1
第四 章 光的衍射 （ Diffraction of
light）
§ 4.1 衍射现象、惠更斯 —— 菲涅耳原理
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射,半波带法§ 4.3 光栅衍射
§ 4.4 光学仪器的分辨本领
§ 4.5 X射线的衍射衍射小结
2
§ 4.1 衍射现象,惠更斯 —— 菲涅耳原理一,光的衍射
1.现象
*
S
衍射屏 观察屏
a
> 10 -3 a
2.定义：
衍射屏 观察屏
L? L
而偏离直线传播的现象 叫 光的衍射。
S
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘
3
3,分类：
（ 1）菲涅耳 （ Fresnel） 衍射 — 近场衍射
（ 2）夫琅禾费 （ Fraunhofer） 衍射 — 远场衍射
L 和 D中至少有一个是有限值。
L 和 D皆为无限大（也可用透镜实现）。
*S
P
DL
B
光源障碍物 观察屏
4
屏上图形：
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射圆孔的衍射图样：
5
刀片边缘的衍射 圆屏衍射
（泊松点）
6
各子波在空间某点的相干叠加，就决定二,惠更斯 — 菲涅耳原理
（ Huygens ─ Fresnel principle）
波传到的任何一点都是子波的波源,
S
r
KQapE d)()()(d
K(? ),方向因子
a(Q)取决于波前上 Q点处的强度
= 0,K=Kmax
K(?)?
90o,K = 0
·
p
dE(p)r
Q
dS
S(波前 )
设初相为零
n
·
了该点波的强度。
7
)2c o s (d)()()(d rtSr KQapE
Srtr KQapE S d)2c o s ()()()(
p 处波的强度 )(
2
0 pEI p?
1882年以后,基尔霍夫 （ Kirchhoff） 解电
)(c o s)(0 ptpE
惠更斯 ─菲涅耳原理有了波动理论的根据。
这使得磁波动方程，也得到了 E(p)的表示式，
8
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射,半波带法一,装置和光路二,半波带法
（ 缝宽 ）aAB?
S：单色线光源
,衍射角
s ina?
00,—— 中央明纹（中心）
▲ A→ p和 B→ p的光程差为
p·
δ
S
f
f?
a
透镜 L?
透镜 L
B
缝平面 观察屏
0
A
*
pI （ p点明亮程度变差）
9
▲ 当时,
s ina
1′
2B
A
a
θ
半波带半波带
1
2′
两个,半波带,发的光在 p处干涉相消形成暗纹 。
λ /2
▲ 当 时,可将缝分成三个,半波带, 2
3s i n?a
P处为明纹中心（近似）
λ /2
θ
a
B
A
1
1′
2
2′
半波带半波带可将缝分为两个“半波带”
10
a
λ / 2
B
A
θ
形成暗纹。
▲ 当 时,可将缝分成四个,半波带,,
2s i n? a
,3,2,1s i n kka
—— 暗纹
,3,2,1
2
)1 2(s i n kka
—— 明纹（中心）
0s in a —— 中央明纹（中心）
上述暗纹和中央明纹（中心）位置是准确的，
一般情况：
其余明纹中心的位置较上稍有偏离。
11
三,振幅矢量法,光强公式
N
ax
2s i n x
（ N很大）
各窄带发的子波在 p点振幅近似相等,设为?E0，
p点的合振幅 Ep 就是各子波的振幅矢量和的模。
透镜
f
p
x
x
xsin?
缝平面缝宽 a
A
B
C 0
观测屏相邻窄带发的子波到 p点的相位差为：
将缝等分成
N个窄带,每个窄带宽为：
2s i n
N
a
12
p点 处是多个同方向,同频率,同振幅,
对于中心点,? = 0,
= 0，
E0
……
E0 = N?E0 。
对于其他点 p：
Ep
当 N时,N个相接的折线将变为一个 圆弧 。
初相依次差一个恒量 的简谐振动的合成，
合成的结果仍为简谐振动。
Ep < E0 。
≠ 0,
E0
E0
13
2s i naNΦ
,2s i n2 ΦRE p ΦRE0
2
s i n
22
s i n2 00 Φ
Φ
EΦ
Φ
EE
p
令
，
s i n
2
aΦ 有,
s i n
0EE p?
又,,EI EI
p
2
00
2
p点的光强 2
0
s i n?
II
R EP
E0
14
由
,
2
0
s i n
II
(1) 主极大（中央明纹中心）位置：
00 处，
(2) 极小（暗纹）位置：
时，,?3,2,1 kk
由
ka s i n ka s in
或 由
kN 2
1s i n m a x0 III
ka sin
可得到以下结果：
0s in 0 I
一致这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
15
(3) 次极大位置,满足 tg
0
d
d?
I
解得,?，，, 47.346.243.1
相应,?,47.3,46.2,43.1s i n a
0? 2?-?-2?
y y1 = tg?
y2 =?
-2.46?
·
-1.43?
·
+1.43?
· ·
+2.46?0
·
16
sin?0.047 0.017
1 I / I0
0
相对光强曲线
0.0470.017
a
2?
a
a
a
2
(4)光强：
从中央往外各次极大的光强依次为 0.0472I0,
0.0165I0,0.0083I0 I次极大 << I主极大
，，, 47.346.243.1将依次带入光强公式
,
2
0
s i n
II 得到
17单缝衍射图样
sin
18
四,条纹宽度
1.中央明纹宽度
11s i na
时，
角宽度
a
22
10
线宽度
10 tg2 fx
—— 衍射反比定律
I0
x1
x2衍射屏 透镜观测屏
f
1
0
x?
0x?
2,其他明纹（次极大）宽度
02
1 x
a
fx
— 单缝衍射明纹宽度的特征在 s i ngt 时，
，
a
kffx
kk
s i n
12?f?
a
af
2?
19
3,波长对条纹间隔的影响
4,缝宽变化对条纹的影响
x — 波长越长，条纹间隔越宽。
a
fx
— 缝宽越小,条纹间隔越宽 。
时，且当 1
a
a
只存在中央明文，屏幕是一片亮。
I
0 sin?，21
∴ 几何光学是波动光学在 a >>? 时的极限情形。
只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像时，且当 0
a
a?,0 x,0?k?
20
五,干涉和衍射的联系与区别求 雷达监视范围内公路的长度 L。
个子波的相干叠加。
干涉和衍射都是波的相干叠加,但 干涉是有限多个分立光束的相干叠加,衍射是无限多六,[例题 ]
已知,一波长为? = 30mm的雷达在距离路边为雷达射束与公路成 15° 角,天线宽度
a = 0.20m。
d =15m处，
如图示,a
d
L
150?
公路
21
解：将雷达波束看成是单缝衍射的 0级明纹由
1s i na
有
a
1s i n
°63.81
如图,°° 63.2315
1
°° 37.615 1
)c t g( c t g dL
15.0
m2.0
mm30
m100)63.23ct g37.6( ct g15 00
d
L
150a
公路
θ 1
22
一,光栅 （ grating）
光栅 是由大量的等宽等间距的平行狭缝从 广义 上理解,任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅 。
（或反射面）构成的光学元件。
§ 4.3 光栅衍射
（ grating diffraction）
光栅是现代科技中常用的重要光学元件。
光通过光栅衍射可以产生明亮尖锐的亮纹，
复色光入射可产生光谱，用以进行光谱分析。
1.光栅的概念
23
设,a是透光 （ 或反光 ） 部分的宽度,
则,d = a+b? 光栅常数
3,光栅常数用电子束刻制可达数万条 /mm(d?10-1?m)。
反射光栅
d
透射光栅2,光栅的种类：
d
光栅常数是光栅空间周期性的表示。
b 是不透光 （或不反光）部分的宽度，
普通光栅刻线为数十条 /mm ─ 数千条 /mm，
24
在夫琅禾费衍射下，
位置的关系如何呢二,光栅的夫琅禾费衍射
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
每个缝的衍射图样
1.光栅各缝衍射光的叠加
（是否会错开）？
25
I
θ
θ
每个缝的衍射光重叠相干叠加
ad
f
透镜
θ
干涉主极大的位置 仍由 d 决定，而 没有变化。
以双缝的夫琅和费衍射光的叠加为例来分析：
再相等，而是 受到了衍射的调制。
干涉条纹各级主极大的 强度 将不各缝的衍射光在主极大位置相同的情况下相干叠加。
但是各个
26
kds in
（ k = 0,1,2,? ）
— 正入射 光栅方程明纹（主极大）条件：
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
现在先不考虑衍射对光强的影响，
2,多光束干涉 （ multiple-beam interference）
单单来分析多光束的干涉。
光栅方程是光栅的基本方程。
27
p点为干涉主极大时, k2
22 pp ENI?NEp
Ep
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
设 有 N个缝，
的相位差为 。
缝发的光在对应衍射角? 方向的 p点的光振动的振幅为 Ep，
相邻缝发的光在 p点每个
28
暗纹条件：
)1( 2 kN
Nkk,2,1
)2(2s i n?
d
由 (1),(2)得
N
kd s i n
( 3 ))0 ( kNkk,
N
主极大间距暗纹间距?
相邻主极大间有 N－ 1个暗纹和 N－ 2个次极大。
各振幅矢量构成闭合多边形，
Ep
多边形外角和：
由 (3)和 kds i n
29
/2
1,2,3，
321
4
3
4
2
4
1
s i n
kkk
ddd
,,
,,
2
3
2
,,
1
2
3
4
4
1
1
2
3
4
3? /2
0?/d-(?/d)-2(?/d) 2?/d
I I
0
sin?
N = 4光强曲线
/4d-(?/4d)
N大时光强例如 N = 4,在 0 级和 1 级亮纹之间 k?可取即有三个极小：
使条纹 亮而窄。
向主极大集中，
30
3,光栅衍射 （ grating diffraction）
(1) 各干涉主极大受到单缝衍射的调制。
(2) 为整数比时,会出现缺级 。a
d
I单
sin?
0
I0单
-2 -1 1 2 (? /a)
I N2I0单
sin?
0 4 8-4-8 (? /d )
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线
N = 4
d = 4a
主 极 大 缺
± 4,± 8? 级 。
31
明纹缺级现象的分析：
,2,1,0s i n kkd,
衍射暗纹位置,?,3,2,1 s i n kka,
从而出现缺级。
干涉明纹缺级级次 k
a
dk
干涉明纹位置：
k
k
a
d
,时,此时在应该干涉加强的位置上没有衍射光到达，
例如 d =4a，则缺?4级,?8级?
32
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。 a
d
(3) d,a 对条纹的影响：
这是因为 决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。而
d
▲ 若 a 不变?单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小?主极大间距变稀,单缝中央亮纹范围内的主极大个数减少，
则缺级的级次变低。
如果出现缺级的话，
33
当 a时，单缝衍射的轮廓线变
▲ 若 d 不变?各主极大位置不变；
a 减小?单缝衍射的轮廓线变宽,
极端情形：
此时各多缝衍射图样?多光束干涉图样：
单缝中央明纹范围内的主极大个数增加,缺级的级次变高。
主极大光强几乎相同。
为很平坦，第一暗纹在距中心? 处，
sin?0
I
34
4,光栅夫琅禾费衍射的光强公式 每个单缝在 p点（对应衍射角? ）均有
,s i n0单EE p s i na?
·
Ep
Ap
R
No
R
相邻缝在 p点的相位差
s i n2 d
p点 合振幅为
2
s i n2
2
s i n2 RENRA pp,
35
s i n
s i ns i n
2
s i n
2
s i n
0
N
E
N
EA pp
单
s i n2 d
22
0 s i n
s i ns i n
N
II p 单单0I
单缝中央主极大光强
单缝衍射因子2s i n
多光束干涉因子2
s i n
s i n
N
36
sin?
N2 sin
2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
sin?
0
I单I0单
-2 -1 1 2 (?/a)
单缝衍射光强曲线
I N2I0单
0 4 8-4-8
sin?
(?/d)
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线
,adN 4 4例
37
单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 （ d =10 a）
19个明条纹 缺级缺级
38
三,斜入射的光栅方程,相控阵雷达 1.光线斜入射时的光栅方程
λ
d sin?
光栅 观察屏L
o
p
f
i
d sin i
)s i n( s i n id
kid )s i n( s i n
i 和? 的 符号规定,
n? > 0i < 0
入射光 衍射光
(法线 )
光栅 （ +）
（ -）
k确定时，调节 i，则? 相应改变。
— 斜入射的光栅方程斜入射可以获得更高级次的条纹 （ 分辨率高 ） 。
39
idd s ins in
2s i n2s i n did?
d 2s i n
改变,即可改变 0 级衍射光的方向。
2,相控阵雷达微波源移相器辐射单元
d
n?
靶目标一维阵列的相控阵雷达
(1)扫描方式
相位控制扫描
频率控制扫描
(2)回波接收相邻 入射光 的相位差：
通过同样的天线阵列接收 。
令 k = 0,则例如，
40
▲ 无机械惯性,可高速扫描 。
一次全程扫描仅需几微秒
▲ 由计算机控制可形成多种波束 。
能同时搜索,跟踪多个目标
▲ 不转动,天线孔径可做得很大 。
辐射功率强,作用距离远,分辨率高 …
(3)相控阵雷达的优点相控阵雷达除军事应用外,还可民用：
如地形测绘,气象监测,导航、
测速 （反射波的多普勒频移）?
41
设在澳大利亚 Sydney大学的一维射电望远镜阵列，
（ N=32,?=21cm,a = 2m,d = 21m，阵列长 213m）
42
阵列宽 31m，有 1792个辐射单元，覆盖 240o视野。
能探测到 5500公里范围内的 10m2大小的物体。
用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星。
设在美国鳕角 （ Cape cod） 的相控阵雷达照片
43
§ 4.4 光学仪器的分辨本领一,透镜的分辨本领
1,圆孔的夫琅禾费衍射圆孔孔径为 D
L衍射屏 观察屏中央亮斑
(爱里斑 )
1
f
22.1s i n 1D
爱里斑
D?
爱里斑变小
2.透镜的分辩本领几何光学：
物 点? 象点物 (物点集合 )? 象 (象点集合 )
( 经透镜 )
集中了约
84% 的衍射光能 。
（ Airy disk）
相对光强曲线
1.22(?/D)
sin?
1
I / I0
0
44
波动光学,物 点? 象斑物 (物点集合 )? 象 (象斑集合 )
( 经透镜 )
刚可分辨非相干叠加不可分辨 瑞利判据：
衍射限制了透镜的分辨能力 。
对于 两个等光强的一个象斑的中心恰好非相干的物点，
物点被认为是刚刚可以分辨的。
(Rayleigh criterion)
如果落在另一象斑的边缘 （第一暗纹处）,则此两
45小孔（直径 D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨点光源距离太小 D小符合 瑞利判据点光源距离较大
46
D
22.1
1
22.1
1 DR
R
D
I
D
*
*
S1
S2
0
最小分辨角 （ angle of minimum resolution）,
分辨本领 （ resolving power）：
47
不可选择，
RD可望远镜：
▲ 世界上最大的 光学 望远镜,D = 8 m
建在夏威夷山顶，
▲ 世界上最大的 射电建在波多黎各岛的到整个地球表面仅
1999年建成望远镜,D = 305 m
Arecibo,能探测射
10 -12W的功率，
也可探测引力波。
48
显微镜,D不会很大,R可
▲ 在正常照明下,人眼瞳孔直径约为 3mm，
∴ 电子显微镜分辨本领很高，
可观察物质结构。
电子?,0.1A? 1A（ 10 -2?10 -1 nm）
（见书 P177例 4.2）。
可分辨约 9m 远处的相距 2mm 的两个点
▲ 夜间观看汽车灯，远看是一个亮点，
移近才看出是两个灯。
逐渐
49
二,光栅光谱,光栅的色散本领、分辨本领 1,光栅光谱光栅光谱有多级，且是正比光谱。
白光 (350?770nm)的光栅光谱（连续）：
0级 1级 2级-2级 -1级
(白 )
3级-3级
50
线色散本领
xD
l?
DfD l
f — 光栅后的透镜焦距
，dki s i ns i n,
dk
c o s
c o s d
kD
c o s?
d
fkD
l
与光栅缝数 N无关有 和
2,光栅的色散本领 把不同波长的光在谱线上 分开 的能力角色散本领
D
色散本领：
波长 的谱线，衍射角,位置 x+? x
波长为?的谱线,衍射角为?,位置为 x；设：
由
51
3,光栅的色分辨本领设入射波长为? 和? +
时,光栅分辨本领
R定义：
(resolving power of grating )
两谱线刚能 分辨。
)(1 NdNkdk
d
ks i n
的 k级主极大?+的 k级主极大
sin
得
R
k
N
)0(1 kNkNkR,
(N >>1)
按瑞利判据：
Nd
kNkk )(s i n1 ）的暗纹，的（对应由图,有：
52
例如，对波长靠得很近的 Na双线：
1 =? = 589 nm,
NkR 9 8 26.05 8 9
都可分辨出 Na双线
2 =? + = 589.6nm
若 k = 2，则 N = 491
若 k =3,则 N=327
53
1895年德国人 伦琴 （ R?ntgen,1845-1923）
1901年伦琴获首届诺贝尔物理奖
§ 4.5 X射线的衍射 （ diffraction of X-rays ）
一,X 射线的产生发现了 高速电子撞击固体可产生 一种能使胶片感光,空气电离,荧光质发光? 的中性射线，
称为 X射线。
- K A
X射线
X射线管 + K — 阴极,A— 阳极加速阴极发射的热电子
A? K间加几万伏高压，
54
X射线准直缝 晶体
···
·
劳厄斑衍射图样 证实了 X射线的波动性。
劳厄 （ Laue） 实验 （ 1912）：
晶体相当于三维光栅
X射线?,10 -2? 101nm
（ 10 -1? 10 2?）
55
d
d?
d
dsin?
1
2晶面
A
C
B
二,X射线在晶体上的衍射
1,衍射中心：
Φ,掠射角
d,晶面间距
（晶格常数）
2.同一层晶面上 点间散射光的干涉：
每个原子都是散射子波的波源。
3,面间散射光的干涉,ΦdCBAC s i n2
NaCl d =0,28nm
符合反射定律的散射光加强
56
散射光干涉加强条件：
kΦd s i n2
乌利夫 — 布拉格公式三,应用
▲ 已知?,? 可测 d
▲ 已知?,d可测?
— X射线晶体结构分析。
— X射线光谱分析。
），，（?21?k
共同获得了 1915年的诺贝尔物理学奖。
布拉格父子 （ W.H.Bragg,W.L.Bragg ）
由于利用 X射线 分析晶体结构的杰出工作，
57
四,实际观察 X射线衍射的作法
1.劳厄法,使用? 连续的 X射线照射晶体,
此法可定晶轴方向。
得到所有晶面族反射的主极大。 每个主极大对应一个亮斑
(劳厄斑 )。
X射线准直缝 晶体
···
·
劳厄斑
d
),2,1(s i n2 kkΦd?
这样得到的衍射图叫 劳厄 (Laue)相。
58
2.粉末法：
用确定?的 X射线入射到多晶粉末上 。
此法可定晶格常数 。
大量无规的晶面取向,总可使布拉格条件得到满足。 这样得到的衍射图叫 德拜 (Dedye)相。
SiO2 的劳厄相粉末铝 的德拜相
59
五,X 射线衍射与普通光栅衍射的区别
▲ X 射线衍射有一系列的布喇格条件 。
晶体内有许多晶面族,
3,2,1s i n2 ikΦd iii,
一维光栅只有一个干涉加强条件：
— 光栅方程 。
▲ 晶体在 都确定时,?、,ii Φd
iii kΦd si n2 的关系 。布喇格公式一维光栅在?和入射方向角 i 确定后,
kid )s i n( s i n
衍射角?满足光栅方程。
对第 i个晶面族有：
入射方向和?一定时，
不一定能满足总能有
60
1,一个原理惠更斯 —— 菲涅耳原理
2,两种方法半波带法 振幅矢量法
3,三类问题单缝、圆孔衍射 —— 单纯衍射光栅 —— 衍射和干涉的综合
X光衍射 —— 空间光栅,总体是衍射，
具体处理是多光束干涉衍 射 小 结
61
(2) 任何光学仪器都存在分辨率的问题
(1) 无论孔、缝，衍射都出现光的扩展
Da,? 几何光学
22.1
1 DR透镜：
NkR
光栅：
（角）
（色）
4,四点结论
62
(3) 光栅方程
kid )si n( si n
(4) 乌利夫 — 布喇格公式
k = 0,1,2,· · ·
i,入射角?：衍射 角
kΦd s i n2
,掠射角第四章结束
,,21?k
第四 章 光的衍射 （ Diffraction of
light）
§ 4.1 衍射现象、惠更斯 —— 菲涅耳原理
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射,半波带法§ 4.3 光栅衍射
§ 4.4 光学仪器的分辨本领
§ 4.5 X射线的衍射衍射小结
2
§ 4.1 衍射现象,惠更斯 —— 菲涅耳原理一,光的衍射
1.现象
*
S
衍射屏 观察屏
a
> 10 -3 a
2.定义：
衍射屏 观察屏
L? L
而偏离直线传播的现象 叫 光的衍射。
S
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘
3
3,分类：
（ 1）菲涅耳 （ Fresnel） 衍射 — 近场衍射
（ 2）夫琅禾费 （ Fraunhofer） 衍射 — 远场衍射
L 和 D中至少有一个是有限值。
L 和 D皆为无限大（也可用透镜实现）。
*S
P
DL
B
光源障碍物 观察屏
4
屏上图形：
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射圆孔的衍射图样：
5
刀片边缘的衍射 圆屏衍射
（泊松点）
6
各子波在空间某点的相干叠加，就决定二,惠更斯 — 菲涅耳原理
（ Huygens ─ Fresnel principle）
波传到的任何一点都是子波的波源,
S
r
KQapE d)()()(d
K(? ),方向因子
a(Q)取决于波前上 Q点处的强度
= 0,K=Kmax
K(?)?
90o,K = 0
·
p
dE(p)r
Q
dS
S(波前 )
设初相为零
n
·
了该点波的强度。
7
)2c o s (d)()()(d rtSr KQapE
Srtr KQapE S d)2c o s ()()()(
p 处波的强度 )(
2
0 pEI p?
1882年以后,基尔霍夫 （ Kirchhoff） 解电
)(c o s)(0 ptpE
惠更斯 ─菲涅耳原理有了波动理论的根据。
这使得磁波动方程，也得到了 E(p)的表示式，
8
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射,半波带法一,装置和光路二,半波带法
（ 缝宽 ）aAB?
S：单色线光源
,衍射角
s ina?
00,—— 中央明纹（中心）
▲ A→ p和 B→ p的光程差为
p·
δ
S
f
f?
a
透镜 L?
透镜 L
B
缝平面 观察屏
0
A
*
pI （ p点明亮程度变差）
9
▲ 当时,
s ina
1′
2B
A
a
θ
半波带半波带
1
2′
两个,半波带,发的光在 p处干涉相消形成暗纹 。
λ /2
▲ 当 时,可将缝分成三个,半波带, 2
3s i n?a
P处为明纹中心（近似）
λ /2
θ
a
B
A
1
1′
2
2′
半波带半波带可将缝分为两个“半波带”
10
a
λ / 2
B
A
θ
形成暗纹。
▲ 当 时,可将缝分成四个,半波带,,
2s i n? a
,3,2,1s i n kka
—— 暗纹
,3,2,1
2
)1 2(s i n kka
—— 明纹（中心）
0s in a —— 中央明纹（中心）
上述暗纹和中央明纹（中心）位置是准确的，
一般情况：
其余明纹中心的位置较上稍有偏离。
11
三,振幅矢量法,光强公式
N
ax
2s i n x
（ N很大）
各窄带发的子波在 p点振幅近似相等,设为?E0，
p点的合振幅 Ep 就是各子波的振幅矢量和的模。
透镜
f
p
x
x
xsin?
缝平面缝宽 a
A
B
C 0
观测屏相邻窄带发的子波到 p点的相位差为：
将缝等分成
N个窄带,每个窄带宽为：
2s i n
N
a
12
p点 处是多个同方向,同频率,同振幅,
对于中心点,? = 0,
= 0，
E0
……
E0 = N?E0 。
对于其他点 p：
Ep
当 N时,N个相接的折线将变为一个 圆弧 。
初相依次差一个恒量 的简谐振动的合成，
合成的结果仍为简谐振动。
Ep < E0 。
≠ 0,
E0
E0
13
2s i naNΦ
,2s i n2 ΦRE p ΦRE0
2
s i n
22
s i n2 00 Φ
Φ
EΦ
Φ
EE
p
令
，
s i n
2
aΦ 有,
s i n
0EE p?
又,,EI EI
p
2
00
2
p点的光强 2
0
s i n?
II
R EP
E0
14
由
,
2
0
s i n
II
(1) 主极大（中央明纹中心）位置：
00 处，
(2) 极小（暗纹）位置：
时，,?3,2,1 kk
由
ka s i n ka s in
或 由
kN 2
1s i n m a x0 III
ka sin
可得到以下结果：
0s in 0 I
一致这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
15
(3) 次极大位置,满足 tg
0
d
d?
I
解得,?，，, 47.346.243.1
相应,?,47.3,46.2,43.1s i n a
0? 2?-?-2?
y y1 = tg?
y2 =?
-2.46?
·
-1.43?
·
+1.43?
· ·
+2.46?0
·
16
sin?0.047 0.017
1 I / I0
0
相对光强曲线
0.0470.017
a
2?
a
a
a
2
(4)光强：
从中央往外各次极大的光强依次为 0.0472I0,
0.0165I0,0.0083I0 I次极大 << I主极大
，，, 47.346.243.1将依次带入光强公式
,
2
0
s i n
II 得到
17单缝衍射图样
sin
18
四,条纹宽度
1.中央明纹宽度
11s i na
时，
角宽度
a
22
10
线宽度
10 tg2 fx
—— 衍射反比定律
I0
x1
x2衍射屏 透镜观测屏
f
1
0
x?
0x?
2,其他明纹（次极大）宽度
02
1 x
a
fx
— 单缝衍射明纹宽度的特征在 s i ngt 时，
，
a
kffx
kk
s i n
12?f?
a
af
2?
19
3,波长对条纹间隔的影响
4,缝宽变化对条纹的影响
x — 波长越长，条纹间隔越宽。
a
fx
— 缝宽越小,条纹间隔越宽 。
时，且当 1
a
a
只存在中央明文，屏幕是一片亮。
I
0 sin?，21
∴ 几何光学是波动光学在 a >>? 时的极限情形。
只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像时，且当 0
a
a?,0 x,0?k?
20
五,干涉和衍射的联系与区别求 雷达监视范围内公路的长度 L。
个子波的相干叠加。
干涉和衍射都是波的相干叠加,但 干涉是有限多个分立光束的相干叠加,衍射是无限多六,[例题 ]
已知,一波长为? = 30mm的雷达在距离路边为雷达射束与公路成 15° 角,天线宽度
a = 0.20m。
d =15m处，
如图示,a
d
L
150?
公路
21
解：将雷达波束看成是单缝衍射的 0级明纹由
1s i na
有
a
1s i n
°63.81
如图,°° 63.2315
1
°° 37.615 1
)c t g( c t g dL
15.0
m2.0
mm30
m100)63.23ct g37.6( ct g15 00
d
L
150a
公路
θ 1
22
一,光栅 （ grating）
光栅 是由大量的等宽等间距的平行狭缝从 广义 上理解,任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅 。
（或反射面）构成的光学元件。
§ 4.3 光栅衍射
（ grating diffraction）
光栅是现代科技中常用的重要光学元件。
光通过光栅衍射可以产生明亮尖锐的亮纹，
复色光入射可产生光谱，用以进行光谱分析。
1.光栅的概念
23
设,a是透光 （ 或反光 ） 部分的宽度,
则,d = a+b? 光栅常数
3,光栅常数用电子束刻制可达数万条 /mm(d?10-1?m)。
反射光栅
d
透射光栅2,光栅的种类：
d
光栅常数是光栅空间周期性的表示。
b 是不透光 （或不反光）部分的宽度，
普通光栅刻线为数十条 /mm ─ 数千条 /mm，
24
在夫琅禾费衍射下，
位置的关系如何呢二,光栅的夫琅禾费衍射
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
每个缝的衍射图样
1.光栅各缝衍射光的叠加
（是否会错开）？
25
I
θ
θ
每个缝的衍射光重叠相干叠加
ad
f
透镜
θ
干涉主极大的位置 仍由 d 决定，而 没有变化。
以双缝的夫琅和费衍射光的叠加为例来分析：
再相等，而是 受到了衍射的调制。
干涉条纹各级主极大的 强度 将不各缝的衍射光在主极大位置相同的情况下相干叠加。
但是各个
26
kds in
（ k = 0,1,2,? ）
— 正入射 光栅方程明纹（主极大）条件：
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
现在先不考虑衍射对光强的影响，
2,多光束干涉 （ multiple-beam interference）
单单来分析多光束的干涉。
光栅方程是光栅的基本方程。
27
p点为干涉主极大时, k2
22 pp ENI?NEp
Ep
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
设 有 N个缝，
的相位差为 。
缝发的光在对应衍射角? 方向的 p点的光振动的振幅为 Ep，
相邻缝发的光在 p点每个
28
暗纹条件：
)1( 2 kN
Nkk,2,1
)2(2s i n?
d
由 (1),(2)得
N
kd s i n
( 3 ))0 ( kNkk,
N
主极大间距暗纹间距?
相邻主极大间有 N－ 1个暗纹和 N－ 2个次极大。
各振幅矢量构成闭合多边形，
Ep
多边形外角和：
由 (3)和 kds i n
29
/2
1,2,3，
321
4
3
4
2
4
1
s i n
kkk
ddd
,,
,,
2
3
2
,,
1
2
3
4
4
1
1
2
3
4
3? /2
0?/d-(?/d)-2(?/d) 2?/d
I I
0
sin?
N = 4光强曲线
/4d-(?/4d)
N大时光强例如 N = 4,在 0 级和 1 级亮纹之间 k?可取即有三个极小：
使条纹 亮而窄。
向主极大集中，
30
3,光栅衍射 （ grating diffraction）
(1) 各干涉主极大受到单缝衍射的调制。
(2) 为整数比时,会出现缺级 。a
d
I单
sin?
0
I0单
-2 -1 1 2 (? /a)
I N2I0单
sin?
0 4 8-4-8 (? /d )
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线
N = 4
d = 4a
主 极 大 缺
± 4,± 8? 级 。
31
明纹缺级现象的分析：
,2,1,0s i n kkd,
衍射暗纹位置,?,3,2,1 s i n kka,
从而出现缺级。
干涉明纹缺级级次 k
a
dk
干涉明纹位置：
k
k
a
d
,时,此时在应该干涉加强的位置上没有衍射光到达，
例如 d =4a，则缺?4级,?8级?
32
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。 a
d
(3) d,a 对条纹的影响：
这是因为 决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。而
d
▲ 若 a 不变?单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小?主极大间距变稀,单缝中央亮纹范围内的主极大个数减少，
则缺级的级次变低。
如果出现缺级的话，
33
当 a时，单缝衍射的轮廓线变
▲ 若 d 不变?各主极大位置不变；
a 减小?单缝衍射的轮廓线变宽,
极端情形：
此时各多缝衍射图样?多光束干涉图样：
单缝中央明纹范围内的主极大个数增加,缺级的级次变高。
主极大光强几乎相同。
为很平坦，第一暗纹在距中心? 处，
sin?0
I
34
4,光栅夫琅禾费衍射的光强公式 每个单缝在 p点（对应衍射角? ）均有
,s i n0单EE p s i na?
·
Ep
Ap
R
No
R
相邻缝在 p点的相位差
s i n2 d
p点 合振幅为
2
s i n2
2
s i n2 RENRA pp,
35
s i n
s i ns i n
2
s i n
2
s i n
0
N
E
N
EA pp
单
s i n2 d
22
0 s i n
s i ns i n
N
II p 单单0I
单缝中央主极大光强
单缝衍射因子2s i n
多光束干涉因子2
s i n
s i n
N
36
sin?
N2 sin
2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
sin?
0
I单I0单
-2 -1 1 2 (?/a)
单缝衍射光强曲线
I N2I0单
0 4 8-4-8
sin?
(?/d)
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线
,adN 4 4例
37
单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 （ d =10 a）
19个明条纹 缺级缺级
38
三,斜入射的光栅方程,相控阵雷达 1.光线斜入射时的光栅方程
λ
d sin?
光栅 观察屏L
o
p
f
i
d sin i
)s i n( s i n id
kid )s i n( s i n
i 和? 的 符号规定,
n? > 0i < 0
入射光 衍射光
(法线 )
光栅 （ +）
（ -）
k确定时，调节 i，则? 相应改变。
— 斜入射的光栅方程斜入射可以获得更高级次的条纹 （ 分辨率高 ） 。
39
idd s ins in
2s i n2s i n did?
d 2s i n
改变,即可改变 0 级衍射光的方向。
2,相控阵雷达微波源移相器辐射单元
d
n?
靶目标一维阵列的相控阵雷达
(1)扫描方式
相位控制扫描
频率控制扫描
(2)回波接收相邻 入射光 的相位差：
通过同样的天线阵列接收 。
令 k = 0,则例如，
40
▲ 无机械惯性,可高速扫描 。
一次全程扫描仅需几微秒
▲ 由计算机控制可形成多种波束 。
能同时搜索,跟踪多个目标
▲ 不转动,天线孔径可做得很大 。
辐射功率强,作用距离远,分辨率高 …
(3)相控阵雷达的优点相控阵雷达除军事应用外,还可民用：
如地形测绘,气象监测,导航、
测速 （反射波的多普勒频移）?
41
设在澳大利亚 Sydney大学的一维射电望远镜阵列，
（ N=32,?=21cm,a = 2m,d = 21m，阵列长 213m）
42
阵列宽 31m，有 1792个辐射单元，覆盖 240o视野。
能探测到 5500公里范围内的 10m2大小的物体。
用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星。
设在美国鳕角 （ Cape cod） 的相控阵雷达照片
43
§ 4.4 光学仪器的分辨本领一,透镜的分辨本领
1,圆孔的夫琅禾费衍射圆孔孔径为 D
L衍射屏 观察屏中央亮斑
(爱里斑 )
1
f
22.1s i n 1D
爱里斑
D?
爱里斑变小
2.透镜的分辩本领几何光学：
物 点? 象点物 (物点集合 )? 象 (象点集合 )
( 经透镜 )
集中了约
84% 的衍射光能 。
（ Airy disk）
相对光强曲线
1.22(?/D)
sin?
1
I / I0
0
44
波动光学,物 点? 象斑物 (物点集合 )? 象 (象斑集合 )
( 经透镜 )
刚可分辨非相干叠加不可分辨 瑞利判据：
衍射限制了透镜的分辨能力 。
对于 两个等光强的一个象斑的中心恰好非相干的物点，
物点被认为是刚刚可以分辨的。
(Rayleigh criterion)
如果落在另一象斑的边缘 （第一暗纹处）,则此两
45小孔（直径 D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨点光源距离太小 D小符合 瑞利判据点光源距离较大
46
D
22.1
1
22.1
1 DR
R
D
I
D
*
*
S1
S2
0
最小分辨角 （ angle of minimum resolution）,
分辨本领 （ resolving power）：
47
不可选择，
RD可望远镜：
▲ 世界上最大的 光学 望远镜,D = 8 m
建在夏威夷山顶，
▲ 世界上最大的 射电建在波多黎各岛的到整个地球表面仅
1999年建成望远镜,D = 305 m
Arecibo,能探测射
10 -12W的功率，
也可探测引力波。
48
显微镜,D不会很大,R可
▲ 在正常照明下,人眼瞳孔直径约为 3mm，
∴ 电子显微镜分辨本领很高，
可观察物质结构。
电子?,0.1A? 1A（ 10 -2?10 -1 nm）
（见书 P177例 4.2）。
可分辨约 9m 远处的相距 2mm 的两个点
▲ 夜间观看汽车灯，远看是一个亮点，
移近才看出是两个灯。
逐渐
49
二,光栅光谱,光栅的色散本领、分辨本领 1,光栅光谱光栅光谱有多级，且是正比光谱。
白光 (350?770nm)的光栅光谱（连续）：
0级 1级 2级-2级 -1级
(白 )
3级-3级
50
线色散本领
xD
l?
DfD l
f — 光栅后的透镜焦距
，dki s i ns i n,
dk
c o s
c o s d
kD
c o s?
d
fkD
l
与光栅缝数 N无关有 和
2,光栅的色散本领 把不同波长的光在谱线上 分开 的能力角色散本领
D
色散本领：
波长 的谱线，衍射角,位置 x+? x
波长为?的谱线,衍射角为?,位置为 x；设：
由
51
3,光栅的色分辨本领设入射波长为? 和? +
时,光栅分辨本领
R定义：
(resolving power of grating )
两谱线刚能 分辨。
)(1 NdNkdk
d
ks i n
的 k级主极大?+的 k级主极大
sin
得
R
k
N
)0(1 kNkNkR,
(N >>1)
按瑞利判据：
Nd
kNkk )(s i n1 ）的暗纹，的（对应由图,有：
52
例如，对波长靠得很近的 Na双线：
1 =? = 589 nm,
NkR 9 8 26.05 8 9
都可分辨出 Na双线
2 =? + = 589.6nm
若 k = 2，则 N = 491
若 k =3,则 N=327
53
1895年德国人 伦琴 （ R?ntgen,1845-1923）
1901年伦琴获首届诺贝尔物理奖
§ 4.5 X射线的衍射 （ diffraction of X-rays ）
一,X 射线的产生发现了 高速电子撞击固体可产生 一种能使胶片感光,空气电离,荧光质发光? 的中性射线，
称为 X射线。
- K A
X射线
X射线管 + K — 阴极,A— 阳极加速阴极发射的热电子
A? K间加几万伏高压，
54
X射线准直缝 晶体
···
·
劳厄斑衍射图样 证实了 X射线的波动性。
劳厄 （ Laue） 实验 （ 1912）：
晶体相当于三维光栅
X射线?,10 -2? 101nm
（ 10 -1? 10 2?）
55
d
d?
d
dsin?
1
2晶面
A
C
B
二,X射线在晶体上的衍射
1,衍射中心：
Φ,掠射角
d,晶面间距
（晶格常数）
2.同一层晶面上 点间散射光的干涉：
每个原子都是散射子波的波源。
3,面间散射光的干涉,ΦdCBAC s i n2
NaCl d =0,28nm
符合反射定律的散射光加强
56
散射光干涉加强条件：
kΦd s i n2
乌利夫 — 布拉格公式三,应用
▲ 已知?,? 可测 d
▲ 已知?,d可测?
— X射线晶体结构分析。
— X射线光谱分析。
），，（?21?k
共同获得了 1915年的诺贝尔物理学奖。
布拉格父子 （ W.H.Bragg,W.L.Bragg ）
由于利用 X射线 分析晶体结构的杰出工作，
57
四,实际观察 X射线衍射的作法
1.劳厄法,使用? 连续的 X射线照射晶体,
此法可定晶轴方向。
得到所有晶面族反射的主极大。 每个主极大对应一个亮斑
(劳厄斑 )。
X射线准直缝 晶体
···
·
劳厄斑
d
),2,1(s i n2 kkΦd?
这样得到的衍射图叫 劳厄 (Laue)相。
58
2.粉末法：
用确定?的 X射线入射到多晶粉末上 。
此法可定晶格常数 。
大量无规的晶面取向,总可使布拉格条件得到满足。 这样得到的衍射图叫 德拜 (Dedye)相。
SiO2 的劳厄相粉末铝 的德拜相
59
五,X 射线衍射与普通光栅衍射的区别
▲ X 射线衍射有一系列的布喇格条件 。
晶体内有许多晶面族,
3,2,1s i n2 ikΦd iii,
一维光栅只有一个干涉加强条件：
— 光栅方程 。
▲ 晶体在 都确定时,?、,ii Φd
iii kΦd si n2 的关系 。布喇格公式一维光栅在?和入射方向角 i 确定后,
kid )s i n( s i n
衍射角?满足光栅方程。
对第 i个晶面族有：
入射方向和?一定时，
不一定能满足总能有
60
1,一个原理惠更斯 —— 菲涅耳原理
2,两种方法半波带法 振幅矢量法
3,三类问题单缝、圆孔衍射 —— 单纯衍射光栅 —— 衍射和干涉的综合
X光衍射 —— 空间光栅,总体是衍射，
具体处理是多光束干涉衍 射 小 结
61
(2) 任何光学仪器都存在分辨率的问题
(1) 无论孔、缝，衍射都出现光的扩展
Da,? 几何光学
22.1
1 DR透镜：
NkR
光栅：
（角）
（色）
4,四点结论
62
(3) 光栅方程
kid )si n( si n
(4) 乌利夫 — 布喇格公式
k = 0,1,2,· · ·
i,入射角?：衍射 角
kΦd s i n2
,掠射角第四章结束
,,21?k
