§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
一,内容回顾
二、折、反射波性质的进一步讨论：
§ 1-8全反射
? 一、内容回顾：
? 1.电磁场的边值关系
? 是研究 光在两个介质分界面上的反射和折
射规律的基础。
? 电磁场的边值关系总结为,尽管两种介质
的分界面上，电磁场量整个的是不连续的，
但在界面上没有自由电荷和面电流时，磁
感应强度矢量和电位移矢量法向分量与电
场强度和磁场强度的切向分量是连续的 。
§ 1-6电磁场在两个介质分界面
上的边值关系
? 电磁场在两个介质分界面上的边值关系可
以总括为：
?
?
?
?
?
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0)(
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0)(
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21
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§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 2.利用电磁场的边值关系可以证明光波在 两
个介质分界面上的反射和折射遵循反射定
律和折射定律。
? 其表达式为：
? ?
? ?
? ?)(e x p
)'(e x p''
)(e x p
2222
1111
1111
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§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 折射、反射定律只解决了平面光波在两个
介质分界面上的传播方向问题。
? 平面光波在两个介质分界面上能量分配问
题，需要用菲涅耳公式来解决。
? 3.菲涅耳公式：
菲涅尔公式描述折、反射波（复）振幅与入
射波（复）振幅之间的关系，是物理光学
中的又一组基本公式。
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 研究该问题的基本思路,我们可以把入射波
电场的振幅矢量分解成两个分量，一个分量
垂直于入射面，称为, s”分量；另一个分量
位在入射面内，称为, p”分量。
? 根据叠加原理,可以只研究入射波电场仅含 s
分量和仅含 p分量这两种特殊情况；当两种分
量同时存在时，则只要先分别计算由单个分
量所造成的折、反射波电场，然后再作矢量
相加即可得到结果。
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 在规定了电场、磁场的正方向后可以得
到一组关于入射波、反射波、折射波电
场的振幅之间的关系 —— 菲涅尔公式。
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? 4.从 菲涅尔公式中得到的信息：
? （ 1） n1?n2 情形：
? 反射波电场的 s分量扰动方向在界面上任何地点始终与
入射波的 s分量有一个位相差别 ?，该现象称为
半波损失 ；
? 对于 P分量：当 ?i等于某个特定值 ?B时,rp=0。
? ?B 称为布儒斯特角。
? 这样，如果平面波以
? 布儒斯特角入射，则
? 不论入射波的电场
? 振动方向如何，反射波中
? 不再含有 p分量，只有 s分量。
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0.8
1
-1
300 600θB
tp
ts
rs
rp
900 θi0
? 关于反射波 p分量的相位：虽然可以说当
?i??B时存在 ?位相跃变，而 ?i ??B时无此位
相跃变。
? 但是，
? 考虑到当 ?i 比较大
? （ ??B ）时，
Eip和 Erp中
垂直于界面的成分变为主要成分，
此时尽管 rp >0,
但因它们的正向规定基本相反，
所以实际上仍有 Eip和 Erp的主要成分为反向。 Kt
·
·
1
2
Eip
His
Erp
Etp
Hrs
Hts
Ki K?i
θi θr
θt
? 因此可以说,在 n1?n2时，反射波电场方向总
与入射波电场的方向相反或接近相反 。
? 正入射时,?i=0,?t=0。
? 此时 s和 p分量的差别消失，有
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? 5.折、反射波从入射波获得的辐射能量：
? 亦即透、反射率问题：
? 单位时间内入射波投射在
界面上面积 A0内的
平均辐射能为：
? 对于反射波和折射波：
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1
2
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? 由于
? 定义 s分量的反、透射率 Rs,Ts为,
? 类似地，当入射波只含有 P分量时，可以
求出 P分量的透、反射率：
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1
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§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 将菲涅耳公式代入以上四式，可以看出：
? 这表明入射波能量全部转化为反射波和折射
波的能量,是能量守恒定律的必然结果 。
? 当入射波同时含有 S分量和 P分量时，由于两
个分量互相垂直，
1?? ss TR
1?? pp TR
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 所以，在任何地点任何时刻都有：
? 从而有：
? 类似地有
222
ipisi EEE ??
ipisi III ??
ipisi WWW ??
rprsr WWW ??
tptst WWW ??
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 注意到入射波的 S分量（或 P分量）只对折、
反射波的 S分量（或 P分量）有贡献，可以
定义反射率和透射率为：
? 容易证明,R+T=1
i
r
W
WR ?
i
t
W
WT ?
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? (2) n1>n2 情形：
? 光学中，通常把这种情形称为从光密媒质
入射到光疏媒质。
? 前面已经说过，当 ?i超过某个角度值时 ?t不
再存在。我们把 ?t=90o所对应的入射角叫做
临界角，用 ?c表示。
n
n
c
1
2s in ??
?i ??c时,?t存在，
仍然可以直接利用 菲
涅耳公式作出反射系
数、透射系数与入射
角的关系曲线，如图
的左半部分
? rs,rp的正负号正好与
n1?n2时 反射系数、透
射系数与入射角的关
系曲线 图相反，说明
此时不再存在 ?位相突
变。
-1.0
0
1.0
2.0
3.0
rp
tp
ts
rs
300 600
300 600
900
900
1.0
2.0
3.0
-1.0
θB
θc
∣tp∣
∣ ts∣
-∣ rp∣
∣ rs∣
-0.2
0.8
1
-1
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§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 当 ?i > ?c时，有 sinθt 是大于 1的实数，
? cos θt是一个纯虚数，
? 是一个实数。
? 利用菲涅耳公式可以得到：
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? 尽管 rs和 rp都是复数，但它
们的模值可以理解为反射
波与入射波的振幅大小的
比值，它们的位相可以理
解为反射波在界面处的位
相跃变。
? 因为上两式的分子、分母
都构成一对共轭复数，所
以只要 ?i??c总有：
1?? ps rr
-1.0
0
1.0
2.0
3.0
rp
tp
ts
rs
300 600
300 600
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900
1.0
2.0
3.0
-1.0
θB
θc
∣tp∣
∣ ts∣
-∣ rp∣
∣ rs∣
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 这时，
? 说明入射波的全部辐射能都被反射回 n1媒质，
这个现象称为全反射或全内反射。
? 与普通的反射相比，全反射呈现一些特殊
的性质并得到相应的应用，我们将在后面
介绍。
12 ???? r sps RRR
§ 1-8全反射
一、反射系数和位相的变化：
二、倏逝波：
§ 1-8全反射
? 一, 反射系数和位相的变化：
? 光波从光密介射向光疏介质 （ n2<n1)时, 根
据折射定律
? 若
? 会有
? 这是没有意义的, 我们不可能求出任何实
数的折射率 。 事实上, 这时没有折射光,入
射光全部返射回介质 1,这个现象称为全反射 。
满足的入射角称为临界角,相应的折射
角 。
1
2sinsin nn
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1
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n
n
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1sin ?t?
090?t?
§ 1-8全反射
? 1.反射系数的变化：
? 前面已经讨论过。
因为上两式的分子、分母都构成一对共轭复数，
所以只要 ?i??c总有：
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§ 1-8全反射
? 这时，
? 2.关于全反射时的位相变化：
? 由 rs和 rp的表达式
可知：
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rss
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? δ s,δ p随 θ i变化关系如图,
? 可见 s波和 p波在界面上
? 有不同的位相跃变，
? 反射光中 s波和 p波
? 有一位相差，
? 它由下式决定 。
? 这里
1
2
2
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θ1
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-π/4
-π/2
-3π/4
-π
δ
δs
δp
§ 1-8全反射
? 显然 sinθ1 =n时,即 θ1 等于临界角 θc 时,
入射光为线偏振光, 反射光也为线偏振光 。
? θ1>θc时，由于 δ 的存在将会使入射的线偏
振光变为椭圆偏振光，道理将在 § 2-3中来
阐明 。
0
s in
s inc o s
22 12
2
1
2
1 ?????
?
????? npstgtg
§ 1-8全反射
? 二 倏逝波：
? 它在介质光波导理论和技术中有重要应用。
? 实验表明, 在全反射时, 光波并非绝对地在
界面上被全部反射回第一介质, 而是透入第
二介质很薄的一层表面 （ 约为一个波长 ） 并
沿界面传播一些距离 （ 波长量级 ） 最后返回
第一介质 。 透入第二介质表面的这个波称为
倏逝波 。
§ 1-8全反射
? 从满足电磁场边值关系来看, 倏逝波的存
在是必然的 。
? 因为电场和磁场不可能中断在两种介质的
分界面上, 它应该满足边值关系, 因而在
第二介质中就一定会存在透射波 。
? 只是在全反射下这个透射波有着特殊的性
质, 使它不能无限深入第二介质的内部 。
§ 1-8全反射
? 如前：令透射波的波函数为
? 如图示
? 选入射面为 xoz平面,则上式可写为：
? 由折射定律知：
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)](e x p [ 2222 tzkxkiAE zx ???? ??
1
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1
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?
?
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x
等幅面
n1
n2 λ’
θ1
等相面z
θ2
k2
§ 1-8全反射
? 其中 k2z是虚数, 它实际上表示光波在 z方向
上的衰减 。 将它写为 k2z=ik
? 是正实数, 则透射波的波函数可写为：
? 上式表明,透射波是一个沿 x方向传播的在
z方向按指数规律变化的波,
1s in 2 1
2
2 ?? nkk
?
)](e x p [)e x p ( 222 txkikzAE x ??? ???
)](e x p [ 2222 tzkxkiAE zx ???? ??
§ 1-8全反射
? 其振副因子为
? 显然 k前只能取负号 。
? 取正号时表明振幅因子离开界面向第二介
质深入时, 振幅随距离增大而增大, 这在
物理上是不可能的 。
? K取负号时, 表明透射波是一个沿 x方向传
播的, 振幅在 z方向按指数衰减的波, 这个
波就是倏逝波 。
)e x p (2 kzA ??
§ 1-8全反射
? 定义振幅减小到界面 （ z=0） 振幅的 1/e的深
度为穿透深度 z0,
? 则由
? 得：
47.3
,60,
48.1
45
8.415.1,1:
s in
1
0
0
0
0
1
0
12
1
2
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1
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n
n
nk
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c
c
时
时当
)](e x p [)e x p ( 222 txkikzAE x ??? ???
§ 1-8全反射
? 即 z0的数量级为一个波长。
? 此外, 从式中可看出：
? 倏逝波的等幅面是 z＝常数的平面，等相面
是 x为常数的平面，两者互相垂直。它是一个
非均匀平面波。
? 倏逝波长为
? 传播速度
? v1是介质 1中光波的传播速度。
1
1
2 s in
2'
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xk
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x
等幅面
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§ 1-8全反射
? 必须指出：虽然在第二介质中存在倏逝波，
但它并不向第二介质内部传输能量。
? 计算表明，倏逝波沿 z方向的平均能流为零。
? 这说明第一介质流入第二介质和由第二介质
流入第一介质的能量相等。
? 进一步研究还表明，由第一介质流入第二介
质的能量入口与返回的能量出口处相隔约半
个波长－通常称为古斯－哈恩森（ Goos-
Haenchen）位移,这是造成全反射时反射光
位相跃变的原因 。
§ 1-8全反射
? 作业,1.23,1.24,1.25,1.26,1.27,1.28
反射和折射
一,内容回顾
二、折、反射波性质的进一步讨论：
§ 1-8全反射
? 一、内容回顾：
? 1.电磁场的边值关系
? 是研究 光在两个介质分界面上的反射和折
射规律的基础。
? 电磁场的边值关系总结为,尽管两种介质
的分界面上，电磁场量整个的是不连续的，
但在界面上没有自由电荷和面电流时，磁
感应强度矢量和电位移矢量法向分量与电
场强度和磁场强度的切向分量是连续的 。
§ 1-6电磁场在两个介质分界面
上的边值关系
? 电磁场在两个介质分界面上的边值关系可
以总括为：
?
?
?
?
?
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§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 2.利用电磁场的边值关系可以证明光波在 两
个介质分界面上的反射和折射遵循反射定
律和折射定律。
? 其表达式为：
? ?
? ?
? ?)(e x p
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1111
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§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 折射、反射定律只解决了平面光波在两个
介质分界面上的传播方向问题。
? 平面光波在两个介质分界面上能量分配问
题，需要用菲涅耳公式来解决。
? 3.菲涅耳公式：
菲涅尔公式描述折、反射波（复）振幅与入
射波（复）振幅之间的关系，是物理光学
中的又一组基本公式。
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 研究该问题的基本思路,我们可以把入射波
电场的振幅矢量分解成两个分量，一个分量
垂直于入射面，称为, s”分量；另一个分量
位在入射面内，称为, p”分量。
? 根据叠加原理,可以只研究入射波电场仅含 s
分量和仅含 p分量这两种特殊情况；当两种分
量同时存在时，则只要先分别计算由单个分
量所造成的折、反射波电场，然后再作矢量
相加即可得到结果。
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 在规定了电场、磁场的正方向后可以得
到一组关于入射波、反射波、折射波电
场的振幅之间的关系 —— 菲涅尔公式。
)s in (
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? 4.从 菲涅尔公式中得到的信息：
? （ 1） n1?n2 情形：
? 反射波电场的 s分量扰动方向在界面上任何地点始终与
入射波的 s分量有一个位相差别 ?，该现象称为
半波损失 ；
? 对于 P分量：当 ?i等于某个特定值 ?B时,rp=0。
? ?B 称为布儒斯特角。
? 这样，如果平面波以
? 布儒斯特角入射，则
? 不论入射波的电场
? 振动方向如何，反射波中
? 不再含有 p分量，只有 s分量。
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0.8
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300 600θB
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? 关于反射波 p分量的相位：虽然可以说当
?i??B时存在 ?位相跃变，而 ?i ??B时无此位
相跃变。
? 但是，
? 考虑到当 ?i 比较大
? （ ??B ）时，
Eip和 Erp中
垂直于界面的成分变为主要成分，
此时尽管 rp >0,
但因它们的正向规定基本相反，
所以实际上仍有 Eip和 Erp的主要成分为反向。 Kt
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? 因此可以说,在 n1?n2时，反射波电场方向总
与入射波电场的方向相反或接近相反 。
? 正入射时,?i=0,?t=0。
? 此时 s和 p分量的差别消失，有
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? 5.折、反射波从入射波获得的辐射能量：
? 亦即透、反射率问题：
? 单位时间内入射波投射在
界面上面积 A0内的
平均辐射能为：
? 对于反射波和折射波：
? iisis AIW c o s0?
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? 由于
? 定义 s分量的反、透射率 Rs,Ts为,
? 类似地，当入射波只含有 P分量时，可以
求出 P分量的透、反射率：
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1
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EnEI sicsiis 02021 2
0
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1
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§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 将菲涅耳公式代入以上四式，可以看出：
? 这表明入射波能量全部转化为反射波和折射
波的能量,是能量守恒定律的必然结果 。
? 当入射波同时含有 S分量和 P分量时，由于两
个分量互相垂直，
1?? ss TR
1?? pp TR
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 所以，在任何地点任何时刻都有：
? 从而有：
? 类似地有
222
ipisi EEE ??
ipisi III ??
ipisi WWW ??
rprsr WWW ??
tptst WWW ??
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 注意到入射波的 S分量（或 P分量）只对折、
反射波的 S分量（或 P分量）有贡献，可以
定义反射率和透射率为：
? 容易证明,R+T=1
i
r
W
WR ?
i
t
W
WT ?
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? (2) n1>n2 情形：
? 光学中，通常把这种情形称为从光密媒质
入射到光疏媒质。
? 前面已经说过，当 ?i超过某个角度值时 ?t不
再存在。我们把 ?t=90o所对应的入射角叫做
临界角，用 ?c表示。
n
n
c
1
2s in ??
?i ??c时,?t存在，
仍然可以直接利用 菲
涅耳公式作出反射系
数、透射系数与入射
角的关系曲线，如图
的左半部分
? rs,rp的正负号正好与
n1?n2时 反射系数、透
射系数与入射角的关
系曲线 图相反，说明
此时不再存在 ?位相突
变。
-1.0
0
1.0
2.0
3.0
rp
tp
ts
rs
300 600
300 600
900
900
1.0
2.0
3.0
-1.0
θB
θc
∣tp∣
∣ ts∣
-∣ rp∣
∣ rs∣
-0.2
0.8
1
-1
300 600θB
tp
ts
rs
rp
900 θi0
? ?i ??c时：
?? it nn s ins in
2
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1s i n
1s i ns i n1
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?
?? 1s i n 2
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2 2
1
? i
n
n
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 当 ?i > ?c时，有 sinθt 是大于 1的实数，
? cos θt是一个纯虚数，
? 是一个实数。
? 利用菲涅耳公式可以得到：
?
)e x p (c o sc o s
21
21 ?
?
?
rssi
i
s iinn
innr r?
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)e x p (c o sc o s
12
12 ?
?
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rppi
i
p ii
i r
nn
nnr ?
??
????
? 尽管 rs和 rp都是复数，但它
们的模值可以理解为反射
波与入射波的振幅大小的
比值，它们的位相可以理
解为反射波在界面处的位
相跃变。
? 因为上两式的分子、分母
都构成一对共轭复数，所
以只要 ?i??c总有：
1?? ps rr
-1.0
0
1.0
2.0
3.0
rp
tp
ts
rs
300 600
300 600
900
900
1.0
2.0
3.0
-1.0
θB
θc
∣tp∣
∣ ts∣
-∣ rp∣
∣ rs∣
§ 1-7光在两个介质分界面上的
反射和折射
? 这时，
? 说明入射波的全部辐射能都被反射回 n1媒质，
这个现象称为全反射或全内反射。
? 与普通的反射相比，全反射呈现一些特殊
的性质并得到相应的应用，我们将在后面
介绍。
12 ???? r sps RRR
§ 1-8全反射
一、反射系数和位相的变化：
二、倏逝波：
§ 1-8全反射
? 一, 反射系数和位相的变化：
? 光波从光密介射向光疏介质 （ n2<n1)时, 根
据折射定律
? 若
? 会有
? 这是没有意义的, 我们不可能求出任何实
数的折射率 。 事实上, 这时没有折射光,入
射光全部返射回介质 1,这个现象称为全反射 。
满足的入射角称为临界角,相应的折射
角 。
1
2sinsin nn
t
i ???
1
2sin
n
n
i ??
1sin ?t?
090?t?
§ 1-8全反射
? 1.反射系数的变化：
? 前面已经讨论过。
因为上两式的分子、分母都构成一对共轭复数，
所以只要 ?i??c总有：
)e x p (c o sc o s
21
21 ?
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rssi
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2
1
2 2
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? i
n
n
§ 1-8全反射
? 这时，
? 2.关于全反射时的位相变化：
? 由 rs和 rp的表达式
可知：
)e x p (c o sc o s
21
21 ?
?
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rss
i
i
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12 ???? r sps RRR
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12
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rpp
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nn
nnr ?
??
????
? δ s,δ p随 θ i变化关系如图,
? 可见 s波和 p波在界面上
? 有不同的位相跃变，
? 反射光中 s波和 p波
? 有一位相差，
? 它由下式决定 。
? 这里
1
2
2
1
2
1
s in
s inc o s
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????? nps
tgtg
?
???
1?? ?i
θ1
9008007006005004000
-π/4
-π/2
-3π/4
-π
δ
δs
δp
§ 1-8全反射
? 显然 sinθ1 =n时,即 θ1 等于临界角 θc 时,
入射光为线偏振光, 反射光也为线偏振光 。
? θ1>θc时，由于 δ 的存在将会使入射的线偏
振光变为椭圆偏振光，道理将在 § 2-3中来
阐明 。
0
s in
s inc o s
22 12
2
1
2
1 ?????
?
????? npstgtg
§ 1-8全反射
? 二 倏逝波：
? 它在介质光波导理论和技术中有重要应用。
? 实验表明, 在全反射时, 光波并非绝对地在
界面上被全部反射回第一介质, 而是透入第
二介质很薄的一层表面 （ 约为一个波长 ） 并
沿界面传播一些距离 （ 波长量级 ） 最后返回
第一介质 。 透入第二介质表面的这个波称为
倏逝波 。
§ 1-8全反射
? 从满足电磁场边值关系来看, 倏逝波的存
在是必然的 。
? 因为电场和磁场不可能中断在两种介质的
分界面上, 它应该满足边值关系, 因而在
第二介质中就一定会存在透射波 。
? 只是在全反射下这个透射波有着特殊的性
质, 使它不能无限深入第二介质的内部 。
§ 1-8全反射
? 如前：令透射波的波函数为
? 如图示
? 选入射面为 xoz平面,则上式可写为：
? 由折射定律知：
)](e x p [ 222 trkiAE ???? ????
)](e x p [ 2222 tzkxkiAE zx ???? ??
1
s in
c os
s in
s in
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1
2
2222
1
2222
????
??
n
ikkk
n
kkk
z
x
?
?
?
?
x
等幅面
n1
n2 λ’
θ1
等相面z
θ2
k2
§ 1-8全反射
? 其中 k2z是虚数, 它实际上表示光波在 z方向
上的衰减 。 将它写为 k2z=ik
? 是正实数, 则透射波的波函数可写为：
? 上式表明,透射波是一个沿 x方向传播的在
z方向按指数规律变化的波,
1s in 2 1
2
2 ?? nkk
?
)](e x p [)e x p ( 222 txkikzAE x ??? ???
)](e x p [ 2222 tzkxkiAE zx ???? ??
§ 1-8全反射
? 其振副因子为
? 显然 k前只能取负号 。
? 取正号时表明振幅因子离开界面向第二介
质深入时, 振幅随距离增大而增大, 这在
物理上是不可能的 。
? K取负号时, 表明透射波是一个沿 x方向传
播的, 振幅在 z方向按指数衰减的波, 这个
波就是倏逝波 。
)e x p (2 kzA ??
§ 1-8全反射
? 定义振幅减小到界面 （ z=0） 振幅的 1/e的深
度为穿透深度 z0,
? 则由
? 得：
47.3
,60,
48.1
45
8.415.1,1:
s in
1
0
0
0
0
1
0
12
1
2
2
1
2
2
0
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?
?
?
?
?
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????
?
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zz
nn
n
n
n
nk
n
k
z
c
c
时
时当
)](e x p [)e x p ( 222 txkikzAE x ??? ???
§ 1-8全反射
? 即 z0的数量级为一个波长。
? 此外, 从式中可看出：
? 倏逝波的等幅面是 z＝常数的平面，等相面
是 x为常数的平面，两者互相垂直。它是一个
非均匀平面波。
? 倏逝波长为
? 传播速度
? v1是介质 1中光波的传播速度。
1
1
2 s in
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xk
1
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)](e x p [)e x p ( 222 txkikzAE x ??? ???
x
等幅面
n1
n2 λ’
θ1
等相面z
θ2
k2
§ 1-8全反射
? 必须指出：虽然在第二介质中存在倏逝波，
但它并不向第二介质内部传输能量。
? 计算表明，倏逝波沿 z方向的平均能流为零。
? 这说明第一介质流入第二介质和由第二介质
流入第一介质的能量相等。
? 进一步研究还表明，由第一介质流入第二介
质的能量入口与返回的能量出口处相隔约半
个波长－通常称为古斯－哈恩森（ Goos-
Haenchen）位移,这是造成全反射时反射光
位相跃变的原因 。
§ 1-8全反射
? 作业,1.23,1.24,1.25,1.26,1.27,1.28
