§ 5－ 1
惠更斯－菲涅尔原理
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
?一、惠更斯原理：
?1690年，惠更斯在其著作, 论光, 中提出假
设：, 波前上的每一个面元都可以看作是一
个次级扰动中心，它们能产生球面子波,,
并且：, 后一时刻的波前的位置是所有这些
子波前的包络面。,
?这里,,波前, 可以理解为：光源在某一时
刻发出的光波所形成的波面（等相面）。
,次级扰动中心可以看成是一个点光源,,
又称为, 子波源, 。
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
?波动具有两个基本性质,一方面，它是扰动
的传播，一点的扰动能够引起其它点的扰动，
各点相互之间是有联系的。另一方面，它具有
时空周期性，能够相干迭加。
?惠更斯原理中的, 次波概念反映了上述前一
基本性质，这是其成功的地方。但, 时空周期
性, 并没有反映。
?利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在，但
不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的
振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分
布。
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
?二、惠更斯－菲涅耳原理
? 此是研究衍射现象的理论基础：
? 波动具有两个基本性质：
?1,波动是扰动的传播，一点的扰动能够引
起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有
联系的；
?2,波动具有时空周期性，能够相干叠加。
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性
的反映，从而对各次波如何叠加问题就不
能给出令人满意的回答。
? 1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现
象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳
出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯
提出的次波概念，用, 次波相干迭加, 的
思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,
这个原理就是 惠更斯菲涅耳原理 。
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 惠更斯 --菲涅耳原理
? 其内容如下：
? 如图 5-3所示：
?, 波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作
是一个频率（或波长）与入射波相同的子波
源；在其后任何地点的光振动，就是这些子
波叠加的结果。,
? s为点波源,∑为从 S发出的球面波在某时刻
到达的波面,P为波场中的某个点。要问，
波在 P点引起的振动如何？
P
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Σ
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§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 由惠更斯 — 菲涅耳原理知：
? 应该把 ∑面分割成无穷多的面元 d∑,把每
个面元 d∑看成发射次波的波源，从所有面
元发射的次波将在 P点相遇。
? 一般说来，由各面元 d∑到 P点的光程是不
同的，从而在 P点引起的振动位相不同,P
点的总振动就是这些次波在这里相干叠加
的结果。
? 以上就是惠更斯－菲涅耳原理的 基本思想
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 惠更斯－菲涅耳原理可以表述如下：
? 波前上每一个面元都可看成是新的振动中心，
它们发出次波（频率与入射波相同） ;
? 在空间某一点 P的振动是所有这些次波在该点
的相干迭加。
? 是相干叠加 →复振幅叠加
? 如图所示。点光源 S在波面 ∑’
上任一点 Q产生的复振幅为
P
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§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 式中,A是离点光源单位距离处的振幅，
? R是波面 ∑’ 的半径。
? 在 Q点处取面元 dσ，面元发出的子波在 P点
产生的复振幅与在面元上的复振幅,面
元大小和倾斜因子 K???成正比。
? 面元 dσ在 P点产生的复振幅可以表示为
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§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? K???表示子波的振幅随面元法线与 QP的夹
角 ?的变化。（ ?称为衍射角）
? c为一常数,r=QP。
? 菲涅耳假设,当时 ??0，倾斜因子 K有最大
值，随着增加 ?↑, K减小，
? 当 ?≥π /2时,K=0。
? 对 P点产生作用的将是波面 ∑’ 中界于 z z’范
围内的波面 ∑上的面元发出的子波。
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§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 则：
? 此即为惠更斯－菲涅耳原理的菲涅耳表达
式，此关系式还可推广为（ 5－ 4）式，
? 即
? 若：
? 有：
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§ 5－ 2 基尔霍夫
标量 衍射理论
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 如前所述，
? 1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，
并给出了菲涅耳衍射积分公式。最初菲涅耳
作的各项假设时，只凭朴素的直觉。
? 六十余年后，基尔霍夫（ 1882年）建立了一
个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本
上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对，
并对其进行了修正。
? 基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故
又称 标量衍射理论 。
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
一、亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
?以简谐标量波的波动微分方程出发（此方程
在数学上称为, 亥姆霍兹, 方程）建立了一个
公式，使得空间任意一点的电磁场，可以用包
围该点的任意封闭曲面上的电磁场及其导数求
得, 此即为,亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
?如图 5－ 4所示：
?设有一单色光波通过
闭合曲面 ∑’ 传播。
则光波电磁场的
任一直角分量的复振幅
P
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n
Σ ＇
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 满足亥姆霍兹方程
? 即
? 若不考虑电磁场其它分量的影响，孤立地
把 看作标量场，并用曲面上的 和 值
表示面内任一点的,这种理论就是 标量
衍射理论 。
? 设 和一个位置坐标的任意复函数 G在曲面
∑’ 上和 ∑’ 内部都有连续的一阶和二阶偏
导数
? 则由格林定理：
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? V是闭合面 ∑’ 所包围的体积,表示 ∑’
上每一点沿向外法线的偏微商。
? 若取 也满足亥姆霍兹方程，则
? 由
? 由此知：格林定理中左边为零
? 即
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 可选 为球面波：
? 式中 r表示 ∑’ 内任一点 Q与考察点 P之间的距离
? 显然、此球面波函数在 r=0处不连续，故为了使
格林公式成立，应将 r＝ 0点 P除去。为此以 P为
圆心作一半径为 ε 的小球，并取积分域为复合
曲面
? 见图 5－ 4，
? 则（ 2）式变为
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 由
? 则，
? 式中：
? 代表积分面外向法线 与从 P点到
积分面上 Q的矢量 之间的夹角的余弦。
? 对于 上的 Q点，
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
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? 此结果称为 亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
? 其意义在于：
? 把闭曲面 ∑’ 内任一点 P的电磁场值
用曲面上的场值 及 表示出来，因而它也
可看作惠更斯－菲涅耳原理的一种数学表示。
事实上，在上式的被积函数中，因子
可视为由曲面 ∑’ 上的 Q点向内空间的 P点传播
的波，波源的强弱由 Q点上的 和 值确定。
因此，曲面上每一点可以看作为一个次级光源，
发射出子波，而曲面内空间各点的场值取决于
这些子波的叠加。
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
二、菲涅耳－基尔霍夫公式
?可以证明亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理，在
某些近似条件下，可以化为一种与菲涅耳表
达式基本相同的形式。
?对于单色点光源 S发出的球面波照明无限大
不透明屏上孔径 ∑的情况，计算 P点的场值：
?若：孔径线度比波长大，但比孔径到 S和 P的
距离小得多。
?则由亥姆霍兹一基尔霍夫积分定理
?选取包围 P点的闭合曲面，它由三部分组成
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
?（ 1）孔径 ∑，（ 2）不透明屏右侧 ∑1,（ 3）
以 P为中心,R为半径的部分球面 ∑2 。
?则 P点的场强值
?对于 ∑和 ∑1面，基尔霍夫假定
?（ 1）在孔径 ∑上,和 的值由入射波决
定，与不存在不透明屏时完全相同。即
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 表示外向法线与从 S到上某点 Q的
矢量之间 夹角的余弦。
? （ 2）在不透明屏右侧 ∑1上，
? 假定
? 假定（ 1）（ 2）称为 基尔霍夫边界条件,
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 对于 ∑2：
? 在 ∑2上，
? 则对 ∑2上的积分关系：
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? Ω 为 ∑2对 P点所张立体角。
? 由索末菲辐射条件：
? 在辐射场中
? 而 是有界的
? 则 R→∞ 时，可不考虑 ∑2的贡献。
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 代入上式，
? 则并考虑到 1/r,1/l比 k值小得多。
? 则
? 此即为 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式
? 此为基尔霍夫衍射定理的一种近似，
? 与惠更斯－菲涅耳原理的表达式比较：
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 则两式完全相同。
? 此式也按惠更斯－菲涅耳原理的基本思想进
行解释，不同的是，因子
? 表明，子波源的振动位相超前于入射波 900。
这一点不是只凭直觉所能想象得出来的。
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 基尔霍夫给出了倾斜因子的具体形式：
? 若：入射波为垂直入射到孔径的平面波。
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? 如图 5－ 5,则
? 显然,θ=0时,K(θ)=1
? θ=π 时,K(θ)=0
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
?这说明菲涅耳子波假设 K(π /2)=0是不正确的
?三、巴俾涅（ Babinet）原理
?是关于互补屏衍射的原理。
?互补屏：两个衍射屏，其一的通光部分正好对
应另一的不透光部分，反之亦然。
?则
?即两个互补屏单独产生的衍射场的复振幅之和
等于没有屏时的复振幅。此即为 Babinet原理。
?此表明：在 的那些点
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 的位相相差 Π
? 强度 相等
? 即：在 的那些点，两个互补屏单独
产生的强度相等。
? ? ? ?P~P~ 21 EE 和
? ? ? ? 222211 P~IP~I EE ?? 和
? ? 0P~ ?E
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 作业
惠更斯－菲涅尔原理
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
?一、惠更斯原理：
?1690年，惠更斯在其著作, 论光, 中提出假
设：, 波前上的每一个面元都可以看作是一
个次级扰动中心，它们能产生球面子波,,
并且：, 后一时刻的波前的位置是所有这些
子波前的包络面。,
?这里,,波前, 可以理解为：光源在某一时
刻发出的光波所形成的波面（等相面）。
,次级扰动中心可以看成是一个点光源,,
又称为, 子波源, 。
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
?波动具有两个基本性质,一方面，它是扰动
的传播，一点的扰动能够引起其它点的扰动，
各点相互之间是有联系的。另一方面，它具有
时空周期性，能够相干迭加。
?惠更斯原理中的, 次波概念反映了上述前一
基本性质，这是其成功的地方。但, 时空周期
性, 并没有反映。
?利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在，但
不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的
振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分
布。
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
?二、惠更斯－菲涅耳原理
? 此是研究衍射现象的理论基础：
? 波动具有两个基本性质：
?1,波动是扰动的传播，一点的扰动能够引
起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有
联系的；
?2,波动具有时空周期性，能够相干叠加。
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性
的反映，从而对各次波如何叠加问题就不
能给出令人满意的回答。
? 1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现
象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳
出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯
提出的次波概念，用, 次波相干迭加, 的
思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,
这个原理就是 惠更斯菲涅耳原理 。
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 惠更斯 --菲涅耳原理
? 其内容如下：
? 如图 5-3所示：
?, 波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作
是一个频率（或波长）与入射波相同的子波
源；在其后任何地点的光振动，就是这些子
波叠加的结果。,
? s为点波源,∑为从 S发出的球面波在某时刻
到达的波面,P为波场中的某个点。要问，
波在 P点引起的振动如何？
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§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 由惠更斯 — 菲涅耳原理知：
? 应该把 ∑面分割成无穷多的面元 d∑,把每
个面元 d∑看成发射次波的波源，从所有面
元发射的次波将在 P点相遇。
? 一般说来，由各面元 d∑到 P点的光程是不
同的，从而在 P点引起的振动位相不同,P
点的总振动就是这些次波在这里相干叠加
的结果。
? 以上就是惠更斯－菲涅耳原理的 基本思想
§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 惠更斯－菲涅耳原理可以表述如下：
? 波前上每一个面元都可看成是新的振动中心，
它们发出次波（频率与入射波相同） ;
? 在空间某一点 P的振动是所有这些次波在该点
的相干迭加。
? 是相干叠加 →复振幅叠加
? 如图所示。点光源 S在波面 ∑’
上任一点 Q产生的复振幅为
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§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 式中,A是离点光源单位距离处的振幅，
? R是波面 ∑’ 的半径。
? 在 Q点处取面元 dσ，面元发出的子波在 P点
产生的复振幅与在面元上的复振幅,面
元大小和倾斜因子 K???成正比。
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§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? K???表示子波的振幅随面元法线与 QP的夹
角 ?的变化。（ ?称为衍射角）
? c为一常数,r=QP。
? 菲涅耳假设,当时 ??0，倾斜因子 K有最大
值，随着增加 ?↑, K减小，
? 当 ?≥π /2时,K=0。
? 对 P点产生作用的将是波面 ∑’ 中界于 z z’范
围内的波面 ∑上的面元发出的子波。
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§ 5－ 1惠更斯－菲涅尔原理
? 则：
? 此即为惠更斯－菲涅耳原理的菲涅耳表达
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§ 5－ 2 基尔霍夫
标量 衍射理论
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 如前所述，
? 1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，
并给出了菲涅耳衍射积分公式。最初菲涅耳
作的各项假设时，只凭朴素的直觉。
? 六十余年后，基尔霍夫（ 1882年）建立了一
个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本
上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对，
并对其进行了修正。
? 基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故
又称 标量衍射理论 。
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
一、亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
?以简谐标量波的波动微分方程出发（此方程
在数学上称为, 亥姆霍兹, 方程）建立了一个
公式，使得空间任意一点的电磁场，可以用包
围该点的任意封闭曲面上的电磁场及其导数求
得, 此即为,亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
?如图 5－ 4所示：
?设有一单色光波通过
闭合曲面 ∑’ 传播。
则光波电磁场的
任一直角分量的复振幅
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 满足亥姆霍兹方程
? 即
? 若不考虑电磁场其它分量的影响，孤立地
把 看作标量场，并用曲面上的 和 值
表示面内任一点的,这种理论就是 标量
衍射理论 。
? 设 和一个位置坐标的任意复函数 G在曲面
∑’ 上和 ∑’ 内部都有连续的一阶和二阶偏
导数
? 则由格林定理：
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? V是闭合面 ∑’ 所包围的体积,表示 ∑’
上每一点沿向外法线的偏微商。
? 若取 也满足亥姆霍兹方程，则
? 由
? 由此知：格林定理中左边为零
? 即
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 可选 为球面波：
? 式中 r表示 ∑’ 内任一点 Q与考察点 P之间的距离
? 显然、此球面波函数在 r=0处不连续，故为了使
格林公式成立，应将 r＝ 0点 P除去。为此以 P为
圆心作一半径为 ε 的小球，并取积分域为复合
曲面
? 见图 5－ 4，
? 则（ 2）式变为
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 由
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? 式中：
? 代表积分面外向法线 与从 P点到
积分面上 Q的矢量 之间的夹角的余弦。
? 对于 上的 Q点，
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
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? 此结果称为 亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
? 其意义在于：
? 把闭曲面 ∑’ 内任一点 P的电磁场值
用曲面上的场值 及 表示出来，因而它也
可看作惠更斯－菲涅耳原理的一种数学表示。
事实上，在上式的被积函数中，因子
可视为由曲面 ∑’ 上的 Q点向内空间的 P点传播
的波，波源的强弱由 Q点上的 和 值确定。
因此，曲面上每一点可以看作为一个次级光源，
发射出子波，而曲面内空间各点的场值取决于
这些子波的叠加。
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
二、菲涅耳－基尔霍夫公式
?可以证明亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理，在
某些近似条件下，可以化为一种与菲涅耳表
达式基本相同的形式。
?对于单色点光源 S发出的球面波照明无限大
不透明屏上孔径 ∑的情况，计算 P点的场值：
?若：孔径线度比波长大，但比孔径到 S和 P的
距离小得多。
?则由亥姆霍兹一基尔霍夫积分定理
?选取包围 P点的闭合曲面，它由三部分组成
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
?（ 1）孔径 ∑，（ 2）不透明屏右侧 ∑1,（ 3）
以 P为中心,R为半径的部分球面 ∑2 。
?则 P点的场强值
?对于 ∑和 ∑1面，基尔霍夫假定
?（ 1）在孔径 ∑上,和 的值由入射波决
定，与不存在不透明屏时完全相同。即
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 表示外向法线与从 S到上某点 Q的
矢量之间 夹角的余弦。
? （ 2）在不透明屏右侧 ∑1上，
? 假定
? 假定（ 1）（ 2）称为 基尔霍夫边界条件,
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 对于 ∑2：
? 在 ∑2上，
? 则对 ∑2上的积分关系：
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? Ω 为 ∑2对 P点所张立体角。
? 由索末菲辐射条件：
? 在辐射场中
? 而 是有界的
? 则 R→∞ 时，可不考虑 ∑2的贡献。
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 代入上式，
? 则并考虑到 1/r,1/l比 k值小得多。
? 则
? 此即为 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式
? 此为基尔霍夫衍射定理的一种近似，
? 与惠更斯－菲涅耳原理的表达式比较：
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 则两式完全相同。
? 此式也按惠更斯－菲涅耳原理的基本思想进
行解释，不同的是，因子
? 表明，子波源的振动位相超前于入射波 900。
这一点不是只凭直觉所能想象得出来的。
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 基尔霍夫给出了倾斜因子的具体形式：
? 若：入射波为垂直入射到孔径的平面波。
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? 如图 5－ 5,则
? 显然,θ=0时,K(θ)=1
? θ=π 时,K(θ)=0
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
?这说明菲涅耳子波假设 K(π /2)=0是不正确的
?三、巴俾涅（ Babinet）原理
?是关于互补屏衍射的原理。
?互补屏：两个衍射屏，其一的通光部分正好对
应另一的不透光部分，反之亦然。
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?即两个互补屏单独产生的衍射场的复振幅之和
等于没有屏时的复振幅。此即为 Babinet原理。
?此表明：在 的那些点
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 的位相相差 Π
? 强度 相等
? 即：在 的那些点，两个互补屏单独
产生的强度相等。
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§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 作业
