§ 2-4 不同频率的两个
单色光波的叠加
光学拍：
群速度和相速度：
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 本节讨论两个在同一方向传播的、振动
方向相同、振幅相等而频率相差很小的
单色波的叠加，这样两个波叠加的结果
将产生光学上有意义的, 拍, 现象。
? 一、光学拍：
? 设频率为 ω 1,ω 2的两个单色波沿 z轴方
向传播，它们的波函数为：
)c o s ( 211 tzkaE ??? )c o s (
222 tzkaE ???
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 合振动（波）
? 和差化积：
? 引入平均角频率,平均波数,
? 引入调制频率 ω m和调制波数 km
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2
1
21 kkk m ??
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 则合波动式可写成：
? 令：
? 则
? 即合成波可看成一个频率为, 而振幅受到
调制（随时间和位置在 –2a到 2a之间变化）
的波。
? 由于光波频率很高为 5× 1014HZ。若 ω 1≈ω 2，
则 ＞＞ ω m，因而振幅变化缓慢而场振动
变化极快。
)c o s (2 tzkaA mm ???
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)c o s ( tzkAE ???
?
?
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 合成波的强度为
? 可见合成波的强度随时间和位置在 0～ 4a2之
间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。
由式可知，拍频为 2ω m,ω m为两单色光波
角频率之差的一半。
)(c o s4 222 tzkaAI mm ????
)](2c o s1[2 22 tzkaAI mm ?????
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 这种由两个交变物理量产生一个差频物理
量的现象称为, 拍频现象, 。
? 其主要应用价值在于，它把高频信号中的
频率信息和位相信息转移到差频信号之中，
使它们由难以测量变的容易测量。
? 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等，
及光外差探测技术。
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
二、群速度和相速度：
前面所提到的传播速度都是指它的等相面的
速度，及相速度。对于两个单色波的合成波：
它包含两种速度：等相面的传播速度和等幅面的
传播速度。
相速度：
由
两边对 t求导
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kv
??
ctzk ?? ?
kdt
dz ??
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 振幅恒值点的移动速度，群速度：
? 当叠加的两单色光波在 无色散介质 中传播
时，它们的速度相同，因而合成的是一个
稳定的拍,群速度和相速度相等 。
? 若频率
? 则：相速度
kkv m
m
g ?
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21
2
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1
1
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kkk
v
（若
21 ff ?
）
? 群速度：
? 当两单色光波在色散介质中传播时，其群
速度将不等于相速度。
? 即：合成波振幅最大点的传播速度（群速
度）将不等于两单色光波的相速度，也不
等于合成波的相速度。
21
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1
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§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 由 可得到 vg与 v之间的关系。
? 由
? 则
? 故
? 此式表明,越大，即波的相速度随波长的变
化越大时，群速度和相速度两者相差也越大。
dk
dv
g
??
dk
dvkv
dk
d k v
dk
dv
g ????
?
?
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??? ddk 22??
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§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 若 ＞ 0，即波长长的波比波长短的波相速
度较大。即处于正常色散。
? （ ）群速度小于相速度。
? 若 ＜ 0，反常色散，群速度大于相速度。
? 复杂波的群速度可以看作是振幅最大点的
移动速度，波动携带的能量与振幅的平方
成正比，所以群速度可以认为是光能量或
光信号的传播速度。
?d
dv
?d
dv
（?? n,?
）
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 通常利用光脉冲 (光信号 )进行光速测量时测
量到的时光脉冲的传播速度，即群速度而
不是相速度。
? 可以证明：对于多个不同频率的单色光波
合成的复杂波，只要各个波的频率相差不
大，他们只集中在某个, 中心, 频率附近，
且介质色散不大，就可以认为上述结论仍
然适用。
单色光波的叠加
光学拍：
群速度和相速度：
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 本节讨论两个在同一方向传播的、振动
方向相同、振幅相等而频率相差很小的
单色波的叠加，这样两个波叠加的结果
将产生光学上有意义的, 拍, 现象。
? 一、光学拍：
? 设频率为 ω 1,ω 2的两个单色波沿 z轴方
向传播，它们的波函数为：
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§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 合振动（波）
? 和差化积：
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? 则合波动式可写成：
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? 则
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? 由于光波频率很高为 5× 1014HZ。若 ω 1≈ω 2，
则 ＞＞ ω m，因而振幅变化缓慢而场振动
变化极快。
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§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 合成波的强度为
? 可见合成波的强度随时间和位置在 0～ 4a2之
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由式可知，拍频为 2ω m,ω m为两单色光波
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§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 这种由两个交变物理量产生一个差频物理
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? 其主要应用价值在于，它把高频信号中的
频率信息和位相信息转移到差频信号之中，
使它们由难以测量变的容易测量。
? 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等，
及光外差探测技术。
§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
二、群速度和相速度：
前面所提到的传播速度都是指它的等相面的
速度，及相速度。对于两个单色波的合成波：
它包含两种速度：等相面的传播速度和等幅面的
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? 振幅恒值点的移动速度，群速度：
? 当叠加的两单色光波在 无色散介质 中传播
时，它们的速度相同，因而合成的是一个
稳定的拍,群速度和相速度相等 。
? 若频率
? 则：相速度
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? 当两单色光波在色散介质中传播时，其群
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§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
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? 由 可得到 vg与 v之间的关系。
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? 则
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? 此式表明,越大，即波的相速度随波长的变
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§ 2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
? 若 ＞ 0，即波长长的波比波长短的波相速
度较大。即处于正常色散。
? （ ）群速度小于相速度。
? 若 ＜ 0，反常色散，群速度大于相速度。
? 复杂波的群速度可以看作是振幅最大点的
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? 通常利用光脉冲 (光信号 )进行光速测量时测
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? 可以证明：对于多个不同频率的单色光波
合成的复杂波，只要各个波的频率相差不
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且介质色散不大，就可以认为上述结论仍
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