衍射内容回顾
一、惠更斯－菲涅尔原理
? 1.内容：, 波前上任何一个未受阻挡的点
都可以看作是一个频率（或波长）与入射
波相同的子波源；在其后任何地点的光振
动，就是这些子波叠加的结果。,
? 2.表达式：
? 或：
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二、菲涅耳－基尔霍夫衍射公式：
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三、基尔霍夫衍射公式的近似：
?1、傍轴近似：入射光垂直孔径面
?2、菲涅耳近似：
?3、菲涅耳衍射公式,
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三、基尔霍夫衍射公式的近似：
?4、夫琅和费近似：
?5、夫琅和费衍射公式：
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四,矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?1.矩孔：
?取矩孔中心作为坐标原点：
?则 观察屏上的 P点的复振幅为
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平面波入射
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? P点的强度
? 此即为夫琅和费 矩孔衍射 的强度分布公式。
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四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?2、单缝衍射
?单缝, b＞＞ a 则 x轴有强衍射效应
?此时，衍射强度分布公式
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五、双缝夫琅和费衍射
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五、双缝夫琅和费衍射
? 缝,β=0,(sin β)/ β=1
? 则 x轴上任一点 P的复振幅可以表示为
? 显然：在 x1方向上两个相距为 d的平行狭缝，
在 P点产生的复振幅有一位相差，其值为
? P点的强度为
? 此即为双缝衍射强度分布公式
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六、多缝夫琅和费衍射
?N缝衍射的强度分布公式：
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?式中包含两个因子：
?单缝衍射因子：
?多光束干涉因子：
?说明多缝衍射也是衍射和干涉的共同作用的
结果。此关系具有普遍意义。
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七、衍射光栅
? 1.光栅普遍方程,多缝夫琅和费衍射图样中，亮
线（主极大）位置公式：
? 2.光栅的色散本领：
? 角色散,波长相差 1A的两条谱线分开的角距离；
? 线色散,聚焦物镜的焦面上波长相差 1A的两条谱
线分开的距离。
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七、衍射光栅
? 3.光栅的色分辨本领：
? 4.光栅的自由光谱范围,
? 以波长 λ的 m+1级谱线和 λ+Δ λ的 m级谱线重合为限。
即
? 5.闪耀光栅：
? 闪耀角与闪耀波长的关系
? n闪耀波长级数,λnb对应级数的闪耀波长
mNA ??? ??
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§ 5－ 5
圆孔的夫琅和费衍射
§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 一、圆孔的夫琅和费衍射公式：
? 与矩孔的夫琅和费衍射不同的是孔径的形
状，由于是圆孔，故为计算方便，将夫琅
和费衍射公式由直角坐标变换为极坐标即
可得到圆孔的夫琅和费衍射公式：
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 式中是 θ衍射角（衍射方向 OP与光轴的夹角）
? 将上列关系代入夫琅和费衍射公式：
? 由于位相因子
? 在计算强度时将被消去，可简化而舍去。
? 若圆孔半径为 a则
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 此关系可以用零阶贝塞尔函数来表示：
? 零阶贝塞尔函数是偶函数,则上式：
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
?P点的强度为
?式中 为轴上点的强度。
?上式即为夫琅和费圆孔衍射的强度分布公式
?二、夫琅和费圆孔衍射图样分析：
?由强度公式可知：
?1.P点的强度与它对应的衍射角有关，因
?故强度与 r有关，而与 ψ 无关，故衍射图样是
圆环条纹 。
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
?2.一阶贝塞尔函数是一个随 Z作振荡变化的函
数
?在 Z=0处，对应于轴上点：有主极大值 I/I0=1
?当 J1（ Z） =0时，有极小值 I/I0=0
?此时,z值决定衍射暗环的位置。在相邻两极
小之间有一个 次极小,其位置由满足下式的 z
值决定：
?这些 z值决定衍射亮环的位置。
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 从图 5－ 20看出，一般两相邻暗环的间距并不
相等。光能则主要集中在中央亮斑内。此中
央 亮斑通常称为爱里（ Airy）斑。其半径由
下式决定。
? 说明，衍射大小与半径成反比，与波长成正
比。
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§ 5－ 6
光学成像系统的
,衍射, 和, 分辨本领,
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?一、成像系统的衍射现象：
?几何光学：理想光学系统：点物 → 点像
?实际：由于存在限制光束的光瞳，使衍射效
应无法消除，使点物 → 衍射像斑。
?一般情况下，光瞳口径比光波波长大很多，
从而衍射效应极小。但在高倍显微镜下，仍能
清楚地看到像斑结构。
?如图 5－ 21为一个望远物镜的星点检验装置。
?若光阑直径 mmfmmD 1 2 0,30 ??
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 则爱里（ Airy）斑半径为：
? 人眼无法直接看清它的结构，只能通过显
微镜来观察。
? 若望远镜有像差，则它所形成的衍射条纹
的形状和强度分布将不同于理想的衍射图
形。从而可检验望远物镜的像差。
? 二、在像面观察的夫琅和费衍射：
? 对于成像光学系统，比较多的情形是对近
处的点光源（点物）成像。
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mmDfr 0 0 2 5.022.10 ?? ?
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?这时在像面上观察到的衍射像斑是否可以应
用夫琅和费公式来计算。回答是肯定的。
?现证明如下。
?如图 5－ 22所示，系统 L将发自 S点的发散球面
波改变为会聚于点的会聚球面波，但同时还受
到孔径光阑 D的限制，故系统的像应是会聚球
面波在孔径 D上的衍射像斑。
?通常像面到光阑面的距离为有限远，故只能
用菲涅耳衍射的计算公式来计算像面上的复振
幅分布，取如图所示坐标系，则
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 由于光阑面受会聚球面波照明。则
? 在傍轴近似下, 在菲涅耳近似下：
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?与夫琅和费衍射公式相比，两式中的积分是
一样的。只是将 R代替了 f。
?说明在像面上观察到的近处点物的衍射像也
是孔径光阑的夫琅和费衍射图样，它同样可
应用夫琅和费衍射公式来计算。
?即，成像系统对点物在它的像面上所成的像
是夫琅和费衍射图样。
?三、成像系统的分辨本领：
?分辨本领：是指它能分辨开靠近的点物或物
体细节的能力。
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?几何光学来讲，点物 → 点像 → 分辨本领无限。
?物理光学来讲，点物 → 衍射像斑 → 分辨本领
有限。
?两个物点能否被分开，到目前为止，人们一
直在沿用 瑞利判据 。其内容如下：
?一个点物衍射图样的中央极大与近旁另一个
点物衍射图样的第一极小重合时，此时系统
恰好可以分辨开两个点物。此为光学系统的
分辨极限。
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?不同的光学系统，其分辨本领有不同的表示方
法。
?对于望远物镜：用恰能分辨的两点物对物镜的
张角表示，称为最小分辨角。
?对于照像物镜，用像面上每毫米能分辨的直线
数表示。
?对于显微镜：用恰能分辨的两点物的距离来表
示。
?1.望远镜的分辨本领：
?根据瑞利判据知：
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?最小分辨角：
?此式表明,D越大，分辨本领愈高。故，天文望
远镜的直径做得很大。
?人眼的最小分辨角：
?由于 De总小于 D，故用望远镜来观察物体时，除
了放大作用外，还提高了分辨本领。
?设计望远镜时，为充分利用望远镜的分辨本领，
应该使望远镜有足够的放大率，使得望远物镜的最
小分辨角经望远镜放大后等于眼睛的最小分辨角。
此时放大率为
D
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?2.照相物镜的分辨本领：
?由瑞利判据,
?在像面上的距离
?由于底片的位置与照相物镜的焦面大致重合，
则每一毫米能分辨的线数：
?取
?则 相对孔径：
?显然，相对孔径愈大，分辨本领愈高。为了
充分利用照相物镜的分辨本领，使用的底片
的分辨本领应大于或等于物镜的分辨本领。
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 3.显微镜的分辨本领：
? 由瑞利判据，并考虑到显微镜的成像特点如
图 5－ 25所示：其特点是物距很短而像距很长，
如图 5－ 25所示
? 爱里斑半径为
? ?’像距,D→ 显微物镜口径
? 显然 r0即为物方靠近的两点在像面上正好能
被分辨的两个点的距离，将其换算到物方，
即可得显微物镜的最小分辨距离 ?为,
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?显微物镜成像满足阿贝条件：
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? 称为物镜的数值孔径 。
?可见，提高显微镜分辨本领的途径有两条。
?（ 1）、增大物镜的数值孔径。
?A：减小焦距,B：增大 n。
?（ 2）、减小波长。
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 四、棱镜光谱仪的色分辨本领：
? 棱镜光谱仪的光学系统如图 5－ 26所示
? 由于成像光束受到光学系统的限制（光束
宽度为 a）则像 S”在图面内有一定的衍射增
宽，其大小可用单缝衍射图样中央亮纹的
半角宽度 θ0表示，
? 棱镜光谱仪是为了获得狭缝 S的不同位置的
光谱像（通常称为光谱线）。
a?? ?0
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?由瑞利判据，对应于波长分别为 λ和 λ+Δ λ的两
条光谱线，若其角距离等于中央亮纹的半角宽
度 θ0，则这两条光谱线刚好可以分辨。此时的
就是光谱仪的色分辨本领。
?即，光谱仪的色分辨本领为：
?若光波通过棱镜时处于最小偏向角位置，
?则：
?式中 B：为棱镜底边长度；
? n：为相对于波长和棱镜折射率；
? Δ n：为相对于的棱镜折射率的色散。
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n
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 从式中可知，棱镜的色分辨本领等于它的
底边长和棱镜的色散率的乘积。 B越大色分
辨本领越高。
? 作业：
? 单号,5.11,5.13,5.15,5.17,5.19
? 双号,5.12,5.14,5.16,5.18, 5.19
一、惠更斯－菲涅尔原理
? 1.内容：, 波前上任何一个未受阻挡的点
都可以看作是一个频率（或波长）与入射
波相同的子波源；在其后任何地点的光振
动，就是这些子波叠加的结果。,
? 2.表达式：
? 或：
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三、基尔霍夫衍射公式的近似：
?1、傍轴近似：入射光垂直孔径面
?2、菲涅耳近似：
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三、基尔霍夫衍射公式的近似：
?4、夫琅和费近似：
?5、夫琅和费衍射公式：
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四,矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?1.矩孔：
?取矩孔中心作为坐标原点：
?则 观察屏上的 P点的复振幅为
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2
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2
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2
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22
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平面波入射
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? P点的强度
? 此即为夫琅和费 矩孔衍射 的强度分布公式。
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四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?2、单缝衍射
?单缝, b＞＞ a 则 x轴有强衍射效应
?此时，衍射强度分布公式
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五、双缝夫琅和费衍射
? 强度分布为：
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11
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五、双缝夫琅和费衍射
? 缝,β=0,(sin β)/ β=1
? 则 x轴上任一点 P的复振幅可以表示为
? 显然：在 x1方向上两个相距为 d的平行狭缝，
在 P点产生的复振幅有一位相差，其值为
? P点的强度为
? 此即为双缝衍射强度分布公式
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六、多缝夫琅和费衍射
?N缝衍射的强度分布公式：
?
?式中包含两个因子：
?单缝衍射因子：
?多光束干涉因子：
?说明多缝衍射也是衍射和干涉的共同作用的
结果。此关系具有普遍意义。
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七、衍射光栅
? 1.光栅普遍方程,多缝夫琅和费衍射图样中，亮
线（主极大）位置公式：
? 2.光栅的色散本领：
? 角色散,波长相差 1A的两条谱线分开的角距离；
? 线色散,聚焦物镜的焦面上波长相差 1A的两条谱
线分开的距离。
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d
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m
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七、衍射光栅
? 3.光栅的色分辨本领：
? 4.光栅的自由光谱范围,
? 以波长 λ的 m+1级谱线和 λ+Δ λ的 m级谱线重合为限。
即
? 5.闪耀光栅：
? 闪耀角与闪耀波长的关系
? n闪耀波长级数,λnb对应级数的闪耀波长
mNA ??? ??
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nbn2 d s in ?? ?
§ 5－ 5
圆孔的夫琅和费衍射
§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 一、圆孔的夫琅和费衍射公式：
? 与矩孔的夫琅和费衍射不同的是孔径的形
状，由于是圆孔，故为计算方便，将夫琅
和费衍射公式由直角坐标变换为极坐标即
可得到圆孔的夫琅和费衍射公式：
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 式中是 θ衍射角（衍射方向 OP与光轴的夹角）
? 将上列关系代入夫琅和费衍射公式：
? 由于位相因子
? 在计算强度时将被消去，可简化而舍去。
? 若圆孔半径为 a则
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 此关系可以用零阶贝塞尔函数来表示：
? 零阶贝塞尔函数是偶函数,则上式：
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 因为
? 则
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
?P点的强度为
?式中 为轴上点的强度。
?上式即为夫琅和费圆孔衍射的强度分布公式
?二、夫琅和费圆孔衍射图样分析：
?由强度公式可知：
?1.P点的强度与它对应的衍射角有关，因
?故强度与 r有关，而与 ψ 无关，故衍射图样是
圆环条纹 。
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
?2.一阶贝塞尔函数是一个随 Z作振荡变化的函
数
?在 Z=0处，对应于轴上点：有主极大值 I/I0=1
?当 J1（ Z） =0时，有极小值 I/I0=0
?此时,z值决定衍射暗环的位置。在相邻两极
小之间有一个 次极小,其位置由满足下式的 z
值决定：
?这些 z值决定衍射亮环的位置。
? ? ? ? 0
z
zJ
z
zJ
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§ 5－ 5圆孔的夫琅和费衍射
? 从图 5－ 20看出，一般两相邻暗环的间距并不
相等。光能则主要集中在中央亮斑内。此中
央 亮斑通常称为爱里（ Airy）斑。其半径由
下式决定。
? 说明，衍射大小与半径成反比，与波长成正
比。
a
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f
r
,
2a
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f
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或
§ 5－ 6
光学成像系统的
,衍射, 和, 分辨本领,
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?一、成像系统的衍射现象：
?几何光学：理想光学系统：点物 → 点像
?实际：由于存在限制光束的光瞳，使衍射效
应无法消除，使点物 → 衍射像斑。
?一般情况下，光瞳口径比光波波长大很多，
从而衍射效应极小。但在高倍显微镜下，仍能
清楚地看到像斑结构。
?如图 5－ 21为一个望远物镜的星点检验装置。
?若光阑直径 mmfmmD 1 2 0,30 ??
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 则爱里（ Airy）斑半径为：
? 人眼无法直接看清它的结构，只能通过显
微镜来观察。
? 若望远镜有像差，则它所形成的衍射条纹
的形状和强度分布将不同于理想的衍射图
形。从而可检验望远物镜的像差。
? 二、在像面观察的夫琅和费衍射：
? 对于成像光学系统，比较多的情形是对近
处的点光源（点物）成像。
nm1.546??
mmDfr 0 0 2 5.022.10 ?? ?
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?这时在像面上观察到的衍射像斑是否可以应
用夫琅和费公式来计算。回答是肯定的。
?现证明如下。
?如图 5－ 22所示，系统 L将发自 S点的发散球面
波改变为会聚于点的会聚球面波，但同时还受
到孔径光阑 D的限制，故系统的像应是会聚球
面波在孔径 D上的衍射像斑。
?通常像面到光阑面的距离为有限远，故只能
用菲涅耳衍射的计算公式来计算像面上的复振
幅分布，取如图所示坐标系，则
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 11212111 2e x p,~e x p,~ dydxyyxxRikyxERi i k RyxE ??
? ?
????? ???? ?
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 由于光阑面受会聚球面波照明。则
? 在傍轴近似下, 在菲涅耳近似下：
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Rr
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即
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R
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R
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?与夫琅和费衍射公式相比，两式中的积分是
一样的。只是将 R代替了 f。
?说明在像面上观察到的近处点物的衍射像也
是孔径光阑的夫琅和费衍射图样，它同样可
应用夫琅和费衍射公式来计算。
?即，成像系统对点物在它的像面上所成的像
是夫琅和费衍射图样。
?三、成像系统的分辨本领：
?分辨本领：是指它能分辨开靠近的点物或物
体细节的能力。
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?几何光学来讲，点物 → 点像 → 分辨本领无限。
?物理光学来讲，点物 → 衍射像斑 → 分辨本领
有限。
?两个物点能否被分开，到目前为止，人们一
直在沿用 瑞利判据 。其内容如下：
?一个点物衍射图样的中央极大与近旁另一个
点物衍射图样的第一极小重合时，此时系统
恰好可以分辨开两个点物。此为光学系统的
分辨极限。
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?不同的光学系统，其分辨本领有不同的表示方
法。
?对于望远物镜：用恰能分辨的两点物对物镜的
张角表示，称为最小分辨角。
?对于照像物镜，用像面上每毫米能分辨的直线
数表示。
?对于显微镜：用恰能分辨的两点物的距离来表
示。
?1.望远镜的分辨本领：
?根据瑞利判据知：
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?最小分辨角：
?此式表明,D越大，分辨本领愈高。故，天文望
远镜的直径做得很大。
?人眼的最小分辨角：
?由于 De总小于 D，故用望远镜来观察物体时，除
了放大作用外，还提高了分辨本领。
?设计望远镜时，为充分利用望远镜的分辨本领，
应该使望远镜有足够的放大率，使得望远物镜的最
小分辨角经望远镜放大后等于眼睛的最小分辨角。
此时放大率为
D
??? 22.1
0 ??
e
e D
?? 22.1?
ee DDM ?? ??
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?2.照相物镜的分辨本领：
?由瑞利判据,
?在像面上的距离
?由于底片的位置与照相物镜的焦面大致重合，
则每一毫米能分辨的线数：
?取
?则 相对孔径：
?显然，相对孔径愈大，分辨本领愈高。为了
充分利用照相物镜的分辨本领，使用的底片
的分辨本领应大于或等于物镜的分辨本领。
D
?? 22.1
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 3.显微镜的分辨本领：
? 由瑞利判据，并考虑到显微镜的成像特点如
图 5－ 25所示：其特点是物距很短而像距很长，
如图 5－ 25所示
? 爱里斑半径为
? ?’像距,D→ 显微物镜口径
? 显然 r0即为物方靠近的两点在像面上正好能
被分辨的两个点的距离，将其换算到物方，
即可得显微物镜的最小分辨距离 ?为,
D
llr ?? '22.1'
0 ??
??
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ANun
??? 61.0
s in
61.0
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?显微物镜成像满足阿贝条件：
?
? 称为物镜的数值孔径 。
?可见，提高显微镜分辨本领的途径有两条。
?（ 1）、增大物镜的数值孔径。
?A：减小焦距,B：增大 n。
?（ 2）、减小波长。
'2
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l
D
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?
? ??
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§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 四、棱镜光谱仪的色分辨本领：
? 棱镜光谱仪的光学系统如图 5－ 26所示
? 由于成像光束受到光学系统的限制（光束
宽度为 a）则像 S”在图面内有一定的衍射增
宽，其大小可用单缝衍射图样中央亮纹的
半角宽度 θ0表示，
? 棱镜光谱仪是为了获得狭缝 S的不同位置的
光谱像（通常称为光谱线）。
a?? ?0
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
?由瑞利判据，对应于波长分别为 λ和 λ+Δ λ的两
条光谱线，若其角距离等于中央亮纹的半角宽
度 θ0，则这两条光谱线刚好可以分辨。此时的
就是光谱仪的色分辨本领。
?即，光谱仪的色分辨本领为：
?若光波通过棱镜时处于最小偏向角位置，
?则：
?式中 B：为棱镜底边长度；
? n：为相对于波长和棱镜折射率；
? Δ n：为相对于的棱镜折射率的色散。
?? ??A
n
nBA ????? ??
§ 5－ 6光学成像系统的衍射和分辨本领
? 从式中可知，棱镜的色分辨本领等于它的
底边长和棱镜的色散率的乘积。 B越大色分
辨本领越高。
? 作业：
? 单号,5.11,5.13,5.15,5.17,5.19
? 双号,5.12,5.14,5.16,5.18, 5.19
