复习
1,光的量子化的基本计算
2,康普顿效应
3,玻尔理论
4,德布罗意物质波
5,不确定关系
6,波函数及解薛定谔方程
7,氢原子的状态
8,实验量子物理 第 24,25,26、章
1,关于光的量子化的基本计算例 1.求波长为?（或频率为? ）的光子 能量、动量、质量 。
c
h
m
h
P
hc
c
h
m
c
h
Ph
2
例 2.电子与光子各具有?=2.0A0
它们的 动量、总能量 各等于多少？
电子的 动能 等于多少？
解：电子与光子的 动量 均为
：
11410323 smkghP
总能量
hE 光子
eVcmcpE 542022 105120电子问题,为何
10216 3 eVchE电子电子动能 (非相对论性 ）
kmE
h
2
eVmhE k 7372 2
2
1
电子电子 vhE?
频率速度v?
―相速度”,群速度”
eVPcch 310216
2,关于康普顿效应光子与自由电子碰撞,散射光的波长移动=?’— 0
光子与束缚电子碰撞，散射光波长不移动=0
由能量、动量守恒得,
)c o s1(' c
00 2 40 Ac
注意：（ 1）原子量小的，
康普顿散射强，反之，弱。
（ 2）反冲电子的动能
2
0
2
2
0
)(1
cmc
c
v
mE
k?
' hh
2
02
1 vm?
2
2
0
)(12
1 v
c
v
m
FeLi II?
h 20cm
'' h
2mcn
hP
'
'
' nhP
x
y
n?
'n
2
3,关于玻尔理论
（ 1 ）三点假设
nEEEE321,,
kn EEh
nL?
3,2,1?n
（ 2 ） 由 库仑力 = 向心力角动量量子化条件可得 nnn Evr,,
0212 )530( Anrnr n
eVnnEE n 221 613
注意 10 各谱线系及频率计算
JeV 1910611
3（ 3）几个概念
4 20
2
r
e
2
r
mv
nL?
20 单位换算
*状态能量,原子系统处于某激发态时所具有的能量。
*激发能量,原子从基态被激发到某一激发态，外界所提供的能量。
*某一状态的 激发能量 = 该状态的 状态能量 —基态能量。
*氢 原子的 状态能量? 氢原子中 电子的 状态能量
*电离能,把某能级的电子搬到无限远处所需要的能量。数值上等于 状态能量的绝对值。
*结合能,将动能为零的电子从无限远处移来和一个离子 结合成基态 的原子所放出的能量。数值上等于 最低能量的绝对值。
例 3.电子由能量为 –0.85eV 的状态跃迁到激发能为 -10.21
eV 的状态时，所发射光子的能量。
eV542?
（注意激发能是基态跃迁到该激发态所需的能量）
4
eVE x 3932110)613(解,激发能为 -10.21eV的 状态是
54.2)39.3()85.0(h
5
4
3
2
1
n
解：
-13.6+13.06=-0.54
例 4.处于基态的氢原子吸收 13.06eV的能量后可激发到 n=？
的能级,当它跃迁回到基态时,可能辐射的光谱线有几条？
5 10),5(?n
En
n=5
-13.6=-0.54n2
而 En=E1/n2
即 E1= En n2
例 5.质量为 m 的卫星在半径为 r 的轨道上绕地球运动线速度为 v
（ 1） 假定玻尔氢原子理论中关于轨道动量的条件对于地球卫星同样成立,证明 地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正比。即
r=kn2 （ k 是常数）
( 2） 应用（ 1）的结果求卫星轨道和它的下一个“容许”轨道间的距离，进一步说明在宏观问题中，轨道半径实际上可认为 是 连续变化 的。取证明（ 1） rmvrG m M
2
2?
nm vr?
2
2
2)(
knMGmnr
)(10 822
2
mMGmk
（ 2） 221 )1( knnkrr nn
21)(22)12( nkrnkkn
kgm 1?
说明轨道可以认为是连续变化的
010)(2 442
1
1
nn
nn
r
k
r
rr
kgM 24106
)(1046 6 mr
2
2111076
kgNmG
sJh 341066
6
4,关于德布罗意物质波
（ 1） 不考虑相对论效应时：
mvhP
21 2mvhE k
E,m,P
的关系：
m
PE
k 2
2
（ 2）考虑相对论效应时：
P
h
2
2
0
2
)(1
c
vh
cm
h
mc
h
E
总
)( hE 动
E,m,P 的关系：
42022 cmcPE总实物粒子具有波粒二象性
hP
hE
频率速度v
7
kmE
h
mv
h
2
h
mv
2
2
2
0
)(1 cvvm h
202 cmmcE k
例 6 （ 1） 写出实物粒子德布罗意 波长 与粒子 动能 Ek 和 静止 质量
m0 的关系解
2
0
2 2 cmEE
hc
mv
h
kk?
2
2
0
c
cmEm k
2
0
2
0
2 2
cmE
cmEEcv
k
kk
2
0
2
2
0
)(1
cm
c
v
cmE
k?
解得当 时,20 cmE k 202 cmEE kk
（ 2） 证明 时,20cmE k ;2 0 kEmh
kk E
hccmE,20 时
2
02 cmE
hc
k
20220 2,2 cmEEcmE kkk
kE
hc 02 mE
h
k
8
（ 3） 计算动能分别是 0.01 MeV 和 1GeV 电子的德布罗意波长对 Ek=0.01MeV 的电子,因 Ek<<m0c2
对 Ek =1GeV 的电子,因 Ek>>2moc2
9
01 2 30 A
0510241 A
02 mE
h
k
kE
hc
5,关于不确定关系例 7,26—6 利用不确定关系式估算氢原子基态的结合能和第一玻尔半径。
解：设 PPrx,rhrPPx 2由
r
e
m
PE
0
22
42 r
e
mr
h
0
2
22
2
48
则得到令,0?drdE
:,20
2
m i n 将其代入上式玻尔半径
me
hr
eVhmeE 6138 2
0
2
4
m i n
基态结合能为 613* EE
例 8,26—7以此类推，注意,z ‖得 10 22
0
42
2)4( h
emZE
例 9,近似估算电子局限在原子核 (d?1.4?10-14m )内,最小允许能量为多少? 将此能量与原子核内质子与中子 的结合能 (大约 10 -13 J)相比较,说明什么问题?
解 PPdx 2, P
P
hPdhPx 2 ;dhP 2m in?
m
PE
2
2
m i n
m i n?
J101003
说明电子不可能在原子核内 !
21431
234
)1041(10198
)1066(
11
d
2
2
8 md
h?
J1310
6,关于波函数及解薛定谔方程
（ 1） 波函数的意义 几率密度 2),( tr?
标准条件：单值、有限、连续。
归一化条件,12 dV
V
（ 2）定态薛定谔方程 0)(2 22 UEm?
一维无限深方势阱?
3,2,1
2 2
22
2 n
manE n
)0( s i n2)( axxanaxn
熟练计算
2),( tr几率密度 的极大、极小值几率?)(2
1
2?
dxx
x
x
n
12
例 10,粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为
)0( )s i n (2)( axa xnaxn
若粒子处于 n=1 的状态,在 0—a /4区间发现该粒子的几率是多少？
]2s i n4121s i n[ 2 Cxxx d x
解 dx
a
x
a
W
a?
2
4
0
s i n2
4
0
]2s i n
4
1
2
[2
a
a
x
a
x
)(s i n2 2
4
0 a
xd
a
xa
a
a
0910)]42s i n (4142[2 aaaa
13
提示：
例 11,在宽度为 a 的一维无限深方势阱中运动的电子,已知：
)(x axx,0 0
axxanA 0 s i n
(4) n=1 及 n=2时，几率密度最大的位置 （ 5） 处在基态的粒子,在 和 范围内的几率 （ 6） 波函数图形a41 a43
解（ 1） 1)(s i n 2
0
2 dxx
a
nAa
aA
2
（ 2） axxmE
dx
xd 0 0)(2)(
22
2
由边界条件可求得 2
22
1 2 maE
（ 3） amEh 22
1
（ 4） n=1 时，几率密度,)(s i n2)( 22 a xnaxW
求（ 1） 归一化系数 A（ 2） 基态能量 （ 3） 基态德布罗意波长
14
几率密度最大的位置：
)(s i n2)( 22 a xnaxW
0)c o s (s i n
4
0
a
n
a
xn
a
xn
a
dx
dW
即令用倍角公式,将 代入此式：0)2s in ( xan 1?n
0)2s in ( xa
3,2,,02 xa
aaax 23,,2,0?
若 n=2 可求得
aaaax,43,2,4,0?
dxaxaW
a
a
24
3
4
1
s i n2
18180
(6)波函数图形,略
（ 5） 处在基态的粒子 在和 范围内的几率 4
a
43a
)12(1
注意这个加号
15
7,关于氢原子的量子力学处理氢原子（核外电子）的状态由一组量子数表征
),3,2,1( 613 2neVnEn n
.)1,2,1,0( )1( nlllLl
)2,1,0( lmmLm llZl
)21( ssSZs mmLm?
n 个值
n 个值
(2l+1) 个值
2 个值主壳层 个态支壳层 个态
22n
)12(2?l
16
例 12,波函数为 则 表示 _________,),( tr *
（粒子在 t 时刻,在 x,y,z 附近出现的几率）
例 13,粒子运动的波函数图形分别为以下各图确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图?
A
B
C
D
( A )
例 14,原子内电子的量子态由 n,l,m l,m s 四个量子数表征,当 n,l,m l 一定时,不同的量子态数目为
______；当 n,l 一定时,不同的量子态数目为 _______ ；
当 n 一定时，不同的量子态数目为 ______。
2
17
)12(2?l
22 n
例 15,主量子数 n=4 的量子态中，角量子数 l 的可能取值为 _______ ； 磁量子数 m l的可能取值为 ____________。3,2,1,0 3,2,1,0
18
例 16,在 n=3 的壳层中，电子组态为 __________________。 1062 3,3,3 dps
例 17,静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长 λ与速度 υ有如下关系：
22
22 )(
11)( 1 ( B ) )( vCD
CvCvvA
{ 1
{ 0
{ 1
21sm
21sm
21sm
21sm
1?l
0?l
2?l
2
1
0
1
2
21{sm
21{sm
21{sm
21{sm
21{sm
6个 P 电子
2个 S 电子
10个 d 电子
{ 0 m
m
m
例 18.如图，一束动量为 P 的电子通过缝宽为 a 的狭缝，
在距离狭缝为 R 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度 d 等于
2 )( 2 )( 2 PhaBRaA
aPRhDRPhaC 2 )( )(2 )(
例 19.光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程。对此，在以下几种理解中，正确的是：
（ A）两种效应电子与光子组成的系统都服从动量守恒和能量守恒。
（ B）两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程。
（ C）两种效应都属于电子吸收光子的过程。
（ D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光子和电子的弹性碰撞过程。
19
8.关于实验量子物理中有哪些重要实验?它们分别说明了什么问题?
(1)光电效应,说明光的波粒二相性，光与物质相互作用时,其能量有不连续的结构。
（ 2） 康普顿效应,说明光的量子理论是正确的，动量守恒、能量守恒在微观单体过程中是正确的。
（ 3） 氢原子光谱 的实验规律：表明了原子光谱是分立的间接反映了原子内部结构的不连续性。
（ 4） 卢瑟福? 粒子散射 实验：发现原子的核式结构。
（ 5） 夫兰克 —赫兹实验,证明原子内部存在分立的定态能级。
（ 6） 代 维逊 —革末实验,证明实物粒子（电子）的波粒二象性。
（ 7） 斯特恩 —盖拉赫实验,证明电子自旋及角动量空间量子化。 20
END
1,光的量子化的基本计算
2,康普顿效应
3,玻尔理论
4,德布罗意物质波
5,不确定关系
6,波函数及解薛定谔方程
7,氢原子的状态
8,实验量子物理 第 24,25,26、章
1,关于光的量子化的基本计算例 1.求波长为?（或频率为? ）的光子 能量、动量、质量 。
c
h
m
h
P
hc
c
h
m
c
h
Ph
2
例 2.电子与光子各具有?=2.0A0
它们的 动量、总能量 各等于多少？
电子的 动能 等于多少？
解：电子与光子的 动量 均为
：
11410323 smkghP
总能量
hE 光子
eVcmcpE 542022 105120电子问题,为何
10216 3 eVchE电子电子动能 (非相对论性 ）
kmE
h
2
eVmhE k 7372 2
2
1
电子电子 vhE?
频率速度v?
―相速度”,群速度”
eVPcch 310216
2,关于康普顿效应光子与自由电子碰撞,散射光的波长移动=?’— 0
光子与束缚电子碰撞，散射光波长不移动=0
由能量、动量守恒得,
)c o s1(' c
00 2 40 Ac
注意：（ 1）原子量小的，
康普顿散射强，反之，弱。
（ 2）反冲电子的动能
2
0
2
2
0
)(1
cmc
c
v
mE
k?
' hh
2
02
1 vm?
2
2
0
)(12
1 v
c
v
m
FeLi II?
h 20cm
'' h
2mcn
hP
'
'
' nhP
x
y
n?
'n
2
3,关于玻尔理论
（ 1 ）三点假设
nEEEE321,,
kn EEh
nL?
3,2,1?n
（ 2 ） 由 库仑力 = 向心力角动量量子化条件可得 nnn Evr,,
0212 )530( Anrnr n
eVnnEE n 221 613
注意 10 各谱线系及频率计算
JeV 1910611
3（ 3）几个概念
4 20
2
r
e
2
r
mv
nL?
20 单位换算
*状态能量,原子系统处于某激发态时所具有的能量。
*激发能量,原子从基态被激发到某一激发态，外界所提供的能量。
*某一状态的 激发能量 = 该状态的 状态能量 —基态能量。
*氢 原子的 状态能量? 氢原子中 电子的 状态能量
*电离能,把某能级的电子搬到无限远处所需要的能量。数值上等于 状态能量的绝对值。
*结合能,将动能为零的电子从无限远处移来和一个离子 结合成基态 的原子所放出的能量。数值上等于 最低能量的绝对值。
例 3.电子由能量为 –0.85eV 的状态跃迁到激发能为 -10.21
eV 的状态时，所发射光子的能量。
eV542?
（注意激发能是基态跃迁到该激发态所需的能量）
4
eVE x 3932110)613(解,激发能为 -10.21eV的 状态是
54.2)39.3()85.0(h
5
4
3
2
1
n
解：
-13.6+13.06=-0.54
例 4.处于基态的氢原子吸收 13.06eV的能量后可激发到 n=？
的能级,当它跃迁回到基态时,可能辐射的光谱线有几条？
5 10),5(?n
En
n=5
-13.6=-0.54n2
而 En=E1/n2
即 E1= En n2
例 5.质量为 m 的卫星在半径为 r 的轨道上绕地球运动线速度为 v
（ 1） 假定玻尔氢原子理论中关于轨道动量的条件对于地球卫星同样成立,证明 地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正比。即
r=kn2 （ k 是常数）
( 2） 应用（ 1）的结果求卫星轨道和它的下一个“容许”轨道间的距离，进一步说明在宏观问题中，轨道半径实际上可认为 是 连续变化 的。取证明（ 1） rmvrG m M
2
2?
nm vr?
2
2
2)(
knMGmnr
)(10 822
2
mMGmk
（ 2） 221 )1( knnkrr nn
21)(22)12( nkrnkkn
kgm 1?
说明轨道可以认为是连续变化的
010)(2 442
1
1
nn
nn
r
k
r
rr
kgM 24106
)(1046 6 mr
2
2111076
kgNmG
sJh 341066
6
4,关于德布罗意物质波
（ 1） 不考虑相对论效应时：
mvhP
21 2mvhE k
E,m,P
的关系：
m
PE
k 2
2
（ 2）考虑相对论效应时：
P
h
2
2
0
2
)(1
c
vh
cm
h
mc
h
E
总
)( hE 动
E,m,P 的关系：
42022 cmcPE总实物粒子具有波粒二象性
hP
hE
频率速度v
7
kmE
h
mv
h
2
h
mv
2
2
2
0
)(1 cvvm h
202 cmmcE k
例 6 （ 1） 写出实物粒子德布罗意 波长 与粒子 动能 Ek 和 静止 质量
m0 的关系解
2
0
2 2 cmEE
hc
mv
h
kk?
2
2
0
c
cmEm k
2
0
2
0
2 2
cmE
cmEEcv
k
kk
2
0
2
2
0
)(1
cm
c
v
cmE
k?
解得当 时,20 cmE k 202 cmEE kk
（ 2） 证明 时,20cmE k ;2 0 kEmh
kk E
hccmE,20 时
2
02 cmE
hc
k
20220 2,2 cmEEcmE kkk
kE
hc 02 mE
h
k
8
（ 3） 计算动能分别是 0.01 MeV 和 1GeV 电子的德布罗意波长对 Ek=0.01MeV 的电子,因 Ek<<m0c2
对 Ek =1GeV 的电子,因 Ek>>2moc2
9
01 2 30 A
0510241 A
02 mE
h
k
kE
hc
5,关于不确定关系例 7,26—6 利用不确定关系式估算氢原子基态的结合能和第一玻尔半径。
解：设 PPrx,rhrPPx 2由
r
e
m
PE
0
22
42 r
e
mr
h
0
2
22
2
48
则得到令,0?drdE
:,20
2
m i n 将其代入上式玻尔半径
me
hr
eVhmeE 6138 2
0
2
4
m i n
基态结合能为 613* EE
例 8,26—7以此类推，注意,z ‖得 10 22
0
42
2)4( h
emZE
例 9,近似估算电子局限在原子核 (d?1.4?10-14m )内,最小允许能量为多少? 将此能量与原子核内质子与中子 的结合能 (大约 10 -13 J)相比较,说明什么问题?
解 PPdx 2, P
P
hPdhPx 2 ;dhP 2m in?
m
PE
2
2
m i n
m i n?
J101003
说明电子不可能在原子核内 !
21431
234
)1041(10198
)1066(
11
d
2
2
8 md
h?
J1310
6,关于波函数及解薛定谔方程
（ 1） 波函数的意义 几率密度 2),( tr?
标准条件：单值、有限、连续。
归一化条件,12 dV
V
（ 2）定态薛定谔方程 0)(2 22 UEm?
一维无限深方势阱?
3,2,1
2 2
22
2 n
manE n
)0( s i n2)( axxanaxn
熟练计算
2),( tr几率密度 的极大、极小值几率?)(2
1
2?
dxx
x
x
n
12
例 10,粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为
)0( )s i n (2)( axa xnaxn
若粒子处于 n=1 的状态,在 0—a /4区间发现该粒子的几率是多少？
]2s i n4121s i n[ 2 Cxxx d x
解 dx
a
x
a
W
a?
2
4
0
s i n2
4
0
]2s i n
4
1
2
[2
a
a
x
a
x
)(s i n2 2
4
0 a
xd
a
xa
a
a
0910)]42s i n (4142[2 aaaa
13
提示：
例 11,在宽度为 a 的一维无限深方势阱中运动的电子,已知：
)(x axx,0 0
axxanA 0 s i n
(4) n=1 及 n=2时，几率密度最大的位置 （ 5） 处在基态的粒子,在 和 范围内的几率 （ 6） 波函数图形a41 a43
解（ 1） 1)(s i n 2
0
2 dxx
a
nAa
aA
2
（ 2） axxmE
dx
xd 0 0)(2)(
22
2
由边界条件可求得 2
22
1 2 maE
（ 3） amEh 22
1
（ 4） n=1 时，几率密度,)(s i n2)( 22 a xnaxW
求（ 1） 归一化系数 A（ 2） 基态能量 （ 3） 基态德布罗意波长
14
几率密度最大的位置：
)(s i n2)( 22 a xnaxW
0)c o s (s i n
4
0
a
n
a
xn
a
xn
a
dx
dW
即令用倍角公式,将 代入此式：0)2s in ( xan 1?n
0)2s in ( xa
3,2,,02 xa
aaax 23,,2,0?
若 n=2 可求得
aaaax,43,2,4,0?
dxaxaW
a
a
24
3
4
1
s i n2
18180
(6)波函数图形,略
（ 5） 处在基态的粒子 在和 范围内的几率 4
a
43a
)12(1
注意这个加号
15
7,关于氢原子的量子力学处理氢原子（核外电子）的状态由一组量子数表征
),3,2,1( 613 2neVnEn n
.)1,2,1,0( )1( nlllLl
)2,1,0( lmmLm llZl
)21( ssSZs mmLm?
n 个值
n 个值
(2l+1) 个值
2 个值主壳层 个态支壳层 个态
22n
)12(2?l
16
例 12,波函数为 则 表示 _________,),( tr *
（粒子在 t 时刻,在 x,y,z 附近出现的几率）
例 13,粒子运动的波函数图形分别为以下各图确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图?
A
B
C
D
( A )
例 14,原子内电子的量子态由 n,l,m l,m s 四个量子数表征,当 n,l,m l 一定时,不同的量子态数目为
______；当 n,l 一定时,不同的量子态数目为 _______ ；
当 n 一定时，不同的量子态数目为 ______。
2
17
)12(2?l
22 n
例 15,主量子数 n=4 的量子态中，角量子数 l 的可能取值为 _______ ； 磁量子数 m l的可能取值为 ____________。3,2,1,0 3,2,1,0
18
例 16,在 n=3 的壳层中，电子组态为 __________________。 1062 3,3,3 dps
例 17,静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长 λ与速度 υ有如下关系：
22
22 )(
11)( 1 ( B ) )( vCD
CvCvvA
{ 1
{ 0
{ 1
21sm
21sm
21sm
21sm
1?l
0?l
2?l
2
1
0
1
2
21{sm
21{sm
21{sm
21{sm
21{sm
6个 P 电子
2个 S 电子
10个 d 电子
{ 0 m
m
m
例 18.如图，一束动量为 P 的电子通过缝宽为 a 的狭缝，
在距离狭缝为 R 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度 d 等于
2 )( 2 )( 2 PhaBRaA
aPRhDRPhaC 2 )( )(2 )(
例 19.光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程。对此，在以下几种理解中，正确的是：
（ A）两种效应电子与光子组成的系统都服从动量守恒和能量守恒。
（ B）两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程。
（ C）两种效应都属于电子吸收光子的过程。
（ D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光子和电子的弹性碰撞过程。
19
8.关于实验量子物理中有哪些重要实验?它们分别说明了什么问题?
(1)光电效应,说明光的波粒二相性，光与物质相互作用时,其能量有不连续的结构。
（ 2） 康普顿效应,说明光的量子理论是正确的，动量守恒、能量守恒在微观单体过程中是正确的。
（ 3） 氢原子光谱 的实验规律：表明了原子光谱是分立的间接反映了原子内部结构的不连续性。
（ 4） 卢瑟福? 粒子散射 实验：发现原子的核式结构。
（ 5） 夫兰克 —赫兹实验,证明原子内部存在分立的定态能级。
（ 6） 代 维逊 —革末实验,证明实物粒子（电子）的波粒二象性。
（ 7） 斯特恩 —盖拉赫实验,证明电子自旋及角动量空间量子化。 20
END
