光的衍射内容回顾
? 一、惠更斯－菲涅尔原理
? 二、基尔霍夫衍射理论
? 三,Babinet原理
一、惠更斯－菲涅尔原理
? 惠更斯原理：
? 内容：, 波前上的每一个面元都可以看作
是一个次级扰动中心，它们能产生球面子
波,,并且：, 后一时刻的波前的位置是
所有这些子波前的包络面,
? 作用：利用惠更斯原理，可以说明衍射的
存在；
? 存在的问题：不能确定光波通过衍射屏后
沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确
定衍射图样中的光强分布。
一、惠更斯－菲涅尔原理
? 惠更斯－菲涅耳原理
? 1.内容：, 波前上任何一个未受阻挡的点
都可以看作是一个频率（或波长）与入射
波相同的子波源；在其后任何地点的光振
动，就是这些子波叠加的结果。,
? 2.表达式：
? ? ? ? ? ? ? ? ?? d
r
ik r
R
ik RAcKPEd e x pe x p~
?
?
?
P
θ
r
Q
S
R
Z
Z ＇
Σ
Σ ＇
一、惠更斯－菲涅尔原理
? 或：
? 3.菲涅耳假设,当时 ??0，倾斜因子 K有最大
值，随着 ?增加, K(??减小。
? 当 ?≥π /2时,K(?? =0。
? 4.存在的问题：
? 没有给出 K(??,C的形式，实际上很难进行
定量计算，后来的 基尔霍夫衍射理论解决了
此问题 。
? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? dKr ik rQEcPE e x p~~ ??
二、基尔霍夫衍射理论
? 1.亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
? 标量衍射理论,孤立地把 E看作标量场，并用
曲面上的 E 和 值表示面内任一点的值 。
? 表达式：
? 2.菲涅耳－基尔霍夫公式
? 基尔霍夫假定：
? (1)在孔径 ∑上
?
?
?
?
n
E
? ? ? ? ?
?
?? d
n
GE
n
EGPEPEd
n
GE
n
EG ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
''
~~~~
4
1~~4~~~~
? ?
? ?
l
i k l
l
iklnA
n
l
i k lA
e x p1
,c o s
( Q )E
~
e x p
( Q )E
~
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
二、基尔霍夫衍射理论
? (2)在不透明屏右侧 ∑1上，
? 假定（ 1）（ 2）称为 基尔霍夫边界条件,
? (3)对于 ∑2 当 R→ ∞ 时，可不考虑 ∑2的贡献。
? 菲涅耳－基尔霍夫公式
0E
~
E
~
?
?
??
?
n
??
? ? ? ? ? ? ?
?
d
2
l,nc o s-r,nc o s
r
i k re x p
l
i k le x p
i
A
PE
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 上式可写为
? 与惠更斯－菲涅耳原理的表达式相同
? ?
? ?
? ?
2
)l,nc o s ()r,nc o s (
K
l
i klA e x p
Q
~
i
1
c
????
?
?
?
?
?
?
E
令：
? ? ? ? ? ? ? ? ?? dK
r
i k re x p
QE
~
cPE
~
??
?
?
三,Babinet原理
? 互补屏：两个衍射屏，其一的通光部分正好对
应另一的不透光部分，反之亦然。
? 两个互补屏单独产生的衍射场的复振幅之和等
于没有屏时的复振幅。此即为 Babinet原理。
? 表达式：
? 即：在 的那些点，
? 两个互补屏单独产生的强度相等。
? ? ? ? ? ?P~P~P~ 21 EEE ??
? ? 0P~ ?E
? ? ? ? 222211 P~IP~I EE ?? 和
§ 5－ 3
基尔霍夫衍射公式的近似
一、傍轴近似：
二,菲涅耳近似：
三、夫琅和费近似,
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?应用基尔霍夫公式来计算衍射问题，由于被
积函数的形式比较复杂，因此，一般对其作
一些近似处理。
?一、傍轴近似：
?对：垂直入射于无限大不透明屏上孔径 ∑上
的单色平面波。
?如图所示：
?有
2
c o s1)(
1c o s),c o s (
??
?
??
???
K
ln
??
y1 x
1
C
Q
K
z1∑
P
P0
y
x
E
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?若 衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离
小得多，且观察屏上的考察范围也比观察屏到
孔径的距离小得多，则有 傍轴近似,
?（ 1）取
?则倾斜因子
?（ 2）由于上述条件，
使孔径范围内的
任一点 Q,到观察
屏上考察点 P的距离 r变化不大，则可取
1c o s),c o s ( ?? ?rn ??
? ? 1??K y1 x1
C
Q
K
z1∑
P
P0
y
x
E
r
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
? 则可取
? 但复指数中的 r不可替代。
? 则菲涅耳－基尔霍夫公式可写为
1
11
zr ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ????
??
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
di k rQE
zi
A
QE
E
)e x p()(
~
dK
r
i kre x p~
i
A
d
2
l,nc os-r,nc os
r
i kre x p
l
i kle x p
i
A
P
~
1
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?二,菲涅耳近似：
?对于具体的衍射问题，还可作更精确近似：
为此取坐标系如图 5－ 7所示
?则
?式中 (x1,y1),(x,y)分别是孔径上任一点 Q和观
察屏上考察点 P的坐标值。
?对于上式作二项式展开，得：
y1 x
1
C
Q
K
z1∑
P
P0
y
x
E
r
? ? ? ?? ?
21
2
1
1
2
1
1
1
212
1
2
1
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
???
?
?
??
?
? ?
??
?????
z
yy
z
xx
z
yyxxzr
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
? 当 z1大到使第三项以后各项对位相 k ·r的作
用远小于 π 时，第三项以后各项即可忽略。
可只取前两项表示 r
? 即
? 此为 菲涅耳近似 。
? 此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此
时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。
? ? ? ? ? ? ? ?
??
???
??
??? ??
?
?
?
?
? ????
?
?
?
?
?
? ????? ?2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 8
1
2
11
z
yyxx
z
yyxxzr
? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?? 2
1
2
1
2
1
1 2
11
z
yyxxzr
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?将此 r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公
式，得：
?菲涅耳衍射的计算公式：
?三、夫琅和费近似,
?在菲涅耳衍射区更远的地方，放置观察屏
?当 z1很大，使得：
?则
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???
? ?
????? ???? 112121
1
11
1
1
2e x p,
~e x p,~ dydxyyxx
z
ikyxE
zi
i k zyxE
?
? ? ???
1
2
1
2
1
2
m a x
z
yxk ?
? ?
1
11
1
22
1
1
2
1
2
1
1
11
1
22
1
2
22
z
yyxx
z
yx
z
z
yx
z
yyxx
z
yx
zr
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?? 可忽略
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?菲涅耳衍射将过渡到夫琅和费衍射。
?此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：
?或
?图 5－ 8给出了菲涅耳衍射区和夫琅和费衍射
区的示意图，对应的衍射图具有不同的性质，
后面将分别讨论。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?? 1111
1
11
22
11
1 yyxxe x p,~yx
2z
ike x pe x p,~ dydx
z
ikyxE
zi
i k z
yxE
?
? ? ? ? ? ? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
??
?
??
? ??
111
1
1
1
11
22
11
1 y
z
yx
z
xi2e x p,~yx
2z
ike x pe x p,~ dydxyxE
zi
i k zyxE
????
§ 5－ 4矩孔和单缝的
夫琅和费衍射
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 衍射系统由光源，衍射屏和接收屏组成，
通常按它们相互间距离的大小，将衍射分
为两类（与前述两种近似相对应）：
? 一类是光源和接收屏（或两者之一）距离
衍射屏有限远；此为菲涅耳衍射。（ 1818年）
? 另一类是光源和接收屏都距离衍射屏无穷
远，此为夫琅和费衍射,1821－ 1822年，
? 两种衍射的区分是从理论计算上考虑的。
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?菲涅耳衍射是普遍的，夫琅和费衍射是菲涅耳
衍射的特例，但其计算相对简单，特别是对于
简单形状孔径的衍射，通常能够以解析形式求
出积分。
?另外，它还是光学仪器中最常见的衍射现象。
?菲涅耳－基尔霍夫衍射公式：
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
2
)l,nc os (-)r,nc os (
K,
l
i klA e x p
)(
~
,
i
1
dK
r
i kre x p~
d
2
)l,nc os (-)r,nc os (
r
i kre x p
l
i kle x p
i
A
P
~
????
????
?
?
??
?
?
QEc
QEc
E
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?基尔霍夫衍射公式的近似：
?1.傍轴近似：入射光垂直孔径面
?2.菲涅耳近似,
?3.夫琅和费近似：
?4.菲涅耳衍射公式：
? ?
1
11,1
zrK ???
? ? ? ?
??
???
??
??? ?
?
?
?
?
? ?????
2
1
2
1
2
1
1 2
11
z
yyxxzr
1
11
1
22
1 2 z
yyxx
z
yxzr ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???
? ?
?
?
?
?
? ????
11
2
1
2
1
1
11
1
1
2
e x p,~e x p,~ dydxyyxx
z
ikyxE
zi
i k zyxE
?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?5.夫琅和费衍射公式：
?一、夫琅和费衍射装置,
?由夫琅和费近似条件，
?知
?对于 λ=600nm的光波，当
?z1>>330m，当
?z1>>33m
? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
? ?
????? ???????? ?? 1111
1
11
22
11
1 yyxx
2e x p,
~yx
2z
ike x pe x p,~ dydx
z
ikyxE
zi
i k zyxE
?
???
1
2
1
2
1
2 z
yxk ?
? ?21211 1 yxz ????
? ? ? ? 2m a x2121 2 cmyx ??
? ? ? ? 2m a x2121 2 mmyx ??
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 即只有在很远距离上才能观察到夫琅和费衍射
条纹，在实验室中很难实现。即使设法实现，
在观察面上的辐照度也将相当微弱。
? 通常观察夫琅和费衍射的方法是在衍射光栏后
方紧靠孔径处放置一个透镜，在透镜后焦面上
即可呈现夫琅和费衍射图形。如图（ 5－ 9）所
示。 f P
θ
L
∑
P’
θ
∑
z1
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 直观地说，因为透镜可以把位于无限远的图
象成象在其后焦面上，所以观察屏上的辐照
度分布与 z1→ ∞ 时，观察屏上的辐照度分布
是相似图形，因而在透镜后焦面上可以看到
夫琅和费衍射图形。
? 另一方面，可以把如图 5－ 9所示的装置看成
是一个特殊的菲涅耳衍射装置。这时把透镜
对光波的作用看成是衍射屏透过函数的一个
组成部分。
? 设透镜很薄，位在 ∑面上，则它能把正入射
平面波转化为向其后焦点会聚的球面波：
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 该球面波为：
? 其中 T0描述透镜使入射波在 x1=y1=0处发生的位
相变化，是一个复常数可设为 1
? 由菲涅耳衍射公式：衍射屏后的复振幅分布为
? 从而：
? 即
? ??
?
??
?
? ?? 2
1
2
10 2e x p yxf
kiT
? ? ? ? ? ? ? ??????? ???? 212111111011 2e x p,,~,~ yxfkiyxTyxEyxE ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? 112121
2
1
2
1111110
dydxyyxx
2
e x p
2
e x p),(,
~
fi
i kfe x p
,
~
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????? ? ?
??
??
??
??
f
k
i
yx
f
ik
yxTyxEyxE
?
? ?
? ? 1111
1111
22
dydxxxe x p
),(),(
~
)]
2
(e x p[
fi
1
,
~
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?? ? ?
??
??
??
??
yy
f
ik
yxTyxE
f
yx
fikyxE
?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?此式与不考虑透镜时的夫琅和费衍射公式完
全相同（只需将后者的 z1换成 f）。
?即：透镜使我们能在属于菲涅耳衍射区域的
某个平面（透镜后焦面）上观察到夫琅和费
衍射图形。
?二、夫琅和费衍射公式的意义,
?把夫琅和费衍射装置的光路图画在图 5－ 10
中，从上面的分析可知：透镜应紧靠孔径。
?下面说明上式的意义：
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? A：复指数因子
? 在菲涅耳近似下，孔径面坐标原点 C（当透
镜紧靠孔径时,C与透镜中心重合）到 P的
距离
? 故上式因子的位相就是 C处子波源发出的子
波到达 P点的位相延迟。
? 由费马原理：光线实际传播的路径是光程
平稳的路径；物点 Q和象点 Q’之间各光线的
光程都相等。即，物象之间有等光程性。
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
2f
yxfike x p 22
2f
yxfr 22 ???
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? B：另一个复指数因子：
? 其幅角实际上代表孔径内任一点 Q（坐标值
为 x1,y1）和坐标原点 C发出的子波到达 P点
的位相差。
? 由图 5－ 10所示：
? 由于从 Q和从 H到 P
的光程相等，
则 QJP和 CIP的光程差
??
?
??
? ?
?
??
?
? ??
11 yf
yx
f
xike x p
y 1
x 1 L 2
Q
C
H
J
I
O
P
P 0
x
y
θ x θ
y
Σ
为垂足，平行 HCIQJ
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 当 P靠近 P0时，
? 令 为 CI方向的单位矢量，且 很靠近 !
? 上述光程差为
? 相应的位相差为
? ? ? ?Q J PC I PCH ????
y 1
x 1 L 2
Q
C
H
J
I
O
P
P 0
x
y
θ x θ
yΣ
为二维衍射角，其中
yx
y
x
f
y
r
y
s i n
f
x
r
x
s i n
??
??
?
???
????
?q
112 y,xL 与
1111 yf
yx
f
xyxCQqCH ???????? ?? ??
?????? ???? 11 yfyxfxkk?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?说明，式
?正是表示孔径内各点发出的子波在方向余弦 ?
和 ?代表的方向上的叠加，叠加的结果取决于
各点发出的子波和参考点 C点发出的子波的位
相差。由于透镜的作用,?和 ?代表的方向上的
子波聚焦在透镜焦面上的 P点。
? ?
? ?
1111
11
22
dydxxxe x p
),(
~
)]
2
(e x p[
fi
1
,
~
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?? ? ?
??
??
??
??
yy
f
ik
yxE
f
yx
fikyxE
?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?另一个重要意义：
?令
?则上式可以写成：
?此式表明：除了一个二次位相因子 外，
?夫琅和费衍射的复振幅分布是孔径面上复振幅分
布的 付里叶变换 ；夫琅和费衍射的强度分布可由傅
里叶变换式直接求出。
? ? ? ? 11111122 e x p,~2e x p,~ dydxyfyxfxikyxEf yxfikfcyxE ? ?
??
??
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ????
?
?
?
?
?
???
?
???
? ???
????? i
1c,y ???
ff
x,
? ? ? ? ? ?? ? 11111122 2e x p,~2e x p,~ dydxyxiyxEf yxfikfcyxE ? ???
??
????
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??? ???
?????? ???????? ?f yxik 2e x p
22
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?三、矩孔衍射
?如图 5－ 12所示的矩孔：
?取矩孔中心作为坐标原点：
?则 观察屏上的 P点的复振幅为
2
a~
2
ay,
2
b~
2
bx
11 ??,：
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
? ?
??
? ?
f
yx
ikc
f
yx
ikcyxE
i k f
f
cA
cAyxE
dydxylxikyxE
f
yx
iki k f
f
c
E
a
a
a
a
b
b
2
e x p
2
bk
2
bk
s i n
2
kl a
2
kl a
s i n
ab
dyi kl y-e x pdxi kl x-e x p
2
e x p),(
~
e x p,,
~
e x p,
~
2
e x pe x p
~
22
'
2
b
2
b
11
2
2
11
22
'
'
''
11
11
2
2
2
2
1111
22
?
?
?
平面波入射
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 对于轴上点 P0
? x=y=0，则其复振幅：
? 故,P点 (x,y)的复振幅为
abc~ '0 ?E
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
?
f
yx
ikEE
2
e x p
2
bk
2
bk
s i n
2
k l a
2
k l a
s i n
~~
22
0 ?
?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? P点的强度
? 此即为夫琅和费 矩孔衍射 的强度分布公式。
f
y
f
x
l
I
IEEI
yx
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
?
?
?
?
?
?
s i n,s i n,
2
bk
,
2
kl a
s i ns i n
2
bk
2
bk
s i n
2
kl a
2
kl a
s i n
~~
22
0
22
0
*
? 作业,5.1,5.2,5.4,5.6
? 一、惠更斯－菲涅尔原理
? 二、基尔霍夫衍射理论
? 三,Babinet原理
一、惠更斯－菲涅尔原理
? 惠更斯原理：
? 内容：, 波前上的每一个面元都可以看作
是一个次级扰动中心，它们能产生球面子
波,,并且：, 后一时刻的波前的位置是
所有这些子波前的包络面,
? 作用：利用惠更斯原理，可以说明衍射的
存在；
? 存在的问题：不能确定光波通过衍射屏后
沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确
定衍射图样中的光强分布。
一、惠更斯－菲涅尔原理
? 惠更斯－菲涅耳原理
? 1.内容：, 波前上任何一个未受阻挡的点
都可以看作是一个频率（或波长）与入射
波相同的子波源；在其后任何地点的光振
动，就是这些子波叠加的结果。,
? 2.表达式：
? ? ? ? ? ? ? ? ?? d
r
ik r
R
ik RAcKPEd e x pe x p~
?
?
?
P
θ
r
Q
S
R
Z
Z ＇
Σ
Σ ＇
一、惠更斯－菲涅尔原理
? 或：
? 3.菲涅耳假设,当时 ??0，倾斜因子 K有最大
值，随着 ?增加, K(??减小。
? 当 ?≥π /2时,K(?? =0。
? 4.存在的问题：
? 没有给出 K(??,C的形式，实际上很难进行
定量计算，后来的 基尔霍夫衍射理论解决了
此问题 。
? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? dKr ik rQEcPE e x p~~ ??
二、基尔霍夫衍射理论
? 1.亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
? 标量衍射理论,孤立地把 E看作标量场，并用
曲面上的 E 和 值表示面内任一点的值 。
? 表达式：
? 2.菲涅耳－基尔霍夫公式
? 基尔霍夫假定：
? (1)在孔径 ∑上
?
?
?
?
n
E
? ? ? ? ?
?
?? d
n
GE
n
EGPEPEd
n
GE
n
EG ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
''
~~~~
4
1~~4~~~~
? ?
? ?
l
i k l
l
iklnA
n
l
i k lA
e x p1
,c o s
( Q )E
~
e x p
( Q )E
~
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
二、基尔霍夫衍射理论
? (2)在不透明屏右侧 ∑1上，
? 假定（ 1）（ 2）称为 基尔霍夫边界条件,
? (3)对于 ∑2 当 R→ ∞ 时，可不考虑 ∑2的贡献。
? 菲涅耳－基尔霍夫公式
0E
~
E
~
?
?
??
?
n
??
? ? ? ? ? ? ?
?
d
2
l,nc o s-r,nc o s
r
i k re x p
l
i k le x p
i
A
PE
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
§ 5－ 2基尔霍夫衍射理论
? 上式可写为
? 与惠更斯－菲涅耳原理的表达式相同
? ?
? ?
? ?
2
)l,nc o s ()r,nc o s (
K
l
i klA e x p
Q
~
i
1
c
????
?
?
?
?
?
?
E
令：
? ? ? ? ? ? ? ? ?? dK
r
i k re x p
QE
~
cPE
~
??
?
?
三,Babinet原理
? 互补屏：两个衍射屏，其一的通光部分正好对
应另一的不透光部分，反之亦然。
? 两个互补屏单独产生的衍射场的复振幅之和等
于没有屏时的复振幅。此即为 Babinet原理。
? 表达式：
? 即：在 的那些点，
? 两个互补屏单独产生的强度相等。
? ? ? ? ? ?P~P~P~ 21 EEE ??
? ? 0P~ ?E
? ? ? ? 222211 P~IP~I EE ?? 和
§ 5－ 3
基尔霍夫衍射公式的近似
一、傍轴近似：
二,菲涅耳近似：
三、夫琅和费近似,
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?应用基尔霍夫公式来计算衍射问题，由于被
积函数的形式比较复杂，因此，一般对其作
一些近似处理。
?一、傍轴近似：
?对：垂直入射于无限大不透明屏上孔径 ∑上
的单色平面波。
?如图所示：
?有
2
c o s1)(
1c o s),c o s (
??
?
??
???
K
ln
??
y1 x
1
C
Q
K
z1∑
P
P0
y
x
E
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?若 衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离
小得多，且观察屏上的考察范围也比观察屏到
孔径的距离小得多，则有 傍轴近似,
?（ 1）取
?则倾斜因子
?（ 2）由于上述条件，
使孔径范围内的
任一点 Q,到观察
屏上考察点 P的距离 r变化不大，则可取
1c o s),c o s ( ?? ?rn ??
? ? 1??K y1 x1
C
Q
K
z1∑
P
P0
y
x
E
r
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
? 则可取
? 但复指数中的 r不可替代。
? 则菲涅耳－基尔霍夫公式可写为
1
11
zr ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ????
??
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
di k rQE
zi
A
QE
E
)e x p()(
~
dK
r
i kre x p~
i
A
d
2
l,nc os-r,nc os
r
i kre x p
l
i kle x p
i
A
P
~
1
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?二,菲涅耳近似：
?对于具体的衍射问题，还可作更精确近似：
为此取坐标系如图 5－ 7所示
?则
?式中 (x1,y1),(x,y)分别是孔径上任一点 Q和观
察屏上考察点 P的坐标值。
?对于上式作二项式展开，得：
y1 x
1
C
Q
K
z1∑
P
P0
y
x
E
r
? ? ? ?? ?
21
2
1
1
2
1
1
1
212
1
2
1
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
???
?
?
??
?
? ?
??
?????
z
yy
z
xx
z
yyxxzr
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
? 当 z1大到使第三项以后各项对位相 k ·r的作
用远小于 π 时，第三项以后各项即可忽略。
可只取前两项表示 r
? 即
? 此为 菲涅耳近似 。
? 此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此
时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。
? ? ? ? ? ? ? ?
??
???
??
??? ??
?
?
?
?
? ????
?
?
?
?
?
? ????? ?2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 8
1
2
11
z
yyxx
z
yyxxzr
? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?? 2
1
2
1
2
1
1 2
11
z
yyxxzr
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?将此 r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公
式，得：
?菲涅耳衍射的计算公式：
?三、夫琅和费近似,
?在菲涅耳衍射区更远的地方，放置观察屏
?当 z1很大，使得：
?则
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???
? ?
????? ???? 112121
1
11
1
1
2e x p,
~e x p,~ dydxyyxx
z
ikyxE
zi
i k zyxE
?
? ? ???
1
2
1
2
1
2
m a x
z
yxk ?
? ?
1
11
1
22
1
1
2
1
2
1
1
11
1
22
1
2
22
z
yyxx
z
yx
z
z
yx
z
yyxx
z
yx
zr
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?? 可忽略
§ 5－ 3基尔霍夫衍射公式的近似
?菲涅耳衍射将过渡到夫琅和费衍射。
?此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：
?或
?图 5－ 8给出了菲涅耳衍射区和夫琅和费衍射
区的示意图，对应的衍射图具有不同的性质，
后面将分别讨论。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?? 1111
1
11
22
11
1 yyxxe x p,~yx
2z
ike x pe x p,~ dydx
z
ikyxE
zi
i k z
yxE
?
? ? ? ? ? ? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
??
?
??
? ??
111
1
1
1
11
22
11
1 y
z
yx
z
xi2e x p,~yx
2z
ike x pe x p,~ dydxyxE
zi
i k zyxE
????
§ 5－ 4矩孔和单缝的
夫琅和费衍射
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 衍射系统由光源，衍射屏和接收屏组成，
通常按它们相互间距离的大小，将衍射分
为两类（与前述两种近似相对应）：
? 一类是光源和接收屏（或两者之一）距离
衍射屏有限远；此为菲涅耳衍射。（ 1818年）
? 另一类是光源和接收屏都距离衍射屏无穷
远，此为夫琅和费衍射,1821－ 1822年，
? 两种衍射的区分是从理论计算上考虑的。
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?菲涅耳衍射是普遍的，夫琅和费衍射是菲涅耳
衍射的特例，但其计算相对简单，特别是对于
简单形状孔径的衍射，通常能够以解析形式求
出积分。
?另外，它还是光学仪器中最常见的衍射现象。
?菲涅耳－基尔霍夫衍射公式：
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
2
)l,nc os (-)r,nc os (
K,
l
i klA e x p
)(
~
,
i
1
dK
r
i kre x p~
d
2
)l,nc os (-)r,nc os (
r
i kre x p
l
i kle x p
i
A
P
~
????
????
?
?
??
?
?
QEc
QEc
E
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?基尔霍夫衍射公式的近似：
?1.傍轴近似：入射光垂直孔径面
?2.菲涅耳近似,
?3.夫琅和费近似：
?4.菲涅耳衍射公式：
? ?
1
11,1
zrK ???
? ? ? ?
??
???
??
??? ?
?
?
?
?
? ?????
2
1
2
1
2
1
1 2
11
z
yyxxzr
1
11
1
22
1 2 z
yyxx
z
yxzr ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???
? ?
?
?
?
?
? ????
11
2
1
2
1
1
11
1
1
2
e x p,~e x p,~ dydxyyxx
z
ikyxE
zi
i k zyxE
?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?5.夫琅和费衍射公式：
?一、夫琅和费衍射装置,
?由夫琅和费近似条件，
?知
?对于 λ=600nm的光波，当
?z1>>330m，当
?z1>>33m
? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
? ?
????? ???????? ?? 1111
1
11
22
11
1 yyxx
2e x p,
~yx
2z
ike x pe x p,~ dydx
z
ikyxE
zi
i k zyxE
?
???
1
2
1
2
1
2 z
yxk ?
? ?21211 1 yxz ????
? ? ? ? 2m a x2121 2 cmyx ??
? ? ? ? 2m a x2121 2 mmyx ??
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 即只有在很远距离上才能观察到夫琅和费衍射
条纹，在实验室中很难实现。即使设法实现，
在观察面上的辐照度也将相当微弱。
? 通常观察夫琅和费衍射的方法是在衍射光栏后
方紧靠孔径处放置一个透镜，在透镜后焦面上
即可呈现夫琅和费衍射图形。如图（ 5－ 9）所
示。 f P
θ
L
∑
P’
θ
∑
z1
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 直观地说，因为透镜可以把位于无限远的图
象成象在其后焦面上，所以观察屏上的辐照
度分布与 z1→ ∞ 时，观察屏上的辐照度分布
是相似图形，因而在透镜后焦面上可以看到
夫琅和费衍射图形。
? 另一方面，可以把如图 5－ 9所示的装置看成
是一个特殊的菲涅耳衍射装置。这时把透镜
对光波的作用看成是衍射屏透过函数的一个
组成部分。
? 设透镜很薄，位在 ∑面上，则它能把正入射
平面波转化为向其后焦点会聚的球面波：
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 该球面波为：
? 其中 T0描述透镜使入射波在 x1=y1=0处发生的位
相变化，是一个复常数可设为 1
? 由菲涅耳衍射公式：衍射屏后的复振幅分布为
? 从而：
? 即
? ??
?
??
?
? ?? 2
1
2
10 2e x p yxf
kiT
? ? ? ? ? ? ? ??????? ???? 212111111011 2e x p,,~,~ yxfkiyxTyxEyxE ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? 112121
2
1
2
1111110
dydxyyxx
2
e x p
2
e x p),(,
~
fi
i kfe x p
,
~
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????? ? ?
??
??
??
??
f
k
i
yx
f
ik
yxTyxEyxE
?
? ?
? ? 1111
1111
22
dydxxxe x p
),(),(
~
)]
2
(e x p[
fi
1
,
~
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?? ? ?
??
??
??
??
yy
f
ik
yxTyxE
f
yx
fikyxE
?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?此式与不考虑透镜时的夫琅和费衍射公式完
全相同（只需将后者的 z1换成 f）。
?即：透镜使我们能在属于菲涅耳衍射区域的
某个平面（透镜后焦面）上观察到夫琅和费
衍射图形。
?二、夫琅和费衍射公式的意义,
?把夫琅和费衍射装置的光路图画在图 5－ 10
中，从上面的分析可知：透镜应紧靠孔径。
?下面说明上式的意义：
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? A：复指数因子
? 在菲涅耳近似下，孔径面坐标原点 C（当透
镜紧靠孔径时,C与透镜中心重合）到 P的
距离
? 故上式因子的位相就是 C处子波源发出的子
波到达 P点的位相延迟。
? 由费马原理：光线实际传播的路径是光程
平稳的路径；物点 Q和象点 Q’之间各光线的
光程都相等。即，物象之间有等光程性。
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
2f
yxfike x p 22
2f
yxfr 22 ???
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? B：另一个复指数因子：
? 其幅角实际上代表孔径内任一点 Q（坐标值
为 x1,y1）和坐标原点 C发出的子波到达 P点
的位相差。
? 由图 5－ 10所示：
? 由于从 Q和从 H到 P
的光程相等，
则 QJP和 CIP的光程差
??
?
??
? ?
?
??
?
? ??
11 yf
yx
f
xike x p
y 1
x 1 L 2
Q
C
H
J
I
O
P
P 0
x
y
θ x θ
y
Σ
为垂足，平行 HCIQJ
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 当 P靠近 P0时，
? 令 为 CI方向的单位矢量，且 很靠近 !
? 上述光程差为
? 相应的位相差为
? ? ? ?Q J PC I PCH ????
y 1
x 1 L 2
Q
C
H
J
I
O
P
P 0
x
y
θ x θ
yΣ
为二维衍射角，其中
yx
y
x
f
y
r
y
s i n
f
x
r
x
s i n
??
??
?
???
????
?q
112 y,xL 与
1111 yf
yx
f
xyxCQqCH ???????? ?? ??
?????? ???? 11 yfyxfxkk?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?说明，式
?正是表示孔径内各点发出的子波在方向余弦 ?
和 ?代表的方向上的叠加，叠加的结果取决于
各点发出的子波和参考点 C点发出的子波的位
相差。由于透镜的作用,?和 ?代表的方向上的
子波聚焦在透镜焦面上的 P点。
? ?
? ?
1111
11
22
dydxxxe x p
),(
~
)]
2
(e x p[
fi
1
,
~
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?? ? ?
??
??
??
??
yy
f
ik
yxE
f
yx
fikyxE
?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?另一个重要意义：
?令
?则上式可以写成：
?此式表明：除了一个二次位相因子 外，
?夫琅和费衍射的复振幅分布是孔径面上复振幅分
布的 付里叶变换 ；夫琅和费衍射的强度分布可由傅
里叶变换式直接求出。
? ? ? ? 11111122 e x p,~2e x p,~ dydxyfyxfxikyxEf yxfikfcyxE ? ?
??
??
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ????
?
?
?
?
?
???
?
???
? ???
????? i
1c,y ???
ff
x,
? ? ? ? ? ?? ? 11111122 2e x p,~2e x p,~ dydxyxiyxEf yxfikfcyxE ? ???
??
????
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??? ???
?????? ???????? ?f yxik 2e x p
22
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
?三、矩孔衍射
?如图 5－ 12所示的矩孔：
?取矩孔中心作为坐标原点：
?则 观察屏上的 P点的复振幅为
2
a~
2
ay,
2
b~
2
bx
11 ??,：
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
? ?
??
? ?
f
yx
ikc
f
yx
ikcyxE
i k f
f
cA
cAyxE
dydxylxikyxE
f
yx
iki k f
f
c
E
a
a
a
a
b
b
2
e x p
2
bk
2
bk
s i n
2
kl a
2
kl a
s i n
ab
dyi kl y-e x pdxi kl x-e x p
2
e x p),(
~
e x p,,
~
e x p,
~
2
e x pe x p
~
22
'
2
b
2
b
11
2
2
11
22
'
'
''
11
11
2
2
2
2
1111
22
?
?
?
平面波入射
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? 对于轴上点 P0
? x=y=0，则其复振幅：
? 故,P点 (x,y)的复振幅为
abc~ '0 ?E
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
?
f
yx
ikEE
2
e x p
2
bk
2
bk
s i n
2
k l a
2
k l a
s i n
~~
22
0 ?
?
§ 5－ 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
? P点的强度
? 此即为夫琅和费 矩孔衍射 的强度分布公式。
f
y
f
x
l
I
IEEI
yx
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
?
?
?
?
?
?
s i n,s i n,
2
bk
,
2
kl a
s i ns i n
2
bk
2
bk
s i n
2
kl a
2
kl a
s i n
~~
22
0
22
0
*
? 作业,5.1,5.2,5.4,5.6
