第 3章 线性网络的一般分析方法
3.1 支路分析法
3.2 网孔分析法
3.3 节点分析法
3.4 独立电路变量的选择与独立方程的存在性
3.5 回路分析法和割集分析法
3.6 电路的对偶特性与对偶电路
3.1 支路分析法支路分析法是直接以支路电流或支路电压为电路变量，应用 KVL,KCL和支路的伏安关系，列出与支路数相等的独立方程，先解得支路电流或支路电压，进而求得电路响应的电路分析方法。在支路分析法中，若选支路电流为电路变量，则称为支路电流分析法；若选支路电压为电路变用支路电流分析法分析电路的步
(1) 选定各支路电流的参考方向；
(2) 对独立节点列出（ n－ 1)个独
KCL
(3) 选 b－ (n－ 1)个独立回路 (对平面网络，通常取网孔为独立回路 )，对独立回路列出 b－ (n－ 1)个以支路电流为变量的独立的 KVL
(4) 联立求解上述 b个独立方程，解得各支路电流，并以此求出其他响应。
支路电压分析法与支路电流分析法类似，由于支路电压分析法选支路电压为电路变量，因此独立 KCL方程中的各支路电流均应利用支路的伏安关系用支支路分析法的优点是对未知支路电流或支路电压可直接求解；缺点是需联立求解的独立方程数等于网络的支路数，
且方程的列写无规律可循，因此对支路较多的复杂网络来说，计算工作量较大，
且不便用计算机辅助计算。
从线性代数知识可知，为了用最小数目的电路变量去描述电路，所选择的电路变量应具有完备性和独立性。所谓完备性，
是指电路中的其他量都能用这组变量表示；
所谓独立性，是指所选的电路变量之间彼此不能互相表示。具体而言，若一组电流变量是独立的，则各电流变量之间应不受
KCL约束；若一组电压变量是独立的，则各电压变量之间应不受 KVL约束。
3.2 网孔分析法网孔分析法是以网孔电流为电路变量,
直接列写网孔的 KVL方程，先解得网孔电流进而求得响应的一种平面网络分析法。
3.2.1网孔电流和网孔方程所谓网孔电流是一种沿网孔边界流动的假想电流。对于具有 n个节点,b条支路的平面连通网络，有 m=b－ (n－ 1)个网孔，
因而也有 m个网孔电流。
图
3-
4
网孔分析法示例用网孔分析法分析网络的步骤可归纳为：
(1) 设定网孔电流的参考方向（通常各网孔电流都取顺时针方向或都取逆时针方向）；
(2) 列网孔方程组，并联立求解解出网孔电流；
(3) 选定各支路电流的参考方向，由网孔电流求出支路电流或其他响应；
(4) 由于网孔电流自动满足
KCL，故应用 KVL来校验。
3.2.2含有电流源网络的网孔方程在网孔分析法中，推导网孔方程时，
要将各网孔 KVL方程中的各支路电压用网孔电流表示。如果网络中含有独立电流源，
则电流源两端的电压不能直接用网孔电流表示。若电流源是有伴的，可利用诺顿电路与戴维南电路的等效转换，先将电流源变换为电压源，再列网孔方程；若电流源是无伴的，则无法变换为电压源，这时可分如下两种情况分别处理。
(1) 电流源是无伴的且为某一网孔所独有，则与其关联网孔的网孔电流为已知，
即等于该电流源的电流或其负值，该网孔的网孔方程可省去；
(2) 电流源是无伴的且为两个网孔所共有，则可将电流源两端电压设为未知变量，
按前述方法先列网孔方程，再用辅助方程将该电流源的电流用网孔电流表示。
3.2.3含受控源网络的网孔方程当应用网孔分析法分析含受控源网络时，可先将受控源按独立源一样对待，列写网孔方程，再用辅助方程将受控源的控制量用网孔电流表示。
3.3 节点分析法节点分析法是以节点电压为电路变量，直接列写独立节点的 KCL方程，
先解得节点电压进而求得响应的一种网络分析法。
3.3.1节点电压和节点方程在网络中，任选一个节点为参考节点，
其余每个节点与参考节点之间的电压，就称为该节点的节点电压。习惯上节点电压的参考极性均以参考节点为负极，参考节点用符号,⊥,表示。显然，节点电压数比节点数少一个。对于具有 n个节点的网络，有（ n－ 1）个节点电压。在如图 3-8所示电路中，若选节点 4为参考节点，则其余 3个节点与参考节点之间的电压 u n1、
un2和 un3即为这 3个节点的节点电压。
图 3-8 节点分析法示例对于网络中的任意一条支路，如果它与参考节点相关联，则该支路电压或等于与该支路关联的独立节点的节点电压或差一负号（视支路电压的极性而定）；如果不与参考节点相关联，则支路电压可表示为支路所连接的两个独立节点的节点电压的差。
节点电压一旦求得，所有支路电压随之可求出，因此节点电压具有完备性。另外，与参考节点相连的各支路不能构成闭合回路，因此各节点电压相互间不受 KVL
约束，具有独立性。所以节点电压是一组独立的且完备的电压变量。
用节点分析法分析网络的步骤可归纳为：
(1) 选定参考节点；
(2) 列节点方程，并联立求解出节点电压；
(3) 选定各支路电压的参考极性，
由节点电压求出支路电压或其他响应；
(4) 由于节点电压不受 KVL约束，
故应用 KCL来校验。
3.3.2含有电压源网络的节点方程在节点分析法中，推导节点方程时，
要将各独立节点 KCL方程中的各支路电流用节点电压表示。如果网络中含有独立电压源，流过电压源的电流不能直接用节点电压表示。若电压源是有伴的，可利用戴维南电路与诺顿电路的等效转换，先将电压源变换为电流源，再列节点方程；若电压源是无伴的，则无法变换为电流源，这
［方法一］选无伴电压源支路的一端为参考节点，则它另一端的节点电压就等于该电压源的电压或差一负号，为已知量，该节点的节点方程可省去。
［方法二］设流过无伴电压源电流为未知变量，按前述方法先列节点方程，
再用辅助方程将该电压源的电压用节点电压表示。
3.3.3含受控源网络的节点方程当应用节点分析法分析含受控源的网络时，可先将受控源按独立源一样对待，
列写节点方程，再用辅助方程将受控源的控制量用节点电压表示。
支路分析法需联立求解的方程数等于支路数，计算工作量较大，故在实际中很少使用。对具有 n个节点,b条支路的连通网络，用网孔分析法和节点分析法进行分析需联立求解的方程分别为 b－（ n－ 1）
和（ n－ 1）个，少于支路数，并且方程较有规律，可从网络直接列出。
网络分析用网孔分析法还是用节点分析法，要根据网络的具体情况而定。若网络的节点数少于网孔数，则用节点分析法通常所需联立的方程数较少，求解容易；
反之，若网络的网孔数少于节点数，通常应采用网孔分析法。另外，网络中电源的类型也是应该考虑的，如果网络中的电源大多为电流源，则节点方程的列写较方便；
反之，如果网络中的电源大多为电压源，
则网孔方程较易列出。
最后应注意，网孔分析法只适用于平面网络，而节点分析法则无此限制，因此，节点分析法更具有普遍意义，它是目前计算机辅助网络分析中使用最广泛的分析方法。
3.4 独立电路变量的选择与独立方程的存在性
3.4.1网络图论的基本概念基尔霍夫定律分别反映了由网络的连接方式造成的各支路电流和各支路电压之间的约束关系，它与网络元件的性质无关，
因此如果只研究网络的各支路电流或各支路电压之间的关系，则可撇开元件的性质，将网络中的每一条支路抽象为一根线段，称为拓扑支路，
简称支路；而将网络中的节点抽象为几何点，称为拓扑节点，简称节点。
这样就得到了一个与原网络对应的几何图形，该图形称为原网络的线图。
如果网络的各支路电流与电压取关联参考方向，则可在对应线图的各支路上用箭头表示出该参考方向，这样得到一个各支路都具有特定方向的线图，通常称为有向图。如图 3-14(b)和 (c)就是图 3-14(a)所示电路的线图和有向图。必须注意电路图与它对应的线图是有差别的，前者是由电路元件按一定方式连接而成的；而后者是一组支路和一组节点的集合。网络图论就是以网络的线图为基础来分析网络的理论。
图 3-14电路图、线图和有向图如果两个线图 G和 G′，其中 G′的所有支路和节点都是 G的对应支路和节点，则称 G′为 G的一个子图。如图 3-15所示,G1、
G2,G3和 G4都是线图 G的子图。注意，其中 G4仅由一个节点组成。
图 3-15线图 G及其子图如果线图 G的任意两节点之间至少存在一条由支路构成的路径，则 G称为连通图，否则称为非连通图。习惯上，把仅有一个节点的图也称为连通图。一个连通图也可称为一个独立部分。对于非连通图，
其每个最大的连通子图称为一个独立部分。
这样一个非连通图至少必须有两个独立部分。如图 3-16所示，其中（ a)为连通图，
（ b）为非连通图。
图 3-16 连通图与非连通图连通图中的一组支路集合如果满足：
（ 1）若移去该集合中的所有支路
（被移去支路所关联的节点保留），连通图将被分为两个独立部分；
（ 2）若少移去集合中任意一条支路，
线图仍然是连通的，则这组支路集合称为割集。
在网络图论中，树的概念具有极其重要的地位。树是一种特殊类型的子图。连通图 G的一个子图如果满足：
（ 1）是连通图；
（ 2）包含 G的全部节点；
（ 3）无回路，则该子图称为 G的一个树。
一个线图的树选定后，构成树的各支路称为树支，其余的支路称为连支，树支组成的集合为树，而连支组成的集合称为余树或补树。
对于一个具有 n个节点,b条支路的连通图 G,由于线图的树不构成回路，所以除第一条树支连接两个节点外，以后每增加一个节点只需加一条树支，因此线图 G可能有多种不同形式的树，但各树所含树支数相同，为 (n－ 1)。
对于一个具有 n个节点,b条支路的连通图 G，有 (n－ 1)条树支和 b－ (n－ 1)条连支，因此对应地有 (n－ 1)个基本割集和 b－
(n－ 1)个基本回路，通常约定基本回路的方向与它所含连支的方向相同，基本割集的方向与它所含树支的方向一致。
3.4.2独立变量与独立方程基本回路的 KVL方程和基本割集的
KCL方程是独立方程；树支电压是一组独立的和完备的电压变量，连支电流是一组
3.5 回路分析法和割集分析法
3.5.1 回路分析法由前已知，连支电流是一组独立的和完备的电流变量。回路分析法就是以连支电流为电路变量，直接列写基本回路的
KVL方程，先解得连支电流进而求得电路响应的一种网络分析法。
对于一个具有 n个节点,b条支路的连通网络，其连支数为 l=b－ (n－ 1)，因此有相同数目的连支电流变量。每一条连支对应于一个基本回路，因此有 l个基本回路。由于各基本回路的
KVL方程是独立的，因此如果利用连支电流的完备性，将各基本回路 KVL方程中的各支路电压用连支电流表示，则可得到 l个独立的以连支电流为变量的方程，该组方程称为回路方程，联立求解即可得到各连支电流。设想连支电流沿基本回路连续流动，形成回路电流，因此连支电流又可称为其基本回路的回路电流。
自电阻 × 本回路的回路电流 +Σ互电阻
×
=本回路中沿回路电流方向所含电压源电压升的代数和当应用回路分析法分析含受控源的网络时，可先将受控源按独立源一样对待，
列写回路方程，再用辅助方程将受控源的控制量用连支电流表示。
为减少连支电流变量数，在选树时尽可能将电流源支路选为连支；为了减少转换计算量，在选树时尽可能将受控源的控制量支路和待求响应支路选为连支。
3.5.2割集分析法由前已知，树支电压是一组独立和完备的电压变量。割集分析法就是以树支电压为电路变量，直接列写基本割集的 KCL
方程，先解得树支电压进而求得电路响应的一种网络分析法。
对于一个具有 n个节点的连通网络，
其树支数为 (n-1)，因此有相同数目的树支电压变量。每一条树支对应于一个基本割集，因此有 (n-1)个基本割集。由于各基本割集的 KCL方程是独立的。如果利用树支电压的完备性，将各基本割集 KCL方程中的各支路电流用树支电压表示，则可得到
(n-1)个独立的以树支电压为变量的 KCL方程，该组方程就称为割集方程，联立求解即可得到各树支电压。
自电导 × 本割集的树支电压 +Σ
互电导 ×
=本割集中所含电流源电流的代数和当应用割集分析法分析含受控源网络时，可先将受控源按独立源一样对待，列写割集方程，再用辅助方程将受控源的控制量用树支电压表示。
为减少树支电压变量数，在选树时尽可能将电压源支路选为树支；为了减少转换计算量，在选树时尽可能将受控源的控制量支路和待求响应支路选为树支。
回路分析法和割集分析法既适用于平面网络，也适用于非平面网络；在采用回路分析法或割集分析法分析网络时，首先要对给定电路选一个树，而一个电路往往有多种不同形式的树。从上述例题可看出，
如果树选得合适，将可简化计算，因此回路分析法和割集分析法要比网孔分析法和
3.6 电路的对偶特性与对偶电路
3.6.1电路的对偶特性从前面的学习可以发现，电路中的许多变量、元件、结构及定律等都是成对出现的，存在明显的一一对应关系，这种类比关系就称为电路的对偶特性。
3.6.2对偶电路打点法，其具体步骤如下。
(1) 在给定电路 N的每一网孔中安放其对偶电路 N′的一个对偶节点，在外网孔中安放 N′的参考节点。
(2) 穿过电路 N的每一元件，将该元件所在两网孔中安放对偶电路 N′的两节点相连构成 N′的一条支路，连线支路上的元件与被穿过的元件对偶。
(3) 确定对偶电路 N′中各电源的参考方向。在电路 N中，设各网孔方向均为顺时针方向，若网孔中有电压源，且电压源电压升的方向与网孔方向一致，则对偶电路
N′中对偶电流源的参考方向为流入该网孔所对偶的节点；若网孔中有电流源，且电流源的参考方向与网孔方向一致，则对偶电路 N′中对偶电压源的正极与该网孔所对偶的节点相接。
(4) 整理所得电路，得对偶电路 N′。
3.1 支路分析法
3.2 网孔分析法
3.3 节点分析法
3.4 独立电路变量的选择与独立方程的存在性
3.5 回路分析法和割集分析法
3.6 电路的对偶特性与对偶电路
3.1 支路分析法支路分析法是直接以支路电流或支路电压为电路变量，应用 KVL,KCL和支路的伏安关系，列出与支路数相等的独立方程，先解得支路电流或支路电压，进而求得电路响应的电路分析方法。在支路分析法中，若选支路电流为电路变量，则称为支路电流分析法；若选支路电压为电路变用支路电流分析法分析电路的步
(1) 选定各支路电流的参考方向；
(2) 对独立节点列出（ n－ 1)个独
KCL
(3) 选 b－ (n－ 1)个独立回路 (对平面网络，通常取网孔为独立回路 )，对独立回路列出 b－ (n－ 1)个以支路电流为变量的独立的 KVL
(4) 联立求解上述 b个独立方程，解得各支路电流，并以此求出其他响应。
支路电压分析法与支路电流分析法类似，由于支路电压分析法选支路电压为电路变量，因此独立 KCL方程中的各支路电流均应利用支路的伏安关系用支支路分析法的优点是对未知支路电流或支路电压可直接求解；缺点是需联立求解的独立方程数等于网络的支路数，
且方程的列写无规律可循，因此对支路较多的复杂网络来说，计算工作量较大，
且不便用计算机辅助计算。
从线性代数知识可知，为了用最小数目的电路变量去描述电路，所选择的电路变量应具有完备性和独立性。所谓完备性，
是指电路中的其他量都能用这组变量表示；
所谓独立性，是指所选的电路变量之间彼此不能互相表示。具体而言，若一组电流变量是独立的，则各电流变量之间应不受
KCL约束；若一组电压变量是独立的，则各电压变量之间应不受 KVL约束。
3.2 网孔分析法网孔分析法是以网孔电流为电路变量,
直接列写网孔的 KVL方程，先解得网孔电流进而求得响应的一种平面网络分析法。
3.2.1网孔电流和网孔方程所谓网孔电流是一种沿网孔边界流动的假想电流。对于具有 n个节点,b条支路的平面连通网络，有 m=b－ (n－ 1)个网孔，
因而也有 m个网孔电流。
图
3-
4
网孔分析法示例用网孔分析法分析网络的步骤可归纳为：
(1) 设定网孔电流的参考方向（通常各网孔电流都取顺时针方向或都取逆时针方向）；
(2) 列网孔方程组，并联立求解解出网孔电流；
(3) 选定各支路电流的参考方向，由网孔电流求出支路电流或其他响应；
(4) 由于网孔电流自动满足
KCL，故应用 KVL来校验。
3.2.2含有电流源网络的网孔方程在网孔分析法中，推导网孔方程时，
要将各网孔 KVL方程中的各支路电压用网孔电流表示。如果网络中含有独立电流源，
则电流源两端的电压不能直接用网孔电流表示。若电流源是有伴的，可利用诺顿电路与戴维南电路的等效转换，先将电流源变换为电压源，再列网孔方程；若电流源是无伴的，则无法变换为电压源，这时可分如下两种情况分别处理。
(1) 电流源是无伴的且为某一网孔所独有，则与其关联网孔的网孔电流为已知，
即等于该电流源的电流或其负值，该网孔的网孔方程可省去；
(2) 电流源是无伴的且为两个网孔所共有，则可将电流源两端电压设为未知变量，
按前述方法先列网孔方程，再用辅助方程将该电流源的电流用网孔电流表示。
3.2.3含受控源网络的网孔方程当应用网孔分析法分析含受控源网络时，可先将受控源按独立源一样对待，列写网孔方程，再用辅助方程将受控源的控制量用网孔电流表示。
3.3 节点分析法节点分析法是以节点电压为电路变量，直接列写独立节点的 KCL方程，
先解得节点电压进而求得响应的一种网络分析法。
3.3.1节点电压和节点方程在网络中，任选一个节点为参考节点，
其余每个节点与参考节点之间的电压，就称为该节点的节点电压。习惯上节点电压的参考极性均以参考节点为负极，参考节点用符号,⊥,表示。显然，节点电压数比节点数少一个。对于具有 n个节点的网络，有（ n－ 1）个节点电压。在如图 3-8所示电路中，若选节点 4为参考节点，则其余 3个节点与参考节点之间的电压 u n1、
un2和 un3即为这 3个节点的节点电压。
图 3-8 节点分析法示例对于网络中的任意一条支路，如果它与参考节点相关联，则该支路电压或等于与该支路关联的独立节点的节点电压或差一负号（视支路电压的极性而定）；如果不与参考节点相关联，则支路电压可表示为支路所连接的两个独立节点的节点电压的差。
节点电压一旦求得，所有支路电压随之可求出，因此节点电压具有完备性。另外，与参考节点相连的各支路不能构成闭合回路，因此各节点电压相互间不受 KVL
约束，具有独立性。所以节点电压是一组独立的且完备的电压变量。
用节点分析法分析网络的步骤可归纳为：
(1) 选定参考节点；
(2) 列节点方程，并联立求解出节点电压；
(3) 选定各支路电压的参考极性，
由节点电压求出支路电压或其他响应；
(4) 由于节点电压不受 KVL约束，
故应用 KCL来校验。
3.3.2含有电压源网络的节点方程在节点分析法中，推导节点方程时，
要将各独立节点 KCL方程中的各支路电流用节点电压表示。如果网络中含有独立电压源，流过电压源的电流不能直接用节点电压表示。若电压源是有伴的，可利用戴维南电路与诺顿电路的等效转换，先将电压源变换为电流源，再列节点方程；若电压源是无伴的，则无法变换为电流源，这
［方法一］选无伴电压源支路的一端为参考节点，则它另一端的节点电压就等于该电压源的电压或差一负号，为已知量，该节点的节点方程可省去。
［方法二］设流过无伴电压源电流为未知变量，按前述方法先列节点方程，
再用辅助方程将该电压源的电压用节点电压表示。
3.3.3含受控源网络的节点方程当应用节点分析法分析含受控源的网络时，可先将受控源按独立源一样对待，
列写节点方程，再用辅助方程将受控源的控制量用节点电压表示。
支路分析法需联立求解的方程数等于支路数，计算工作量较大，故在实际中很少使用。对具有 n个节点,b条支路的连通网络，用网孔分析法和节点分析法进行分析需联立求解的方程分别为 b－（ n－ 1）
和（ n－ 1）个，少于支路数，并且方程较有规律，可从网络直接列出。
网络分析用网孔分析法还是用节点分析法，要根据网络的具体情况而定。若网络的节点数少于网孔数，则用节点分析法通常所需联立的方程数较少，求解容易；
反之，若网络的网孔数少于节点数，通常应采用网孔分析法。另外，网络中电源的类型也是应该考虑的，如果网络中的电源大多为电流源，则节点方程的列写较方便；
反之，如果网络中的电源大多为电压源，
则网孔方程较易列出。
最后应注意，网孔分析法只适用于平面网络，而节点分析法则无此限制，因此，节点分析法更具有普遍意义，它是目前计算机辅助网络分析中使用最广泛的分析方法。
3.4 独立电路变量的选择与独立方程的存在性
3.4.1网络图论的基本概念基尔霍夫定律分别反映了由网络的连接方式造成的各支路电流和各支路电压之间的约束关系，它与网络元件的性质无关，
因此如果只研究网络的各支路电流或各支路电压之间的关系，则可撇开元件的性质，将网络中的每一条支路抽象为一根线段，称为拓扑支路，
简称支路；而将网络中的节点抽象为几何点，称为拓扑节点，简称节点。
这样就得到了一个与原网络对应的几何图形，该图形称为原网络的线图。
如果网络的各支路电流与电压取关联参考方向，则可在对应线图的各支路上用箭头表示出该参考方向，这样得到一个各支路都具有特定方向的线图，通常称为有向图。如图 3-14(b)和 (c)就是图 3-14(a)所示电路的线图和有向图。必须注意电路图与它对应的线图是有差别的，前者是由电路元件按一定方式连接而成的；而后者是一组支路和一组节点的集合。网络图论就是以网络的线图为基础来分析网络的理论。
图 3-14电路图、线图和有向图如果两个线图 G和 G′，其中 G′的所有支路和节点都是 G的对应支路和节点，则称 G′为 G的一个子图。如图 3-15所示,G1、
G2,G3和 G4都是线图 G的子图。注意，其中 G4仅由一个节点组成。
图 3-15线图 G及其子图如果线图 G的任意两节点之间至少存在一条由支路构成的路径，则 G称为连通图，否则称为非连通图。习惯上，把仅有一个节点的图也称为连通图。一个连通图也可称为一个独立部分。对于非连通图，
其每个最大的连通子图称为一个独立部分。
这样一个非连通图至少必须有两个独立部分。如图 3-16所示，其中（ a)为连通图，
（ b）为非连通图。
图 3-16 连通图与非连通图连通图中的一组支路集合如果满足：
（ 1）若移去该集合中的所有支路
（被移去支路所关联的节点保留），连通图将被分为两个独立部分；
（ 2）若少移去集合中任意一条支路，
线图仍然是连通的，则这组支路集合称为割集。
在网络图论中，树的概念具有极其重要的地位。树是一种特殊类型的子图。连通图 G的一个子图如果满足：
（ 1）是连通图；
（ 2）包含 G的全部节点；
（ 3）无回路，则该子图称为 G的一个树。
一个线图的树选定后，构成树的各支路称为树支，其余的支路称为连支，树支组成的集合为树，而连支组成的集合称为余树或补树。
对于一个具有 n个节点,b条支路的连通图 G,由于线图的树不构成回路，所以除第一条树支连接两个节点外，以后每增加一个节点只需加一条树支，因此线图 G可能有多种不同形式的树，但各树所含树支数相同，为 (n－ 1)。
对于一个具有 n个节点,b条支路的连通图 G，有 (n－ 1)条树支和 b－ (n－ 1)条连支，因此对应地有 (n－ 1)个基本割集和 b－
(n－ 1)个基本回路，通常约定基本回路的方向与它所含连支的方向相同，基本割集的方向与它所含树支的方向一致。
3.4.2独立变量与独立方程基本回路的 KVL方程和基本割集的
KCL方程是独立方程；树支电压是一组独立的和完备的电压变量，连支电流是一组
3.5 回路分析法和割集分析法
3.5.1 回路分析法由前已知，连支电流是一组独立的和完备的电流变量。回路分析法就是以连支电流为电路变量，直接列写基本回路的
KVL方程，先解得连支电流进而求得电路响应的一种网络分析法。
对于一个具有 n个节点,b条支路的连通网络，其连支数为 l=b－ (n－ 1)，因此有相同数目的连支电流变量。每一条连支对应于一个基本回路，因此有 l个基本回路。由于各基本回路的
KVL方程是独立的，因此如果利用连支电流的完备性，将各基本回路 KVL方程中的各支路电压用连支电流表示，则可得到 l个独立的以连支电流为变量的方程，该组方程称为回路方程，联立求解即可得到各连支电流。设想连支电流沿基本回路连续流动，形成回路电流，因此连支电流又可称为其基本回路的回路电流。
自电阻 × 本回路的回路电流 +Σ互电阻
×
=本回路中沿回路电流方向所含电压源电压升的代数和当应用回路分析法分析含受控源的网络时，可先将受控源按独立源一样对待，
列写回路方程，再用辅助方程将受控源的控制量用连支电流表示。
为减少连支电流变量数，在选树时尽可能将电流源支路选为连支；为了减少转换计算量，在选树时尽可能将受控源的控制量支路和待求响应支路选为连支。
3.5.2割集分析法由前已知，树支电压是一组独立和完备的电压变量。割集分析法就是以树支电压为电路变量，直接列写基本割集的 KCL
方程，先解得树支电压进而求得电路响应的一种网络分析法。
对于一个具有 n个节点的连通网络，
其树支数为 (n-1)，因此有相同数目的树支电压变量。每一条树支对应于一个基本割集，因此有 (n-1)个基本割集。由于各基本割集的 KCL方程是独立的。如果利用树支电压的完备性，将各基本割集 KCL方程中的各支路电流用树支电压表示，则可得到
(n-1)个独立的以树支电压为变量的 KCL方程，该组方程就称为割集方程，联立求解即可得到各树支电压。
自电导 × 本割集的树支电压 +Σ
互电导 ×
=本割集中所含电流源电流的代数和当应用割集分析法分析含受控源网络时，可先将受控源按独立源一样对待，列写割集方程，再用辅助方程将受控源的控制量用树支电压表示。
为减少树支电压变量数，在选树时尽可能将电压源支路选为树支；为了减少转换计算量，在选树时尽可能将受控源的控制量支路和待求响应支路选为树支。
回路分析法和割集分析法既适用于平面网络，也适用于非平面网络；在采用回路分析法或割集分析法分析网络时，首先要对给定电路选一个树，而一个电路往往有多种不同形式的树。从上述例题可看出，
如果树选得合适，将可简化计算，因此回路分析法和割集分析法要比网孔分析法和
3.6 电路的对偶特性与对偶电路
3.6.1电路的对偶特性从前面的学习可以发现，电路中的许多变量、元件、结构及定律等都是成对出现的，存在明显的一一对应关系，这种类比关系就称为电路的对偶特性。
3.6.2对偶电路打点法，其具体步骤如下。
(1) 在给定电路 N的每一网孔中安放其对偶电路 N′的一个对偶节点，在外网孔中安放 N′的参考节点。
(2) 穿过电路 N的每一元件，将该元件所在两网孔中安放对偶电路 N′的两节点相连构成 N′的一条支路，连线支路上的元件与被穿过的元件对偶。
(3) 确定对偶电路 N′中各电源的参考方向。在电路 N中，设各网孔方向均为顺时针方向，若网孔中有电压源，且电压源电压升的方向与网孔方向一致，则对偶电路
N′中对偶电流源的参考方向为流入该网孔所对偶的节点；若网孔中有电流源，且电流源的参考方向与网孔方向一致，则对偶电路 N′中对偶电压源的正极与该网孔所对偶的节点相接。
(4) 整理所得电路，得对偶电路 N′。
