
——系统的 固有频率
F ——弦中的张力
l ——弦的线密度波速形成驻波必须满足以下条件：
63
基频
2
1?
n =1
二次谐频
n =2
22?
三次谐频
n =3
23?
每种可能的 稳定振动方式 称作系统的一个 简正模式。
64
n=1,3… L
L= n
4
n?
n=1,3…2
n?
L= n
L
三次谐频
n = 3
2
3 3?
3?
n = 3
三次谐频
23?
3?
n = 1
基频
4
1?
1? 1
2
1?
基频
n = 1
边界情况不同，简正模式也不同：
65末端封闭的笛中的驻波末端开放的笛中的驻波
66
△ § 2.8 声波,*地震波,*水波对 声波 （ sound wave） 要求搞清如下概念：
声压静波 ppp
（可正、可负）
(sound pressure)
声压振幅：
uAp m?
声强 (intensity of sound)
22
2
1 AuI
标准声强：
2120 W / m10I
（在 1000Hz下，这个声强人能够勉强听到）
标准声强振幅 ～10 -10 m~几百 Hz时，?
67
声强级
( B e l )l o g
0I
IL? ( d B )l o g10
0I
I?
(sound intensity level)
正常说话 ~60dB,噪声 >70dB,炮声 ~120dB。
每条曲线描绘的是相同响度下不同频率的声强级声响曲线听觉界限频率 Hz
dB
声强级
68
dB
Hz
声 阈频率语音范围疼痛界限音乐范围听觉界限声强级声音范围
69
超声波胎儿的超声波影象
（假彩色）
> 20000Hz的声波了解其应用
70
而使观测的频率不同于波源频率的现象。
§ 2.9 多普勒效应 （ Doppler effect）
多普勒效应：
一,机械波的多普勒效应设 运动在波源 S 和观测者 R的连线方向上，
以二者相向运动的方向为速度的正方向。
uvS > 0 vR > 0
S R(波的频率 )?
（对媒质） （对媒质）
由于波源和观察者的运动，
S?
（波源频率） R? （观测频率）
71
此时，
S
u
S ·
vS = 0
· R
vR?
·
S
RR
u
uu
R
vv
)(
S
uu
vR > 0(R接近 S)，
SR
vR < 0(R远离 S)，
SR
(1) vS = 0,vR ≠ 0，
72
此时,
R
vS
S·· ·
R
测 =?
vSTS
·
0
S
vS
uTS
· R
u
S 运动的前方波长缩短
uR
SS Tu
u
)( v?
S
Su
u
v?
(2) vR = 0,vS ≠ 0，
73
水波的多普勒效应（波源向左运动）
74
此时，
RS
S
S
R
u
u
u
u
v
v
u
u R
R
v
S
S
R
u
u
v
v
SR
注意：
1,S 动 R不 动
R 动 S不 动
0
波对 R速度不是 u
0 SR
SR
本质不同
2,vR,vS 是对媒质而言，且以相向为正。
(3) vR ≠ 0,vS ≠ 0，
当 vR = -vS 时 （无相对运动），
75
电磁波不同于机械波，不需要媒质。
二,电磁波的多普勒效应
v (对 R)
S c R
S? R?
SR c
c
c o s
22
v
v
当 时，仍有
2
SR
— 横向多普勒效应由相对论可导出：
76
三,激波
uΔ t
·S v
S
· · · ·
vSΔ t
uS?v 0?R?
时，
（冲击波） (shock wave)
—后发出的波面将超越先发出的波面，
形成 锥形波阵面 ——?
S
u
v
s i n
冲击波带
u
Sv
—马赫数 (Mach number)
对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。
马赫锥
77
超音速的子弹在空气中形成的激波
（马赫数为 2 ）
78
作起始脉冲和截止脉冲。
高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时,将发生锥形的电磁波 —切连柯夫辐射。
可用来探测高能带电粒子。脉冲重叠,也可用来四,多普勒效应的应用：
▲ 测速（固、液、气）
▲ 多普勒红移（“大爆炸”宇宙论）
▲ 卫星跟踪（书 P95-96）
不易引起电磁激波 —切连柯夫辐射 (Cherenkov radiation)：
它发光持续时间短 （数量级 10 -10s），
79警察用多普勒测速仪测速超声多普勒效应测血流速
80
*§ 2.11 复波，群速度复波 是 非简谐波，
一,复波它是若干不同频率的简谐波叠加而成的合成波。
的波形图，
y
x
上面是两个频率相近的简谐波合成的复波它表示了振动合成中的拍现象。
81
在有些介质中不同频率简谐波的波速也不同，
二,色散 （ dispersion ）
这种现象称为,色散”（ 或,频散”）。
能产生色散现象的介质称为,色散介质”。
不产生色散现象的介质称为,无色散介质”。
在无色散介质中不同频率的简谐波的波速相同，
合成的复波也以同样速度传播,且波形保持不变。
在色散介质中不同频率的简谐波合成的复波情况比较复杂。
82
三,群速 （ group velocity）
对简谐波来说,u 既是波形整体传播的速度，
又是相位传播的速度。
传播的速度也不同。
向传播的两列简谐波的合成为例，进行讨论。
对色散介质中的复波来说,不仅不同频率简谐波的相速不同,而且它们与合成波波形整体下面我们以两个频率相近,沿同设 简谐波 1,?,u,?,k
简谐波 2,k + d k? + d?,u + du，? + d?,
振幅相等、
83
d?
x
1 u2 u + du
AB
设经过时间?，合成波位移最大点由 A移到 B，
则站在第 1个波上看,最大位移在?内后移了?。
∴ 从介质参考系看,最大位移传播的速度为：
, uu g udd 又
∴
d
d uuu
g ku g d
d或
kku 2,
84
这个速度称为复波的,群速度”。
y
x
ug
由于振幅的变化，合成波为一群群振动的传播，
这样的一群振动叫一个,波群” 或,波包”。
ug 既是合成波位移最大值传播的速度，
“波包”传播的速度,也是 信号和能量传播的速度。
又是
85
由于两个成分波的频率十分接近，
d
d uuu
g
群速和相速的关系式对无色散介质，
kuu g
0ddu
d
du 越大，色散越严重,ug 和 u 相差越大。
为是 成分波的相速度 u 。
因此 合成波的相速度 就可认速度也十分接近，
就是只有在
0ddu
或
d
du 较小的情况下，波包才是稳定的。 色散较大时，波包会扩散?消失。
它们的相此时群速将失去意义。
86
△ *§ 2.11 孤子 （ soliton）
（自学书 P102—104第 2.13节）
第二章结束
第二章 波动 （ Wave）
§ 2.1 机械波的形成和特征
§ 2.2 行波，简谐波
△ § 2.4 波动方程
△ § 2.3 物体的弹性变形
§ 2.6 惠更斯原理
§ 2.5 波的能量
§ 2.7 波的叠加，驻波
△ § 2.8 声波,*地震波,*水波
§ 2.9 多普勒效应
*§ 2.10 复波，群速度
△ *§ 2.11 孤子
2
§ 2.1 机械波的形成和特征一,机械波的形成
····
t = T/4·····················
t = T/2········ ·················
···
··· · t = 3T/4
··
················
· ···· t = T·
·········
· ·········
t = 00 4 8 16 20···· ········12·············24
3
弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，
波动是振动 状态 的传播,不是 媒质 的传播。
形成机械波的条件
弹性媒质波源这就形成了波动 —机械波 （ mechanical wave） 。
“上游,的质元依次带动,下游,的质元振动 。某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于
“下游,某处出现。
因媒质各部分间的弹性联系,会使振动传播开去，
4
二,波的几何描述波线 （ wave line） ——
表示波的传播方向的射线 （波射线）
波面 （ wave surface） ——
相位相同的点组成的面 （同相面）
波阵面 （ wave front） ——
某时刻波到达的各点所构成的面 （波前）
球面波平面波波线波面
5
三,波的分类按波的性质机械波 （ mechanical wave ）
电磁波 （ electromagnetic wave ）
纵波 （ longitudinal wave ）
按波线与振动方向关系横波 （ transverse wave ）
演示 横波与纵波
6
水表面的波既非横波又非纵波。
波速
7
按波面形状平面波 （ plane wave ）
球面波 （ spherical wave ）
柱面波 （ cylindrical wave ）
按复杂程度 简谐波 （ simple harmonic wave ）
复波 （ compound wave ）
按持续时间 连续波 （ continued wave ）
脉冲波 （ pulsating wave ）
按波形是否传播行波 （ travelling wave ）
驻波 （ standing wave ）
8
1,波速 u,振动状态传播的速度它 由媒质的性质决定与波源情况无关。
2,周期 （ period） T：
一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。
它 由波源决定 （波源、观测者均不动时）
频率 （ frequency）
T
1
角频率 （ angular frequency） 2?
四,波的特征量
9
3,波长 （ wave length）?,
波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。
它 由波源和媒质共同决定。
uT
波长是波的,空间周期”。
x
u
10
§ 2.2 行波，简谐波设? 为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则
）（ uxtf
为沿 +x 向传播的行波,u 为波速。
某种物理量的扰动的传播称为行波。
)(
)(
u
x
tf
tux
u
xx
ttf
ξ
x xx +Δ x
t +Δ t 时刻
ξ
x x
f t 时刻
t
xu
理由：
一,行波 （ travelling wave ）
11
∴ 具有沿 +x向传播的性质。
)( uxtf
同理,具有沿 -x向传播的性质。
)( uxtf
），（ tx? 的函数形式称为 波函数，
）（）（ uxtftx,?
称为 行波 的 波函数。
即 ），（），（ txttxx
是波传播时媒质质元的运动函数。
它也就
12
二,简谐波 （ simple harmonic wave）
如果波传播的扰动是简谐振动的话，
波称为 简谐波 （余弦波，单色波）
这样的一维平面简谐波的波函数：
在 x = 0 处质元振动方程为,tAty?c o s),0(?
则应有：
）（ uxtAtxyc o s),(
（因无吸收，故振幅 A不变）
——波函数以机械波的横波为例,设平面波沿 x方向以速度 u 传播,媒质均匀、无限大，无吸收。
13
上面波函数式中的
）（ uxt
为波的 相位。
波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
——相速度（相速）
设 t 时刻 x处的相位经 dt 传到（ x +dx）处，
u xxttuxt dd ）（）（则应有
t
xu
d
d?于是得到即 简谐波的波速就是相速。
14
简谐波函数的另一种常用的表示：
）（ uxtAtxyc o s),(
Tu
2?T
∴
)2c o s (),( xtAtxy
0
t?
2?t
x
)( xt
2)( xx
沿波传播方向每增加? 的距离，相位落后 2?。
说明：
15
波函数的意义：
① x 一定,y? t 给出 x 点的振动方程。
y
T
t0
振动曲线 x 一定
x
y
0
波动曲线 t 一定
② t 一定,y? x 给出 t 时刻空间各点位移分布。
16
波函数的另几种几种常见表示式：
2)c o s ( kkxtAy,?
——波数
(wave number)
）（
x
T
tAy?2c o s?
）（ xtukAy? c o s?
）（ Re)( kxtiAey
）（ Re)( tikxi eAe
空间因子 振动因子
（复振幅）
17
例?
反射波在 S处相位改变?。
如图示,已知,波长为?，
，tAy?co s0?
求,反射波函数 ),( txy?
解,全反射,A不变。
]22c o s [),(?
xlltAtxy
]222c o s [
lxtA
“+”表示沿 -x 方向传播全反射壁(l- x)
l
x
y0 =Acosω t
入反 S
0
18
△ § 2.3 物体的弹性变形着重搞清 线变,切变 和 体变 的概念，
以及与三种变化相应的材料的弹性模量。
19
△ § 2.4 波动方程 （ wave equation）
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
一维波动方程：
（ u 是波速）
书 P63-66有其以棒中纵波为例的动力学推导。
将
)(c o s uxtAy
代入可以验证。
实际上，不光是简谐波函数是波动方程的解，
都是波动方程的解。 （可自己证明）
)( uxtfy任意一个以 ）（
u
xt? 为变量的波函数
20
气体中
,MRTu
液体中
,
Ku?
（体积模量）
VV
PK
波速 u 与媒质性质的关系：
—— 比热比
（公式不必记忆）
体变
p
p
p
p
V+? V
21
固体中
,
Gu
t
SFG?
,
Eu
l? ll
SFE
（切变模量）
（杨氏模量）
tl uu?
书表 2.2,（地震波传播,沙漠蝎子捕食）
弹性绳上的横波
l
Fu
l — 绳的线密度F — 绳的初始张力，
横波 F
切变
F
S
l? l
F F
线变纵波
22
§ 2.5 波的能量 （ energy of wave）
一,波的能量振动有能量，振动的传播将导致能量的传播。
这里要搞清：
① 媒质质元能量是如何变化的？
②能量传播的规律如何？
以弹性棒中的简谐横波为例来分析：
23
y
x0
y
x
y =Acos?( t- x /u)
0
u
x x+?x
yyy
d
0
xSG
x
F
F
y
S y?
y?
“质元” 形变势能 ΔWp,振动动能 ΔWk
yFW
y
p d
0
VG 22
1?
x
y
切变模量? SFG /GSF
24
uu
xtA
x
y
x
y 1)(s i n
d
d
)(s i n
2
1 222
u
xtAVW
p
2
d
d
)(
2
1
t
y
VW k?
)(s i n21 222 uxtAV pW
∴
V
x
yGW
p
2
2
1 V
x
yu?
22
2
1?
2uGGu
又
y =Acos?( t- x /u)
25
∴ 质元总能量
kp WWW kp WW 22
V
u
xtA )(s i n 222
振动系统：
.c o n s t pkpk EEEE,
系统与外界无能量交换。
波动质元：
.c o n s t pkpk WWWW,
每个质元都与周围媒质交换能量。
能量密度 （ energy density）：
)(s i n 222 uxtAVWw
22 A （特征）
26
22
0 2
1d1 At
T
T
ww
适用于各种弹性波
0
A
w
x
yw
u
2
22 A
0?y 处，,处，,m a xww? Ay? 0?w
能量“一堆堆”地传播。
27
二,能流密度 （ energy flux density）
→ 能流波的传播 → 能量传播能流密度 S ——单位时间内通过垂直于波线方向单位面积波的能量。
波的强度 I S?
u
单位面积
x
u
w
由图示有
uAuI 22
2
1 w
22
2
1 Az
uz ——媒质的
“特性阻抗”
28
利用 和能量守恒，可以证明，
22
2
1 AzI
对无吸收媒质：
平面波,c o n s t?A
球面波
r
AAr 1.c o n s t,
柱面波
r
ArA 1.c o n s t,
r —— 场点到波源的距离
29
*三,波的吸收 （ absorption of wave）
波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。
机械能 → 热运动能（不可逆）；
造成吸收的因素：
疏部、密部有温差，发生热交换，
非弹性碰撞使分子规则振动能机械能 → 热运动能 （不可逆）；
→ 分子内部无规则的转、振能
（不可逆）。
① 内摩擦：
② 热传导：
③ 分子碰撞：
30
定义 吸收系数
xA
A
d
d
对平面波：
x+dxx0
A0 A A+dA x
xAA dd
xeAA
0
设 = 则? const.
xeII?2
0
2AI?∵
x
A
A xA
A
dd
00
31
空气：,2
1211 m102 气钢：, 17 m104
钢
▲ 空气中低频波可传得很远
▲ 很大时（超声）?
钢气
超声波探伤：
探测器钢件超声波
zH105 6若
250m106.4 m15.1 3
100mm6.4
0
0
III? 空气
1 0 0m15.1
0
0
III? 钢
32
§ 2.6 惠更斯原理 （ Huygens principle）
前面讨论了波动的基本概念，
其 传播方向、
惠更斯原理给出的方法 （惠更斯作图法）
现在讨论 与波的传播特性有关的现象、原理和规律。
是一种处理 波传播方向 的普遍方法。
频率 和 振幅 都有可能改变。
由于某些原因,波在传播过程中
33
发射子波 （次级波）的 波源 （点源），
就是波在该时刻的 新的 波面。
的任一时刻，
一,惠更斯原理（ 1690）
1,原理的叙述媒质中任意波面上的各点,都可看作是其后这些 子波面的包络面（包迹）
2,原理的应用已知 t 时刻的波面?t+?t 时刻的波面，
从而可进一步给出波的传播方向。
34
t+?t时刻波面
··
··
·
u?t
波传播方向
t 时刻波面平面波
··
··
·· ···
·
··
···
t +?t
球面波例如，均匀各向同性媒质内波的传播：
u
t
35
二,波的衍射 （ wave diffraction）
衍射,波传播过程中，当遇到障碍物时，
能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。
·
入射波衍射波障碍物
·
··
入射波衍射波障碍物
a
相对障碍物（包括孔、缝）的线度而言，
波长大衍射现象明显,波长小衍射现象不明显。
例如：
36水波通过窄缝时的衍射
37
广播和电视哪个更容易收到?
更容易听到男的还是女的说话的声音？
障碍物
38
三,波的反射和折射 （ reflection & refraction）
△ 1.波的反射 （书 P 74）
浴室中的声反射
39
2.波的折射,用惠更斯作图法导出折射定律
u2?t
媒质 1,
折射率 n1
媒质 2,
折射率 n2
i
法线
B
入射波
A· ·
E ·C
u1
u1?t
·· FD
u2
折射波传播方向
r
iACtuBC s i n1
rACtuAD s i n2
2
1
s i n
s i n
u
u
r
i?
1
2
21 n
nn?
rnin s i ns i n 21? ——折射定律
.c o n s t
1
2
n
n
2
2
1
1 n
cu
n
cu,光波
21s i n
s i n n
r
i?或 ——相对折射率得到
40
光密媒质?光疏媒质时，折射角 r >入射角 i 。
全反射的一个重要应用是 光导纤维 （光纤），
i
r
n1(大 )
n2(小 )
i = ic
r = 90?
n1(大 )
n2(小 )
1
2s i n
n
ni
c?
当入射 i >临界角 ic 时，将无折射光 — 全反射。
ic — 临界角它是现代光通信技术的重要器件。
41光 导 纤 维
42
光缆电缆图中的细光缆和粗电缆的通信容量相同我国电信的主干线可达 300公里。
也只有几十公里。
而且损耗小。
光纤通信容量大，
在不加中继站的情况下,光缆传输距离而同轴电缆只几公里,微波全部敷设的光缆。
43
近 10年发展起来的 导管 X 光学 也应用了 全反射现象。 对 X 光来说，玻璃对真空的折射率 <1：
故 X 光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。
X 光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃就可以沿着弯曲的导管传播。管内，
n玻璃
1
0 0
可见光 X 射线反常色散区（吸收带）色散曲线 r?
44
应用毛细的 X 管束可制成 X 光透镜。
聚焦提高光束功率密度 将发散光变为平行光
X 光透镜已用于：
▲ X 光荧光分析
▲ 深亚微米 X 射线光刻
▲ X光天文望远镜
▲ X 光衍射分析
▲ 医疗诊断
45
§ 2.7 波的叠加，驻波一,波的叠加原理 (superposition principle of waves)
波传播的独立性：
两不同形状的正脉冲大小形状一样的正负脉冲
46
（仍可辨出不同乐器的音色、旋律）
▲ 红,绿 光束空间 交叉相遇
（ 红 仍是 红,绿 仍是 绿 ）
（仍能分别接收不同的电台广播）
▲ 听乐队演奏
▲ 空中 无线电波 很多波的叠加原理：
在它们相遇处，质元的位移为各波单独在该处几列波可以保持各自的特点
(方向、振幅、波长、频率 )同时通过同一媒质，
产生位移的合成。 （亦称波传播的独立性）
47
叠加原理由波动方程的线性所决定，
★ 对于电磁波的情形：
其解同样满足叠加原理。
*麦克斯韦方程组的各个方程都是线性的，
如果 D=? E 和 B=? H 也是线性关系，
则 E或 H的每个分量的波动方程也是线性方程。
过大时,媒质形变与弹力的关系不再呈线性，
叠加原理也就不再成立了。
当波强度
48
*光波在媒质中传播时：
▲ 弱光情形，媒质可看作线性媒质。
弱光,光波电场强度的幅值 <<原子内部电媒质非线性，
子受到的电场强度（～ 1010V/m） 。
波的叠加原理不成立。
非线性光学现象：
混频效应光致透明和光学双稳态倍频效应
▲ 强光情形 （激光 E 的幅值可超过 10 9 V/m），
普通光源的光属弱光 (E的幅值～ 103V/m)。
49
二,波的干涉现象波叠加时在空间出现 稳定的振动加强和减弱 的分布叫 波的干涉。
水波盘中水波的干涉
50
相干条件,① 频率相同；
② 振动方向相同；
③ 有固定的相位差。
两列波干涉的一般规律留待在后面光的干涉中再去分析。
下面研究一种特殊的、常见的干涉现象
—— 驻波
51
三,驻波 （ standing wave）
就形成 驻波，
设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，
能够传播的波叫行波 （ travelling wave）。
)2c o s (1 xtAy,x?
:x?
)2c o s (2 xtAy
1,驻波的描述两列 相干的行波 沿相反方向传播而叠加时，
它是一种常见的重要干涉现象。
在 x = 0 处两波的初相均为 0：
52
yA合
A2
A1?
2
x?
2x
21 yyy
AAA 21令
2c o s2 xAA?合如图
txAy
c o s2c o s2
∴
相位中无 x其绝对值为振幅
——不具备传播的特征驻波演示
53
2A
t = 0
y
0 x
0t = T/8 x
x
0t = T/2
0 xt = T/4
波节波腹
λ/4-λ/4
x0
2A
-2A
振动范围
λ /2
xt = 3T/8
0
54
各处不等大，出现了 波腹 （振幅最大处）
和 波节 （振幅最小处）。
测波节间距可得行波波长。相邻波节间距?/2，
相位中没有 x 坐标，
2c o s2 xAA?
在波节两侧变号
x =λ / 2
波腹
x = 0
波腹
x = 3λ /4,波节
x =λ /4,波节
(-)
(-) (+)
(+)
x2
① 振幅：
② 相位,故 没有了相位的传播。
驻波是 分段的振动。 两相邻波节间为一段，
2,驻波的特点：
同一段振动相位相同； 相邻段振动相位相反：
55
合能流密度为,ww 0)( uu
但各质元间仍有能量的交换。
③ 能量：
平均说来没有能量的传播，
能量由两端向中间传，
瞬时位移为 0，
能量由中间向两端传，
势能 → 动能。
动能最大。
势能为 0，
动能 → 势能。
56
3,的情形：21 AA?
)2c o s (c o s2c o s2 1 xtAtxAy
设,
112 )( AAAA
则有典型的驻波 行波此时总的仍可叫“驻波”，不过波节处有振动。二,波在界面的反射和透射，“半波损失”
)2c o s ( 1
1
11
xtAy
) 2c o s ( 2
2
22
xtAy
0
透射波 y2
反射波 y1?
入射波 y1
z2z1 x
uz — 特性阻抗
) 2c o s ( 1
1
11
xtAy
57
机械波 ⊥ 入射时，利用 界面关系：
z大 ——波密媒质
z小 ——波疏媒质 相对而言
② 界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
① 界面两侧质元位移相同（接触）
[ y1+ y1?]x =0 = [ y2]x =0
0
2
0
11
xx S
F
S
F
S
F
0
2
2
0
11
1
xx x
yE
x
y
x
yE （纵波）
58
透射波：
(2) 若 z1 < z2,则? 1? =? 1
(1)若 z1> z2,则? 1? =? 1反射波：
1,相位关系反射波和入射波同相即 波密?波疏，
反射波有相位突变?即 波 疏?波 密,
——半波损失均有?2 =? 1不论 z1 > z2，还是 z1 < z2，
即 透射波总是与入射波同相将 y 的表达式代入界面关系,考虑 E=?u2 可得：
59
波腹相位不变波疏媒质波密媒质
x
驻波若忽略透射波,则入射和反射波的波形如下：
波节驻波 相位突变 π
波疏媒质 波密媒质
x
2
60
）（利用 2222 2121 AzAuI
,1
21
21
1 Azz
zz
A
,1
21
1
2
2 A
zz
zA
2
21
212
1
1
1
1 )(
zz
zz
A
A
I
I
R
反射比
2
21
21
2
11
2
22
1
2
)(
4
zz
zz
Az
Az
I
IT
透射比
R + T = 1
(能量守恒 )
2,振幅关系：
▲ z1,z2 互换,R,T 不变 。
R? 1,T? 0,全反射。▲ z1 >> z2 或 z1 << z2时，
▲ z1? z2时,R? 0（ 无反射 ）,T? 1,全透射。
61
空气 (标准状况 ) 420 空气 → 水 0.1%
水 空气 → 钢 0.004%
钢 (按纵波算 ) 水 → 钢 12%
6105.1?
7106.4?
s)( k g / m 2?z
T
以保证声阻抗的,匹配” 。
∴ 要使声波进入钢，不能有气隙。
涂一层油 (保持“声接触”的过渡层 )，以增加透射率。
实际的波发射和接收装置都需要设置过渡层，
通常在钢表面
62
三,简正模式 （ normal mode）
波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。
如两端固定的弦，
L
,3,2,1
2
nLn n?
n
L
n
2或
L
u
n
u
n
n 2
l
F
u
——系统的 固有频率
F ——弦中的张力
l ——弦的线密度波速形成驻波必须满足以下条件：
63
基频
2
1?
n =1
二次谐频
n =2
22?
三次谐频
n =3
23?
每种可能的 稳定振动方式 称作系统的一个 简正模式。
64
n=1,3… L
L= n
4
n?
n=1,3…2
n?
L= n
L
三次谐频
n = 3
2
3 3?
3?
n = 3
三次谐频
23?
3?
n = 1
基频
4
1?
1? 1
2
1?
基频
n = 1
边界情况不同，简正模式也不同：
65末端封闭的笛中的驻波末端开放的笛中的驻波
66
△ § 2.8 声波,*地震波,*水波对 声波 （ sound wave） 要求搞清如下概念：
声压静波 ppp
（可正、可负）
(sound pressure)
声压振幅：
uAp m?
声强 (intensity of sound)
22
2
1 AuI
标准声强：
2120 W / m10I
（在 1000Hz下，这个声强人能够勉强听到）
标准声强振幅 ～10 -10 m~几百 Hz时，?
67
声强级
( B e l )l o g
0I
IL? ( d B )l o g10
0I
I?
(sound intensity level)
正常说话 ~60dB,噪声 >70dB,炮声 ~120dB。
每条曲线描绘的是相同响度下不同频率的声强级声响曲线听觉界限频率 Hz
dB
声强级
68
dB
Hz
声 阈频率语音范围疼痛界限音乐范围听觉界限声强级声音范围
69
超声波胎儿的超声波影象
（假彩色）
> 20000Hz的声波了解其应用
70
而使观测的频率不同于波源频率的现象。
§ 2.9 多普勒效应 （ Doppler effect）
多普勒效应：
一,机械波的多普勒效应设 运动在波源 S 和观测者 R的连线方向上，
以二者相向运动的方向为速度的正方向。
uvS > 0 vR > 0
S R(波的频率 )?
（对媒质） （对媒质）
由于波源和观察者的运动，
S?
（波源频率） R? （观测频率）
71
此时，
S
u
S ·
vS = 0
· R
vR?
·
S
RR
u
uu
R
vv
)(
S
uu
vR > 0(R接近 S)，
SR
vR < 0(R远离 S)，
SR
(1) vS = 0,vR ≠ 0，
72
此时,
R
vS
S·· ·
R
测 =?
vSTS
·
0
S
vS
uTS
· R
u
S 运动的前方波长缩短
uR
SS Tu
u
)( v?
S
Su
u
v?
(2) vR = 0,vS ≠ 0，
73
水波的多普勒效应（波源向左运动）
74
此时，
RS
S
S
R
u
u
u
u
v
v
u
u R
R
v
S
S
R
u
u
v
v
SR
注意：
1,S 动 R不 动
R 动 S不 动
0
波对 R速度不是 u
0 SR
SR
本质不同
2,vR,vS 是对媒质而言，且以相向为正。
(3) vR ≠ 0,vS ≠ 0，
当 vR = -vS 时 （无相对运动），
75
电磁波不同于机械波，不需要媒质。
二,电磁波的多普勒效应
v (对 R)
S c R
S? R?
SR c
c
c o s
22
v
v
当 时，仍有
2
SR
— 横向多普勒效应由相对论可导出：
76
三,激波
uΔ t
·S v
S
· · · ·
vSΔ t
uS?v 0?R?
时，
（冲击波） (shock wave)
—后发出的波面将超越先发出的波面，
形成 锥形波阵面 ——?
S
u
v
s i n
冲击波带
u
Sv
—马赫数 (Mach number)
对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。
马赫锥
77
超音速的子弹在空气中形成的激波
（马赫数为 2 ）
78
作起始脉冲和截止脉冲。
高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时,将发生锥形的电磁波 —切连柯夫辐射。
可用来探测高能带电粒子。脉冲重叠,也可用来四,多普勒效应的应用：
▲ 测速（固、液、气）
▲ 多普勒红移（“大爆炸”宇宙论）
▲ 卫星跟踪（书 P95-96）
不易引起电磁激波 —切连柯夫辐射 (Cherenkov radiation)：
它发光持续时间短 （数量级 10 -10s），
79警察用多普勒测速仪测速超声多普勒效应测血流速
80
*§ 2.11 复波，群速度复波 是 非简谐波，
一,复波它是若干不同频率的简谐波叠加而成的合成波。
的波形图，
y
x
上面是两个频率相近的简谐波合成的复波它表示了振动合成中的拍现象。
81
在有些介质中不同频率简谐波的波速也不同，
二,色散 （ dispersion ）
这种现象称为,色散”（ 或,频散”）。
能产生色散现象的介质称为,色散介质”。
不产生色散现象的介质称为,无色散介质”。
在无色散介质中不同频率的简谐波的波速相同，
合成的复波也以同样速度传播,且波形保持不变。
在色散介质中不同频率的简谐波合成的复波情况比较复杂。
82
三,群速 （ group velocity）
对简谐波来说,u 既是波形整体传播的速度，
又是相位传播的速度。
传播的速度也不同。
向传播的两列简谐波的合成为例，进行讨论。
对色散介质中的复波来说,不仅不同频率简谐波的相速不同,而且它们与合成波波形整体下面我们以两个频率相近,沿同设 简谐波 1,?,u,?,k
简谐波 2,k + d k? + d?,u + du，? + d?,
振幅相等、
83
d?
x
1 u2 u + du
AB
设经过时间?，合成波位移最大点由 A移到 B，
则站在第 1个波上看,最大位移在?内后移了?。
∴ 从介质参考系看,最大位移传播的速度为：
, uu g udd 又
∴
d
d uuu
g ku g d
d或
kku 2,
84
这个速度称为复波的,群速度”。
y
x
ug
由于振幅的变化，合成波为一群群振动的传播，
这样的一群振动叫一个,波群” 或,波包”。
ug 既是合成波位移最大值传播的速度，
“波包”传播的速度,也是 信号和能量传播的速度。
又是
85
由于两个成分波的频率十分接近，
d
d uuu
g
群速和相速的关系式对无色散介质，
kuu g
0ddu
d
du 越大，色散越严重,ug 和 u 相差越大。
为是 成分波的相速度 u 。
因此 合成波的相速度 就可认速度也十分接近，
就是只有在
0ddu
或
d
du 较小的情况下，波包才是稳定的。 色散较大时，波包会扩散?消失。
它们的相此时群速将失去意义。
86
△ *§ 2.11 孤子 （ soliton）
（自学书 P102—104第 2.13节）
第二章结束
