光波的叠加综述
光波的叠加综述
? 一、本章所讨论内容的理论基础：
? （ 一 ）, 波的独立传播定律：
? 两列光波在空间交迭时, 它的传播互不干扰,亦
即每列波如何传播, 就像另一列波完全不存在一
样各自独立进行,此即波的独立传播定律 。
? （ 二 ）, 波的叠加原理：
? 当两列 (或多列 )波在同一空间传播时, 空间各点
都参与每列波在该点引起的振动 。 若波的独立传
播定律成立, 则当两列 (或多列 )波同时存在时,
在它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独在
该点产生振动的合成,此即波的 迭加原理 。
光波的叠加综述
? 波在其中服从叠加原理的媒质称为, 线性媒
质, 。 此时，对于 非相干光波,
? 即 N列 非相干光波 的强度 满足线性迭加关系。
? 对于相干光波,
? 即 N列相干光波的振幅 满足线性迭加关系。
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§ 2-1 两个 频率、振动方向、传播方向相同
的单色光波的迭加
? 两个频率、振动方向、传播方向相同的单色
光波的迭加的结果为一个新的单色光波，表
示为：
? 或：
? 式中：
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? 叠加获得的新光波的振幅、振动方向与两原光波
的振幅、振动方向密切相关。
? 新光波的强度的变化与两原光波到达考查点时的
位相差 (或光程差）对应，当两原光波的振幅相
等时，合成波的强度为
? 显然：
? 当 δ =± 2mπ或 △ = ± 2mλ 0
(m=0,1,2… ) 时,P点光强最大 ；
? 当 δ =± 2(m+1/2)π或 △ = ± （ m+1/2） λ 0
(m=0,1,2… )时, P点光强最小 ；
? 介于上两者之间时,P点光强在 0 ~ 2?之间。
2c o s4)2(c o s4
2
0
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0
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§ 2-2两个 频率相同、振动方向相同而
传播方向相反 的 单色波的叠加
? 叠加的结果为驻波：波函数为
? 此式表明：合成波上任意一点都作圆频率为 ?的
简谐振动。但：
? A：合成波振幅不是常数，与各点坐标有关，
? 当 m=0,?1,? 2? 的位置上
振幅最大，为 2E10，为波腹，间距为 λ /2
? 当 m=0,?1,? 2?
的位置上振幅为零，为波节，间距为 λ /2
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??? mkz ??? 2 1020
??? )21(2 1020 ???? mkz
§ 2-3 两个 频率,传播方向 相同、
振动方向互相垂直 的 光波的叠加
? 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹
满足如下方程：
? E与 x轴的夹角满足：
? 此式表明,E的方向一般是不固定的，将随着
z和 t变化。即合成波一般不是线偏振波。
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tkzE
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§ 2-3 两个 频率,传播方向 相同、
振动方向互相垂直 的 光波的叠加
?椭圆形状由两叠加光波的位相差
δ=α2-α1或光程差 ?和振幅比 a2/a1 决定。
旋向由 δ=α2-α1或光程差 ?决定，
?sinδ>0 左旋情况
? sinδ<0 右旋情况
?强度：
?表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个
振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，
它与两个叠加波的位相无关。
yx III ??
§ 2-4两个 不同频率 的单色光波的叠加
? 合成波写成：
? 令：
? 则
? 即合成波可看成一个频率为, 而振幅受到调
制（随时间和位置在 –2a到 2a之间变化）的波。
? 它包含两种速度：等相面的传播速度（相速度）
和等幅面的传播速度（群速度）。
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kv
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kkv m
m
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dvvv
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? 由前述讨论可知：
? 1．无论多少个相同频率而有任意振幅和位相的
单色光波的叠加时，所得到的合成波仍然是单
色光波。
? 2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结果
就不再是单色波，而是一个复杂波，波形曲线
不再是正弦或余弦曲线。
? 3．上述结果可以推广到三个或三个以上波动的
叠加与合成问题。
? 4．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一组
单色波。
? 下面将讨论复杂波的分析方法，并分别对周期
性和非周期性复杂波两种情况加以讨论。
§ 2-5光波的分析
一,周期性波的分析
二、非周期性波的分析
§ 2-5光波的分析
一,周期性波的分析：
周期性波：接连着的相等的时间和空间内
运动完成重复一次的波。周期性波不一定具有
简谐性。对于这类周期性波可以应用数学上的
傅里叶级数定理：
具有空间周期 λ的函数 f(z)，可以表示成一
些空间周期为 λ的整数倍（即 λ,λ/2,λ/3… ）的
简谐函数之和。其数学形式为
....)
2
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§ 2-5光波的分析
? 或写为
? 式中 a0,a1,a2是待定常数,k=2π/λ为空间角
频率。
? 傅里叶级数定理还可以写成更为简洁的形式。
? 由三角等式：
? 式中
? 式（ 1），（ 2）通常称为傅里叶级数，而 A0，
An,Bn称为函数 f(z)的傅里叶系数，它们分别为：
)1()2c o s ()c o s ()( 22110 ???????? ?? kzakzaazf
n k zBn k zAn k za nnnn s i nc o s)c o s ( ??? ?
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§ 2-5光波的分析
? 上式表明：
? 若 f(z)代表一个以空间角频率 k沿 z方向传播的
周期性复杂波，则经过傅里叶分析，可以分解
成许多振幅不同且空间角频率分别为 k,2k，
3k,… 的单色波的叠加。
? 即若给定一个复杂波的函数形式，对他进行傅
里叶分析，只需由式（ 3）决定它的各个分波
的振幅便可。
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nk z dzzfA
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n
n
§ 2-5光波的分析
? 例：如图示，空间周期为 λ的矩形波，在一
个周期内它可用如下函数表示：
? f(z)为奇数：则 A0=0,An=0
?
?
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nk z
n
nk z
n
nk z dznk z dzB
n
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§ 2-5光波的分析
? 得到 B1=4/π,B2=0,B3=4/3π,B4=0，
B5=4/5π,…
? 该矩形波的傅里叶级数，或者说这个矩形
波分解成的傅里叶简谐分波为：
? 其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为 1/λ，是基频。第二项、
第三项是三次谐波和五次谐波 [空间频率
m/λ(m≥2)是谐频 ]。
)5s i n513s i n31( s i n4)( ????? kzkzkzzf ?
§ 2-5光波的分析
? 通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里
叶分析的结果：以横坐标表示空间角频率，
纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为零的
频率位置引垂线，使其长度等于相应频率
的振幅值。
? 任何一个周期性复杂波
的频谱图都是一些
离散的线谱。所以
周期性复杂波的
频谱是离散频谱。 k
振幅
4/π
4/3π
4/5π 4/7π
k 3k 5k 7k
§ 2-5光波的分析
? 傅里叶级数也可以表示为复数形式,
? 其中系数
? 显然式 (4)级数中的每一项也都可以看成为
一个单色波,所以式 (4)式的意义仍然可以理
解为周期性复杂波的分解,
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2
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?ndzi n k zzfC n
§ 2-5光波的分析
?二、非周期性波的分析
?非周期性波不是无限次的重复它的波形,而是
只存在于一定的有限范围之内，在这个范围
外振动为零，因而显现出波包的形状。
?此时，由于其周期为无穷大,λ→∞,
?则傅里叶级数 → 傅里叶积分：
?其中：
?称 A(k)为函数 f(z)的傅里叶变换 (频谱 )。
)6()e x p ()(2 1)e x p ()( ??
?
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?? dzi k zkAi n k zCzf n ?
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§ 2-5光波的分析
? 显然，若 f(z)表示一个波包,则傅里叶积分可
理解为一个波包可以分解成无穷多个频率
连续的、振幅随频率变化、有 A(k)函数关系
的简谐分波，即，一个波包能够由多个这
些单色波合成。
? 如用示，为一个长度为 2L，在 2L范围内波
的振幅 A0=常数，空间角频率 k0=常数，这
种波通常称为波列。 振幅
§ 2-5光波的分析
? 若选波列的中点为坐标原点，它的函数形
式可写为：
? 它的傅里叶分解频谱为：（振幅函数）
? 其强度函数：（略去常数因子）
?
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其它0
)e x p ()( 00 LzLzikAzf
Lkk
LkkAdzzkkiAkA L
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0-π/L k0+π/Lπ/L
k
§ 2-5光波的分析
? 强度的第一零值点出现在：
? 该函数只有在空间角频率
范围内（也即 k0两边第一零值之间频率的一
半），强度才有较显著的数值。
? 则可取
? 作为有效空间角频率范围，认为波列包含的
诸分波的空间角频率处于这一范围内，由
k=2π/λ，则用空间周期表示为：
LkLkk
?? ?????,)(
0
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kkkkk ??????
Lk
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L2
2?
? ??
§ 2-5光波的分析
式子表明波列长度 2L和波列所包含的单色分波的
波长范围成反比关系，波列愈短，波列所包含的
单色波的波长范围就愈宽；相反,波列愈长，波列
包含的单色分波的波长范围就愈窄。当波列长度
等于无穷大时,λ等于零。即为单色光波。
?若波列的持续时间为 Δt时，则可以证明，波列所
包含的单色波的时间频率范围为
?Δt的大小与波列长度对应,Δν的宽窄与 Δλ对应。
tv ???
1
§ 2-5光波的分析
? 作业：
? 单号同学,2.11,2.13,2.15,2.17, 2.19、
2.21
? 双号同学,2.12,2.14,2.16、,2.18,2.20、
2.21
第三章
光的干涉和干涉仪
一、教学要求：
二、教学重点：
三、本章概述：
第三章 光的干涉和干涉仪
? 一、教学要求：
? 1,深入理解两个光波的非相干叠加和相干叠
加, 深入理解相干条件和光的干涉定义；
? 2,了解光干涉的本质及双光束干涉的一般理
论；
? 3,牢固掌握扬氏双光束非定域分波前干涉装
置的干涉光强分布的各种规律；
第三章 光的干涉和干涉仪
? 4,牢固掌握分振幅等顷干涉的条纹形状, 光
强分布规律, 定域问题及其应用；
? 5,牢固掌握分振幅等厚干涉的条纹形状, 光
强分布规律, 定域问题及其应用；
? 6,牢固掌握迈克耳逊干涉仪的结构特点, 改
变间隔 d时的干涉条纹变化以及干涉仪的应
用；
第三章 光的干涉和干涉仪
? 7,牢固掌握干涉场可见度的定义, 光波场的
空间相干性和时间相干性对于干涉可见度
的影响 。
? 8,掌握光的相干条件，相干光的获得方法，
光源的相干性；
? 二、教学重点：
? 1,相干条件, 相干光的获得方法, 光源的相
干性；
第三章 光的干涉和干涉仪
? 2,扬氏双光束非定域分波前干涉规律；
? 3,分振幅等顷干涉的规律, 定域问题及其应
用；
? 4,分振幅等厚干涉的规律, 定域问题及其应
用；
? 5,干涉场可见度的定义, 光波场的空间相干
性和时间相干性对于干涉可见度的影响 。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 三、本章概述：
? 光的干涉现象：是当两个或多个光波（光
束）在空间相遇叠加时，在叠加区域内出
现的各点强度稳定的强弱分布现象。
? 本章研究两光束干涉, 下一章研究多光束
干涉 。
? 实际光波不是理想单色光波, 因而要使实
际光波发生干涉, 必须利用一定的装置,
让光波满足某些条件 （ 干涉条件 ） 。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 使光波满足干涉条件的途径有多种, 因此,
相应地有多种干涉装置 （ 干涉仪 ） 。
? 从获得满足干涉条件的方法上分，
? 干涉仪分为两类：
? 1.分波前干涉仪； 2.分振幅干涉仪。
? 后面的分析可看到：前者只容许使用足够
小的光源，而后者可把光源尺寸拓展，因
而可以获得强度较大的干涉效应。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 历史上最早使用实验方法研究光的干涉现
象的是 Thomas Young,在 1802年。其后菲涅
耳等人用波动理论很好地说明了干涉现象
的各种细节，至 20世纪初干涉理论可谓已
相当完善，本世纪三十年代，范西特和泽
尼克发展了部分相干理论，使干涉理论进
一步臻于完善。
? 光的干涉和干涉仪在科学技术的许多部门
中都有非常广泛的应用 。 它也是本课程重
点内容之一 。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 干涉的研究内容：
? 干涉的三个要素：一般说来光源、干涉装
置（能产生两束或多束光波并形成干涉现
象的装置）和干涉图形构成干涉问题的三
个要素。
? 干涉问题：研究这三个要素之间的关系,
达到由其中两者求出第三者的目的 。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 其中,,光源, 的性质由位置、大小、亮
度分布和光谱组成等因素决定；
?, 干涉装置, 的性质主要体现它对各个光
束引入的位相延迟；
?, 干涉图形, 由辐照度分布描述，包括干
涉条纹的形状、间距、反衬度和颜色等。
通常它可以被直接测量。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 干涉项：
? 由前面维纳实验可知，对感光乳胶等接收
装置起主要作用的是光波中的电场，因此
考察干涉场中的电场能量密度（光强）分
布是重要的。在干涉场中任一点，电场能
量密度 We正比于该点电场强度的平方，并
随时间高速变化。接收器能反映的是它的
时间平均值：
第三章 光的干涉和干涉仪
? 接收器能反映的是它的时间平均值：
? 若干涉场由两束光波形成, 它们在某点的瞬
时电场强度分别为 E1和 E2。 则在叠加原理适
用的范围内：有
? 则：
? 上式右端的时间平均值称为干涉场的强度,
并用 I表示 。
EEEdtee ?? ???? ?
?
???
0
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21 EEE
??? ??
)E() E + ( 2121 ???? ??? EEe?
第三章 光的干涉和干涉仪
? 于是，有
? 此式表明当 2<E1?E2> 不为零时，便会出
现干涉，故称此项为干涉项。
? 注：并非叠加原理不成立时不出现干涉
现象，相反这时将出现更为复杂的干涉项。
2121
212211
2121
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§ 3－ 1 产生干涉的条件
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 考虑两单色、线偏振光相遇时产生干涉的
条件：
? 设两光束的波函数分别为：
)c o s (),( 1011101 ?? ??? trkEtrE ????
)c o s (),( 2022202 ?? ??? trkEtrE ????
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 则：干涉项, 积化和差
?
? 式中：
? ① 右端第一个时间平均值为零, 因为其中的
圆 频 率 极 高 。 接 收 器 响 应 时 间 远 大 于
2π/(ω 1+ω 2)。 故为零 。
? ② 右端第二个时间平均值, 仅当
τ < 2π/(ω 2-ω 1) 时，才不为零。
?
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10201212
20102121201021
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§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 一般,?1和 ?2均为 10-15 S-1量级，而 ?一般
大于 10-9 S-1。故当 ?1和 ?2仅仅相差百万分
之一时便能使平均值为零。
? 既使当 ?1和 ?2之差在 10-9 S-1之内时，可以
探测到干涉项的拍频效应，但是，作为干
涉现象而言，干涉场的强度分布也是不稳
定的。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 这样，为了得到稳定的干涉现象，首先需
要满足的条件是,?1=?2 (1)
? 另：为了使干涉项不为零, 其系统 E10·E20
应不等于零 。 E10·E20??0 （ 2）
? 说明,E10和 E20不互相垂直是产生干涉的
又一个必要条件。
? 对于严格的单色波而言，上述两个条件是
足以保证产生干涉现象
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 然而，在光学波段内不存在严格的单色波，普
通光源的每个发光原子都是间断地发光的，每
次发光的持续时间为 10－ 8 S量级。
? 各个原子或每个原子各次发射光波在位相上是
互不相关连的。即式中的 ?10和 ?20都不是常量，
而是在 [0,2π ]区间内等概率地无规则跳跃，
跳跃频率也 是 高达 10－ 8 S－ 1的随机 量。
? 这样，只要 ?10和 ?20各自独立地变化，则干涉项
中的第二项的平值将至少是不稳定的。
?
??????????
?????????????
)]()()c o s [ (
)]()()c o s [ (2
10201212
20102121201021
????
????
trkk
trkkEEEE
???
???????
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 则，得到稳定干涉场的唯一可能是：
? ?10和 ?20按同样的规律跳跃变化。即
? ?10（ t）－ ?20 （ t）＝常数 （３）
? 即：对于普通光源, 仅当两个光束来自光源
上的同一个地点时, 才能发生干涉 。
? 总之, （ 1）, （ 2）, （ 3） 式共同构成了
产生干涉的条件, 满足这些条件的两束或多
束光波称为, 相干光波, 。 相应的光源称为
相干光源 。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 由上分析可知：
? 为了获得两相干光波，只能利用同一个光源
或者确切地说利用同一个发光原子（一般称
发光点）发出的光波，并通过具体的干涉装
置使之分成两个光波。
? 将一个光波分离成两个相干光波，一般有两
种方法。一种方法是让光波通过并排的两个
小孔或利用反射和折射方法把光波的波前分
割出两个部分，此为分波前法，相应的装置
为分前干涉仪。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 另一种方法是利用两个部分反射的表面通
过振幅分割产生两个反射光或两透射光波，
此为分振幅法，相应的装置为分振幅干涉
仪。
? 必须指出：在具体的干涉装置中，为了产
生干涉现象，光是利用同一原子辐射的光
波分离为两个光波，条件还不够充分，还
必须使两叠加光波的光程差不要太大。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 因为原子辐射的光波是一段段有限长的波列,
进入干涉装置的每个波列也部分各同样长的两
个波列, 当光程差太大 （ 光程差大于波列长度 ）
时, 这两个波列就不能相遇 。 这时相遇的是对
应于原子前一时刻发出的波列和后一时刻发出
的另一波列, 不同时刻相遇波列的位相已无固
定关系, 因此不能发生干涉 。
? 由此：为了使干涉现象发生, 必须利用原子发
出的同波列, 即必须使光程差小于光波的波列
长度 。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 综上所述：
? 产生光波需要三个基本条件：
? 即：
? ?1=?2 (1)
? E10·E20??0 (2)
? ?10（ t） － ?20 （ t） ＝常数 （ 3）
? 一个补充条件, 光程差小于波列长度 。
? 此外, 还有一些其它条件, 如, 对光源大
小的限制等 。 我们将在后面讨论 。
光波的叠加综述
? 一、本章所讨论内容的理论基础：
? （ 一 ）, 波的独立传播定律：
? 两列光波在空间交迭时, 它的传播互不干扰,亦
即每列波如何传播, 就像另一列波完全不存在一
样各自独立进行,此即波的独立传播定律 。
? （ 二 ）, 波的叠加原理：
? 当两列 (或多列 )波在同一空间传播时, 空间各点
都参与每列波在该点引起的振动 。 若波的独立传
播定律成立, 则当两列 (或多列 )波同时存在时,
在它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独在
该点产生振动的合成,此即波的 迭加原理 。
光波的叠加综述
? 波在其中服从叠加原理的媒质称为, 线性媒
质, 。 此时，对于 非相干光波,
? 即 N列 非相干光波 的强度 满足线性迭加关系。
? 对于相干光波,
? 即 N列相干光波的振幅 满足线性迭加关系。
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§ 2-1 两个 频率、振动方向、传播方向相同
的单色光波的迭加
? 两个频率、振动方向、传播方向相同的单色
光波的迭加的结果为一个新的单色光波，表
示为：
? 或：
? 式中：
)c o s (s i ns i nc o sc o s tAtAtAE ?????? ????
)](e x p [
)](e x p [)]e x p ()e x p ([),(
0
20201010
tkziE
tkziiEiEtzE
?
???
??
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)c o s (2 122122212 ?? ???? aaaaA
2211
2211
c o sc o s
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??
???
aa
aatg
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2010202010220210 )c o s (2 EEEEE ???? ??
20201010
202010100
c o sc o s
s ins in
??
???
EE
EEtg
?
??
00202010100 e x p)]e x p ()e x p ([ ??? iEiEiEE
???? ???
? 叠加获得的新光波的振幅、振动方向与两原光波
的振幅、振动方向密切相关。
? 新光波的强度的变化与两原光波到达考查点时的
位相差 (或光程差）对应，当两原光波的振幅相
等时，合成波的强度为
? 显然：
? 当 δ =± 2mπ或 △ = ± 2mλ 0
(m=0,1,2… ) 时,P点光强最大 ；
? 当 δ =± 2(m+1/2)π或 △ = ± （ m+1/2） λ 0
(m=0,1,2… )时, P点光强最小 ；
? 介于上两者之间时,P点光强在 0 ~ 2?之间。
2c o s4)2(c o s4
2
0
122
0
??? III ???
§ 2-2两个 频率相同、振动方向相同而
传播方向相反 的 单色波的叠加
? 叠加的结果为驻波：波函数为
? 此式表明：合成波上任意一点都作圆频率为 ?的
简谐振动。但：
? A：合成波振幅不是常数，与各点坐标有关，
? 当 m=0,?1,? 2? 的位置上
振幅最大，为 2E10，为波腹，间距为 λ /2
? 当 m=0,?1,? 2?
的位置上振幅为零，为波节，间距为 λ /2
)]e x p []2 )(e x p [)2c o s (2),( 2010102010 tiikzEtzE ????? ?????
??? mkz ??? 2 1020
??? )21(2 1020 ???? mkz
§ 2-3 两个 频率,传播方向 相同、
振动方向互相垂直 的 光波的叠加
? 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹
满足如下方程：
? E与 x轴的夹角满足：
? 此式表明,E的方向一般是不固定的，将随着
z和 t变化。即合成波一般不是线偏振波。
?? 2
21
2
2
2
2
1
2
s i nc o s2 ???
aa
EE
a
E
a
E yxyx
)c o s (
)c o s (
1010
2020
1
2
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???
??
????
tkzE
tkzE
E
Etg
§ 2-3 两个 频率,传播方向 相同、
振动方向互相垂直 的 光波的叠加
?椭圆形状由两叠加光波的位相差
δ=α2-α1或光程差 ?和振幅比 a2/a1 决定。
旋向由 δ=α2-α1或光程差 ?决定，
?sinδ>0 左旋情况
? sinδ<0 右旋情况
?强度：
?表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个
振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，
它与两个叠加波的位相无关。
yx III ??
§ 2-4两个 不同频率 的单色光波的叠加
? 合成波写成：
? 令：
? 则
? 即合成波可看成一个频率为, 而振幅受到调
制（随时间和位置在 –2a到 2a之间变化）的波。
? 它包含两种速度：等相面的传播速度（相速度）
和等幅面的传播速度（群速度）。
)c o s (2 tzkaA mm ???
)c o s ()c o s (2 tzktzkaE mm ?? ???
)c o s ( tzkAE ???
?
kv
??
kkv m
m
g ?
??? ?? ?
?d
dvvv
g ??
? 由前述讨论可知：
? 1．无论多少个相同频率而有任意振幅和位相的
单色光波的叠加时，所得到的合成波仍然是单
色光波。
? 2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结果
就不再是单色波，而是一个复杂波，波形曲线
不再是正弦或余弦曲线。
? 3．上述结果可以推广到三个或三个以上波动的
叠加与合成问题。
? 4．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一组
单色波。
? 下面将讨论复杂波的分析方法，并分别对周期
性和非周期性复杂波两种情况加以讨论。
§ 2-5光波的分析
一,周期性波的分析
二、非周期性波的分析
§ 2-5光波的分析
一,周期性波的分析：
周期性波：接连着的相等的时间和空间内
运动完成重复一次的波。周期性波不一定具有
简谐性。对于这类周期性波可以应用数学上的
傅里叶级数定理：
具有空间周期 λ的函数 f(z)，可以表示成一
些空间周期为 λ的整数倍（即 λ,λ/2,λ/3… ）的
简谐函数之和。其数学形式为
....)
2
2c o s ()2c o s ()(
22110 ?????? ??
??
?
? zazaazf
§ 2-5光波的分析
? 或写为
? 式中 a0,a1,a2是待定常数,k=2π/λ为空间角
频率。
? 傅里叶级数定理还可以写成更为简洁的形式。
? 由三角等式：
? 式中
? 式（ 1），（ 2）通常称为傅里叶级数，而 A0，
An,Bn称为函数 f(z)的傅里叶系数，它们分别为：
)1()2c o s ()c o s ()( 22110 ???????? ?? kzakzaazf
n k zBn k zAn k za nnnn s i nc o s)c o s ( ??? ?
nnn aA ?c o s? nnn aB ?s in??
)2()s i nc o s(2)(
1
0 n k zBn k zAAzf nn
n
??? ??
?
§ 2-5光波的分析
? 上式表明：
? 若 f(z)代表一个以空间角频率 k沿 z方向传播的
周期性复杂波，则经过傅里叶分析，可以分解
成许多振幅不同且空间角频率分别为 k,2k，
3k,… 的单色波的叠加。
? 即若给定一个复杂波的函数形式，对他进行傅
里叶分析，只需由式（ 3）决定它的各个分波
的振幅便可。
)3(
s i n)(
2
c os)(
2
)(
2
0
0
0
0
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nk z dzzfB
nk z dzzfA
dzzfA
n
n
§ 2-5光波的分析
? 例：如图示，空间周期为 λ的矩形波，在一
个周期内它可用如下函数表示：
? f(z)为奇数：则 A0=0,An=0
?
?
?
??
?
?
?
?
?
)
2
(1
2
01
)(
??
?
??
??
z
z
zf
）（
z
f(z)
+1
-1
0
λ/2 λ-λ/2
]c os1[
2
][ c o s
1
]c os[
1
s i n)1(
2
s i n
2
2
2
0
2
2
0
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
n
n
nk z
n
nk z
n
nk z dznk z dzB
n
??
???
??? ??
§ 2-5光波的分析
? 得到 B1=4/π,B2=0,B3=4/3π,B4=0，
B5=4/5π,…
? 该矩形波的傅里叶级数，或者说这个矩形
波分解成的傅里叶简谐分波为：
? 其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为 1/λ，是基频。第二项、
第三项是三次谐波和五次谐波 [空间频率
m/λ(m≥2)是谐频 ]。
)5s i n513s i n31( s i n4)( ????? kzkzkzzf ?
§ 2-5光波的分析
? 通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里
叶分析的结果：以横坐标表示空间角频率，
纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为零的
频率位置引垂线，使其长度等于相应频率
的振幅值。
? 任何一个周期性复杂波
的频谱图都是一些
离散的线谱。所以
周期性复杂波的
频谱是离散频谱。 k
振幅
4/π
4/3π
4/5π 4/7π
k 3k 5k 7k
§ 2-5光波的分析
? 傅里叶级数也可以表示为复数形式,
? 其中系数
? 显然式 (4)级数中的每一项也都可以看成为
一个单色波,所以式 (4)式的意义仍然可以理
解为周期性复杂波的分解,
)4()e x p ()( ??
???
?
n
n in k zCzf
)5()2,1,0()e x p ()(1
2
2
?
?
?????
?
??
?ndzi n k zzfC n
§ 2-5光波的分析
?二、非周期性波的分析
?非周期性波不是无限次的重复它的波形,而是
只存在于一定的有限范围之内，在这个范围
外振动为零，因而显现出波包的形状。
?此时，由于其周期为无穷大,λ→∞,
?则傅里叶级数 → 傅里叶积分：
?其中：
?称 A(k)为函数 f(z)的傅里叶变换 (频谱 )。
)6()e x p ()(2 1)e x p ()( ??
?
??
?? dzi k zkAi n k zCzf n ?
)7()()e x p ()( kAdzi k zzf ???
?
??
§ 2-5光波的分析
? 显然，若 f(z)表示一个波包,则傅里叶积分可
理解为一个波包可以分解成无穷多个频率
连续的、振幅随频率变化、有 A(k)函数关系
的简谐分波，即，一个波包能够由多个这
些单色波合成。
? 如用示，为一个长度为 2L，在 2L范围内波
的振幅 A0=常数，空间角频率 k0=常数，这
种波通常称为波列。 振幅
§ 2-5光波的分析
? 若选波列的中点为坐标原点，它的函数形
式可写为：
? 它的傅里叶分解频谱为：（振幅函数）
? 其强度函数：（略去常数因子）
?
??
????
其它0
)e x p ()( 00 LzLzikAzf
Lkk
LkkAdzzkkiAkA L
L )(
)s i n (2])(e x p [)(
0
0
000 ?
????? ?
?
2
0
0 ]
)(
)s in ([)(
Lkk
LkkkI
?
??
I(k)
1
0 k0k
0-π/L k0+π/Lπ/L
k
§ 2-5光波的分析
? 强度的第一零值点出现在：
? 该函数只有在空间角频率
范围内（也即 k0两边第一零值之间频率的一
半），强度才有较显著的数值。
? 则可取
? 作为有效空间角频率范围，认为波列包含的
诸分波的空间角频率处于这一范围内，由
k=2π/λ，则用空间周期表示为：
LkLkk
?? ?????,)(
0
22 00
kkkkk ??????
Lk
???
L2
2?
? ??
§ 2-5光波的分析
式子表明波列长度 2L和波列所包含的单色分波的
波长范围成反比关系，波列愈短，波列所包含的
单色波的波长范围就愈宽；相反,波列愈长，波列
包含的单色分波的波长范围就愈窄。当波列长度
等于无穷大时,λ等于零。即为单色光波。
?若波列的持续时间为 Δt时，则可以证明，波列所
包含的单色波的时间频率范围为
?Δt的大小与波列长度对应,Δν的宽窄与 Δλ对应。
tv ???
1
§ 2-5光波的分析
? 作业：
? 单号同学,2.11,2.13,2.15,2.17, 2.19、
2.21
? 双号同学,2.12,2.14,2.16、,2.18,2.20、
2.21
第三章
光的干涉和干涉仪
一、教学要求：
二、教学重点：
三、本章概述：
第三章 光的干涉和干涉仪
? 一、教学要求：
? 1,深入理解两个光波的非相干叠加和相干叠
加, 深入理解相干条件和光的干涉定义；
? 2,了解光干涉的本质及双光束干涉的一般理
论；
? 3,牢固掌握扬氏双光束非定域分波前干涉装
置的干涉光强分布的各种规律；
第三章 光的干涉和干涉仪
? 4,牢固掌握分振幅等顷干涉的条纹形状, 光
强分布规律, 定域问题及其应用；
? 5,牢固掌握分振幅等厚干涉的条纹形状, 光
强分布规律, 定域问题及其应用；
? 6,牢固掌握迈克耳逊干涉仪的结构特点, 改
变间隔 d时的干涉条纹变化以及干涉仪的应
用；
第三章 光的干涉和干涉仪
? 7,牢固掌握干涉场可见度的定义, 光波场的
空间相干性和时间相干性对于干涉可见度
的影响 。
? 8,掌握光的相干条件，相干光的获得方法，
光源的相干性；
? 二、教学重点：
? 1,相干条件, 相干光的获得方法, 光源的相
干性；
第三章 光的干涉和干涉仪
? 2,扬氏双光束非定域分波前干涉规律；
? 3,分振幅等顷干涉的规律, 定域问题及其应
用；
? 4,分振幅等厚干涉的规律, 定域问题及其应
用；
? 5,干涉场可见度的定义, 光波场的空间相干
性和时间相干性对于干涉可见度的影响 。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 三、本章概述：
? 光的干涉现象：是当两个或多个光波（光
束）在空间相遇叠加时，在叠加区域内出
现的各点强度稳定的强弱分布现象。
? 本章研究两光束干涉, 下一章研究多光束
干涉 。
? 实际光波不是理想单色光波, 因而要使实
际光波发生干涉, 必须利用一定的装置,
让光波满足某些条件 （ 干涉条件 ） 。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 使光波满足干涉条件的途径有多种, 因此,
相应地有多种干涉装置 （ 干涉仪 ） 。
? 从获得满足干涉条件的方法上分，
? 干涉仪分为两类：
? 1.分波前干涉仪； 2.分振幅干涉仪。
? 后面的分析可看到：前者只容许使用足够
小的光源，而后者可把光源尺寸拓展，因
而可以获得强度较大的干涉效应。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 历史上最早使用实验方法研究光的干涉现
象的是 Thomas Young,在 1802年。其后菲涅
耳等人用波动理论很好地说明了干涉现象
的各种细节，至 20世纪初干涉理论可谓已
相当完善，本世纪三十年代，范西特和泽
尼克发展了部分相干理论，使干涉理论进
一步臻于完善。
? 光的干涉和干涉仪在科学技术的许多部门
中都有非常广泛的应用 。 它也是本课程重
点内容之一 。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 干涉的研究内容：
? 干涉的三个要素：一般说来光源、干涉装
置（能产生两束或多束光波并形成干涉现
象的装置）和干涉图形构成干涉问题的三
个要素。
? 干涉问题：研究这三个要素之间的关系,
达到由其中两者求出第三者的目的 。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 其中,,光源, 的性质由位置、大小、亮
度分布和光谱组成等因素决定；
?, 干涉装置, 的性质主要体现它对各个光
束引入的位相延迟；
?, 干涉图形, 由辐照度分布描述，包括干
涉条纹的形状、间距、反衬度和颜色等。
通常它可以被直接测量。
第三章 光的干涉和干涉仪
? 干涉项：
? 由前面维纳实验可知，对感光乳胶等接收
装置起主要作用的是光波中的电场，因此
考察干涉场中的电场能量密度（光强）分
布是重要的。在干涉场中任一点，电场能
量密度 We正比于该点电场强度的平方，并
随时间高速变化。接收器能反映的是它的
时间平均值：
第三章 光的干涉和干涉仪
? 接收器能反映的是它的时间平均值：
? 若干涉场由两束光波形成, 它们在某点的瞬
时电场强度分别为 E1和 E2。 则在叠加原理适
用的范围内：有
? 则：
? 上式右端的时间平均值称为干涉场的强度,
并用 I表示 。
EEEdtee ?? ???? ?
?
???
0
21
21 EEE
??? ??
)E() E + ( 2121 ???? ??? EEe?
第三章 光的干涉和干涉仪
? 于是，有
? 此式表明当 2<E1?E2> 不为零时，便会出
现干涉，故称此项为干涉项。
? 注：并非叠加原理不成立时不出现干涉
现象，相反这时将出现更为复杂的干涉项。
2121
212211
2121
2
2
)()()(
EEII
EEEEEE
EEEErI
??
??????
????
????
??????
??????
§ 3－ 1 产生干涉的条件
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 考虑两单色、线偏振光相遇时产生干涉的
条件：
? 设两光束的波函数分别为：
)c o s (),( 1011101 ?? ??? trkEtrE ????
)c o s (),( 2022202 ?? ??? trkEtrE ????
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 则：干涉项, 积化和差
?
? 式中：
? ① 右端第一个时间平均值为零, 因为其中的
圆 频 率 极 高 。 接 收 器 响 应 时 间 远 大 于
2π/(ω 1+ω 2)。 故为零 。
? ② 右端第二个时间平均值, 仅当
τ < 2π/(ω 2-ω 1) 时，才不为零。
?
??????????
?????????????
)]()()c o s [ (
)]()()c o s [ (2
10201212
20102121201021
????
????
trkk
trkkEEEE
???
???????
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 一般,?1和 ?2均为 10-15 S-1量级，而 ?一般
大于 10-9 S-1。故当 ?1和 ?2仅仅相差百万分
之一时便能使平均值为零。
? 既使当 ?1和 ?2之差在 10-9 S-1之内时，可以
探测到干涉项的拍频效应，但是，作为干
涉现象而言，干涉场的强度分布也是不稳
定的。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 这样，为了得到稳定的干涉现象，首先需
要满足的条件是,?1=?2 (1)
? 另：为了使干涉项不为零, 其系统 E10·E20
应不等于零 。 E10·E20??0 （ 2）
? 说明,E10和 E20不互相垂直是产生干涉的
又一个必要条件。
? 对于严格的单色波而言，上述两个条件是
足以保证产生干涉现象
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 然而，在光学波段内不存在严格的单色波，普
通光源的每个发光原子都是间断地发光的，每
次发光的持续时间为 10－ 8 S量级。
? 各个原子或每个原子各次发射光波在位相上是
互不相关连的。即式中的 ?10和 ?20都不是常量，
而是在 [0,2π ]区间内等概率地无规则跳跃，
跳跃频率也 是 高达 10－ 8 S－ 1的随机 量。
? 这样，只要 ?10和 ?20各自独立地变化，则干涉项
中的第二项的平值将至少是不稳定的。
?
??????????
?????????????
)]()()c o s [ (
)]()()c o s [ (2
10201212
20102121201021
????
????
trkk
trkkEEEE
???
???????
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 则，得到稳定干涉场的唯一可能是：
? ?10和 ?20按同样的规律跳跃变化。即
? ?10（ t）－ ?20 （ t）＝常数 （３）
? 即：对于普通光源, 仅当两个光束来自光源
上的同一个地点时, 才能发生干涉 。
? 总之, （ 1）, （ 2）, （ 3） 式共同构成了
产生干涉的条件, 满足这些条件的两束或多
束光波称为, 相干光波, 。 相应的光源称为
相干光源 。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 由上分析可知：
? 为了获得两相干光波，只能利用同一个光源
或者确切地说利用同一个发光原子（一般称
发光点）发出的光波，并通过具体的干涉装
置使之分成两个光波。
? 将一个光波分离成两个相干光波，一般有两
种方法。一种方法是让光波通过并排的两个
小孔或利用反射和折射方法把光波的波前分
割出两个部分，此为分波前法，相应的装置
为分前干涉仪。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 另一种方法是利用两个部分反射的表面通
过振幅分割产生两个反射光或两透射光波，
此为分振幅法，相应的装置为分振幅干涉
仪。
? 必须指出：在具体的干涉装置中，为了产
生干涉现象，光是利用同一原子辐射的光
波分离为两个光波，条件还不够充分，还
必须使两叠加光波的光程差不要太大。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 因为原子辐射的光波是一段段有限长的波列,
进入干涉装置的每个波列也部分各同样长的两
个波列, 当光程差太大 （ 光程差大于波列长度 ）
时, 这两个波列就不能相遇 。 这时相遇的是对
应于原子前一时刻发出的波列和后一时刻发出
的另一波列, 不同时刻相遇波列的位相已无固
定关系, 因此不能发生干涉 。
? 由此：为了使干涉现象发生, 必须利用原子发
出的同波列, 即必须使光程差小于光波的波列
长度 。
§ 3－ 1 产生干涉的条件
? 综上所述：
? 产生光波需要三个基本条件：
? 即：
? ?1=?2 (1)
? E10·E20??0 (2)
? ?10（ t） － ?20 （ t） ＝常数 （ 3）
? 一个补充条件, 光程差小于波列长度 。
? 此外, 还有一些其它条件, 如, 对光源大
小的限制等 。 我们将在后面讨论 。
