§ 1－ 6电磁场的边值关系
1.前面内容回顾：
2.分界面上电磁场法向分量 的关系：
3.分界面上 电磁场切向分量的关系：
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 一、内容回顾：
? 1.对已讲内容的要求：
? （ 1）,了解光的电磁理论、电磁场的波动性；
? （ 2）,彻底掌握光波在介质中的传播速率、介
质折射率的物理意义及其表达式；
? （ 3）,深入理解平面、球面、柱面简谐光波场
的时间、空间特性，以及描述平面、球面、
柱面简谐光波的数学表达式中各项参数的物
理意义；
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? （ 4）,牢固地掌握光强的概念和计算相对光
强的方法；
? 2.已讲授的基本结论：
? （ 1）,光的电磁理论、电磁场的波动性：
? 光的电磁理论的提出是人们在电磁学方面已有了
深入研究的结果。 1864年麦克斯韦把电磁规律总
结为麦克斯韦方程组，建立起完整的经典电磁理
论，同时指出光也是一种电磁波，从而产生了光
的电磁理论。
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 两种形式的麦克斯韦方程组：
?? ?? QdD ???
0???? ??? dB
??
???
dtBldE ??????? ??
??
???
dtDIldH ??????? ??
t
BE
?
?????
??
???? D?
0??? B?
t
DjH
?
?????
???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 电磁场的波动性：
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
???
???
?
?
????
t
D
jH
B
D
t
B
E
?
??
?
?
?
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
????
???
???
( 4)
( 3)
( 2) 0
( 1) 0
t
E
B
t
B
E
B
E
?
?
?
?
?
?
??
磁导率
介电常数
电导率
?
?
??
??
1
BH
ED
Ej
?
?
??
?
?
?
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 无限大、均匀、透明介质中电磁场的波动
方程：
2
2
2
t
EE
?
???
??
??
2
2
2
t
B
B
?
?
??
?
?
??
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? （ 2）波动方程解的基本形式：
? 平面电磁波：
? 球面电磁波：
? 柱面电磁波：
)()( 21 vtzfvtzfE ???? ???
? ?)()(1),( 21 vtrBvtrBrtrA ????
? ?)()( 21 vtrvtrrAE CC ?????
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 三种基本形式的 简谐表达：
? 平面波简谐表达：
? 球面波简谐表达：
? 柱面波简谐表达：
?????? ?? )(2c o s vtzAE ??
??
? ?)(e x p trkiAE ???? ????
? ?01 c o s),( ?? ??? tkrrtrA A
??
? ??? 01 )(e x p ??? tkrirAE ??
? ???
0
)(e x p ??? tkrirAE
??
? ?0c o s),( ?? ??? tkr
r
AtrA
??
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? （ 3）从表达式中可以获得的信息：
? 介质折射率：
? 传播速度与方向：
? 偏振方向：
? 周期、频率、角频率：
? 空间周期、空间频率、空间角频率：
? 平面电磁波的性质：
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? （ 4）关于光强的概念：
? 若单位时间内穿过与 K相垂直的单位面积的
为能量 S （ 功率密度 ）, 通常把 S在 接收器
能分辨的时间间隔内的平均值 叫做电磁波
的强度 I。
? 表达式：
? 考虑到传播方向, 可以定义波印廷 矢量
?????
?
? 0
1
s d tsI
BES ??
?
?? ?1
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 平面电磁波的强度：
? 通常可以写为：
? 计算光强时可以用：
22
0
22
0
2
1
2
1
)(c os
11
AA
dttkrASdts
?
?
??
?
?
??
?
??
??
????? ??
2AI ?
*2 ~~ EEAI ?? ???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 二、本节内容的说明：
? 为了解释一平面波 （ 单色简谐 ） 射向界面时,
其反射波, 折射波传播方向的改变规律和振幅
改变规律 （ 前者为反射定律, 后者为折射定
律 ） 。
? 在光学中, 常常要处理光波从一种介质到另一
种介质的传播问题, 由于两种介质的物理性质
不同 （ 分别以 ?1,?1 和 ?2,?2 表征 ）, 在两
种介质的分界面上, 电磁场将不连续, 但他们
之间仍存在一定关系, 通常把这种关系称为电
磁场的边值关系 。
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 由于界面两侧的电磁场在介面上并不连续，
因此不能从麦克斯韦方程的微分形式出发来
推导，而应从积分形式出发来讨论：
? 积分形式的麦克斯韦方程,
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
??
??
d
t
D
IldH
d
t
B
ldE
dB
QdD
?
?
?
??
?
?
?
???
??
??
???
???
??
??
0
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 三、分界面上法向分量,
? 设：在分界面上作出一个扁平的小圆柱体的
? 高为 圆面积为,由上第 2式,h? s?
0???? ??? dB
n
n2
n1 δS
δh
ε1μ1
ε2μ2
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 应用小圆柱体：则上式左边面积应遍及整个
圆柱体表面：则
? 设圆柱体的面积很小，可以认为 B在此范围
内是常数：
? 则上式变为,
???? ???????? dBdBdBdB ??????? ???????? 底壁顶
02211 ?????? ?? ??? ?????? dBAnBAnB 壁
§ 1－ 6电磁场的边值关系
式中 分别为柱顶和柱底的外法线单位矢
量。当高 时
? 上式第三式也趋于零,并且柱顶和柱底趋近
分界面 。
? 以 表示分界面法线方向的单位矢量 （ 方向
从介质 2指向介质 1） 则有,
21,nn ??
0?h?
n?
21 nnn
??? ???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 于是：
? 上式表明, 在通过分界面时,
? 磁感应强度 B虽然整个的发生跃变, 但它
的法向分量却是连续的 。
nn BB
BBn
21
21 0)( ??
???
?
??? 或
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 在各向同性, 均匀, 透明介质中,
? 由于其 Q=0则, 同样由
? 可以得到：
? 即：在 分界面上没有自由电荷 的情况下, 电感
强度的法向分量 也是连续的 。
nn DD
DDn
21
21 0)( ??
???
?
??? 或
?? ?? QdD ???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 四、电磁场切向分量的关系：
? 把小圆柱换成一个矩形面积 ABCD如图 1－
19所示：由于
?
?
?
?
????
?
?
?
??
d
t
B
ldEldE
A B C Dld
d
t
B
ldE
DA
CDBCAB
?
?
?
????????
?
?
?
???
? ????? ?
? ??
)(
切线方向，则取
tε1μ1
δlt
1
t
2
ε2μ2 δ
h
A B
CD
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 若 AB和 CD长度很短, 则在两线段内 E 可认
为是常数；在介质 1和介质 2内分别为 E1和 E2
,此外长方形的高,
则沿 BC,DA的积分趋于 0，
并且, 由于面积趋向于零,而
为有限量, 则
于是：
0?h?
t
B
?
??
00 2211 ???????? ?? ltEltEldEldE CDAB ?? ???????? 或
0
)(
??
?
?
??
??????
??
? ??? ?
?
?
?
????
d
t
B
ldEldE
DACDBCAB
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 分别为沿 AB和 CD切线方向的单位矢量 。
? 为 AB 和 CD的长度, 以 t表示分界面的切线方
向单位矢量 （ 取为由 A向 B） 则
? 或
? 即在通过分界时电场强度的切向分量是连续的 。
21,tt
??
l?
21 ttt
??? ???
0)( 21 ??? tEE ??? tt EE 21 ?? ?
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 由上式还可看出：
? E1-E2垂直于界面或者说平行于界面法线，
故上式又可写为,
? 同理：在没有电流的情况下由麦克斯韦方
程组也可得到,
? 或
0)( 21 ??? EEn ???
0)( 21 ??? HHn
??? tt HH 21 ?? ?
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 总之：尽管两种介质的分界面上, 电磁场
量整个的是不连续的, 但在界面上没有自
由电荷和面电流时, B和 D法向分量与 E和 H
的切向分量是连续的 。
? 电磁场在两个介质面上的边值关系可以总
括为：
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
0)(
0)(
0)(
0)(
21
21
21
21
HHn
EEn
DDn
BBn
???
???
???
???
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 光在两个介质面上的反射和折射本质上是
光波的电磁场与物质相互作用的问题，问
题的严格处理是比较复杂的。
? 我们将采取比较简单的方法：
? 不考虑个别分子、原子的性质，用介质的
介电常数，磁导率表示大量分子的平均作
用，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边值
关系来研究平面光波在两介质分界面上的
反射和折射问题。
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 一,反射定律和折射定律,
? 当一个单色平面光波射到两种不同介质的分
界面时，将分成两个波，一个折射波和一个
反射波。
? 从电磁场的边值关系出发，可以证明这两个
波的存在，并求出他们的传播方向以及与入
射波的振幅和相位关系。
? 如图所示：介质 1和介质 2的分界面为无穷大平
面, 单色平面波从介质 1射到分界面上 。
§ 1-7 光在两个介质面上的 反
射和折射
? 如图所示：介质 1和介质 2的分界面为无穷大
平面，单色平面波从介质 1射到分界面上。
1
2
k1
k2
k?1θ1
θ2
θ?1
o 界面
n
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 设入射波, 反射波和折射波的波矢量分别
为,
? 角频率为
? 则这三个波可分别表示为：
211,',kkk
???
211,',???
? ?
? ?
? ?)(e x p
)'(e x p''
)(e x p
2222
11
'
11
1111
trkiAE
trkiAE
trkiAE
?
?
?
???
???
???
????
????
????
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 注：
? 1.位置矢量的原点可选取为分界面上的某点 O；
? 2.由于三个波的初位相可以不同, 故振幅一般为
复数；
? 3.介质 1中的电场强度是入射波和反射波电场强度
之和 。
? 则：应用边值关系：
得0)( 21 ??? EEn ???
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 将波函数表达式代入则,
211
211
)'
0)'(
EnEEn
EEEn ?????
????
????
????
（
? ? ? ?
? ?)e x p
)''(e x p')(e x p
222
11111
trkiAn
trkiAntrkiAn
?
??
????
???????
????
????????
（
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 要说明的是：
? <1> 上式对任何时刻 t都成立,
? 则
? 即：入射波, 反射波, 折射波频率相同 。
? <2> 上式对界面上的位置矢量 r都成立
? 则
211 ' ??? ??
rkrkrk ?????? ????? 211 '
? ? ? ?
? ?)e x p
)''(e x p')(e x p
222
11111
trkiAn
trkiAntrkiAn
?
??
????
???????
????
????????
（
1.前面内容回顾：
2.分界面上电磁场法向分量 的关系：
3.分界面上 电磁场切向分量的关系：
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 一、内容回顾：
? 1.对已讲内容的要求：
? （ 1）,了解光的电磁理论、电磁场的波动性；
? （ 2）,彻底掌握光波在介质中的传播速率、介
质折射率的物理意义及其表达式；
? （ 3）,深入理解平面、球面、柱面简谐光波场
的时间、空间特性，以及描述平面、球面、
柱面简谐光波的数学表达式中各项参数的物
理意义；
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? （ 4）,牢固地掌握光强的概念和计算相对光
强的方法；
? 2.已讲授的基本结论：
? （ 1）,光的电磁理论、电磁场的波动性：
? 光的电磁理论的提出是人们在电磁学方面已有了
深入研究的结果。 1864年麦克斯韦把电磁规律总
结为麦克斯韦方程组，建立起完整的经典电磁理
论，同时指出光也是一种电磁波，从而产生了光
的电磁理论。
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 两种形式的麦克斯韦方程组：
?? ?? QdD ???
0???? ??? dB
??
???
dtBldE ??????? ??
??
???
dtDIldH ??????? ??
t
BE
?
?????
??
???? D?
0??? B?
t
DjH
?
?????
???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 电磁场的波动性：
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
???
???
?
?
????
t
D
jH
B
D
t
B
E
?
??
?
?
?
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
????
???
???
( 4)
( 3)
( 2) 0
( 1) 0
t
E
B
t
B
E
B
E
?
?
?
?
?
?
??
磁导率
介电常数
电导率
?
?
??
??
1
BH
ED
Ej
?
?
??
?
?
?
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 无限大、均匀、透明介质中电磁场的波动
方程：
2
2
2
t
EE
?
???
??
??
2
2
2
t
B
B
?
?
??
?
?
??
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? （ 2）波动方程解的基本形式：
? 平面电磁波：
? 球面电磁波：
? 柱面电磁波：
)()( 21 vtzfvtzfE ???? ???
? ?)()(1),( 21 vtrBvtrBrtrA ????
? ?)()( 21 vtrvtrrAE CC ?????
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 三种基本形式的 简谐表达：
? 平面波简谐表达：
? 球面波简谐表达：
? 柱面波简谐表达：
?????? ?? )(2c o s vtzAE ??
??
? ?)(e x p trkiAE ???? ????
? ?01 c o s),( ?? ??? tkrrtrA A
??
? ??? 01 )(e x p ??? tkrirAE ??
? ???
0
)(e x p ??? tkrirAE
??
? ?0c o s),( ?? ??? tkr
r
AtrA
??
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? （ 3）从表达式中可以获得的信息：
? 介质折射率：
? 传播速度与方向：
? 偏振方向：
? 周期、频率、角频率：
? 空间周期、空间频率、空间角频率：
? 平面电磁波的性质：
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? （ 4）关于光强的概念：
? 若单位时间内穿过与 K相垂直的单位面积的
为能量 S （ 功率密度 ）, 通常把 S在 接收器
能分辨的时间间隔内的平均值 叫做电磁波
的强度 I。
? 表达式：
? 考虑到传播方向, 可以定义波印廷 矢量
?????
?
? 0
1
s d tsI
BES ??
?
?? ?1
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 平面电磁波的强度：
? 通常可以写为：
? 计算光强时可以用：
22
0
22
0
2
1
2
1
)(c os
11
AA
dttkrASdts
?
?
??
?
?
??
?
??
??
????? ??
2AI ?
*2 ~~ EEAI ?? ???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 二、本节内容的说明：
? 为了解释一平面波 （ 单色简谐 ） 射向界面时,
其反射波, 折射波传播方向的改变规律和振幅
改变规律 （ 前者为反射定律, 后者为折射定
律 ） 。
? 在光学中, 常常要处理光波从一种介质到另一
种介质的传播问题, 由于两种介质的物理性质
不同 （ 分别以 ?1,?1 和 ?2,?2 表征 ）, 在两
种介质的分界面上, 电磁场将不连续, 但他们
之间仍存在一定关系, 通常把这种关系称为电
磁场的边值关系 。
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 由于界面两侧的电磁场在介面上并不连续，
因此不能从麦克斯韦方程的微分形式出发来
推导，而应从积分形式出发来讨论：
? 积分形式的麦克斯韦方程,
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
??
??
d
t
D
IldH
d
t
B
ldE
dB
QdD
?
?
?
??
?
?
?
???
??
??
???
???
??
??
0
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 三、分界面上法向分量,
? 设：在分界面上作出一个扁平的小圆柱体的
? 高为 圆面积为,由上第 2式,h? s?
0???? ??? dB
n
n2
n1 δS
δh
ε1μ1
ε2μ2
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 应用小圆柱体：则上式左边面积应遍及整个
圆柱体表面：则
? 设圆柱体的面积很小，可以认为 B在此范围
内是常数：
? 则上式变为,
???? ???????? dBdBdBdB ??????? ???????? 底壁顶
02211 ?????? ?? ??? ?????? dBAnBAnB 壁
§ 1－ 6电磁场的边值关系
式中 分别为柱顶和柱底的外法线单位矢
量。当高 时
? 上式第三式也趋于零,并且柱顶和柱底趋近
分界面 。
? 以 表示分界面法线方向的单位矢量 （ 方向
从介质 2指向介质 1） 则有,
21,nn ??
0?h?
n?
21 nnn
??? ???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 于是：
? 上式表明, 在通过分界面时,
? 磁感应强度 B虽然整个的发生跃变, 但它
的法向分量却是连续的 。
nn BB
BBn
21
21 0)( ??
???
?
??? 或
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 在各向同性, 均匀, 透明介质中,
? 由于其 Q=0则, 同样由
? 可以得到：
? 即：在 分界面上没有自由电荷 的情况下, 电感
强度的法向分量 也是连续的 。
nn DD
DDn
21
21 0)( ??
???
?
??? 或
?? ?? QdD ???
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 四、电磁场切向分量的关系：
? 把小圆柱换成一个矩形面积 ABCD如图 1－
19所示：由于
?
?
?
?
????
?
?
?
??
d
t
B
ldEldE
A B C Dld
d
t
B
ldE
DA
CDBCAB
?
?
?
????????
?
?
?
???
? ????? ?
? ??
)(
切线方向，则取
tε1μ1
δlt
1
t
2
ε2μ2 δ
h
A B
CD
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 若 AB和 CD长度很短, 则在两线段内 E 可认
为是常数；在介质 1和介质 2内分别为 E1和 E2
,此外长方形的高,
则沿 BC,DA的积分趋于 0，
并且, 由于面积趋向于零,而
为有限量, 则
于是：
0?h?
t
B
?
??
00 2211 ???????? ?? ltEltEldEldE CDAB ?? ???????? 或
0
)(
??
?
?
??
??????
??
? ??? ?
?
?
?
????
d
t
B
ldEldE
DACDBCAB
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 分别为沿 AB和 CD切线方向的单位矢量 。
? 为 AB 和 CD的长度, 以 t表示分界面的切线方
向单位矢量 （ 取为由 A向 B） 则
? 或
? 即在通过分界时电场强度的切向分量是连续的 。
21,tt
??
l?
21 ttt
??? ???
0)( 21 ??? tEE ??? tt EE 21 ?? ?
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 由上式还可看出：
? E1-E2垂直于界面或者说平行于界面法线，
故上式又可写为,
? 同理：在没有电流的情况下由麦克斯韦方
程组也可得到,
? 或
0)( 21 ??? EEn ???
0)( 21 ??? HHn
??? tt HH 21 ?? ?
§ 1－ 6电磁场的边值关系
? 总之：尽管两种介质的分界面上, 电磁场
量整个的是不连续的, 但在界面上没有自
由电荷和面电流时, B和 D法向分量与 E和 H
的切向分量是连续的 。
? 电磁场在两个介质面上的边值关系可以总
括为：
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
0)(
0)(
0)(
0)(
21
21
21
21
HHn
EEn
DDn
BBn
???
???
???
???
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 光在两个介质面上的反射和折射本质上是
光波的电磁场与物质相互作用的问题，问
题的严格处理是比较复杂的。
? 我们将采取比较简单的方法：
? 不考虑个别分子、原子的性质，用介质的
介电常数，磁导率表示大量分子的平均作
用，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边值
关系来研究平面光波在两介质分界面上的
反射和折射问题。
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 一,反射定律和折射定律,
? 当一个单色平面光波射到两种不同介质的分
界面时，将分成两个波，一个折射波和一个
反射波。
? 从电磁场的边值关系出发，可以证明这两个
波的存在，并求出他们的传播方向以及与入
射波的振幅和相位关系。
? 如图所示：介质 1和介质 2的分界面为无穷大平
面, 单色平面波从介质 1射到分界面上 。
§ 1-7 光在两个介质面上的 反
射和折射
? 如图所示：介质 1和介质 2的分界面为无穷大
平面，单色平面波从介质 1射到分界面上。
1
2
k1
k2
k?1θ1
θ2
θ?1
o 界面
n
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 设入射波, 反射波和折射波的波矢量分别
为,
? 角频率为
? 则这三个波可分别表示为：
211,',kkk
???
211,',???
? ?
? ?
? ?)(e x p
)'(e x p''
)(e x p
2222
11
'
11
1111
trkiAE
trkiAE
trkiAE
?
?
?
???
???
???
????
????
????
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 注：
? 1.位置矢量的原点可选取为分界面上的某点 O；
? 2.由于三个波的初位相可以不同, 故振幅一般为
复数；
? 3.介质 1中的电场强度是入射波和反射波电场强度
之和 。
? 则：应用边值关系：
得0)( 21 ??? EEn ???
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 将波函数表达式代入则,
211
211
)'
0)'(
EnEEn
EEEn ?????
????
????
????
（
? ? ? ?
? ?)e x p
)''(e x p')(e x p
222
11111
trkiAn
trkiAntrkiAn
?
??
????
???????
????
????????
（
§ 1-7 光在两个介质面上的
反射和折射
? 要说明的是：
? <1> 上式对任何时刻 t都成立,
? 则
? 即：入射波, 反射波, 折射波频率相同 。
? <2> 上式对界面上的位置矢量 r都成立
? 则
211 ' ??? ??
rkrkrk ?????? ????? 211 '
? ? ? ?
? ?)e x p
)''(e x p')(e x p
222
11111
trkiAn
trkiAntrkiAn
?
??
????
???????
????
????????
（
