期末复习 （电磁学）
第 13章 真空中的稳恒磁场第 14章 磁相互作用第 15章 磁场与实物的相互作用第 9 章 电相互作用 真空中的静电场第 10章 静电场与实物的相互作用第 11章 电容器的电容和电场的能量电学 ——
磁学 ——
第 9章 电相互作用真空中的静电场
1,基本概念和基本规律
（ 1） 电场强度 0qFE
场强迭加原理
iEE 2
04
r
rdqE?
（ 2） 电通量
se SdE
（ 3） 库仑定律
212
21
21
0
21?4
1 r
r
qqF
（ 4） 高斯定理
is qSdE
0
1
有源场
（ 5） 静电场环路定理
0L ldE 无旋、保守场
（ 6） 电位差 2121 ldEUU
电位 oUpp ldEU
电位迭加原理
iUU q r
dqU
04
（ 7） E与 U的关系 UE
1
（ 8） q 在外场中的电位能
W = q U（ 9） 电场力所作的功
A = q（ U1-U2）
2
几种典型电场的 和 U 的分布E?
场源电荷（ +） E? U
rr?2
0
xiE
02
iE
0x
r
r
q?
4 20
r
q
04
r?q 0U
0?aU
q
R r?
x0
i
Rx
qx
2
322
0 )(4
1
22
04 xR
q
i
Rx
x
]1[2 22
0
R
xr?0 )(2 22
0
xxR
r
aln
2 0
r?
a
场源电荷（ +） E? U
:Rr?
rr?2
0
:Rr? 0
r?
R
rrR?
0
0?RU
:Rr? R
rln
2 0
:Rr? 0
r?
R,Rr?
rr?2
0
:Rr?
rr
R?
2 0
2
rr?
2 0
0?RU
:Rr? 0ln2 0
2
rRR
:Rr? )(4 22
0
rR
q
R r?,Rr? rrq?4 2
0
:Rr? rR
qr?
4 30
:Rr? )4( 0 rq
:Rr?
R
r
R
q )3(
8 2
2
0
3
4
第 10章 静电场与实物的相互作用
1,基本概念和基本规律
（ 1） 导体静电平衡的条件
0?内E?
导体表面表面?E?
导体是等位体导体表面是等位面
（ 2） 静电平衡时导体上电荷的分布
q内 =0 导体内处处净电荷为零，电荷分布在外表面。
0?
E 导体表面附近的场强。
（ 3） 计算有导体存在时 电场 和导体 电荷 分布，依据：
*静电感应 *静电平衡
*电荷守恒 *高斯定理
s iqSdD（ 5） 介质中的高斯定理：
电极化率
er 1
（ 4） 各向同性线性介质的极化 ED EP e 0
5
第 11章 电容器的电容和电场的能量
1,基本概念和基本规律
（ 1） 电容的定义 UQC? 平行板电容器 d
SC
（ 2） 电容器的串、并联 iCC
11
iCC
（ 3） 电容器的能量 QV
C
QCVW
2
1
22
1 22
（ 4） 电场的能量、能量密度 22121 EEDw
电荷系总静电能 dVEW V 2
2
1
（ 5） 求电容器电容的程序：
10 假定极板带电 +Q,-Q 20求板间的 E
30 求板间的 U 40 C=Q/V 或 根据,W” 求 C
1,基本概念和基本规律
（ 1） 毕 — 萨 — 拉定律 2
0?
4 r
rlIdB
（ 2） 磁场迭加原理 iBB BdB
（ 3） 磁场的高斯定理s SdB 0 磁场是无源场
（ 4） 安培环路定理 iL IldB 0 磁场是有旋场第 14章 磁相互作用
1.基本概念和基本规律
（ 1） 带电粒子在磁场中所受的洛仑兹力 Bvqf
（ 2） 电流在磁场中所受的安培力 BlIdf
（ 3） 通电线圈在磁场中所受的力矩 BnISBP m
6
第 13章 真空中的稳恒磁场第 15章 磁场与实物的相互作用
i
L
IldH（ 2） 介质中的安环定理
（ 1） mr,,,,
7
半无限长,xIB 4 0
导线的延长线
]s i n[s i n4 120 xIB
B = 0
xIB 2 0
（ 1）有限长通电直导线：
无限长通电直导线：
p x
y
z
1?
2?
0
lL
x
I
B?
（ 2）通电圆环轴线上：
2/322
2
0
)(2 xR
IRB
I
x
R r?
0 p B
圆环心处,
R
IB
2
0
L长弧心处,R
IB
4
0
几种典型电流磁场 B 的分布：
8
)co s(co s2 120 nIB
无限长通电直线管内：
nIB 0
1? 2?
x
p B?
（ 3）通电直螺线管轴线上：
（ 4）通电螺绕环内：
r
NIB
2
0
通电 细 螺绕环内,nIB 0
通电 细 螺绕环外,0?B
B?
（ 5）无限长通电圆柱导体内、外
r
IB Rr
2:
0
2
0
2,R
IrB Rr
R
r
I
B?
无限长通电圆柱面内、外
r
IB Rr
2:
0
0, B Rr
I
r
9
复习题
Aq Bq1,已知,S,d,q
A,q B（ q A> q B)
A 板的内侧带电？
两板间的电位差 VAB=？
1? 2? 3? 4?
解：
02222
0
4
0
3
0
2
0
1?
AqSS 21
BqSS 43
032
)(212 BA qqS
板内侧带电
dSqqV BAAB
02
板间电场
0
2
E
Aq Bq
注意：若
1? 2?
0
1
E041
可解出
S
qq BA
22
10
8
7
2,求无限长通电直导线 F1/F2=？
3,求通过该平面的 E 通量
06?
q
11
)11(4
0 Rd
q?
4,球壳原未带电，在 d 处放入 +q 用导 线将球壳接地后又撤去,求 U0=？ 10— 14
U0？
Q
a
b?q r
0不能用定义法！
5,已知 d,S,UA=V、
UB=0 将带电量为 q 的薄导体片 C（面积为 S）
插入 d/2处，
求 UC=？ S
qdV
042?
6,q均匀分布在半径为 R的球壳上，以?0 转动。 求从 Z轴
-+?磁感应强度的线积分 。
2
00 q
7,空气电容器充电后切断电源，储能 W0，若注入?r，则
W= W0，若不切断 电源，则 W= W0。
r?
1 r?
12S
dQ
C
QW
r
0
22
22 202 2
1
2
1 V
d
sCVW r
13
答,带电球面静电能 R
Q
C
QW
0
22
82
电场力作正功不变,, WRQ
8,吹一个带有电荷的肥皂泡，电荷的存在对吹泡有帮助还是有妨碍？
（分别考虑 +Q,-Q）从静电能量的角度说明。
drrqrdEV RRRR 2 2
0
2
4
R
q
RR
q
00 8
)2 11(4
R
QqQVAE
k 08
9,二球面，带电 -3q,+q，将 +Q 从 R处由静止释放，该粒子到达外球面的动能？
11,磁场强度 沿闭合曲线
L 的环流
H?
L ldH
12 2 II?
iE
iE
iE
C
B
A
0
0
0
23
2
23
14
反
12,边长为 L 的导体方框通 I，其中心的
B 与 L成 ________比
r
IB L
2:)( 0
10,求2
A B C
x
CBA E E E,,
R
2R
R3
13,如图，已知细绳及圆环上分别分布着电荷 Q，求环心的电场强度。
x
0
解,建立坐标如图
x dx
dxRQ3?在 处取一电荷元 dxdqx
它在环心处的场强：
2
0
2
0
1 )4(12)4(4 xRR
Q d x
xR
dqdE
整个细绳上的电荷在环心处的场强：
2
0
1 )4(12 xR
dx
R
QE
0
R3
2
016 R
Q
圆环的电荷在环心处的场强,02?E
合场强 i
R
QiEE
2
0
1 16
15
14,如图，无限大平面电荷面密度分别为 +?,-?，设 0
处电位为零，试求空间的电位分布并画出分布曲线。
x0
a? a?
解,由高斯定理得：
),(0 xaax E
)(
0
axa E
ax在 区间
0
0
0 0
a
a
xx dxdxEd xU
0?
a
axa在 区间
dxEd xU xx 0
0
0
xa在 区间
0
0
0 0
a
a
xx dxdxEd xU
0?
a
0?
xa? a?
0 x
可求 U：
16
U
15,两块无限大的平行导体板 （ +q,n,2d）
求：板间 E 分布,U 分布解,根据 is qSdE
0
1
xSnqSE 212
0
)0(
0
dx i nq xE
)0(
0
xd i nq xE
dxxnqU
d
x
0
)( )(2 22
0
dxdxdnq
17
d2
x0
16,一半径为 R=1.0cm的无限长 1/4圆柱形金属薄片，沿 轴向通有电流 I=10.0A,设电流在金属片上均匀分布，试求圆柱轴 线上任意一点 P 的磁感应强度
R
P
解,取 dl段,?dI
在 P点 dB
方向如图。dB
dR IdB x s i n2 0 dR IdB y c o s2 0
2
0
2
0 s i n d
R
IB
x R
I
2
0
2
0
2
0 c o s d
R
IB
y RI20 18
Bd
P
x
y
dl?d
R
Idl
21
RIRd2Id2
RdI20 dIR 22 0
其电流
R
IB
x 2
0
R
IB
y 2
0
)(10812 42022 TRIBBB yx
方向,02 2 51 BBtn
x
y
正方向的夹角与为 xB
19注意 13— 20类型的问题：塑料盘转动 …… 求 B,Pm
17,在一无限长的半圆筒形的金属薄片中沿轴向流有电 流，
在垂直电流方向的圆弧上单位长度的电流 i=ksin?
（ K为常量）,?如图所示，求半圆筒轴线上的解,设半圆筒的半径为 R，线元 dl流过的电流为 d I
它在轴线上产生的 dB：
dlKi d ldI s i n
RdK s i n
R
dIdB
2
0方向如图 由对称性 By=0
s i n2s i n 0 RdIdBdB x
dkBB x
0
2
0
2
s i n
0
0
2
2c o s1
2 d
k
0
0 ]
4
2s i n
2[2
k
4
0k
方向：沿 x 轴正方向 20
B?
Bd
xi
x
d dl?
y
R
0
Q a0 b
x
R q
18,已知,求,baRqQ,,,,
（ 1） 将 q 由 a?b，电场力所作的功。
（ 2） 若 ab为带电细棒?>0，
求其与带电圆环的相互作用力。
baab ldEqA解,)( ba UUq
)
44
( 22
0
22
0 bR
Q
aR
Qq
dx
Q a0 b
x
R
dxdq E d qdFdqEFd
E d qF dxxR
Qxb
a
2
322
0 )(4
]11[4 2222
0 bRaR
Q
棒受力方向沿 x 正向。
环受力大小相等，方向相反。 21
解：
（ 3） 求带电圆环与带电细棒的相互作用能。
dx
Q a
0 b x
R
x
22
04 xR
QU
X 处的电位：
dx
xR
QU d qW b
a 22
04
相互作用能
22
22
0
ln4
Raa
RbbQ
22
解：
END
第 13章 真空中的稳恒磁场第 14章 磁相互作用第 15章 磁场与实物的相互作用第 9 章 电相互作用 真空中的静电场第 10章 静电场与实物的相互作用第 11章 电容器的电容和电场的能量电学 ——
磁学 ——
第 9章 电相互作用真空中的静电场
1,基本概念和基本规律
（ 1） 电场强度 0qFE
场强迭加原理
iEE 2
04
r
rdqE?
（ 2） 电通量
se SdE
（ 3） 库仑定律
212
21
21
0
21?4
1 r
r
qqF
（ 4） 高斯定理
is qSdE
0
1
有源场
（ 5） 静电场环路定理
0L ldE 无旋、保守场
（ 6） 电位差 2121 ldEUU
电位 oUpp ldEU
电位迭加原理
iUU q r
dqU
04
（ 7） E与 U的关系 UE
1
（ 8） q 在外场中的电位能
W = q U（ 9） 电场力所作的功
A = q（ U1-U2）
2
几种典型电场的 和 U 的分布E?
场源电荷（ +） E? U
rr?2
0
xiE
02
iE
0x
r
r
q?
4 20
r
q
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q
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i
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1
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r?
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场源电荷（ +） E? U
:Rr?
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0
:Rr? 0
r?
R
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0
0?RU
:Rr? R
rln
2 0
:Rr? 0
r?
R,Rr?
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0
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:Rr? 0ln2 0
2
rRR
:Rr? )(4 22
0
rR
q
R r?,Rr? rrq?4 2
0
:Rr? rR
qr?
4 30
:Rr? )4( 0 rq
:Rr?
R
r
R
q )3(
8 2
2
0
3
4
第 10章 静电场与实物的相互作用
1,基本概念和基本规律
（ 1） 导体静电平衡的条件
0?内E?
导体表面表面?E?
导体是等位体导体表面是等位面
（ 2） 静电平衡时导体上电荷的分布
q内 =0 导体内处处净电荷为零，电荷分布在外表面。
0?
E 导体表面附近的场强。
（ 3） 计算有导体存在时 电场 和导体 电荷 分布，依据：
*静电感应 *静电平衡
*电荷守恒 *高斯定理
s iqSdD（ 5） 介质中的高斯定理：
电极化率
er 1
（ 4） 各向同性线性介质的极化 ED EP e 0
5
第 11章 电容器的电容和电场的能量
1,基本概念和基本规律
（ 1） 电容的定义 UQC? 平行板电容器 d
SC
（ 2） 电容器的串、并联 iCC
11
iCC
（ 3） 电容器的能量 QV
C
QCVW
2
1
22
1 22
（ 4） 电场的能量、能量密度 22121 EEDw
电荷系总静电能 dVEW V 2
2
1
（ 5） 求电容器电容的程序：
10 假定极板带电 +Q,-Q 20求板间的 E
30 求板间的 U 40 C=Q/V 或 根据,W” 求 C
1,基本概念和基本规律
（ 1） 毕 — 萨 — 拉定律 2
0?
4 r
rlIdB
（ 2） 磁场迭加原理 iBB BdB
（ 3） 磁场的高斯定理s SdB 0 磁场是无源场
（ 4） 安培环路定理 iL IldB 0 磁场是有旋场第 14章 磁相互作用
1.基本概念和基本规律
（ 1） 带电粒子在磁场中所受的洛仑兹力 Bvqf
（ 2） 电流在磁场中所受的安培力 BlIdf
（ 3） 通电线圈在磁场中所受的力矩 BnISBP m
6
第 13章 真空中的稳恒磁场第 15章 磁场与实物的相互作用
i
L
IldH（ 2） 介质中的安环定理
（ 1） mr,,,,
7
半无限长,xIB 4 0
导线的延长线
]s i n[s i n4 120 xIB
B = 0
xIB 2 0
（ 1）有限长通电直导线：
无限长通电直导线：
p x
y
z
1?
2?
0
lL
x
I
B?
（ 2）通电圆环轴线上：
2/322
2
0
)(2 xR
IRB
I
x
R r?
0 p B
圆环心处,
R
IB
2
0
L长弧心处,R
IB
4
0
几种典型电流磁场 B 的分布：
8
)co s(co s2 120 nIB
无限长通电直线管内：
nIB 0
1? 2?
x
p B?
（ 3）通电直螺线管轴线上：
（ 4）通电螺绕环内：
r
NIB
2
0
通电 细 螺绕环内,nIB 0
通电 细 螺绕环外,0?B
B?
（ 5）无限长通电圆柱导体内、外
r
IB Rr
2:
0
2
0
2,R
IrB Rr
R
r
I
B?
无限长通电圆柱面内、外
r
IB Rr
2:
0
0, B Rr
I
r
9
复习题
Aq Bq1,已知,S,d,q
A,q B（ q A> q B)
A 板的内侧带电？
两板间的电位差 VAB=？
1? 2? 3? 4?
解：
02222
0
4
0
3
0
2
0
1?
AqSS 21
BqSS 43
032
)(212 BA qqS
板内侧带电
dSqqV BAAB
02
板间电场
0
2
E
Aq Bq
注意：若
1? 2?
0
1
E041
可解出
S
qq BA
22
10
8
7
2,求无限长通电直导线 F1/F2=？
3,求通过该平面的 E 通量
06?
q
11
)11(4
0 Rd
q?
4,球壳原未带电，在 d 处放入 +q 用导 线将球壳接地后又撤去,求 U0=？ 10— 14
U0？
Q
a
b?q r
0不能用定义法！
5,已知 d,S,UA=V、
UB=0 将带电量为 q 的薄导体片 C（面积为 S）
插入 d/2处，
求 UC=？ S
qdV
042?
6,q均匀分布在半径为 R的球壳上，以?0 转动。 求从 Z轴
-+?磁感应强度的线积分 。
2
00 q
7,空气电容器充电后切断电源，储能 W0，若注入?r，则
W= W0，若不切断 电源，则 W= W0。
r?
1 r?
12S
dQ
C
QW
r
0
22
22 202 2
1
2
1 V
d
sCVW r
13
答,带电球面静电能 R
Q
C
QW
0
22
82
电场力作正功不变,, WRQ
8,吹一个带有电荷的肥皂泡，电荷的存在对吹泡有帮助还是有妨碍？
（分别考虑 +Q,-Q）从静电能量的角度说明。
drrqrdEV RRRR 2 2
0
2
4
R
q
RR
q
00 8
)2 11(4
R
QqQVAE
k 08
9,二球面，带电 -3q,+q，将 +Q 从 R处由静止释放，该粒子到达外球面的动能？
11,磁场强度 沿闭合曲线
L 的环流
H?
L ldH
12 2 II?
iE
iE
iE
C
B
A
0
0
0
23
2
23
14
反
12,边长为 L 的导体方框通 I，其中心的
B 与 L成 ________比
r
IB L
2:)( 0
10,求2
A B C
x
CBA E E E,,
R
2R
R3
13,如图，已知细绳及圆环上分别分布着电荷 Q，求环心的电场强度。
x
0
解,建立坐标如图
x dx
dxRQ3?在 处取一电荷元 dxdqx
它在环心处的场强：
2
0
2
0
1 )4(12)4(4 xRR
Q d x
xR
dqdE
整个细绳上的电荷在环心处的场强：
2
0
1 )4(12 xR
dx
R
QE
0
R3
2
016 R
Q
圆环的电荷在环心处的场强,02?E
合场强 i
R
QiEE
2
0
1 16
15
14,如图，无限大平面电荷面密度分别为 +?,-?，设 0
处电位为零，试求空间的电位分布并画出分布曲线。
x0
a? a?
解,由高斯定理得：
),(0 xaax E
)(
0
axa E
ax在 区间
0
0
0 0
a
a
xx dxdxEd xU
0?
a
axa在 区间
dxEd xU xx 0
0
0
xa在 区间
0
0
0 0
a
a
xx dxdxEd xU
0?
a
0?
xa? a?
0 x
可求 U：
16
U
15,两块无限大的平行导体板 （ +q,n,2d）
求：板间 E 分布,U 分布解,根据 is qSdE
0
1
xSnqSE 212
0
)0(
0
dx i nq xE
)0(
0
xd i nq xE
dxxnqU
d
x
0
)( )(2 22
0
dxdxdnq
17
d2
x0
16,一半径为 R=1.0cm的无限长 1/4圆柱形金属薄片，沿 轴向通有电流 I=10.0A,设电流在金属片上均匀分布，试求圆柱轴 线上任意一点 P 的磁感应强度
R
P
解,取 dl段,?dI
在 P点 dB
方向如图。dB
dR IdB x s i n2 0 dR IdB y c o s2 0
2
0
2
0 s i n d
R
IB
x R
I
2
0
2
0
2
0 c o s d
R
IB
y RI20 18
Bd
P
x
y
dl?d
R
Idl
21
RIRd2Id2
RdI20 dIR 22 0
其电流
R
IB
x 2
0
R
IB
y 2
0
)(10812 42022 TRIBBB yx
方向,02 2 51 BBtn
x
y
正方向的夹角与为 xB
19注意 13— 20类型的问题：塑料盘转动 …… 求 B,Pm
17,在一无限长的半圆筒形的金属薄片中沿轴向流有电 流，
在垂直电流方向的圆弧上单位长度的电流 i=ksin?
（ K为常量）,?如图所示，求半圆筒轴线上的解,设半圆筒的半径为 R，线元 dl流过的电流为 d I
它在轴线上产生的 dB：
dlKi d ldI s i n
RdK s i n
R
dIdB
2
0方向如图 由对称性 By=0
s i n2s i n 0 RdIdBdB x
dkBB x
0
2
0
2
s i n
0
0
2
2c o s1
2 d
k
0
0 ]
4
2s i n
2[2
k
4
0k
方向：沿 x 轴正方向 20
B?
Bd
xi
x
d dl?
y
R
0
Q a0 b
x
R q
18,已知,求,baRqQ,,,,
（ 1） 将 q 由 a?b，电场力所作的功。
（ 2） 若 ab为带电细棒?>0，
求其与带电圆环的相互作用力。
baab ldEqA解,)( ba UUq
)
44
( 22
0
22
0 bR
Q
aR
dx
Q a0 b
x
R
dxdq E d qdFdqEFd
E d qF dxxR
Qxb
a
2
322
0 )(4
]11[4 2222
0 bRaR
Q
棒受力方向沿 x 正向。
环受力大小相等，方向相反。 21
解：
（ 3） 求带电圆环与带电细棒的相互作用能。
dx
Q a
0 b x
R
x
22
04 xR
QU
X 处的电位：
dx
xR
QU d qW b
a 22
04
相互作用能
22
22
0
ln4
Raa
RbbQ
22
解：
END
