§ 2-3 两个频率相同、振动方向互相
垂直的光波的叠加
上次课内容回顾：
一、椭圆偏振光：
二、几种特殊情况：
三、左旋和右旋：
四、左旋和右旋：
五、利用全反射产生椭圆和圆偏振光
第二章：光波的叠加与分析
? 本章所讨论内容的理论基础：
? 一, 波的独立传播定律：
? 两列光波在空间交迭时, 它的传播互不
干扰,亦即每列波如何传播, 就像另一列
波完全不存在一样各自独立进行,此即波
的独立传播定律 。
? 必须注意的是,此定律并不是普遍成立
的, 例, 光通过变色玻璃时是不服从独
立传播定律的 。
第二章：光波的叠加与分析
? 二, 波的叠加原理：
? 当两列 (或多列 )波在同一空间传播时，
空间各点都参与每列波在该点引起的振
动。若波的独立传播定律成立，则当两
列 (或多列 )波同时存在时，在它们的交迭
区域内每点的振动是各列波单独在该点
产生振动的合成,此即波的迭加原理。
? 与独立传播定律相同，叠加原理适用性
也是有条件的。这条件,一是媒质,二是波
的强度。
第二章：光波的叠加与分析
? 光在真空中总是独立传播的, 从而服从叠
加原理 。
? 光在普通玻璃中, 只要不是太强, 也服从
叠加原理 。
? 波在其中服从叠加原理的媒质称为, 线性
媒质, 。 此时，对于非相干光波：
? 即 N列波的强度满足线性迭加关系。
)()(
1
PIPI N
i
i?
?
?
第二章：光波的叠加与分析
? 对于相干光波,
? 即 N列波的振幅满足线性迭加关系。
? 波在其中不服从迭加原理的媒质称为, 非
线性媒质, 。
)(~)(~
1
PEPE
N
i
i?
?
? ??
§ 2-1 两个频率、振动方向、传播方向
相同的单色光波的迭加
? 两个频率、振动方向、传播方向相同的单色
光波的迭加的结果表示为：
? 或：
? 式中：
)c o s (s ins inc o sc o s tAtAtAE ?????? ????
)](e x p [
)](e x p [)]e x p ()e x p ([),(
0
20201010
tkziE
tkziiEiEtzE
?
???
??
???? ???
)c o s (2 122122212 ?? ???? aaaaA
2211
2211
c o sc o s
s ins in
??
???
aa
aatg
?
??
2010202010220210 )c o s (2 EEEEE ???? ??
20201010
202010100
c o sc o s
s ins in
??
???
EE
EEtg
?
??
00202010100 e x p)]e x p ()e x p ([ ??? iEiEiEE
???? ???
§ 2-1 两个频率、振动方向、传播方向
相同的单色光波的迭加
? 若两个单色光波在相遇区的任意一点 P振幅相
等。即：
? a1=a2,E10=E20则,P点的合振幅：
? 强度：
2c o s4)2(c o s4)c o s (2
221222
1221
2
2
2
1
2 ????? aaaaaaA ???????
2c o s4)2(c o s4
2
0
122
0
??? III ???
2
2010
0
??? ??
)](e x p [)e x p (
)](e x p [)
2
c o s (]
2
)(e x p [2),(
00
10202010
10
tkziiE
tkziiEtzE
??
?????
??
????
§ 2-1 两个频率相同、振动方向相同的
单色光波的迭加
? 是两光波在 P点的位相差,此式表
明在 P点叠加后的光强度决定于位相差。
? 显然，
? 当 (m=0,1,2… )时，
? P点光强最大 ；
? 当 (m=0,1,2… )时,
? P点光强最小
? 介于上两者之间时,P点光强在 0 ~ 2?之间。
12 ??? ??
?? m2??
04 II ?
?? )21(2 ??? m
0?I
§ 2-1 两个频率相同、振动方向
相同的单色光波的迭加
? 从前面假定条件知,我们很容易把位相差表
示为 P点到光源的距离 r1之 r2差：
? 由于：
? 故：
? 或：
? 式中 ?为光源在介质中的波长，
? ?0为真空中的波长,n为介质折射率,
11 rk
?? ???
22 rk
?? ???
)( 1212 rrk ??? ????? ???
)(2 12 rr ?? ???
n
0?? ?
§ 2-1 两个频率相同、振动方向相同的
单色光波的迭加
? 这样
? 式中 n(r1–r2)是光程差,以后用符号 △ 表示 。
? 光程,光波在某一介质中所通过的几何路程和
这介质的折射率的乘积 。
? 从上式中看出,光程差与相位差相对应 。
? (m=0,1,2… )
P点光强最大 。
? (m=0,1,2… )
? P点光强最小 。
)(2 12
0
rrn ?? ???
012 )( ?mrrn ?????
012 )2
1()( ??????? mrrn
§ 2-2驻波
? 一、驻波的波函数：
? 此式表明：合成波上任意一点都作圆频率为 ?
的简谐振动。但：
? A：合成波振幅不是常数，与各点坐标有关，
当 m=0,?1,? 2?
的位置上振幅最大，为 2E10；
? 当 m=0,?1,? 2?
的位置上振幅为零。
)]e x p []2 )(e x p [)2c o s (2),( 2010102010 tiikzEtzE ????? ?????
??? mkz ??? 2 1020
??? )21(2 1020 ???? mkz
§ 2-2驻波
? 振幅为零的点称为驻波的波节，两波节间距为
?/2，（ ）
? 振幅最大的点称为驻波的波腹，两波腹间距为
?/2，（ ）
? 若考虑反射面是 z=0平面,z的方向指向入射波所
在介质，介质折射率为 n1；反射面后介质的折射
率为 n2，且 n2﹥ n1，则有 (在垂直入
射时有 ?的位相跃变 )则有书上的结果。
2
?? ?????? zzk
2
?? ?????? zzk
??? ?? 1020
一、椭圆偏振光：
? 设两束线偏振波的波函数为：
? i,j为坐标系 oxyz中,x,y方向的单位矢量。
? 则，由叠加原理：
? 显然,E仍垂直于传播方向，但一般不再与 x,y
轴同向。
)c o s (),( 101001 ?? ??? tkzExtzE ??
)c o s (),( 202002 ?? ??? tkzEytzE ??
21 EEE
??? ??
一、椭圆偏振光
? 为讨论方便,将两原光波分别写为,
? 由叠加原理：
? 令 kz1=α 1,kz2=α 2
? 由 Ex,Ey表达式消去参数 t,
? 可得到合矢量末端轨迹方程
? ?1)c o s (),( 110 tkzaxtzE x ??? ?? ? ?2)c o s (),( 220 tkzaytzE y ??? ??
? ?3s ins inc o sc o s 11
1
ttaE x ???? ??
)c o s ()c o s (
),(
220110
00
tkzaytkzax
EyExtzE yx
?? ????
??
??
???
? ?4s ins inc o sc o s 22
2
ttaE y ???? ??
一、椭圆偏振光
? (3) × cosα 2,(4) × cosα 2
? (5)-(6):
? (3) × sinα 2,(4) × sinα 2
? ?5s inc o ss inc o sc o sc o sc o s 21212
1
ttaE x ??????? ???
? ?6s inc o ss inc o sc o sc o sc o s 12211
2
ttaE y ??????? ???
? ?7)s in (s inc o sc o s 211
2
2
1
????? ????? taEaE yx
? ?8s ins ins inc o ss inc o ss in 21212
1
ttaE x ??????? ???
? ?9s ins ins inc o ss inc o ss in 12121
2
ttaE y ??????? ???
一、椭圆偏振光
? (8)-(9):
? 对上两式两边取平方再求和：
? 令 α 2-α 1=δ，则：
? 为教材上的结果
? ?10)s in (c o ss ins in 121
2
2
1
????? ????? taEaE yx
? ?7)s in (s inc o sc o s 211
2
2
1
????? ????? taEaE yx
? ?11)(s in)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
???? ????? aa EE
a
E
a
E yxyx
? ?12s inc o s2 2
21
2
2
2
2
1
2
?? ??? aa EE
a
E
a
E yxyx
一、椭圆偏振光
? E与 x轴的夹角满足：
? 此式表明,E的方向一般是不固定的，将随着 z
和 t变化。即合成波一般不是线偏振波。
? 若将 E1和 E2表示成 Ex,Ey，且考虑两原光波到
相遇点的位置的不同，则：
? 合振动矢量末端运动的轨迹方程式为：
)c o s (
)c o s (
1010
2020
1
2
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???
??
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tkzE
tkzE
E
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)(s in)c o s (2 102021020
21
2
2
2
2
1
2
???? ????? aa EEaEaE yxyx
一、椭圆偏振光
? 式中 a1,a2分别为 E10,E20。
? 此式是一个椭圆方程式，表示合矢量末端的轨迹
是一个椭圆。该椭圆内截于一个长方形，长方形
各边与坐标轴平行，边长为 2a1和 2 a2 。如图示。
椭圆的长轴与轴的夹角：
? 式中 ?? c o s
22
2
2
2
1
21
aa
aatg
??
)(2 121020 zz ???? ?????
Ex
Ey
2a1
2a2 0 ψ
)(s in)c o s (2 102021020
21
2
2
2
2
1
2
???? ????? aa EEaEaE yxyx
一、椭圆偏振光
? 令
? 则
? 由于两叠加光波的角频率为 ω,故 P点合矢
量沿椭圆旋转的角频率为 ω 。我们把光矢
量周期性地旋转，其末端轨迹描成一个椭
圆的这种光称为椭圆偏振光。
2
1 aatg ??
??? c o s22 tgtg ?
二、几种特殊情况：
? 由椭圆方程
? 知：椭圆形状由两叠加光波的位相差
? 和振幅比 a2/a1 决定,
? 当两种特殊情况下,合成光波仍是线偏振光,
? 1,或 ± 2π的整数倍时，
? 椭圆方程为：
? 此式表示：合矢量的末端的运动沿着一条经过坐
标原点而斜率为 a2/a1的直线进行。
)(s in)c o s (2 102021020
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
aa
EE
a
E
a
E yxyx
1020 ??? ??
01020 ??? ???
xy Ea
aE
1
2?
二、几种特殊情况：
? 2.
椭圆变为：
即 合矢量的末端运动沿着一条经过坐标原点
而斜率为 -a2/a1的直线进行。
?2,1,02)21(12 ???????? mm ????
xy Ea
aE
1
2??
二、几种特殊情况：
3,及其奇数倍时，
椭圆方程为：
此为一正椭圆,长短轴与 x,y轴重合,
? 若两光波的振幅 a1,a2相等，为 a。
? 则：
? 表示一个圆偏振光。
2
?? ??
222 aEE yx ??
12
2
2
2
1
2
??
a
E
a
E yx
三、左旋和右旋：
通常规定,
对着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向
旋转时，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。
? 分析过程只需将不同时刻的两原光波的值比较后
即可看出；
? sinδ>0 左旋情况
? sinδ<0 右旋情况
? 在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构
成的螺旋线的旋向与光传播方向成右手螺旋系统；
而右旋椭圆偏振光的情形、螺旋线的旋向与关传
播方向成左手螺旋系统。
三、左旋和右旋：
? 对于某一时刻，传播路程上各点的合矢量
末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间
周期为光波波长，各点场矢量的大小不一，
? 其末端在与传播方向垂直
的平面上的
投影为一个椭圆。
z
x
y
四、椭圆偏振光的强度
? 在矢量形式下光波的强度一般地可写成
? 在同一介质内时
? 对于椭圆偏振光：它是由振动方向互相垂直地两
线偏振光叠加构成：则
? 即
? 此式表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个
振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，它与
两个叠加波的位相无关。
?????? 2EvsI ??
??? 2EI ?
??????
??????
yx
yxyx
EE
EyExEyExI
22
0000 )()(
????
yx III ??
四、椭圆偏振光的强度
? 这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用
于圆偏振光和自然光。
? 此时 Ix=Iy，则
? 另：由此结论，说明两振动方向互相垂直
的光波在叠加区域内各点的光强度都应等
于两个光波的强度之和，即此时不发生干
涉现象。
yx III 22 ??
五、利用全反射产生椭圆和圆偏振光
? 利用菲涅耳菱体：入射线偏振光振动方向
与菱体主平面成 450。经过菱体的下两此全
反射后，出射光就是圆偏振光。
54.370
54.370
线偏振光
圆偏振光
§ 2-4 不同频率的两个
单色光波的叠加
光学拍：
群速度和相速度：
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 本节讨论两个在同一方向传播的、振动
方向相同、振幅相等而频率相差很小的
单色波的叠加，这样两个波叠加的结果
将产生光学上有意义的, 拍, 现象。
? 一、光学拍：
? 设频率为 ω 1,ω 2的两个单色波沿 z轴方
向传播，它们的波函数为：
)c o s ( 211 tzkaE ??? )c o s (
222 tzkaE ???
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 合振动（波）
? 和差化积：
? 引入平均角频率,平均波数,
? 引入调制频率 ω m和调制波数 km
)]c o s ()[ c o s ( 221121 tzktzkaEEE ?? ??????
])()[(21c o s)]()[(21c o s2 21212121 tzkktzkkaE ???? ???????
? k
)(21 21 ??? ?? )(21 21 kkk ??
)(21 21 ??? ??m )(
2
1
21 kkk m ??
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 则合波动式可写成：
? 令：
? 则
? 即合成波可看成一个频率为, 而振幅受到
调制（随时间和位置在 –2a到 2a之间变化）
的波。
? 由于光波频率很高为 5× 1014HZ。若 ω 1≈ω 2，
则 ＞＞ ω m，因而振幅变化缓慢而场振动
变化极快。
)c o s (2 tzkaA mm ???
)c o s ()c o s (2 tzktzkaE mm ?? ???
)c o s ( tzkAE ???
?
?
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 合成波的强度为
? 可见合成波的强度随时间和位置在 0～ 4a2之
间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。
由式可知，拍频为 2ω m,ω m为两单色光波
角频率之差的一半。
)(c o s4 222 tzkaAI mm ????
)](2c o s1[2 22 tzkaAI mm ?????
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 这种由两个交变物理量产生一个差频物理
量的现象称为, 拍频现象, 。
? 其主要应用价值在于，它把高频信号中的
频率信息和位相信息转移到差频信号之中，
使它们由难以测量变的容易测量。
? 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等，
及光外差探测技术。
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
二、群速度和相速度：
前面所提到的传播速度都是指它的等相面的
速度，及相速度。对于两个单色波的合成波：
它包含两种速度：等相面的传播速度和等幅面的
传播速度。
相速度：
由
两边对 t求导
)c o s ()c o s (2 tzktzkaE mm ?? ???
kv
??
ctzk ?? ?
kdt
dz ??
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 振幅恒值点的移动速度，群速度：
? 当叠加的两单色光波在 无色散介质 中传播
时，它们的速度相同，因而合成的是一个
稳定的拍,群速度和相速度相等 。
? 若频率
? 则：相速度
kkv m
m
g ?
??? ??
21
2
2
1
1
21
21
21 ??
?
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
??
kkk
v
（若
21 ff ?
）
? 群速度：
? 当两单色光波在色散介质中传播时，其群
速度将不等于相速度。
? 即：合成波振幅最大点的传播速度（群速
度）将不等于两单色光波的相速度，也不
等于合成波的相速度。
21
2
2
1
1
21
21
21 ?
?
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
?? v
kkk
v
m
m
g
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 由 可得到 vg与 v之间的关系。
? 由
? 则
? 故
? 此式表明,越大，即波的相速度随波长的变
化越大时，群速度和相速度两者相差也越大。
dk
dv
g
??
dk
dvkv
dk
d k v
dk
dv
g ????
?
?
?2?k
??? ddk 22??
??ddvvv g ??
?d
dv
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 若 ＞ 0，即波长长的波比波长短的波相速
度较大。即处于正常色散。
? （ ）群速度小于相速度。
? 若 ＜ 0，反常色散，群速度大于相速度。
? 复杂波的群速度可以看作是振幅最大点的
移动速度，波动携带的能量与振幅的平方
成正比，所以群速度可以认为是光能量或
光信号的传播速度。
?d
dv
?d
dv
（?? n,?
）
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 通常利用光脉冲 (光信号 )进行光速测量时测
量到的时光脉冲的传播速度，即群速度而
不是相速度。
? 可以证明：对于多个不同频率的单色光波
合成的复杂波，只要各个波的频率相差不
大，他们只集中在某个, 中心, 频率附近，
且介质色散不大，就可以认为上述结论仍
然适用。
? 作业：
? 单号同学,2.7,2.9,2.11,2.13、
? 双号同学,2.8,2.10,2.12,2.14、
垂直的光波的叠加
上次课内容回顾：
一、椭圆偏振光：
二、几种特殊情况：
三、左旋和右旋：
四、左旋和右旋：
五、利用全反射产生椭圆和圆偏振光
第二章：光波的叠加与分析
? 本章所讨论内容的理论基础：
? 一, 波的独立传播定律：
? 两列光波在空间交迭时, 它的传播互不
干扰,亦即每列波如何传播, 就像另一列
波完全不存在一样各自独立进行,此即波
的独立传播定律 。
? 必须注意的是,此定律并不是普遍成立
的, 例, 光通过变色玻璃时是不服从独
立传播定律的 。
第二章：光波的叠加与分析
? 二, 波的叠加原理：
? 当两列 (或多列 )波在同一空间传播时，
空间各点都参与每列波在该点引起的振
动。若波的独立传播定律成立，则当两
列 (或多列 )波同时存在时，在它们的交迭
区域内每点的振动是各列波单独在该点
产生振动的合成,此即波的迭加原理。
? 与独立传播定律相同，叠加原理适用性
也是有条件的。这条件,一是媒质,二是波
的强度。
第二章：光波的叠加与分析
? 光在真空中总是独立传播的, 从而服从叠
加原理 。
? 光在普通玻璃中, 只要不是太强, 也服从
叠加原理 。
? 波在其中服从叠加原理的媒质称为, 线性
媒质, 。 此时，对于非相干光波：
? 即 N列波的强度满足线性迭加关系。
)()(
1
PIPI N
i
i?
?
?
第二章：光波的叠加与分析
? 对于相干光波,
? 即 N列波的振幅满足线性迭加关系。
? 波在其中不服从迭加原理的媒质称为, 非
线性媒质, 。
)(~)(~
1
PEPE
N
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i?
?
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§ 2-1 两个频率、振动方向、传播方向
相同的单色光波的迭加
? 两个频率、振动方向、传播方向相同的单色
光波的迭加的结果表示为：
? 或：
? 式中：
)c o s (s ins inc o sc o s tAtAtAE ?????? ????
)](e x p [
)](e x p [)]e x p ()e x p ([),(
0
20201010
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§ 2-1 两个频率、振动方向、传播方向
相同的单色光波的迭加
? 若两个单色光波在相遇区的任意一点 P振幅相
等。即：
? a1=a2,E10=E20则,P点的合振幅：
? 强度：
2c o s4)2(c o s4)c o s (2
221222
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10202010
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§ 2-1 两个频率相同、振动方向相同的
单色光波的迭加
? 是两光波在 P点的位相差,此式表
明在 P点叠加后的光强度决定于位相差。
? 显然，
? 当 (m=0,1,2… )时，
? P点光强最大 ；
? 当 (m=0,1,2… )时,
? P点光强最小
? 介于上两者之间时,P点光强在 0 ~ 2?之间。
12 ??? ??
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04 II ?
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0?I
§ 2-1 两个频率相同、振动方向
相同的单色光波的迭加
? 从前面假定条件知,我们很容易把位相差表
示为 P点到光源的距离 r1之 r2差：
? 由于：
? 故：
? 或：
? 式中 ?为光源在介质中的波长，
? ?0为真空中的波长,n为介质折射率,
11 rk
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)( 1212 rrk ??? ????? ???
)(2 12 rr ?? ???
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§ 2-1 两个频率相同、振动方向相同的
单色光波的迭加
? 这样
? 式中 n(r1–r2)是光程差,以后用符号 △ 表示 。
? 光程,光波在某一介质中所通过的几何路程和
这介质的折射率的乘积 。
? 从上式中看出,光程差与相位差相对应 。
? (m=0,1,2… )
P点光强最大 。
? (m=0,1,2… )
? P点光强最小 。
)(2 12
0
rrn ?? ???
012 )( ?mrrn ?????
012 )2
1()( ??????? mrrn
§ 2-2驻波
? 一、驻波的波函数：
? 此式表明：合成波上任意一点都作圆频率为 ?
的简谐振动。但：
? A：合成波振幅不是常数，与各点坐标有关，
当 m=0,?1,? 2?
的位置上振幅最大，为 2E10；
? 当 m=0,?1,? 2?
的位置上振幅为零。
)]e x p []2 )(e x p [)2c o s (2),( 2010102010 tiikzEtzE ????? ?????
??? mkz ??? 2 1020
??? )21(2 1020 ???? mkz
§ 2-2驻波
? 振幅为零的点称为驻波的波节，两波节间距为
?/2，（ ）
? 振幅最大的点称为驻波的波腹，两波腹间距为
?/2，（ ）
? 若考虑反射面是 z=0平面,z的方向指向入射波所
在介质，介质折射率为 n1；反射面后介质的折射
率为 n2，且 n2﹥ n1，则有 (在垂直入
射时有 ?的位相跃变 )则有书上的结果。
2
?? ?????? zzk
2
?? ?????? zzk
??? ?? 1020
一、椭圆偏振光：
? 设两束线偏振波的波函数为：
? i,j为坐标系 oxyz中,x,y方向的单位矢量。
? 则，由叠加原理：
? 显然,E仍垂直于传播方向，但一般不再与 x,y
轴同向。
)c o s (),( 101001 ?? ??? tkzExtzE ??
)c o s (),( 202002 ?? ??? tkzEytzE ??
21 EEE
??? ??
一、椭圆偏振光
? 为讨论方便,将两原光波分别写为,
? 由叠加原理：
? 令 kz1=α 1,kz2=α 2
? 由 Ex,Ey表达式消去参数 t,
? 可得到合矢量末端轨迹方程
? ?1)c o s (),( 110 tkzaxtzE x ??? ?? ? ?2)c o s (),( 220 tkzaytzE y ??? ??
? ?3s ins inc o sc o s 11
1
ttaE x ???? ??
)c o s ()c o s (
),(
220110
00
tkzaytkzax
EyExtzE yx
?? ????
??
??
???
? ?4s ins inc o sc o s 22
2
ttaE y ???? ??
一、椭圆偏振光
? (3) × cosα 2,(4) × cosα 2
? (5)-(6):
? (3) × sinα 2,(4) × sinα 2
? ?5s inc o ss inc o sc o sc o sc o s 21212
1
ttaE x ??????? ???
? ?6s inc o ss inc o sc o sc o sc o s 12211
2
ttaE y ??????? ???
? ?7)s in (s inc o sc o s 211
2
2
1
????? ????? taEaE yx
? ?8s ins ins inc o ss inc o ss in 21212
1
ttaE x ??????? ???
? ?9s ins ins inc o ss inc o ss in 12121
2
ttaE y ??????? ???
一、椭圆偏振光
? (8)-(9):
? 对上两式两边取平方再求和：
? 令 α 2-α 1=δ，则：
? 为教材上的结果
? ?10)s in (c o ss ins in 121
2
2
1
????? ????? taEaE yx
? ?7)s in (s inc o sc o s 211
2
2
1
????? ????? taEaE yx
? ?11)(s in)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
???? ????? aa EE
a
E
a
E yxyx
? ?12s inc o s2 2
21
2
2
2
2
1
2
?? ??? aa EE
a
E
a
E yxyx
一、椭圆偏振光
? E与 x轴的夹角满足：
? 此式表明,E的方向一般是不固定的，将随着 z
和 t变化。即合成波一般不是线偏振波。
? 若将 E1和 E2表示成 Ex,Ey，且考虑两原光波到
相遇点的位置的不同，则：
? 合振动矢量末端运动的轨迹方程式为：
)c o s (
)c o s (
1010
2020
1
2
??
???
??
????
tkzE
tkzE
E
Etg
)(s in)c o s (2 102021020
21
2
2
2
2
1
2
???? ????? aa EEaEaE yxyx
一、椭圆偏振光
? 式中 a1,a2分别为 E10,E20。
? 此式是一个椭圆方程式，表示合矢量末端的轨迹
是一个椭圆。该椭圆内截于一个长方形，长方形
各边与坐标轴平行，边长为 2a1和 2 a2 。如图示。
椭圆的长轴与轴的夹角：
? 式中 ?? c o s
22
2
2
2
1
21
aa
aatg
??
)(2 121020 zz ???? ?????
Ex
Ey
2a1
2a2 0 ψ
)(s in)c o s (2 102021020
21
2
2
2
2
1
2
???? ????? aa EEaEaE yxyx
一、椭圆偏振光
? 令
? 则
? 由于两叠加光波的角频率为 ω,故 P点合矢
量沿椭圆旋转的角频率为 ω 。我们把光矢
量周期性地旋转，其末端轨迹描成一个椭
圆的这种光称为椭圆偏振光。
2
1 aatg ??
??? c o s22 tgtg ?
二、几种特殊情况：
? 由椭圆方程
? 知：椭圆形状由两叠加光波的位相差
? 和振幅比 a2/a1 决定,
? 当两种特殊情况下,合成光波仍是线偏振光,
? 1,或 ± 2π的整数倍时，
? 椭圆方程为：
? 此式表示：合矢量的末端的运动沿着一条经过坐
标原点而斜率为 a2/a1的直线进行。
)(s in)c o s (2 102021020
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
aa
EE
a
E
a
E yxyx
1020 ??? ??
01020 ??? ???
xy Ea
aE
1
2?
二、几种特殊情况：
? 2.
椭圆变为：
即 合矢量的末端运动沿着一条经过坐标原点
而斜率为 -a2/a1的直线进行。
?2,1,02)21(12 ???????? mm ????
xy Ea
aE
1
2??
二、几种特殊情况：
3,及其奇数倍时，
椭圆方程为：
此为一正椭圆,长短轴与 x,y轴重合,
? 若两光波的振幅 a1,a2相等，为 a。
? 则：
? 表示一个圆偏振光。
2
?? ??
222 aEE yx ??
12
2
2
2
1
2
??
a
E
a
E yx
三、左旋和右旋：
通常规定,
对着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向
旋转时，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。
? 分析过程只需将不同时刻的两原光波的值比较后
即可看出；
? sinδ>0 左旋情况
? sinδ<0 右旋情况
? 在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构
成的螺旋线的旋向与光传播方向成右手螺旋系统；
而右旋椭圆偏振光的情形、螺旋线的旋向与关传
播方向成左手螺旋系统。
三、左旋和右旋：
? 对于某一时刻，传播路程上各点的合矢量
末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间
周期为光波波长，各点场矢量的大小不一，
? 其末端在与传播方向垂直
的平面上的
投影为一个椭圆。
z
x
y
四、椭圆偏振光的强度
? 在矢量形式下光波的强度一般地可写成
? 在同一介质内时
? 对于椭圆偏振光：它是由振动方向互相垂直地两
线偏振光叠加构成：则
? 即
? 此式表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个
振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，它与
两个叠加波的位相无关。
?????? 2EvsI ??
??? 2EI ?
??????
??????
yx
yxyx
EE
EyExEyExI
22
0000 )()(
????
yx III ??
四、椭圆偏振光的强度
? 这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用
于圆偏振光和自然光。
? 此时 Ix=Iy，则
? 另：由此结论，说明两振动方向互相垂直
的光波在叠加区域内各点的光强度都应等
于两个光波的强度之和，即此时不发生干
涉现象。
yx III 22 ??
五、利用全反射产生椭圆和圆偏振光
? 利用菲涅耳菱体：入射线偏振光振动方向
与菱体主平面成 450。经过菱体的下两此全
反射后，出射光就是圆偏振光。
54.370
54.370
线偏振光
圆偏振光
§ 2-4 不同频率的两个
单色光波的叠加
光学拍：
群速度和相速度：
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 本节讨论两个在同一方向传播的、振动
方向相同、振幅相等而频率相差很小的
单色波的叠加，这样两个波叠加的结果
将产生光学上有意义的, 拍, 现象。
? 一、光学拍：
? 设频率为 ω 1,ω 2的两个单色波沿 z轴方
向传播，它们的波函数为：
)c o s ( 211 tzkaE ??? )c o s (
222 tzkaE ???
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 合振动（波）
? 和差化积：
? 引入平均角频率,平均波数,
? 引入调制频率 ω m和调制波数 km
)]c o s ()[ c o s ( 221121 tzktzkaEEE ?? ??????
])()[(21c o s)]()[(21c o s2 21212121 tzkktzkkaE ???? ???????
? k
)(21 21 ??? ?? )(21 21 kkk ??
)(21 21 ??? ??m )(
2
1
21 kkk m ??
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 则合波动式可写成：
? 令：
? 则
? 即合成波可看成一个频率为, 而振幅受到
调制（随时间和位置在 –2a到 2a之间变化）
的波。
? 由于光波频率很高为 5× 1014HZ。若 ω 1≈ω 2，
则 ＞＞ ω m，因而振幅变化缓慢而场振动
变化极快。
)c o s (2 tzkaA mm ???
)c o s ()c o s (2 tzktzkaE mm ?? ???
)c o s ( tzkAE ???
?
?
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 合成波的强度为
? 可见合成波的强度随时间和位置在 0～ 4a2之
间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。
由式可知，拍频为 2ω m,ω m为两单色光波
角频率之差的一半。
)(c o s4 222 tzkaAI mm ????
)](2c o s1[2 22 tzkaAI mm ?????
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 这种由两个交变物理量产生一个差频物理
量的现象称为, 拍频现象, 。
? 其主要应用价值在于，它把高频信号中的
频率信息和位相信息转移到差频信号之中，
使它们由难以测量变的容易测量。
? 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等，
及光外差探测技术。
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
二、群速度和相速度：
前面所提到的传播速度都是指它的等相面的
速度，及相速度。对于两个单色波的合成波：
它包含两种速度：等相面的传播速度和等幅面的
传播速度。
相速度：
由
两边对 t求导
)c o s ()c o s (2 tzktzkaE mm ?? ???
kv
??
ctzk ?? ?
kdt
dz ??
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 振幅恒值点的移动速度，群速度：
? 当叠加的两单色光波在 无色散介质 中传播
时，它们的速度相同，因而合成的是一个
稳定的拍,群速度和相速度相等 。
? 若频率
? 则：相速度
kkv m
m
g ?
??? ??
21
2
2
1
1
21
21
21 ??
?
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
??
kkk
v
（若
21 ff ?
）
? 群速度：
? 当两单色光波在色散介质中传播时，其群
速度将不等于相速度。
? 即：合成波振幅最大点的传播速度（群速
度）将不等于两单色光波的相速度，也不
等于合成波的相速度。
21
2
2
1
1
21
21
21 ?
?
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
?? v
kkk
v
m
m
g
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 由 可得到 vg与 v之间的关系。
? 由
? 则
? 故
? 此式表明,越大，即波的相速度随波长的变
化越大时，群速度和相速度两者相差也越大。
dk
dv
g
??
dk
dvkv
dk
d k v
dk
dv
g ????
?
?
?2?k
??? ddk 22??
??ddvvv g ??
?d
dv
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 若 ＞ 0，即波长长的波比波长短的波相速
度较大。即处于正常色散。
? （ ）群速度小于相速度。
? 若 ＜ 0，反常色散，群速度大于相速度。
? 复杂波的群速度可以看作是振幅最大点的
移动速度，波动携带的能量与振幅的平方
成正比，所以群速度可以认为是光能量或
光信号的传播速度。
?d
dv
?d
dv
（?? n,?
）
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 通常利用光脉冲 (光信号 )进行光速测量时测
量到的时光脉冲的传播速度，即群速度而
不是相速度。
? 可以证明：对于多个不同频率的单色光波
合成的复杂波，只要各个波的频率相差不
大，他们只集中在某个, 中心, 频率附近，
且介质色散不大，就可以认为上述结论仍
然适用。
? 作业：
? 单号同学,2.7,2.9,2.11,2.13、
? 双号同学,2.8,2.10,2.12,2.14、
