§ 5－ 8多缝
夫琅和费衍射
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?装置如图 5－ 34所示
?从实验上看到其强度分布有如下一些特征：
?（ 1）、与单缝衍射图样相比，多缝衍射图样
中出现了一系列新的强度极大和极小，其中那
些较强的亮线叫做主极大，较弱的亮线叫做次
极大；
?（ 2）、主极大的位置与缝数 N无关，但其宽度
随 N增大面减小；
?（ 3）、相邻主极大间有 N－ 1个暗纹和 N－ 2个
次极大；
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?（ 4）、强度分布中都保留了单缝衍射的痕
迹，即，曲线的包络（外部轮廓）与单缝衍
射强度曲线的形状一样。
?一、强度分布公式,
?在双缝夫琅和费衍射中，我们已经证明单缝
位置的平移将不会影响其衍射图样的强度分
布，但复振幅分布会产生一个与平移距离相
对应的位差。
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a
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 对于 x1方向上相距为 d的两平行狭缝而言，
若两缝的长、宽相同，则其在观察屏上的
任一点 P产生的复振幅有一位相差，其值为
? 现在我们来考虑多个等宽、等间距狭缝的
衍射屏，多缝的方向与线光源平行 。
? 如图 5－ 34所示
? 在 P点产生的复振幅应是由每个狭缝在 P点
产生的复振幅的叠加。
? 选取多缝衍射屏边缘第一个缝在 P点产生的
复振幅的位相为零。
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 即：
? 其余依次为,
? 则 P点产生的复振幅就是上述各缝产生的复
振幅之和。即
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? P点产生的复振幅,
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项
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?上述关系还可通过矢量法来得到：
?如右图所示：各狭缝在 P点产生的复振幅分
别为
?由于,且 相等，
?则此为一等边多边形的一部分。
?令 C点代表多边形的中心，
?则 C到每个矢量的起始点
为一等腰三角形。
即
?，,21 AA
???? sin2 d? ?，,21 AA
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δ
C
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A 2
A 3
A 4
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 又等腰三角形 OCBN的顶角为
? 则
? A的值为单缝衍射的复振幅。
? 即
? 因此
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δ
δ
C
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A 2
A 3
A 4
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?即 P点的强度
?此即 N缝衍射的强度分布公式：
?式中包含两个因子：
?单缝衍射因子：
?多光束干涉因子：
?说明多缝衍射也是衍射和干涉的共同作用的
结果。此关系具有普遍意义。
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?二、多缝衍射图样：
?衍射图样中的亮、暗纹位置由多缝干涉因子
和单缝衍射因子的极大和极小条件得到。
?1.干涉因子的作用：
?1）当
?或 时
?干涉因子
?有极大值，且为 N2，此为主极大。
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 即在此方向上，出现极大值（亮纹）且其
强度是单缝在该方向强度的 N2倍。
? 从上述条件还可看出出现主极大值（亮纹）
的位置与缝数 N无关。
? 2）当
? 干涉因子有极小值，且为零。
? 此式说明：在两个主极强之间有 N－ 1个暗
线，相邻两个零值之间的角距离为：
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 主极大与其相邻的零值之间的角距离也是 Δ θ
? 故 主极大的半角宽度为
? 说明 N增加，主极大宽度减小。
? 在相邻两个零值之间有一个次极大；
? 因零值点有 N－ 1个，故次极大有 N－ 2个。
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??? c o sNd??
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?2.衍射因子的作用：
?上面分析了缝间干涉因子的特征，实际的强
度分布还要乘上单缝衍射因子。
?与双缝衍射的情况相类似，各级主极大的强
度也受到单缝衍射因子的调制。
?各级主极大的强度为
?显然,若对应于某一主极大的位置，
?单缝衍射因子
?则强度也降为零。
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 此时
? 这级的主极大将消失，有 缺级 现象。
? 缺级的规律如双缝衍射情况：
? 时（ K为整数），
? 各级是缺级 。
? 显然，单缝衍射因子的作用仅在于影响强
度在各级主极强间的分配。
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Kad ?
?,3,2,KKK ???
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?三、干涉与衍射的区别和联系：
?从本质上讲，它们都是波的相干迭加的结果，
没有原则上的区别。二者的主要区别来自人们
的习惯。
?若仪器将光波分割成 有限 几束或彼此 离散的无
限多 束，而其中任一束又可近似地按几何光学
的规律来描述时，人们通常把它们的相干迭加
叫做, 干涉,,这样的仪器叫做, 干涉装置,,
运算时，复振幅的迭加是一个级数。
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?衍射,指 连续 分布在波前上的 无限多 个次波
中心发出的次波的相干迭加，这些次波线并不
服从几何光学的定律，理论运算时，复振幅的
迭加需要用积分。
?实际装置中，干涉效应和衍射效应往往同时
存在，混杂在一起，此时干涉条纹必然受到单
元衍射因子的调制。
§ 5－ 9
衍射光栅
§ 5－ 9衍射光栅
?通常把由大量等宽等间距的狭缝构成的光学
元件称为衍射光栅。
?由于科学技术的发展，现在定义光栅为：
?能使入射光的振幅或位相，或者两者同时产
生周期性空间调制的光学元件。
?根据其用于透射光还是反射光来分类
?光栅分为：透射光栅；反射光栅。
?反射光栅中，根据反射面形状分为：
?平面反射光栅；凹面反射光栅。
§ 5－ 9衍射光栅
?根据对入射光的调制作用来分类：
?光栅分为：振幅光栅；位相光栅。
?此外还有矩形光栅和余弦光栅。一维、二维、
三维光栅等。光栅是 最重要 的分光元件。
?一、光栅的分光性能：
?1.光栅方程,由多缝夫琅和费衍射图样中，亮
线（主极大）位置公式：
?知：对应于亮线位置 θ与入射波长 λ有关,?2,1,0s in ???? mmd ??
§ 5－ 9衍射光栅
?对于给定间距 d的光栅，用复色光照射时，不
同波长的同一级亮线，除零级外，均不重合，
即有色散；此即为光栅的分光原理。
?式
?称为 光栅方程 。
?由于此式为光垂直入射到光栅面的情况下得出
的，大多数情况下是斜入射，故对此要进行修
正。以反射光栅为例，导出斜入射时光栅方程。
如图 5－ 39所示，可得：
?光栅的普遍方程为,
?2,1,0s in ???? mmd ??
? ? ?2,1,0s ins in ????? mmid ??
§ 5－ 9衍射光栅
?式中，当考察与入射光同一侧的衍射光谱时，
取正号。
?当考察与入射光异侧（光栅面法线的同侧、
异侧）的衍射光谱时，取负号。
?2.光栅的色散本领：
?色散本领：通常用角色散和线色散来表示。
?角色散：
?波长相差 1A的两条谱线分开的角距离。
?由 知：? ?
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§ 5－ 9衍射光栅
?线色散：
?聚焦物镜的焦面上波长相差 1A的两条谱线分
开的距离。即
?由于实用光栅通常每毫米有几百条以至上千
条刻线，即 d很小；所以，光栅具有很大的色
散本领，构成光栅光谱仪。
?3.光栅的色分辨本领：
?光谱仪的色分辨本领是指其分辨两条波长相
差很小的谱线的能力。
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d
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§ 5－ 9衍射光栅
? 定义,色分辨本领
? 由 瑞利判据,若波长分别为 λ,λ +Δλ的两光
波由于色散所分开的距离正好使一条谱线的
强度极大值和另一谱线强度极大值边上的极
小值重合，这两谱线刚好能被分辨。
? 即：谱线的半角宽度为：
? 同多缝衍射主极大的半角宽度相同。
? 由光栅色散本领知：
?? ??A
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§ 5－ 9衍射光栅
?此说明，光栅的色分辨本领正比于光谱级次 m和
光栅线数 N，与光栅常数 d无关。
?通常光栅所使用的光谱级并不大（ m=1或 2）但 N
很大，使其在分辨本领上优于棱镜。
?与法珀标准具相比，其利用的是高干涉级，而其
有效光束数 N并不高。
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§ 5－ 9衍射光栅
?4.光栅的自由光谱范围,
?光谱的不重叠区：
?以波长 λ的 m+1级谱线和 λ+Δ λ的 m级谱线重
合为限。即
?因 m很小，所以 Δ λ较大。
?而 F-P标准具则较小（因 较大）
?二、闪耀光栅：
?由前述知,色散本领,
?色分辨本领,
? ? ? ? mm1m ????? ???????
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§ 5－ 9衍射光栅
?即 m越大,和 A也就越大 。
?但光强分布则是 m越小，强度越大，特别是零
级占有很大一部分。
?为了克服此缺点，介绍 闪耀光栅,它能使能
量几乎全部集中到所需要的那一级光谱上去。
?如图 5－ 24所示：
?我们可以通过闪耀角的设计，
使光栅适用于某一特定波段的
某一级光谱上。其基本关系如下：
?
?
d
d
d
m=0m=1
m=2
γ
光栅面
a
i
§ 5－ 9衍射光栅
?n闪耀波长级数,λnb对应级数的闪耀波长。
?n=1时，对应 1级闪耀波长
?n=2时，对应 2级闪耀波长（通常所说的闪耀
波长为 1级闪耀波长）。
?三、迈克耳逊阶梯光栅：
?如图：
nbn2 d s in ?? ?
θ
a(=d)
t
§ 5－ 9衍射光栅
? 其光栅方程为,
? t玻璃平板的厚度（ 1~2cm）
? d相邻玻璃平板凸出的高度 (0.1cm)
? 使得 m值很大，其分辨本领很高，但自由光
谱范围很小。
? 四,凹面光栅（略）
? ? ?? mdtn ?????? 1
§ 5－ 9衍射光栅
?五、正弦（振幅）光栅,
?一般来说，衍射图样受到单元衍射因子和多光
束干涉因子的作用。
?衍射单元的性质用波前上光瞳函数来表示。
?到目前为止，我们所研究的各种衍射屏上的光
瞳函数均服从于基尔霍夫边界条件；
?即，对于一个衍射屏而言，在通光孔内，其复
振幅性质不变，而在此之外的区域内其为零，或
衍射屏对入射光波振幅的调制是按矩形函数变化
的，我们把这种光栅称为 矩形（振幅）光栅 。相
应地，透射系数按余弦或正弦函数变化的光栅，
称为 正弦（振幅）光栅 。
§ 5－ 9衍射光栅
?其在单位振幅的平面波垂直照明时，在光栅
后紧靠光栅面上的振幅分布为：
? 式中,B为小于 1的常数。
?其单元衍射产生的复振幅：
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§ 5－ 9衍射光栅
? 则正弦光栅衍射图样强度分布为
? 如图 5－ 50所示，正弦光栅的衍射图样只包
含零级和 ± 1级条纹，且条纹宽度与光栅周
期数成反比，
? N→∞ 条纹宽度为零，在数学上可用三个 δ
函数表示。
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§ 5－ 9衍射光栅
? 作业：
? 单号同学,5.23,5.25,5.27,5.29、
5.31
? 双号同学,5.24,5.26,5.28,5.29、
5.30、
夫琅和费衍射
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?装置如图 5－ 34所示
?从实验上看到其强度分布有如下一些特征：
?（ 1）、与单缝衍射图样相比，多缝衍射图样
中出现了一系列新的强度极大和极小，其中那
些较强的亮线叫做主极大，较弱的亮线叫做次
极大；
?（ 2）、主极大的位置与缝数 N无关，但其宽度
随 N增大面减小；
?（ 3）、相邻主极大间有 N－ 1个暗纹和 N－ 2个
次极大；
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?（ 4）、强度分布中都保留了单缝衍射的痕
迹，即，曲线的包络（外部轮廓）与单缝衍
射强度曲线的形状一样。
?一、强度分布公式,
?在双缝夫琅和费衍射中，我们已经证明单缝
位置的平移将不会影响其衍射图样的强度分
布，但复振幅分布会产生一个与平移距离相
对应的位差。
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a
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 对于 x1方向上相距为 d的两平行狭缝而言，
若两缝的长、宽相同，则其在观察屏上的
任一点 P产生的复振幅有一位相差，其值为
? 现在我们来考虑多个等宽、等间距狭缝的
衍射屏，多缝的方向与线光源平行 。
? 如图 5－ 34所示
? 在 P点产生的复振幅应是由每个狭缝在 P点
产生的复振幅的叠加。
? 选取多缝衍射屏边缘第一个缝在 P点产生的
复振幅的位相为零。
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 即：
? 其余依次为,
? 则 P点产生的复振幅就是上述各缝产生的复
振幅之和。即
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? P点产生的复振幅,
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?上述关系还可通过矢量法来得到：
?如右图所示：各狭缝在 P点产生的复振幅分
别为
?由于,且 相等，
?则此为一等边多边形的一部分。
?令 C点代表多边形的中心，
?则 C到每个矢量的起始点
为一等腰三角形。
即
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 又等腰三角形 OCBN的顶角为
? 则
? A的值为单缝衍射的复振幅。
? 即
? 因此
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?即 P点的强度
?此即 N缝衍射的强度分布公式：
?式中包含两个因子：
?单缝衍射因子：
?多光束干涉因子：
?说明多缝衍射也是衍射和干涉的共同作用的
结果。此关系具有普遍意义。
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?二、多缝衍射图样：
?衍射图样中的亮、暗纹位置由多缝干涉因子
和单缝衍射因子的极大和极小条件得到。
?1.干涉因子的作用：
?1）当
?或 时
?干涉因子
?有极大值，且为 N2，此为主极大。
?2,1,0,2s in2 ????? mmd ?????
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 即在此方向上，出现极大值（亮纹）且其
强度是单缝在该方向强度的 N2倍。
? 从上述条件还可看出出现主极大值（亮纹）
的位置与缝数 N无关。
? 2）当
? 干涉因子有极小值，且为零。
? 此式说明：在两个主极强之间有 N－ 1个暗
线，相邻两个零值之间的角距离为：
1N2,1,0'
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或
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 主极大与其相邻的零值之间的角距离也是 Δ θ
? 故 主极大的半角宽度为
? 说明 N增加，主极大宽度减小。
? 在相邻两个零值之间有一个次极大；
? 因零值点有 N－ 1个，故次极大有 N－ 2个。
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?2.衍射因子的作用：
?上面分析了缝间干涉因子的特征，实际的强
度分布还要乘上单缝衍射因子。
?与双缝衍射的情况相类似，各级主极大的强
度也受到单缝衍射因子的调制。
?各级主极大的强度为
?显然,若对应于某一主极大的位置，
?单缝衍射因子
?则强度也降为零。
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§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
? 此时
? 这级的主极大将消失，有 缺级 现象。
? 缺级的规律如双缝衍射情况：
? 时（ K为整数），
? 各级是缺级 。
? 显然，单缝衍射因子的作用仅在于影响强
度在各级主极强间的分配。
?? ma ?s in ?? nd ?s in
Kad ?
?,3,2,KKK ???
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?三、干涉与衍射的区别和联系：
?从本质上讲，它们都是波的相干迭加的结果，
没有原则上的区别。二者的主要区别来自人们
的习惯。
?若仪器将光波分割成 有限 几束或彼此 离散的无
限多 束，而其中任一束又可近似地按几何光学
的规律来描述时，人们通常把它们的相干迭加
叫做, 干涉,,这样的仪器叫做, 干涉装置,,
运算时，复振幅的迭加是一个级数。
§ 5－ 8多缝夫琅和费衍射
?衍射,指 连续 分布在波前上的 无限多 个次波
中心发出的次波的相干迭加，这些次波线并不
服从几何光学的定律，理论运算时，复振幅的
迭加需要用积分。
?实际装置中，干涉效应和衍射效应往往同时
存在，混杂在一起，此时干涉条纹必然受到单
元衍射因子的调制。
§ 5－ 9
衍射光栅
§ 5－ 9衍射光栅
?通常把由大量等宽等间距的狭缝构成的光学
元件称为衍射光栅。
?由于科学技术的发展，现在定义光栅为：
?能使入射光的振幅或位相，或者两者同时产
生周期性空间调制的光学元件。
?根据其用于透射光还是反射光来分类
?光栅分为：透射光栅；反射光栅。
?反射光栅中，根据反射面形状分为：
?平面反射光栅；凹面反射光栅。
§ 5－ 9衍射光栅
?根据对入射光的调制作用来分类：
?光栅分为：振幅光栅；位相光栅。
?此外还有矩形光栅和余弦光栅。一维、二维、
三维光栅等。光栅是 最重要 的分光元件。
?一、光栅的分光性能：
?1.光栅方程,由多缝夫琅和费衍射图样中，亮
线（主极大）位置公式：
?知：对应于亮线位置 θ与入射波长 λ有关,?2,1,0s in ???? mmd ??
§ 5－ 9衍射光栅
?对于给定间距 d的光栅，用复色光照射时，不
同波长的同一级亮线，除零级外，均不重合，
即有色散；此即为光栅的分光原理。
?式
?称为 光栅方程 。
?由于此式为光垂直入射到光栅面的情况下得出
的，大多数情况下是斜入射，故对此要进行修
正。以反射光栅为例，导出斜入射时光栅方程。
如图 5－ 39所示，可得：
?光栅的普遍方程为,
?2,1,0s in ???? mmd ??
? ? ?2,1,0s ins in ????? mmid ??
§ 5－ 9衍射光栅
?式中，当考察与入射光同一侧的衍射光谱时，
取正号。
?当考察与入射光异侧（光栅面法线的同侧、
异侧）的衍射光谱时，取负号。
?2.光栅的色散本领：
?色散本领：通常用角色散和线色散来表示。
?角色散：
?波长相差 1A的两条谱线分开的角距离。
?由 知：? ?
?? mid ?? s ins in
??
?
c o sd
m
d
d ?
§ 5－ 9衍射光栅
?线色散：
?聚焦物镜的焦面上波长相差 1A的两条谱线分
开的距离。即
?由于实用光栅通常每毫米有几百条以至上千
条刻线，即 d很小；所以，光栅具有很大的色
散本领，构成光栅光谱仪。
?3.光栅的色分辨本领：
?光谱仪的色分辨本领是指其分辨两条波长相
差很小的谱线的能力。
??
?
? c o sd
mf
d
df
d
dl ??
§ 5－ 9衍射光栅
? 定义,色分辨本领
? 由 瑞利判据,若波长分别为 λ,λ +Δλ的两光
波由于色散所分开的距离正好使一条谱线的
强度极大值和另一谱线强度极大值边上的极
小值重合，这两谱线刚好能被分辨。
? 即：谱线的半角宽度为：
? 同多缝衍射主极大的半角宽度相同。
? 由光栅色散本领知：
?? ??A
??? c o sNd??
§ 5－ 9衍射光栅
?此说明，光栅的色分辨本领正比于光谱级次 m和
光栅线数 N，与光栅常数 d无关。
?通常光栅所使用的光谱级并不大（ m=1或 2）但 N
很大，使其在分辨本领上优于棱镜。
?与法珀标准具相比，其利用的是高干涉级，而其
有效光束数 N并不高。
mNA
mNm
c os
c os
???
?????
??
??
?
?
?
?
?
?
?
即
则
d
d
d
m
d
§ 5－ 9衍射光栅
?4.光栅的自由光谱范围,
?光谱的不重叠区：
?以波长 λ的 m+1级谱线和 λ+Δ λ的 m级谱线重
合为限。即
?因 m很小，所以 Δ λ较大。
?而 F-P标准具则较小（因 较大）
?二、闪耀光栅：
?由前述知,色散本领,
?色分辨本领,
? ? ? ? mm1m ????? ???????
? ? 2R
2
R.S
?? ??
??
?
dc os
m
d
d ?
mNA ??? ??
§ 5－ 9衍射光栅
?即 m越大,和 A也就越大 。
?但光强分布则是 m越小，强度越大，特别是零
级占有很大一部分。
?为了克服此缺点，介绍 闪耀光栅,它能使能
量几乎全部集中到所需要的那一级光谱上去。
?如图 5－ 24所示：
?我们可以通过闪耀角的设计，
使光栅适用于某一特定波段的
某一级光谱上。其基本关系如下：
?
?
d
d
d
m=0m=1
m=2
γ
光栅面
a
i
§ 5－ 9衍射光栅
?n闪耀波长级数,λnb对应级数的闪耀波长。
?n=1时，对应 1级闪耀波长
?n=2时，对应 2级闪耀波长（通常所说的闪耀
波长为 1级闪耀波长）。
?三、迈克耳逊阶梯光栅：
?如图：
nbn2 d s in ?? ?
θ
a(=d)
t
§ 5－ 9衍射光栅
? 其光栅方程为,
? t玻璃平板的厚度（ 1~2cm）
? d相邻玻璃平板凸出的高度 (0.1cm)
? 使得 m值很大，其分辨本领很高，但自由光
谱范围很小。
? 四,凹面光栅（略）
? ? ?? mdtn ?????? 1
§ 5－ 9衍射光栅
?五、正弦（振幅）光栅,
?一般来说，衍射图样受到单元衍射因子和多光
束干涉因子的作用。
?衍射单元的性质用波前上光瞳函数来表示。
?到目前为止，我们所研究的各种衍射屏上的光
瞳函数均服从于基尔霍夫边界条件；
?即，对于一个衍射屏而言，在通光孔内，其复
振幅性质不变，而在此之外的区域内其为零，或
衍射屏对入射光波振幅的调制是按矩形函数变化
的，我们把这种光栅称为 矩形（振幅）光栅 。相
应地，透射系数按余弦或正弦函数变化的光栅，
称为 正弦（振幅）光栅 。
§ 5－ 9衍射光栅
?其在单位振幅的平面波垂直照明时，在光栅
后紧靠光栅面上的振幅分布为：
? 式中,B为小于 1的常数。
?其单元衍射产生的复振幅：
??
?
?
?
??
?
?
? ?
?
之外
光孔范围内
0
2c o s1
)(~ 11 xdBxE
?
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? ???
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2
Bs in
2
Bs in
dxikl xe x px
d
2
B c os1
~
11
2
d
2
d
1s
E
???? s ind2k ld ??
§ 5－ 9衍射光栅
? 则正弦光栅衍射图样强度分布为
? 如图 5－ 50所示，正弦光栅的衍射图样只包
含零级和 ± 1级条纹，且条纹宽度与光栅周
期数成反比，
? N→∞ 条纹宽度为零，在数学上可用三个 δ
函数表示。
? ?
? ?
? ?
? ?
2
s in
2
Ns in
s in
2
Bs in
2
Bs in
II
2
2
2
0 ?
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?
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?
?
?
?
??
§ 5－ 9衍射光栅
? 作业：
? 单号同学,5.23,5.25,5.27,5.29、
5.31
? 双号同学,5.24,5.26,5.28,5.29、
5.30、
