§ 1-4球面波和柱面波
? 前次课内容回顾及 平面波的波函数：
? 一, 球面波的波函数,
? 二、球面波的复振幅：
? 三、柱面波的波函数：
§ 1-3平 面电磁波
前次课内容回顾：
1.波动方程的平面波解：
2.平面 简谐波：
( 2 ) 0
1
( 1 ) 0
1
2
2
22
2
2
2
22
2
?
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或
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§ 1-3平 面电磁波
3.一般坐标系下的平面波的波函数：
4.平面 简谐波的复振幅：
)c o s ( trkAE ???? ????
)e x p (~ rkiAE ???? ??
? ?)(e x p trkiAE ???? ????
§ 1-3平 面电磁波
? 5.平面波的性质
? （ 1） 电磁波是横波：
? （ 2）Ｅ 和Ｂ互相垂直
? （ 3）Ｅ 和Ｂ同相,
v
EkB
??
??
??
??
1
B
E
0
?
?
???
EkBBEk
??????
?????
?
? 1
0Ek0 ?????? ???E
§ 1-4球面波和柱面波
除平面波外,球面波和柱面波也是两种
常见的波。在光学中他们分别由点光源和
线光源产生 。
? 一, 球面波的波函数,
? 二、球面波的复振幅：
? 三、柱面波的波函数：
§ 1-4球面波和柱面波
? 一, 球面波的波函数,
? 点状振动源的振动向周围空间均匀的
传播形成球面波,
? 从对称性考虑,这个波的等相面是球面，
并且其上的振幅处处相等,
? 由于随着考察点远离振动源,等相面的
曲率半径逐渐增大,最后接近于平面．
? 所以，平面波是球面波的一种特殊形式,
§ 1-4球面波和柱面波
? 严格的点状振动源是不存在的,从而理
想的球面波或平面波是不存在的,
? 在光学上,当光源的尺寸远小于考察点至
光源的距离时，往往把该光源称为点光源,
? 由它发出的波可以近似当作球面波处理,
§ 1-4球面波和柱面波
? 由于对称性,可将波动方程转化为球坐标下
的方程 。 选择振动源作为坐标原点,则知：
波函数 A(r,t)只与 r有关, 与方位无关
? 可以证明：这样的波函数 A(r,t)满足下式：
? 标准波动方程
? 变为：
? ?),(1),( 222 trrArrtrA ????
2
2
2
2 1
t
A
vA ?
???
? ? 22222 ),(1),(1 t trAtrrArr ????? ?
§ 1-4球面波和柱面波
? 上式亦可写为：
? 若将ｒＡ（ｒ，ｔ）看成一体，这个方程
和一维波动微分方程有完全相同的形式。
? 它的解为：
或
此即为球面波波函数的一般形式。
其中 B1,B2为任意函数。
? ? ? ?22222 ),(1),( t trrAtrrAr ????? ?
)()(),( 21 vtrBvtrBtrrA ????
? ?)()(1),( 21 vtrBvtrBrtrA ????
§ 1-4球面波和柱面波
? 显然，我们最关心简谐球面波这个特殊形
式。 则：
? 假定源点振动的初位相为零，对于电矢量
（此时可看作标量）即 ?0=0 则有：
? 写成复数形式：
? 可以看出，球面波的振幅不再是常量，它
与离开波源的距离 r成反比，其等相面为：
r=常数的球面。
? ?0c o s),( ?? ??? tkrratrA
)c o s (1 tkrrAE ???
? ?)(e x p1 tkrirAE ???
§ 1-4球面波和柱面波
?二,球面波的复振幅,
? 称 为球面简谐波的复振幅，
并简单的以它代表一个球面简谐波 。
? 注,简谐球面波的参量特点：
? 1,振幅 a/r不是一个常量, 它随 r 增加而减
小；但在 r相同的球面上, 振幅是均匀的 。 A1
是一个常量, 代表 r=1处的振幅, 表征振动源
的强弱, 称为源强度 。
)e x p (~ 1 ik rrAE ?
§ 1-4球面波和柱面波
? 2,位相：
? 球面波的位相是
? 即 ?仅仅是 r的函数, 并指出了 v的含义
? 说明 v是沿球面径向的位相传播速率 。
? 当等相面自球心向外传播时 v>0,称为 发散球面波,
? 当等相面向球心会聚时 v<0,称为 会聚球面波 。
0?? ??? k v tkr
dt
dr
d
v
0?
?
?
§ 1-4球面波和柱面波
? K仍 为波数：
?
? 代表发散波和会聚波 。
? 由于球面波振幅随 r增大而减小,
? 故严格说来：
? 球面波波函数不成现严格的空间周期性,
?
?2??k
?
§ 1-4球面波和柱面波
? 3。简谐球面波在平面上的近似表达式,
? 在光学中，通常要求解球面波在某个平面
上的复振幅分布。例如，在直角坐标系 xyz
中波源 s坐标为 x0,y0,z0我们来求解它发出的球
面波在 z＝ 0平面上的复振幅分布。
? 由于 s到 z=0平面上任意点 p(x,y)的距离为
? ? 21202020 )()( zyyxxr ?????
§ 1-4球面波和柱面波
? 由 时复振幅的表示式知：
? 在 z=o平面上的振幅分布为：
? 此式较复杂不便应用，实际中往往进行近
似处理。
00 ??
? ? ?????? ????????? 202020202020 1 )()(e x p)()(~ zyyxxikzyyxx AE
§ 1-4球面波和柱面波
? 三,柱面波的波函数：
? 柱面波是由无限长同步线状振动源 （ 同步
线源 ） 产生的波动 。
? 所谓同步线源是指这样一种振动源：在整
条直线上所有点都是一个点源, 各个点源
的振动完全相同, 在简谐振动下各点的初
位相, 频率和振幅完全相同 。
? 在光学上可以用平面波照亮一个极细的长
缝来获得近似的柱面波 。
§ 1-4球面波和柱面波
? 需要注意的是, 一般单色线光源不产生柱
面波, 因其上各点的振动不是同步的 。
? 柱面波波函数应在柱面坐标系中描述，它
的波函数可写为
? 其复振幅为
? A1为线光源的强度。
? ?)(e x p
)0(
1
0
tkri
r
E A ?
?
??
?
)e x p(~ 1 ik r
r
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§ 1-5光波的辐射
? 一、电偶极子辐射模型：
? 二．辐射能：
? 三 对实际光波的认识：
§ 1-5光波的辐射
? 一、电偶极子辐射模型：
? 光波是电磁波，光源发光就是物体的辐
射电磁波的过程。大部分物体发光属于
原子发光类型，因此我们只研究原子发
光的情况。
? 经典电磁场理论认为：原子发光是原子
内部运动过程形成的电偶极子的辐射 。
§ 1-5光波的辐射
? 原子由带正电的原子核和带负电的绕核运
转的电子组成 。
? 在外界能量的激发下, 由于原子核和电子
的剧烈运动和相互作用, 原子的正电中心
和负电中心常不重合, 且正, 负 中心的距
离在不断的变化, 从而形成一个振荡的电
偶极子 。 如图 1-13所示：
? 该系统的电偶极距为
lqp ?? ?
§ 1-5光波的辐射
? 最为简单的振荡电偶极子是电偶极距随时间
作简谐变化的电偶极子, 此时电偶极距 可
表示为
? 是振幅, ?是角频率 。
? 既然原子是一个振荡电偶极子，它必定在周
围空间产生交变电磁场，即辐射出光波。
? 由图 1－ 4所示，振荡电偶极子振动一个周期，
称电磁场将向外传播一个空间周期，即电磁
场分布有一定的空间周期 ?，这就是电磁波的
波长 。
tiepp ??? 0??
0p?
§ 1-5光波的辐射
? 振荡电偶极子辐射的电磁场,可由
MAXSWELL方程组计算，在经典的电动力
学著作中均可找到，我们只给结果。
? 1.作简谐振动的电偶极子在距离很远的 P点辐
射的电磁场的数值为：
)(
3
0
2
)(
2
0
2
4
s in
4
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tkri
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r
p
B
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?
?
§ 1-5光波的辐射
? 式中
? 显然, 上式为一球面波, 但与标准球面波不同
的是, 电偶极子辐射的球面波的振幅随 ?角而
变 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
率相同与电偶极子的振荡角频是波的角频率
是电磁波的传播速度＝
夹角。与电偶极子轴线之间的是
点的距离是电偶极子到
,
1
?
??
?
? r
Pr
§ 1-5光波的辐射
? 2,E在 P和 r所在平面内振动,
? B在与 P和 r所在平面相垂直的平面内振动,
? 同时 E和 B又都垂直于波的传播方向,
? E,B, K三者组成右旋系统,
? 表明了其偏振性 。
§ 1-5光波的辐射
? 二．辐射能,
? 振荡电偶极子不断地向外界辐射电磁场，
由于电磁场具有能量，所以，在辐射过程
中伴随着电磁场能量的传播。
? 电磁学告诉我们，在各向同性的煤质中，
电场的能量密度（单位体积内的能量 ）：
E?
)/(2121 32 mJEDEE ?? ??? ??
§ 1-5光波的辐射
? 磁场的能量密度为,
? 在电磁波情况下：由 E和 B的数量关系,
? 及
? 知：
)/(2 121 32 mJBBHm ?? ???
??
BncBBE ???
??
? 1
mE ?? ?
)/(2121 32 mJEDEE ?? ??? ??
§ 1-5光波的辐射
? 总电磁波能量密度 ?为：
? 因为电磁波以速度 ?沿方向 K 传播, 所以单
位时间内穿过与 K相垂直的单位面积的能量
S为：
)/(1 322 mJBEmE
?
???? ????
)//(
1 222
mwmsJEEBvs 或????
?
?
?
?
§ 1-5光波的辐射
? 考虑到传播方向，可以定义波印廷 矢量 S
? S的方向表示电磁波的传播方向,S的
大小表示电磁波所传递的能流密度。
? 所以 S又可以叫做能流密度矢量。
BES ??
?
?? ?1
§ 1-5光波的辐射
? 对于光波来说 B和 E都随时间快速变化,
所以 S的大小也随时间快速变化 。 在可见光
区 E和 B的频率达, 故 S的频率为
数量级 。
目前任何接收器都来不及反映这样高频
的能量变化, 通常把 S在接收器能分辨的时
间间隔内的平均值叫做电磁波的强度 I。
HZ14105 ?
HZ1510
?????
?
? 0
1
s d tsI
§ 1-5光波的辐射
? 对于平面波而言,S及其平均值 <s>有很简
单的形式：
? 式中 A是平面波的振幅。
?
22
0
22
0
2
1
2
1
)(c os
11
AA
dttkrASdts
?
?
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?
?
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?
??
??
????? ??
§ 1-5光波的辐射
? 在物理光学中, 通常把辐射强度的平均值
<s>称为光强度, 以 I表示, 由上式知
?
? 在许多场合比例系数 并不重要,
故常写为：
2AI ?
?
?
2
1
2AI ?
§ 1-5光波的辐射
? 三 对实际光波的认识：
? 以上讨论只是一种理想情况, 实际远非如此
? <1>由于原子的剧烈运动，彼此间不断的碰
撞，使原子系统的辐射过程常常中断，致使
原子发光是间歇的。
? 原子每次发光的间歇时间是原子两次碰撞的
时间间隔，这样原子发出的光波是由一段段
有限长的称为波列的光波组成；
§ 1-5光波的辐射
? 每段波列，其振幅在持续时间内保持不变
或缓慢变化，前后各段波列之间没有固定
的位相关系，光矢量的振动方向也不相同。
? <2> 普通光源辐射的光波, 没有偏振
性, 其发出的光波的振动具有一切可能的
方向 （ 在垂直于传播方向的平面内各个方
向都是可能的 ）,它可以看作是具有各个可
能振动方向的许多光波的和, 在各个可能
振动方向上没有一个振动方向较之其它方
向更占优势 。 这样的光波称微自然光 。 即
普通光源是自然光 。
§ 1-5光波的辐射
? 作业,1.6,1.7,1.9,1.10
? 预习,§ 1-6,§ 1-7内容
? 前次课内容回顾及 平面波的波函数：
? 一, 球面波的波函数,
? 二、球面波的复振幅：
? 三、柱面波的波函数：
§ 1-3平 面电磁波
前次课内容回顾：
1.波动方程的平面波解：
2.平面 简谐波：
( 2 ) 0
1
( 1 ) 0
1
2
2
22
2
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或
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§ 1-3平 面电磁波
3.一般坐标系下的平面波的波函数：
4.平面 简谐波的复振幅：
)c o s ( trkAE ???? ????
)e x p (~ rkiAE ???? ??
? ?)(e x p trkiAE ???? ????
§ 1-3平 面电磁波
? 5.平面波的性质
? （ 1） 电磁波是横波：
? （ 2）Ｅ 和Ｂ互相垂直
? （ 3）Ｅ 和Ｂ同相,
v
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§ 1-4球面波和柱面波
除平面波外,球面波和柱面波也是两种
常见的波。在光学中他们分别由点光源和
线光源产生 。
? 一, 球面波的波函数,
? 二、球面波的复振幅：
? 三、柱面波的波函数：
§ 1-4球面波和柱面波
? 一, 球面波的波函数,
? 点状振动源的振动向周围空间均匀的
传播形成球面波,
? 从对称性考虑,这个波的等相面是球面，
并且其上的振幅处处相等,
? 由于随着考察点远离振动源,等相面的
曲率半径逐渐增大,最后接近于平面．
? 所以，平面波是球面波的一种特殊形式,
§ 1-4球面波和柱面波
? 严格的点状振动源是不存在的,从而理
想的球面波或平面波是不存在的,
? 在光学上,当光源的尺寸远小于考察点至
光源的距离时，往往把该光源称为点光源,
? 由它发出的波可以近似当作球面波处理,
§ 1-4球面波和柱面波
? 由于对称性,可将波动方程转化为球坐标下
的方程 。 选择振动源作为坐标原点,则知：
波函数 A(r,t)只与 r有关, 与方位无关
? 可以证明：这样的波函数 A(r,t)满足下式：
? 标准波动方程
? 变为：
? ?),(1),( 222 trrArrtrA ????
2
2
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t
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? ? 22222 ),(1),(1 t trAtrrArr ????? ?
§ 1-4球面波和柱面波
? 上式亦可写为：
? 若将ｒＡ（ｒ，ｔ）看成一体，这个方程
和一维波动微分方程有完全相同的形式。
? 它的解为：
或
此即为球面波波函数的一般形式。
其中 B1,B2为任意函数。
? ? ? ?22222 ),(1),( t trrAtrrAr ????? ?
)()(),( 21 vtrBvtrBtrrA ????
? ?)()(1),( 21 vtrBvtrBrtrA ????
§ 1-4球面波和柱面波
? 显然，我们最关心简谐球面波这个特殊形
式。 则：
? 假定源点振动的初位相为零，对于电矢量
（此时可看作标量）即 ?0=0 则有：
? 写成复数形式：
? 可以看出，球面波的振幅不再是常量，它
与离开波源的距离 r成反比，其等相面为：
r=常数的球面。
? ?0c o s),( ?? ??? tkrratrA
)c o s (1 tkrrAE ???
? ?)(e x p1 tkrirAE ???
§ 1-4球面波和柱面波
?二,球面波的复振幅,
? 称 为球面简谐波的复振幅，
并简单的以它代表一个球面简谐波 。
? 注,简谐球面波的参量特点：
? 1,振幅 a/r不是一个常量, 它随 r 增加而减
小；但在 r相同的球面上, 振幅是均匀的 。 A1
是一个常量, 代表 r=1处的振幅, 表征振动源
的强弱, 称为源强度 。
)e x p (~ 1 ik rrAE ?
§ 1-4球面波和柱面波
? 2,位相：
? 球面波的位相是
? 即 ?仅仅是 r的函数, 并指出了 v的含义
? 说明 v是沿球面径向的位相传播速率 。
? 当等相面自球心向外传播时 v>0,称为 发散球面波,
? 当等相面向球心会聚时 v<0,称为 会聚球面波 。
0?? ??? k v tkr
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?
?
§ 1-4球面波和柱面波
? K仍 为波数：
?
? 代表发散波和会聚波 。
? 由于球面波振幅随 r增大而减小,
? 故严格说来：
? 球面波波函数不成现严格的空间周期性,
?
?2??k
?
§ 1-4球面波和柱面波
? 3。简谐球面波在平面上的近似表达式,
? 在光学中，通常要求解球面波在某个平面
上的复振幅分布。例如，在直角坐标系 xyz
中波源 s坐标为 x0,y0,z0我们来求解它发出的球
面波在 z＝ 0平面上的复振幅分布。
? 由于 s到 z=0平面上任意点 p(x,y)的距离为
? ? 21202020 )()( zyyxxr ?????
§ 1-4球面波和柱面波
? 由 时复振幅的表示式知：
? 在 z=o平面上的振幅分布为：
? 此式较复杂不便应用，实际中往往进行近
似处理。
00 ??
? ? ?????? ????????? 202020202020 1 )()(e x p)()(~ zyyxxikzyyxx AE
§ 1-4球面波和柱面波
? 三,柱面波的波函数：
? 柱面波是由无限长同步线状振动源 （ 同步
线源 ） 产生的波动 。
? 所谓同步线源是指这样一种振动源：在整
条直线上所有点都是一个点源, 各个点源
的振动完全相同, 在简谐振动下各点的初
位相, 频率和振幅完全相同 。
? 在光学上可以用平面波照亮一个极细的长
缝来获得近似的柱面波 。
§ 1-4球面波和柱面波
? 需要注意的是, 一般单色线光源不产生柱
面波, 因其上各点的振动不是同步的 。
? 柱面波波函数应在柱面坐标系中描述，它
的波函数可写为
? 其复振幅为
? A1为线光源的强度。
? ?)(e x p
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1
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)e x p(~ 1 ik r
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§ 1-5光波的辐射
? 一、电偶极子辐射模型：
? 二．辐射能：
? 三 对实际光波的认识：
§ 1-5光波的辐射
? 一、电偶极子辐射模型：
? 光波是电磁波，光源发光就是物体的辐
射电磁波的过程。大部分物体发光属于
原子发光类型，因此我们只研究原子发
光的情况。
? 经典电磁场理论认为：原子发光是原子
内部运动过程形成的电偶极子的辐射 。
§ 1-5光波的辐射
? 原子由带正电的原子核和带负电的绕核运
转的电子组成 。
? 在外界能量的激发下, 由于原子核和电子
的剧烈运动和相互作用, 原子的正电中心
和负电中心常不重合, 且正, 负 中心的距
离在不断的变化, 从而形成一个振荡的电
偶极子 。 如图 1-13所示：
? 该系统的电偶极距为
lqp ?? ?
§ 1-5光波的辐射
? 最为简单的振荡电偶极子是电偶极距随时间
作简谐变化的电偶极子, 此时电偶极距 可
表示为
? 是振幅, ?是角频率 。
? 既然原子是一个振荡电偶极子，它必定在周
围空间产生交变电磁场，即辐射出光波。
? 由图 1－ 4所示，振荡电偶极子振动一个周期，
称电磁场将向外传播一个空间周期，即电磁
场分布有一定的空间周期 ?，这就是电磁波的
波长 。
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0p?
§ 1-5光波的辐射
? 振荡电偶极子辐射的电磁场,可由
MAXSWELL方程组计算，在经典的电动力
学著作中均可找到，我们只给结果。
? 1.作简谐振动的电偶极子在距离很远的 P点辐
射的电磁场的数值为：
)(
3
0
2
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§ 1-5光波的辐射
? 式中
? 显然, 上式为一球面波, 但与标准球面波不同
的是, 电偶极子辐射的球面波的振幅随 ?角而
变 。
?
?
?
?
?
?
?
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率相同与电偶极子的振荡角频是波的角频率
是电磁波的传播速度＝
夹角。与电偶极子轴线之间的是
点的距离是电偶极子到
,
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§ 1-5光波的辐射
? 2,E在 P和 r所在平面内振动,
? B在与 P和 r所在平面相垂直的平面内振动,
? 同时 E和 B又都垂直于波的传播方向,
? E,B, K三者组成右旋系统,
? 表明了其偏振性 。
§ 1-5光波的辐射
? 二．辐射能,
? 振荡电偶极子不断地向外界辐射电磁场，
由于电磁场具有能量，所以，在辐射过程
中伴随着电磁场能量的传播。
? 电磁学告诉我们，在各向同性的煤质中，
电场的能量密度（单位体积内的能量 ）：
E?
)/(2121 32 mJEDEE ?? ??? ??
§ 1-5光波的辐射
? 磁场的能量密度为,
? 在电磁波情况下：由 E和 B的数量关系,
? 及
? 知：
)/(2 121 32 mJBBHm ?? ???
??
BncBBE ???
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? 1
mE ?? ?
)/(2121 32 mJEDEE ?? ??? ??
§ 1-5光波的辐射
? 总电磁波能量密度 ?为：
? 因为电磁波以速度 ?沿方向 K 传播, 所以单
位时间内穿过与 K相垂直的单位面积的能量
S为：
)/(1 322 mJBEmE
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1 222
mwmsJEEBvs 或????
?
?
?
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§ 1-5光波的辐射
? 考虑到传播方向，可以定义波印廷 矢量 S
? S的方向表示电磁波的传播方向,S的
大小表示电磁波所传递的能流密度。
? 所以 S又可以叫做能流密度矢量。
BES ??
?
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§ 1-5光波的辐射
? 对于光波来说 B和 E都随时间快速变化,
所以 S的大小也随时间快速变化 。 在可见光
区 E和 B的频率达, 故 S的频率为
数量级 。
目前任何接收器都来不及反映这样高频
的能量变化, 通常把 S在接收器能分辨的时
间间隔内的平均值叫做电磁波的强度 I。
HZ14105 ?
HZ1510
?????
?
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1
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§ 1-5光波的辐射
? 对于平面波而言,S及其平均值 <s>有很简
单的形式：
? 式中 A是平面波的振幅。
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§ 1-5光波的辐射
? 在物理光学中, 通常把辐射强度的平均值
<s>称为光强度, 以 I表示, 由上式知
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? 在许多场合比例系数 并不重要,
故常写为：
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§ 1-5光波的辐射
? 三 对实际光波的认识：
? 以上讨论只是一种理想情况, 实际远非如此
? <1>由于原子的剧烈运动，彼此间不断的碰
撞，使原子系统的辐射过程常常中断，致使
原子发光是间歇的。
? 原子每次发光的间歇时间是原子两次碰撞的
时间间隔，这样原子发出的光波是由一段段
有限长的称为波列的光波组成；
§ 1-5光波的辐射
? 每段波列，其振幅在持续时间内保持不变
或缓慢变化，前后各段波列之间没有固定
的位相关系，光矢量的振动方向也不相同。
? <2> 普通光源辐射的光波, 没有偏振
性, 其发出的光波的振动具有一切可能的
方向 （ 在垂直于传播方向的平面内各个方
向都是可能的 ）,它可以看作是具有各个可
能振动方向的许多光波的和, 在各个可能
振动方向上没有一个振动方向较之其它方
向更占优势 。 这样的光波称微自然光 。 即
普通光源是自然光 。
§ 1-5光波的辐射
? 作业,1.6,1.7,1.9,1.10
? 预习,§ 1-6,§ 1-7内容
