§ 2-5光波的分析
? 由前述讨论可知：
? 1．无论多少个相同频率而有任意振幅和位相的单色
光波的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
? 2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结果就不
再是单色波，而是一个复杂波，波形曲线不再是正
弦或余弦曲线。
? 3．上述结果可以推广到三个或三个以上波动的叠加
与合成问题。
? 4．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一组单色
波。
? 本节将讨论复杂波的分析方法，并分别对周期性和
非周期性复杂波两种情况加以讨论。
§ 2-5光波的分析
一,周期性波的分析：
周期性波：接连着的相等的时间和空间内
运动完成重复一次的波。周期性波不一定具有
简谐性。对于这类周期性波可以应用数学上的
傅里叶级数定理：
具有空间周期 λ的函数 f(z)，可以表示成一
些空间周期为 λ的整数倍（即 λ,λ/2,λ/3… ）的
简谐函数之和。其数学形式为
....)
2
2c o s ()2c o s ()(
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?
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§ 2-5光波的分析
? 或写为
? 式中 a0,a1,a2是待定常数,k=2π/λ为空间角频
率。
? 傅里叶级数定理还可以写成更为简洁的形式。
? 由三角等式：
? 式中
? 式（ 1），（ 2）通常称为傅里叶级数，而 A0，
An,Bn称为函数 f(z)的傅里叶系数，它们分别为：
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§ 2-5光波的分析
? 上式表明：
? 若 f(z)代表一个以空间角频率 k沿 z方向传播的
周期性复杂波，则经过傅里叶分析，可以分解
成许多振幅不同且空间角频率分别为 k,2k，
3k,… 的单色波的叠加。即若给定一个复杂波
的函数形式，对他进行傅里叶分析，只需由式
（ 3）决定它的各个分波的振幅便可。
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§ 2-5光波的分析
? 例：如图 2-16空间周期为 λ的矩形波，在一
个周期内它可用如下函数表示：
? F(z)为奇数：则 A0=0,An=0
?
?
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§ 2-5光波的分析
? 得到 B1=4/π,B2=0,B3=4/3π,B4=0，
B5=4/5π,…
? 该矩形波的傅里叶级数，或者说这个矩形
波分解成的傅里叶简谐分波为：
? 其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为 1/λ，是基频。第二项、
第三项是三次谐波和五次谐波 [空间频率
m/λ(m≥2)是谐频 ]。
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§ 2-5光波的分析
? 通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里
叶分析的结果：以横坐标表示空间角频率，
纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为零的
频率位置引垂线，使其长度等于相应频率
的振幅值。
? 任何一个周期性复杂波
的频谱图都是一些
离散的线谱。所以
周期性复杂波的
频谱是离散频谱。 k
振幅
4/π
4/3π
4/5π 4/7π
k 3k 5k 7k
§ 2-5光波的分析
? 傅里叶级数也可以表示为复数形式,
? 其中系数
? 显然式 (4)级数中的每一项也都可以看成为
一个单色波,所以式 (4)式的意义仍然可以理
解为周期性复杂波的分解,
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§ 2-5光波的分析
?二、非周期性波的分析
?非周期性波不是无限次的重复它的波形,而是
只存在于一定的有限范围之内，在这个范围
外振动为零，因而显现出波包的形状。
?此时，由于其周期为无穷大,λ→∞,
?则傅里叶级数 → 傅里叶积分：
?其中：
?称 A(k)为函数 f(z)的傅里叶变换 (频谱 )。
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§ 2-5光波的分析
? 显然，若 f(z)表示一个波包,则傅里叶积分可
理解为一个波包可以分解成无穷多个频率
连续的、振幅随频率变化、有 A(k)函数关系
的简谐分波，即，一个波包能够由多个这
些单色波合成。
? 如用示，为一个长度为 2L，在 2L范围内波
的振幅 A0=常数，空间角频率 k0=常数，这
种波通常称为波列。 振幅
§ 2-5光波的分析
? 若选波列的中点为坐标原点，它的函数形
式可写为：
? 它的傅里叶分解频谱为：（振幅函数）
? 其强度函数：（略去常数因子）
?
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§ 2-5光波的分析
? 强度的第一零值点出现在：
? 该函数只有在空间角频率
范围内（也即 k0两边第一零值之间频率的一
半），强度才有较显著的数值。
? 则可取
? 作为有效空间角频率范围，认为波列包含的
诸分波的空间角频率处于这一范围内，由
k=2π/λ，则用空间周期表示为：
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§ 2-5光波的分析
式子表明波列长度 2L和波列所包含的单色分波的
波长范围成反比关系，波列愈短，波列所包含的
单色波的波长范围就愈宽；相反,波列愈长，波列
包含的单色分波的波长范围就愈窄。当波列长度
等于无穷大时,λ等于零。即为单色光波。
?若波列的持续时间为 Δt时，则可以证明，波列所
包含的单色波的时间频率范围为
?Δt的大小与波列长度对应,Δν的宽窄与 Δλ对应。
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1
§ 2-5光波的分析
? 作业：
? 单号同学,2.11,2.13,2.15,2.17, 2.19、
2.21
? 双号同学,2.12,2.14,2.16、,2.18,2.20、
2.21
? 由前述讨论可知：
? 1．无论多少个相同频率而有任意振幅和位相的单色
光波的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
? 2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结果就不
再是单色波，而是一个复杂波，波形曲线不再是正
弦或余弦曲线。
? 3．上述结果可以推广到三个或三个以上波动的叠加
与合成问题。
? 4．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一组单色
波。
? 本节将讨论复杂波的分析方法，并分别对周期性和
非周期性复杂波两种情况加以讨论。
§ 2-5光波的分析
一,周期性波的分析：
周期性波：接连着的相等的时间和空间内
运动完成重复一次的波。周期性波不一定具有
简谐性。对于这类周期性波可以应用数学上的
傅里叶级数定理：
具有空间周期 λ的函数 f(z)，可以表示成一
些空间周期为 λ的整数倍（即 λ,λ/2,λ/3… ）的
简谐函数之和。其数学形式为
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§ 2-5光波的分析
? 或写为
? 式中 a0,a1,a2是待定常数,k=2π/λ为空间角频
率。
? 傅里叶级数定理还可以写成更为简洁的形式。
? 由三角等式：
? 式中
? 式（ 1），（ 2）通常称为傅里叶级数，而 A0，
An,Bn称为函数 f(z)的傅里叶系数，它们分别为：
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§ 2-5光波的分析
? 上式表明：
? 若 f(z)代表一个以空间角频率 k沿 z方向传播的
周期性复杂波，则经过傅里叶分析，可以分解
成许多振幅不同且空间角频率分别为 k,2k，
3k,… 的单色波的叠加。即若给定一个复杂波
的函数形式，对他进行傅里叶分析，只需由式
（ 3）决定它的各个分波的振幅便可。
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§ 2-5光波的分析
? 例：如图 2-16空间周期为 λ的矩形波，在一
个周期内它可用如下函数表示：
? F(z)为奇数：则 A0=0,An=0
?
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§ 2-5光波的分析
? 得到 B1=4/π,B2=0,B3=4/3π,B4=0，
B5=4/5π,…
? 该矩形波的傅里叶级数，或者说这个矩形
波分解成的傅里叶简谐分波为：
? 其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为 1/λ，是基频。第二项、
第三项是三次谐波和五次谐波 [空间频率
m/λ(m≥2)是谐频 ]。
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§ 2-5光波的分析
? 通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里
叶分析的结果：以横坐标表示空间角频率，
纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为零的
频率位置引垂线，使其长度等于相应频率
的振幅值。
? 任何一个周期性复杂波
的频谱图都是一些
离散的线谱。所以
周期性复杂波的
频谱是离散频谱。 k
振幅
4/π
4/3π
4/5π 4/7π
k 3k 5k 7k
§ 2-5光波的分析
? 傅里叶级数也可以表示为复数形式,
? 其中系数
? 显然式 (4)级数中的每一项也都可以看成为
一个单色波,所以式 (4)式的意义仍然可以理
解为周期性复杂波的分解,
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?二、非周期性波的分析
?非周期性波不是无限次的重复它的波形,而是
只存在于一定的有限范围之内，在这个范围
外振动为零，因而显现出波包的形状。
?此时，由于其周期为无穷大,λ→∞,
?则傅里叶级数 → 傅里叶积分：
?其中：
?称 A(k)为函数 f(z)的傅里叶变换 (频谱 )。
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? 显然，若 f(z)表示一个波包,则傅里叶积分可
理解为一个波包可以分解成无穷多个频率
连续的、振幅随频率变化、有 A(k)函数关系
的简谐分波，即，一个波包能够由多个这
些单色波合成。
? 如用示，为一个长度为 2L，在 2L范围内波
的振幅 A0=常数，空间角频率 k0=常数，这
种波通常称为波列。 振幅
§ 2-5光波的分析
? 若选波列的中点为坐标原点，它的函数形
式可写为：
? 它的傅里叶分解频谱为：（振幅函数）
? 其强度函数：（略去常数因子）
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§ 2-5光波的分析
? 强度的第一零值点出现在：
? 该函数只有在空间角频率
范围内（也即 k0两边第一零值之间频率的一
半），强度才有较显著的数值。
? 则可取
? 作为有效空间角频率范围，认为波列包含的
诸分波的空间角频率处于这一范围内，由
k=2π/λ，则用空间周期表示为：
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§ 2-5光波的分析
式子表明波列长度 2L和波列所包含的单色分波的
波长范围成反比关系，波列愈短，波列所包含的
单色波的波长范围就愈宽；相反,波列愈长，波列
包含的单色分波的波长范围就愈窄。当波列长度
等于无穷大时,λ等于零。即为单色光波。
?若波列的持续时间为 Δt时，则可以证明，波列所
包含的单色波的时间频率范围为
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? 作业：
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