第 5章 一阶电路分析
５,１ 电容元件和电感元件
５,２ 换路定则及初始值计算
５,３ 一阶电路的零输入响应
５,４ 一阶电路的零状态响应
５,５ 一阶电路的全响应
５,６ 一阶电路的三要素法
５,７ 一阶电路的特殊情况分析
５,８ 阶跃信号和阶跃响应
５,９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
５,１ 电容元件和电感元件
５,１,
电路理论中，电容元件是 (实际 )
把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电容器。由于理想介质是不导电的，在外电源的作用下，两块极板上能分别积聚等量的异性电荷，在极板之间形成电场，可见电容器是一种能积聚电荷、
能储存电场能量的器件。电容元件是实际电容器的理想化模型，其电路符号如图５ -
１所示。
图５ -１电容元件的符号它的定义为：一个二端元件，在任一时刻 ｔ,它所积聚的电荷 ｑ （ ｔ ）与其端电压 u（ ｔ ）之间的关系可以用 ｑ -u平面上的一条曲线来确定，则称该二端元件为电容元件，简称电容。该曲线称为电容元件在 ｔ 时刻的库 — 伏特性曲线。电容元件是一种电荷与电压相约束的元件，其电荷瞬时值与电压瞬时值之间具有代数关系。
与电阻元件相类似，若约束电容元件的 ｑ -u平面上的曲线为通过原点的直线，
则称它为线性电容；否则为非线性电容。
若曲线不随时间而变化，则称为非时变电
５,１,
电路理论中，电感元件是 (实际 )电感通常把导线绕成线圈称为电感器或电感线圈。当线圈通过电流时即在其线圈内外建立磁场并产生磁通 Φ，如图５ -７所示。
各线匝磁通的总和称为磁链 ψ（若线圈匝数为 N,ψ＝ Ｎ Φ）。可见电感器是一种能建立磁场、储存磁场能量的器件。
图
５-
７
电感线圈及其磁通电感元件是实际电感器的理想化模型，
其电路符号如图５ -８所示，它的定义为：
一个二端元件，如果在任一时刻 ｔ,它所交链的磁链 ψ（ ｔ ｉ （ ｔ ）
之间的关系可以用 ψ-ｉ 平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件，简称电感。该曲线称为电感元件在 ｔ 时刻的韦 — 安特性曲线。电感元件是一种磁链与电流相约束的元件，其磁链瞬时值与电流图５ -８电感元件的符号与电阻元件和电容元件相类似，若约束电感元件的 ψ-ｉ 平面上的曲线为通过原点的直线，则称它为线性电感；否则为非线性电感。若曲线不随时间而变化，则称在国际单位制（ ＳＩ ）中，电感的单位为亨［利］ (简称亨，符号为 H)。１亨
＝１韦／安。也可以用毫亨 (ｍＨ ）或微亨
（ μＨ
１ μＨ＝１０ －３ ｍＨ＝１０ －６ Ｈ
电感元件的功率与电容元件一样有时为正，有时为负。功率为正值时，
表示电感吸收能量，储存在磁场中；
功率为负值时，表示电感释放储存在磁场中的能量。所以电感也是一个储能元件，而不是耗能元件。
电感电流一般情况下不能跳变也电感元件和电容元件是互为对偶元件，它们的含义、特性都具有相应的对偶关系。
5.1.3电容器和电感器的模型实际部件可以近似地用理想电路元件作为它的模型，条件不同，即使是同一个实际电感器 (电感线圈 )可以用图５ -
１１（ ａ ）电感元件作为其模型。如果线圈的绕线电阻的影响不能忽略，则其模型如图５ -１１（ ｂ ）所示，其中 Ｒ Ｌ
为绕线电阻；如果线圈在高频条件下工作，线圈的匝间电容的影响不能忽略，
则其模型如图５ -１１（ ｃ ）所示，其中
Ｃ Ｌ 为匝间电容。一个实际电感器使用时，不仅需要了解它的电感量，还要注意不得超过它的额定电流。电流过大会图５ -１１电感线圈的模型类似地，可以得到实际电容器在不同要求下的 3种电路模型，分别为图５ -
１２（ ａ ）,(b),(c)所示。其中 Ｒ C为电容极板间介质损耗,Ｌ Ｃ 为电容引线仅需要了解它的电容量，还要注意不得超过它的额定电压。电压过大会使电容器介质击穿而损坏。
图５ -１２电容器的模型
５,２ 换路定则及初始值计算在电路分析中，把电路元件的连接方式或参数的突然改变称为换路。
换路常用开关来完成。换路意味着电在电阻电路中，电路的激励和响应之间具有线性的代数关系，这意味着电路中激励和响应具有相同的变化规律，换路时电路的响应从一种变化规律立即变为另一种变化规律。当电路中含有动态元件时，
由于它们是惯性元件，换路时能量的存储或释放不能瞬间完成，表现为电容电压、
电感电流只能连续变化而不能发生跳变。
因而换路后电路的响应有一个逐步过渡的过程，简称过渡过程或瞬态过程。电阻电路无过渡过程。而动态电路分析即瞬态过程分析是分析动态电路从换路时刻开始直至电路进入稳定工作状态全过程的电动态电路的分析方法很多，本课程采用经典的时域分析法。它包括以
(1)依据电路的两类约束，即基尔霍夫定律和元件的 ＶＣＲ 建立换路后
(2)找出所需的初始条件求解微分方程。
应用换路定则是有条件的，即必须保证电路在换路瞬间电容电流、电感电压为有限值。表现在电路结构上则要求电路在换路后不形成仅由 uＳ -Ｃ 或 Ｃ -Ｃ
构成的回路 (简称全电容回路 )以及仅由
ｉ Ｓ -Ｌ 或 Ｌ -Ｌ 构成的割集 (简称全电感割集 )。一般电路均能满足这个条件，换路定则成立。对某些不满足上述条件的电路，换路定则失效。
５,３ 一阶电路的零输入响应对于任意一阶电路，换路后总可以用图５ -１７ (ａ ）来描述。即一阶电路总可以看成一个有源二端电阻网络 N外接一个电容或电感所组成。根据戴维南定理和诺顿定理图５ -１７（ ａ ）电路总可以化简为图５ -１７（ ｂ ）或 (ｃ
图
５-
１
７
一阶电路的基本形式电路在没有外加激励时的响应称为零输入响应。因此，零输入响应仅仅是由于非零初始状态所引起的，也可以说，是由初始时刻电容的电场储能或电感的磁场储能所引起的。
5.3.1 ＲＣ 电路的零输入响应电路如图５ -１８所示图５ -１８ ＲＣ 零输入电路
５,３,２ RL电路的零输入响应电路如图５ -２２所示图５ -２２ RL零输入电路
５,３,３一阶电路零输入电路的零输入响应是输入为零，仅由电路非零初始状态所引起的响应，它的变化规律取决于电路本身的特性 (电路结构、元件参数 )，与外界的激励无关。
所以，零输入响应又称为电路的自然响应或固有响应。
在零输入电路中，初始状态可认为是电路的内激励。电路初始状态增大 K倍，
则由此引起的零输入响应也相应地增大 K
倍。这种初始状态和零输入响应间的线性关系称为零输入线性，它是线性电路激励
５,４ 一阶电路的零状态响应零状态响应即零初始状态响应，
是电路仅有外激励引起的响应。本节只讨论一阶电路在恒定激励 (直流 )作用下的零状态响应，且主要研究动态
５,４,１ RC电路的零状态响应电路如图５ -２５所示。
图５ -２５ RC零状态电路开关
５,４,２ RL电路的零状态响应电路如图５ -２７所示图５ -２７ RL零状态电路
５,４,３一阶电路电容电压、电感电流零状态响应的一般公式恒定激励下零状态电路的过渡过程实质上是动态元件的储能由零逐渐增长到某一定值的过程。因此，尽管一阶电路的结构和元件参数可以千差万别，但电路中表征电容或电感储能状态的变量 uＣ 或 ｉ Ｌ 却都是从零值按指数规律逐渐增长至稳态值。此稳态值可以从电容相当于开路、电感相当于短路的等效电路来求取，此电路称为终值电路。
在零状态电路中，当激励增大 K倍，
零状态响应也相应增大 K倍。若电路有多个激励，则响应是每个激励分别作用时产生响应的代数和。这种关系称为零状态线性。它是线性电路中齐次性和可加性在零状态电路中的反映。
５,５ 一阶电路的全响应上两节分别讨论了只有非零初始状态和只有外激励作用时一阶电路的响应，即零输入响应和零状态响应。本节将讨论非零初始状态和外激励 (仍限于直流电流 )共同作用时的一阶电路的响应，这种响应称为全响应。
从电路换路后的能量来源可以推论：电路的全响应必然是其零输入响应与零状态响应的叠加。下面以 RC电电路如图５ -３０所示 。
图５ -３０ RC全响应电路
５,６ 一阶电路的三要素法在前面几节的分析中，无论是求零输入响应、零状态响应还是全响应，总是以电容电压或电感电流为主要分析对象。但实际上一阶电路千差万别，需求响应也各不相同，因此仅计算电容电压或电感电流显然并不合适。
三要素公式适用于恒定激励下一阶电路任意支路的电流或任意两端的电压。而且不仅适用于计算全响应，同样也适用于求解零输入响应和零状态响应。在初始值电路中,有两类激励：一类是内激励，
另一类是外激励。
５,７ 一阶电路的特殊情况分析本节讨论由于一阶电路中实际元件模在电路模型中，可能出现由全电容或同时包含理想电压源组成的回路 (简称全电容回路 )；也可能出现由全电感或同时包含理想电流源组成的割集 (简称全电感割集 )。
换路瞬间电容电压或电感电流不再是连续函数，即换路时 uＣ 或 ｉ Ｌ 会发生跳变，换路定则失效。瞬间电荷守恒定律和瞬间磁链守恒定律将是解决问题的依据。
在电路模型中，还可能出现由全电容组成的割集 (简称全电容割集 )；也还可能出现由全电感组成的回路 (简称全电感回路 )。
一阶电路的三要素公式总是成立的。
５,８ 阶跃信号和阶跃响应
５,８,１
在动态电路分析中，广泛引用阶跃函数来描述电路的激励和响应。
单位阶跃函数本身无量纲，当用它表示电压或电流时量纲分别为伏特和安培，
并统称为单位阶跃信号。
在动态电路分析中，单位阶跃信号可以用来描述开关 Ｋ 的动作。例如，用单位阶跃电压源作激励，则相当于 ｔ ＝０时接入 1Ｖ 的电压源，如图５ -４２（ ａ ）、
（ ｂ ）所示，两者是等效的。类似地，图
５ -４２（ ｃ ）、（ ｄ ）也是等效的。
图５ -４２阶跃函数与开关的关系利用单位阶跃信号可以方便地表示各种信号。例如图５ -４３（ ａ ）所示的矩形脉冲信号，可以看成是图５ -４３（ ｂ ）、
（ ｃ
ｆ （ ｔ ）＝ Ａ ε（ ｔ ）－ Ａ ε（ ｔ － ｔ ０ ）
图５ -４３ 矩形脉冲的分解
５,８,
零状态电路在单位阶跃信号作用下的响应称为 (单位 )阶跃响应，并用 ｓ （ ｔ ）
来表示。
５,９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析脉冲序列指重复脉冲信号。脉冲持续时间与脉冲间隔时间相同的方波信号就是一种常见的脉冲序列，如图５ -４９ (ａ ）
所示，其周期是 2T。下面讨论图５ -４９
（ ｂ ）所示 RC电路在图示脉冲序列作用下响应的变化规律。
图５ -４９脉冲序列信号作用于 ＲＣ 电路按照电路时间常数 τ与脉冲持续时间 T
(1)Ｔ ≥４ τ时的情况通常，将电阻两端作为输出端，时间常数非常小的 RC电路称为微分电路。
(2)Ｔ ＜４ τ时的情况将电容两端作为输出端，时间常数非常大的 ＲＣ 电路称为积分电路。
５,１ 电容元件和电感元件
５,２ 换路定则及初始值计算
５,３ 一阶电路的零输入响应
５,４ 一阶电路的零状态响应
５,５ 一阶电路的全响应
５,６ 一阶电路的三要素法
５,７ 一阶电路的特殊情况分析
５,８ 阶跃信号和阶跃响应
５,９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
５,１ 电容元件和电感元件
５,１,
电路理论中，电容元件是 (实际 )
把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电容器。由于理想介质是不导电的，在外电源的作用下，两块极板上能分别积聚等量的异性电荷，在极板之间形成电场，可见电容器是一种能积聚电荷、
能储存电场能量的器件。电容元件是实际电容器的理想化模型，其电路符号如图５ -
１所示。
图５ -１电容元件的符号它的定义为：一个二端元件，在任一时刻 ｔ,它所积聚的电荷 ｑ （ ｔ ）与其端电压 u（ ｔ ）之间的关系可以用 ｑ -u平面上的一条曲线来确定，则称该二端元件为电容元件，简称电容。该曲线称为电容元件在 ｔ 时刻的库 — 伏特性曲线。电容元件是一种电荷与电压相约束的元件，其电荷瞬时值与电压瞬时值之间具有代数关系。
与电阻元件相类似，若约束电容元件的 ｑ -u平面上的曲线为通过原点的直线，
则称它为线性电容；否则为非线性电容。
若曲线不随时间而变化，则称为非时变电
５,１,
电路理论中，电感元件是 (实际 )电感通常把导线绕成线圈称为电感器或电感线圈。当线圈通过电流时即在其线圈内外建立磁场并产生磁通 Φ，如图５ -７所示。
各线匝磁通的总和称为磁链 ψ（若线圈匝数为 N,ψ＝ Ｎ Φ）。可见电感器是一种能建立磁场、储存磁场能量的器件。
图
５-
７
电感线圈及其磁通电感元件是实际电感器的理想化模型，
其电路符号如图５ -８所示，它的定义为：
一个二端元件，如果在任一时刻 ｔ,它所交链的磁链 ψ（ ｔ ｉ （ ｔ ）
之间的关系可以用 ψ-ｉ 平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件，简称电感。该曲线称为电感元件在 ｔ 时刻的韦 — 安特性曲线。电感元件是一种磁链与电流相约束的元件，其磁链瞬时值与电流图５ -８电感元件的符号与电阻元件和电容元件相类似，若约束电感元件的 ψ-ｉ 平面上的曲线为通过原点的直线，则称它为线性电感；否则为非线性电感。若曲线不随时间而变化，则称在国际单位制（ ＳＩ ）中，电感的单位为亨［利］ (简称亨，符号为 H)。１亨
＝１韦／安。也可以用毫亨 (ｍＨ ）或微亨
（ μＨ
１ μＨ＝１０ －３ ｍＨ＝１０ －６ Ｈ
电感元件的功率与电容元件一样有时为正，有时为负。功率为正值时，
表示电感吸收能量，储存在磁场中；
功率为负值时，表示电感释放储存在磁场中的能量。所以电感也是一个储能元件，而不是耗能元件。
电感电流一般情况下不能跳变也电感元件和电容元件是互为对偶元件，它们的含义、特性都具有相应的对偶关系。
5.1.3电容器和电感器的模型实际部件可以近似地用理想电路元件作为它的模型，条件不同，即使是同一个实际电感器 (电感线圈 )可以用图５ -
１１（ ａ ）电感元件作为其模型。如果线圈的绕线电阻的影响不能忽略，则其模型如图５ -１１（ ｂ ）所示，其中 Ｒ Ｌ
为绕线电阻；如果线圈在高频条件下工作，线圈的匝间电容的影响不能忽略，
则其模型如图５ -１１（ ｃ ）所示，其中
Ｃ Ｌ 为匝间电容。一个实际电感器使用时，不仅需要了解它的电感量，还要注意不得超过它的额定电流。电流过大会图５ -１１电感线圈的模型类似地，可以得到实际电容器在不同要求下的 3种电路模型，分别为图５ -
１２（ ａ ）,(b),(c)所示。其中 Ｒ C为电容极板间介质损耗,Ｌ Ｃ 为电容引线仅需要了解它的电容量，还要注意不得超过它的额定电压。电压过大会使电容器介质击穿而损坏。
图５ -１２电容器的模型
５,２ 换路定则及初始值计算在电路分析中，把电路元件的连接方式或参数的突然改变称为换路。
换路常用开关来完成。换路意味着电在电阻电路中，电路的激励和响应之间具有线性的代数关系，这意味着电路中激励和响应具有相同的变化规律，换路时电路的响应从一种变化规律立即变为另一种变化规律。当电路中含有动态元件时，
由于它们是惯性元件，换路时能量的存储或释放不能瞬间完成，表现为电容电压、
电感电流只能连续变化而不能发生跳变。
因而换路后电路的响应有一个逐步过渡的过程，简称过渡过程或瞬态过程。电阻电路无过渡过程。而动态电路分析即瞬态过程分析是分析动态电路从换路时刻开始直至电路进入稳定工作状态全过程的电动态电路的分析方法很多，本课程采用经典的时域分析法。它包括以
(1)依据电路的两类约束，即基尔霍夫定律和元件的 ＶＣＲ 建立换路后
(2)找出所需的初始条件求解微分方程。
应用换路定则是有条件的，即必须保证电路在换路瞬间电容电流、电感电压为有限值。表现在电路结构上则要求电路在换路后不形成仅由 uＳ -Ｃ 或 Ｃ -Ｃ
构成的回路 (简称全电容回路 )以及仅由
ｉ Ｓ -Ｌ 或 Ｌ -Ｌ 构成的割集 (简称全电感割集 )。一般电路均能满足这个条件，换路定则成立。对某些不满足上述条件的电路，换路定则失效。
５,３ 一阶电路的零输入响应对于任意一阶电路，换路后总可以用图５ -１７ (ａ ）来描述。即一阶电路总可以看成一个有源二端电阻网络 N外接一个电容或电感所组成。根据戴维南定理和诺顿定理图５ -１７（ ａ ）电路总可以化简为图５ -１７（ ｂ ）或 (ｃ
图
５-
１
７
一阶电路的基本形式电路在没有外加激励时的响应称为零输入响应。因此，零输入响应仅仅是由于非零初始状态所引起的，也可以说，是由初始时刻电容的电场储能或电感的磁场储能所引起的。
5.3.1 ＲＣ 电路的零输入响应电路如图５ -１８所示图５ -１８ ＲＣ 零输入电路
５,３,２ RL电路的零输入响应电路如图５ -２２所示图５ -２２ RL零输入电路
５,３,３一阶电路零输入电路的零输入响应是输入为零，仅由电路非零初始状态所引起的响应，它的变化规律取决于电路本身的特性 (电路结构、元件参数 )，与外界的激励无关。
所以，零输入响应又称为电路的自然响应或固有响应。
在零输入电路中，初始状态可认为是电路的内激励。电路初始状态增大 K倍，
则由此引起的零输入响应也相应地增大 K
倍。这种初始状态和零输入响应间的线性关系称为零输入线性，它是线性电路激励
５,４ 一阶电路的零状态响应零状态响应即零初始状态响应，
是电路仅有外激励引起的响应。本节只讨论一阶电路在恒定激励 (直流 )作用下的零状态响应，且主要研究动态
５,４,１ RC电路的零状态响应电路如图５ -２５所示。
图５ -２５ RC零状态电路开关
５,４,２ RL电路的零状态响应电路如图５ -２７所示图５ -２７ RL零状态电路
５,４,３一阶电路电容电压、电感电流零状态响应的一般公式恒定激励下零状态电路的过渡过程实质上是动态元件的储能由零逐渐增长到某一定值的过程。因此，尽管一阶电路的结构和元件参数可以千差万别，但电路中表征电容或电感储能状态的变量 uＣ 或 ｉ Ｌ 却都是从零值按指数规律逐渐增长至稳态值。此稳态值可以从电容相当于开路、电感相当于短路的等效电路来求取，此电路称为终值电路。
在零状态电路中，当激励增大 K倍，
零状态响应也相应增大 K倍。若电路有多个激励，则响应是每个激励分别作用时产生响应的代数和。这种关系称为零状态线性。它是线性电路中齐次性和可加性在零状态电路中的反映。
５,５ 一阶电路的全响应上两节分别讨论了只有非零初始状态和只有外激励作用时一阶电路的响应，即零输入响应和零状态响应。本节将讨论非零初始状态和外激励 (仍限于直流电流 )共同作用时的一阶电路的响应，这种响应称为全响应。
从电路换路后的能量来源可以推论：电路的全响应必然是其零输入响应与零状态响应的叠加。下面以 RC电电路如图５ -３０所示 。
图５ -３０ RC全响应电路
５,６ 一阶电路的三要素法在前面几节的分析中，无论是求零输入响应、零状态响应还是全响应，总是以电容电压或电感电流为主要分析对象。但实际上一阶电路千差万别，需求响应也各不相同，因此仅计算电容电压或电感电流显然并不合适。
三要素公式适用于恒定激励下一阶电路任意支路的电流或任意两端的电压。而且不仅适用于计算全响应，同样也适用于求解零输入响应和零状态响应。在初始值电路中,有两类激励：一类是内激励，
另一类是外激励。
５,７ 一阶电路的特殊情况分析本节讨论由于一阶电路中实际元件模在电路模型中，可能出现由全电容或同时包含理想电压源组成的回路 (简称全电容回路 )；也可能出现由全电感或同时包含理想电流源组成的割集 (简称全电感割集 )。
换路瞬间电容电压或电感电流不再是连续函数，即换路时 uＣ 或 ｉ Ｌ 会发生跳变，换路定则失效。瞬间电荷守恒定律和瞬间磁链守恒定律将是解决问题的依据。
在电路模型中，还可能出现由全电容组成的割集 (简称全电容割集 )；也还可能出现由全电感组成的回路 (简称全电感回路 )。
一阶电路的三要素公式总是成立的。
５,８ 阶跃信号和阶跃响应
５,８,１
在动态电路分析中，广泛引用阶跃函数来描述电路的激励和响应。
单位阶跃函数本身无量纲，当用它表示电压或电流时量纲分别为伏特和安培，
并统称为单位阶跃信号。
在动态电路分析中，单位阶跃信号可以用来描述开关 Ｋ 的动作。例如，用单位阶跃电压源作激励，则相当于 ｔ ＝０时接入 1Ｖ 的电压源，如图５ -４２（ ａ ）、
（ ｂ ）所示，两者是等效的。类似地，图
５ -４２（ ｃ ）、（ ｄ ）也是等效的。
图５ -４２阶跃函数与开关的关系利用单位阶跃信号可以方便地表示各种信号。例如图５ -４３（ ａ ）所示的矩形脉冲信号，可以看成是图５ -４３（ ｂ ）、
（ ｃ
ｆ （ ｔ ）＝ Ａ ε（ ｔ ）－ Ａ ε（ ｔ － ｔ ０ ）
图５ -４３ 矩形脉冲的分解
５,８,
零状态电路在单位阶跃信号作用下的响应称为 (单位 )阶跃响应，并用 ｓ （ ｔ ）
来表示。
５,９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析脉冲序列指重复脉冲信号。脉冲持续时间与脉冲间隔时间相同的方波信号就是一种常见的脉冲序列，如图５ -４９ (ａ ）
所示，其周期是 2T。下面讨论图５ -４９
（ ｂ ）所示 RC电路在图示脉冲序列作用下响应的变化规律。
图５ -４９脉冲序列信号作用于 ＲＣ 电路按照电路时间常数 τ与脉冲持续时间 T
(1)Ｔ ≥４ τ时的情况通常，将电阻两端作为输出端，时间常数非常小的 RC电路称为微分电路。
(2)Ｔ ＜４ τ时的情况将电容两端作为输出端，时间常数非常大的 ＲＣ 电路称为积分电路。
