第 8章耦合电感和变压器电路分析
8.1 耦 合 电 感
8.2 耦合电感的连接及其去耦等效
8.3 空 芯 变 压 器
8.4 理想变压器和全耦合变压器
8.5 含理想变压器电路的分析计算
8.1 耦 合 电 感如果两个线圈的磁场存在相互作用，
就称这两个线圈具有磁耦合。具有磁耦合的两个或两个以上的线圈，称为耦合线圈。
如果假定各线圈的位置是固定的，并且忽略线圈本身所具有的电阻和匝间分布电容，
得到的耦合线圈的理想化模型就称为耦合电感。
8.1.1耦合电感的伏安关系考虑如图 8-1(a)所示的具有磁耦合的两个线圈 Ⅰ 和 Ⅱ,由于两个线圈之间存在磁耦合，因此每个线圈电流产生的磁通不仅与本线圈交链，还部分或全部地与另一线圈交链，所以每个线圈中的磁链将由本线圈的电流产生的磁链和另一线圈的电流产生的磁链两部分组成。
图 8-1 耦合线圈根据电磁感应定律，若自感电压和互感电压的参考方向与产生感应电压的磁链的参考方向符合右手螺旋法则，当线圈的电流与电压取关联参考方向时，自感电压前的符号总为正；而互感电压前的符号可正可负，当互磁链与自磁链的参考方向一致时，取正号；反之，当互磁链与自磁链的参考方向不一致时，取负号。
从耦合电感的伏安关系式可知，由两个线圈组成的耦合电感是一个由 L1,L2和
M三个参数表征的四端元件，并且由于它的自感电压和互感电压分别与两线圈中的电流的变化率成正比，因此是一种动态元件和记忆元件。
8.1.2耦合线圈的同名端由前可知，耦合电感线圈中的互磁链和自磁链的参考方向可能一致，也可能不一致，由线圈电流的参考方向和线圈的绕向及线圈间的相对位置决定。但实际的耦合电感都是密封的，一般不能从外观看到线圈的绕向；另外，要求在电路图中画出每个线圈的绕向及线圈间的相对位置也很不方便。
为了解决这一问题，引入同名端的概念。
所谓同名端是指耦合线圈中的这样一对端钮：当线圈电流同时流入 (或流出 )该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。从感应电压的角度，如果电流与其产生的磁链及磁链与其产生的感应电压的参考方向符合右手螺旋法则，
同名端可定义为任一线圈电流在各线圈中产生的自感电压或互感电压的同极性端 (正极性端或负极性端 )，也即互感电压的正极性端与产生该互感电压的线圈电流的流入端为同名端。
同名端通常用标志,·”(或“”等 )表示。
利用同名端的概念图 8-1(a)和 (b)所示的耦合电感可分别用图 8-2(a)和 (b) 所示的电路符号表示，图中耦合电感标有,·”的两个端钮为同名端，余下的一对无标志符的端钮也是一对同名端。必须指出，耦合线圈的同名端只取决于线圈的绕向和线圈间的相对位置，而与线圈中电流的方向无关。
图 8-2 耦合电感的电路符号有了同名端的标志，根据各线圈电压和电流的参考方向，就能从耦合电感直接写出其伏安关系式。具体规则是：
若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联参考方向时，该线圈的自感电压前取正号，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极性端与在该线圈中产生互感电压的另一线圈的电流的流入端为同名端时，该线圈的互感电压前取正号，否则取负号。
由于耦合电感中的互感电压反映了耦合电感线圈间的耦合关系，为了在电路模型中以较明显的方式将这种耦合关系表示出来，各线圈中的互感电压可用 CCVS表示。若用受控源表示互感电压，则图 8-2(a)
和 (b)所示耦合电感可分别用图 8-5(a)和 (b)
图 8-5用受控源表示互感电压时耦合电感的电路模型
8.1.3耦合电感的储能由于耦合电感是无源元件，因此它任意时刻的储能不可能为负值。
8.2耦合电感的连接及其去耦等效耦合电感的两个线圈在实际电路中，
一般要以某种方式相互连接，基本的连接方式有串联、并联和三端连接。在电路分析中，将按上述连接方式的耦合电感用无耦合的等效电路去代替的过程，称为去耦等效。本节就介绍这 3种基本连接方式及其去耦等效。
8.2.1耦合电感的串联耦合电感的两线圈串联时可以有两种接法：一种是如图 8-8(a)所示，两线圈的异名端相接，称为顺串；另一种是如图 8-8(b)所示，两线圈的同名端相接，
称为反串。
图 8-8 耦合电感的串联
8.2.2耦合电感的并联耦合电感的两线圈并联时也可能有两种接法：一种是如图 8-9(a)所示，两线圈的同名端两两相接，称为同侧并联 (顺并 )；
另一种是如图 8-9(b)所示，两线圈的异名端两两相接，称为异侧并联 (反并 ) 。
8.2.3耦合电感的三端连接将耦合电感的两个线圈各取一端连接起来就成了耦合电感的三端连接电路。三端连接也有两种接法：一种是将同名端相连，构成如图 8-10(a)所示三端连接电路；
另一种是将异名端相连，构成如图 8-10(b)
所示三端连接电路。
在正弦稳态电路中，对应于图 8-
10所示的耦合电感的三端连接及其去耦电路的相量模型可如图 8-11所示。
8.3 空 芯 变 压 器变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来实现传递能量或信号的器件。它通常由两个具有磁耦合的线圈组成，一个线圈与电源相接，称为初级线圈或原边线圈；另一个线圈与负载相接，称为次级线圈或副边线圈。变压器的线圈可绕在铁芯上，构成铁芯变压器；也可绕在非铁磁材料的芯子上，构成空芯变压器。前者线圈间的耦合系数接近于 1，属于紧耦合；后者线圈间的耦合系数较小，属于松耦合。
图 8-13(a)是一个最简单的工作于正弦稳态下的空芯变压器电路的相量模型，图中虚框内部分就是空芯变压器的相量模型，
它由自感为 L1和 L2、互感为 M的耦合电感及电阻 R1和 R2组成，其中 R1和 R2分别为变压器初、次级线圈的电阻。
图 8-13 空芯变压器另外，对于空芯变压器电路也可用上节介绍的去耦等效的方法进行分析。因为在图 8-14(a)所示的空芯变压器电路中，如果将 b和 d两点相连，该连线上无电流流过，
故对原电路并无影响，但此时空芯变压器中的耦合电感作三端连接，通过去耦等效得到如图 8-14(b) 所示等效电路，对该电路用正弦稳态的分析方法即可求解。
图 8-14空芯变压器电路的去耦等效电路
8.4 理想变压器和全耦合变压器
8.4.1理想变压器的伏安关系理想变压器也是一种耦合元件，它是实际变压器在理想化条件下的电路模型。
理想变压器惟一的参数是一个称之为变比
（ transformation ratio）的常数 n，而不是
L1,L2和 M等参数。理想变压器的电路符号如图 8-16（ a）所示 。
图 8-16理想变压器理想变压器可以看成是耦合电感在满足下述 3个理想化条件的极限情况：
1,耦合电感无损耗，即线圈是理想的；
2,耦合系数 k=1，即全耦合；
3,自感系数 L1和 L2均为无限大，且
L1/L2等于常数，互感系数也为无限大。
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的电压、电流关系。无损耗全耦合变压器如图 8-17所示。
图 8-17 无损耗全耦合变压器
8.4.2全耦合变压器的电路模型一个实际变压器要完全满足上述 3个理想化条件是十分困难的。一般来说，一个线圈损耗忽略不计；耦合系数 k＝ 1；但自感系数为有限值的全耦合变压器更接近实际的铁芯变压器。在电路分析中，全耦合变压器除了可以用耦合电感来表征其特性外［参见图 8-19(a)］,还可以用含理想变压器的电路模型来等效。
图 8-19 全耦合变压器及其电路模型
8.5含理想变压器电路的分析计算在图 8-19(b)所示全耦合变压器的等效电路中,L1也可以理解为外接电感，故本节也包括含全耦合变压器电路分析计算。
8.5.1理想变压器的阻抗变换理想变压器除了能以 n倍的关系变换电压、电流外；还具有以 n2倍的关系变换阻抗的性质。故变压器也称为变量器 。
从次级搬移到初级时阻抗要乘 n2;反之，从初级搬移到次级时阻抗要除 n2；
且串、并联关系保持不变。
应该指出，阻抗来回搬移与同名端无关；而电源来回搬移则与同名端有关。
如图 8-22（ a）所示电路可搬移成为图 8-
22（ b)和（ c）电路，这样做的结果能使电路得到简化。
从第 7章可知，正弦稳态电路中，负载阻抗必须与电源内阻抗达到共轭匹配时，
负载才能获得最大功率。但实际电路中，
负载往往和电源一样也是给定的，并非任意可调。在这种情况下，为了使负载获得尽可能大的功率，可通过理想变压器来实现匹配。
考虑如图 8-26(a)所示电路，其中理想变压器的匝比是可调的，利用理想变压器的阻抗变换，将负载阻抗折合到初级，可得图 8-26(b)所示电路。由于利用理想变压器进行阻抗变换时，阻抗的实部和虚部是以相同的比例变化的，所以实际上是负载阻抗的阻抗角不变，仅改变了负载阻抗的模。一般无法达到共轭匹配。
图 8-26 模匹配
8.5.2含理想变压器电路的一般分析方法当含理想变压器电路无法用上述搬移的方法进行化简时，根据 KCL,KVL和
VCR,列写网络方程或应用戴维南等效电路也是常用的分析计算方法。
8.1 耦 合 电 感
8.2 耦合电感的连接及其去耦等效
8.3 空 芯 变 压 器
8.4 理想变压器和全耦合变压器
8.5 含理想变压器电路的分析计算
8.1 耦 合 电 感如果两个线圈的磁场存在相互作用，
就称这两个线圈具有磁耦合。具有磁耦合的两个或两个以上的线圈，称为耦合线圈。
如果假定各线圈的位置是固定的，并且忽略线圈本身所具有的电阻和匝间分布电容，
得到的耦合线圈的理想化模型就称为耦合电感。
8.1.1耦合电感的伏安关系考虑如图 8-1(a)所示的具有磁耦合的两个线圈 Ⅰ 和 Ⅱ,由于两个线圈之间存在磁耦合，因此每个线圈电流产生的磁通不仅与本线圈交链，还部分或全部地与另一线圈交链，所以每个线圈中的磁链将由本线圈的电流产生的磁链和另一线圈的电流产生的磁链两部分组成。
图 8-1 耦合线圈根据电磁感应定律，若自感电压和互感电压的参考方向与产生感应电压的磁链的参考方向符合右手螺旋法则，当线圈的电流与电压取关联参考方向时，自感电压前的符号总为正；而互感电压前的符号可正可负，当互磁链与自磁链的参考方向一致时，取正号；反之，当互磁链与自磁链的参考方向不一致时，取负号。
从耦合电感的伏安关系式可知，由两个线圈组成的耦合电感是一个由 L1,L2和
M三个参数表征的四端元件，并且由于它的自感电压和互感电压分别与两线圈中的电流的变化率成正比，因此是一种动态元件和记忆元件。
8.1.2耦合线圈的同名端由前可知，耦合电感线圈中的互磁链和自磁链的参考方向可能一致，也可能不一致，由线圈电流的参考方向和线圈的绕向及线圈间的相对位置决定。但实际的耦合电感都是密封的，一般不能从外观看到线圈的绕向；另外，要求在电路图中画出每个线圈的绕向及线圈间的相对位置也很不方便。
为了解决这一问题，引入同名端的概念。
所谓同名端是指耦合线圈中的这样一对端钮：当线圈电流同时流入 (或流出 )该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。从感应电压的角度，如果电流与其产生的磁链及磁链与其产生的感应电压的参考方向符合右手螺旋法则，
同名端可定义为任一线圈电流在各线圈中产生的自感电压或互感电压的同极性端 (正极性端或负极性端 )，也即互感电压的正极性端与产生该互感电压的线圈电流的流入端为同名端。
同名端通常用标志,·”(或“”等 )表示。
利用同名端的概念图 8-1(a)和 (b)所示的耦合电感可分别用图 8-2(a)和 (b) 所示的电路符号表示，图中耦合电感标有,·”的两个端钮为同名端，余下的一对无标志符的端钮也是一对同名端。必须指出，耦合线圈的同名端只取决于线圈的绕向和线圈间的相对位置，而与线圈中电流的方向无关。
图 8-2 耦合电感的电路符号有了同名端的标志，根据各线圈电压和电流的参考方向，就能从耦合电感直接写出其伏安关系式。具体规则是：
若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联参考方向时，该线圈的自感电压前取正号，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极性端与在该线圈中产生互感电压的另一线圈的电流的流入端为同名端时，该线圈的互感电压前取正号，否则取负号。
由于耦合电感中的互感电压反映了耦合电感线圈间的耦合关系，为了在电路模型中以较明显的方式将这种耦合关系表示出来，各线圈中的互感电压可用 CCVS表示。若用受控源表示互感电压，则图 8-2(a)
和 (b)所示耦合电感可分别用图 8-5(a)和 (b)
图 8-5用受控源表示互感电压时耦合电感的电路模型
8.1.3耦合电感的储能由于耦合电感是无源元件，因此它任意时刻的储能不可能为负值。
8.2耦合电感的连接及其去耦等效耦合电感的两个线圈在实际电路中，
一般要以某种方式相互连接，基本的连接方式有串联、并联和三端连接。在电路分析中，将按上述连接方式的耦合电感用无耦合的等效电路去代替的过程，称为去耦等效。本节就介绍这 3种基本连接方式及其去耦等效。
8.2.1耦合电感的串联耦合电感的两线圈串联时可以有两种接法：一种是如图 8-8(a)所示，两线圈的异名端相接，称为顺串；另一种是如图 8-8(b)所示，两线圈的同名端相接，
称为反串。
图 8-8 耦合电感的串联
8.2.2耦合电感的并联耦合电感的两线圈并联时也可能有两种接法：一种是如图 8-9(a)所示，两线圈的同名端两两相接，称为同侧并联 (顺并 )；
另一种是如图 8-9(b)所示，两线圈的异名端两两相接，称为异侧并联 (反并 ) 。
8.2.3耦合电感的三端连接将耦合电感的两个线圈各取一端连接起来就成了耦合电感的三端连接电路。三端连接也有两种接法：一种是将同名端相连，构成如图 8-10(a)所示三端连接电路；
另一种是将异名端相连，构成如图 8-10(b)
所示三端连接电路。
在正弦稳态电路中，对应于图 8-
10所示的耦合电感的三端连接及其去耦电路的相量模型可如图 8-11所示。
8.3 空 芯 变 压 器变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来实现传递能量或信号的器件。它通常由两个具有磁耦合的线圈组成，一个线圈与电源相接，称为初级线圈或原边线圈；另一个线圈与负载相接，称为次级线圈或副边线圈。变压器的线圈可绕在铁芯上，构成铁芯变压器；也可绕在非铁磁材料的芯子上，构成空芯变压器。前者线圈间的耦合系数接近于 1，属于紧耦合；后者线圈间的耦合系数较小，属于松耦合。
图 8-13(a)是一个最简单的工作于正弦稳态下的空芯变压器电路的相量模型，图中虚框内部分就是空芯变压器的相量模型，
它由自感为 L1和 L2、互感为 M的耦合电感及电阻 R1和 R2组成，其中 R1和 R2分别为变压器初、次级线圈的电阻。
图 8-13 空芯变压器另外，对于空芯变压器电路也可用上节介绍的去耦等效的方法进行分析。因为在图 8-14(a)所示的空芯变压器电路中，如果将 b和 d两点相连，该连线上无电流流过，
故对原电路并无影响，但此时空芯变压器中的耦合电感作三端连接，通过去耦等效得到如图 8-14(b) 所示等效电路，对该电路用正弦稳态的分析方法即可求解。
图 8-14空芯变压器电路的去耦等效电路
8.4 理想变压器和全耦合变压器
8.4.1理想变压器的伏安关系理想变压器也是一种耦合元件，它是实际变压器在理想化条件下的电路模型。
理想变压器惟一的参数是一个称之为变比
（ transformation ratio）的常数 n，而不是
L1,L2和 M等参数。理想变压器的电路符号如图 8-16（ a）所示 。
图 8-16理想变压器理想变压器可以看成是耦合电感在满足下述 3个理想化条件的极限情况：
1,耦合电感无损耗，即线圈是理想的；
2,耦合系数 k=1，即全耦合；
3,自感系数 L1和 L2均为无限大，且
L1/L2等于常数，互感系数也为无限大。
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的电压、电流关系。无损耗全耦合变压器如图 8-17所示。
图 8-17 无损耗全耦合变压器
8.4.2全耦合变压器的电路模型一个实际变压器要完全满足上述 3个理想化条件是十分困难的。一般来说，一个线圈损耗忽略不计；耦合系数 k＝ 1；但自感系数为有限值的全耦合变压器更接近实际的铁芯变压器。在电路分析中，全耦合变压器除了可以用耦合电感来表征其特性外［参见图 8-19(a)］,还可以用含理想变压器的电路模型来等效。
图 8-19 全耦合变压器及其电路模型
8.5含理想变压器电路的分析计算在图 8-19(b)所示全耦合变压器的等效电路中,L1也可以理解为外接电感，故本节也包括含全耦合变压器电路分析计算。
8.5.1理想变压器的阻抗变换理想变压器除了能以 n倍的关系变换电压、电流外；还具有以 n2倍的关系变换阻抗的性质。故变压器也称为变量器 。
从次级搬移到初级时阻抗要乘 n2;反之，从初级搬移到次级时阻抗要除 n2；
且串、并联关系保持不变。
应该指出，阻抗来回搬移与同名端无关；而电源来回搬移则与同名端有关。
如图 8-22（ a）所示电路可搬移成为图 8-
22（ b)和（ c）电路，这样做的结果能使电路得到简化。
从第 7章可知，正弦稳态电路中，负载阻抗必须与电源内阻抗达到共轭匹配时，
负载才能获得最大功率。但实际电路中，
负载往往和电源一样也是给定的，并非任意可调。在这种情况下，为了使负载获得尽可能大的功率，可通过理想变压器来实现匹配。
考虑如图 8-26(a)所示电路，其中理想变压器的匝比是可调的，利用理想变压器的阻抗变换，将负载阻抗折合到初级，可得图 8-26(b)所示电路。由于利用理想变压器进行阻抗变换时，阻抗的实部和虚部是以相同的比例变化的，所以实际上是负载阻抗的阻抗角不变，仅改变了负载阻抗的模。一般无法达到共轭匹配。
图 8-26 模匹配
8.5.2含理想变压器电路的一般分析方法当含理想变压器电路无法用上述搬移的方法进行化简时，根据 KCL,KVL和
VCR,列写网络方程或应用戴维南等效电路也是常用的分析计算方法。
